江苏省海门中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定 位凰，在其他位置作答一律无效。 3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，1.对应的点在 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面向量a=(1,√5)，b=(2,0),则a与b的夹角大小为 A.30 B.601 C.75 D.120 3,已知A,B是△ABC的内角，则“A>B”是“cosA<cosB” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知函数f(x)=sin(2x+)，,则f(x)在下列区间上单调递增的是 6 A（- c.(引 D.o,引 5.已知 cosa 则sin2a= sina+cosa A号 B.号 c. D.4 6.已知1，m是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中正确的是 A.若1ca,mda,则l,m是异面直线 B.若l∥a,m∥a,则1∥m C.若l∥m,mca,则l∥a D.若lLa,mca,则l⊥m 7. 在△ABC中，∠BAC=120°，D在BC边上，AD平分∠BAC.若AD=2,则AB+4AC 的最小值是 A.20 B.18 C.17 D.16 数学试卷第1页（共4项） 霸田任 8、已知二面角a-1-B的大小为60，Aea,B,CI,若∠ABC=30,点A到平而p的 距离为√5，则AB= A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正方体ABCD-AB,CD,则 A、AD,∥平面ACB B、BD⊥AB C.直线AD与直线AC所成的角的大小为45 D.直线AD,与平面ABCD所成的角的大小为45 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列关系中能确定△ABC的形状 为直角三角形的是 A.a=b -C B.sinA=cos B cosC cos A cos B cosC a b C.a2-b2=(acosB+bcosA)2 D.acos A=bcos B 11.如图，Ox,O是平面内相交成60°角的两条数轴，i,·广分别为x轴，y轴正方向上的 单位向量.若OM=xi+以，记M(x,y),OM=(x,y),则下列说法正确的是 A.若OA=(m1,),0B=(2y2),则可A+OB=1+x2y1+y2) B.若OA=(),0B=(x2y2),则OA.O丽=xx2+yy2 C.若点P3,4),则O丽=37 D.若点P(x,1-x),(x2,-1-x2),则P回的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z=1+5i,则1z2=一 13.若单位向量g,e,的夹角为120，向量a=2e,+2,则a在g上的投影向量为 (结果用e表示) 数学试卷第2页（共4页） 器国图 14.设锐角△ABC的内角，B,C的对边分别为a,b,c,若anA+anB=,2g2 a2+c2-62 则B+C=」 一，tanB+2 an Atan C的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知函数f(x)=V5sin(or+),w>0,0≤p≤罗，函数fx)图象的相邻对称轴的距 离为经，且0= 2 (1)求(x)的解析式： (2)将函数∫x)的图象向左平移三个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数)在 [0引上的值域。 16.(15分) 已知a,B均为锐角，(1-tana)1-tan)=2. (1)求a+B的值： (2)若cos(a+=-日，求sin(号-20的值。 17.(15分) 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=DC=2,AB=4,E是CD的中点，AE与BD交 于点P,设AB=a,AC=b. (1)用a,b表示AE; (2)若2是边BC上的动点，求AP,AQ的最大值. 数学试卷第3页（共4页） 霸巴日m 18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC (1)若∠ACB=90°，求证：平面PBC⊥平面PAC: (2)己知M为PB的中点，AE=2EM,F是棱PC上的一点. (i)若EF∥平面ABC,求P距 FC (i)若EF⊥平面PAB,试判断△ABC的形状，并给出证明. 19.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D是边AB上靠近B的四等分点 (1)若a=b. (i)求证：对于边AB上任一点E,EB.EC≥DB.DC: (i)若sin∠BCD=】,求sinA. (2)若b=2,∠ADC=45°，求a的最大值 数学试卷第4页（共4页） 翳®m图 高一调研测试 数学参考答案与评分建议 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 8 D B C A D B D 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 0 10 11 ABD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 13.0 14.还7（第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 【解】(1)因为函数的周期为π， 所以2元=元，即1m上2，因为0>0，所以0=2， …2分 所以f(x)=V2sin(2x+p. 因为f0=巨 2 所以sinp= 1 因为0≤p≤正，所以p=亚 …5分 6 所以f(x)=V2sin(2x+5. …6分 6 (2)因为8)-jc+孕=2smn2x++受=5co(2x+爱， …8分 6 因为0≤x≤亚，所以亚≤2x+亚≤2匹 …10分 6 63 所以-}≤co(2x+马≤y5 6 2 所以的的慎该为[怎， ·13分 2 数学试卷答案第1页（共7页） （或求f)在[野上的值域) 16.(15分) 【解】(1)因为4-tan)0-tanB)=2, 所以1-tana-tanB+tan atan B=2, tan a+tan B tanatan B-1, 所以tan(a+p)=tana+tanE-l, …3分 1-tan atan B 因为a,Be0孕，所以a+Bc0,), 所以a+B=3弧 …6分 4 (2)由(1)a=3红-B,所以x+=7匹-B, 4 126 所以coa+0-cog-月-子即cos(g-月-子 …8分 因为in(吗-20=sim2(g-月=2sin(g-Acos(g月， …10分 因为骨&晋且cg月=9， 36 6 2 所以-亚<亚-B<-亚， …12分 36 6 s血唔m=1-csg)-4 6 4 所以sin肾-20)=-西 …15分 8 法2：设a+语-0，因为0<a<号所以各<8< 12 12 因为cos0=-},所以sin0=-co82日=5 4 因为a+B=3弧， 4 所以in传-20)=sim(号-2x头-》=smc号+20-》 3 3 4 32 sin(20-2n)=sin 20=2sin cos0, 所以sim(-2p)=-压 8 17.(15分) 数学试卷答案第2页（共7页） 【解】(1)因为A正=AC+CE, 因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,AB=2DC,E为CD中点， 所以C2=1AB, 4 所以正=子+b …4分 (2)法1：设B0=BC,0≤1≤1， 所以AO=AB+B0=L+AC-AB)=1-)M+b; …6分 因为DBAB,DB=1,所以PA=4, AB 4 PE 所以A亚=4A正=-1+4b. …8分 5 所以而.0-(a+a-加+0)-2244,4 5 5 .…10分 过C,D作AB的垂线，垂足为C,D,则BC1=1, 所以在直角三角形BCC,中，∠B=60, 因为在三角形ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB×BC×coSB=12, 即AC=23, 因为m.b=4×25×c0s30°=12， 所以AP.40=32+42, …13分 5 所以当=1时，丽0最大值为9 …15分 法2：因为DE//AB,DE=,所以卫A=4, AB 4 PE 所以AP=4A正=-1AB+4AC. 5 过C,D作AB的垂线，垂足为C,D,则BC1=1, 所以在直角三角形BCC1中，∠B=60, 因为在三角形ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=12, 所以AB2=AC2+BC2,即BC⊥AC, 数学试卷答案第3页（共7页） 所以加.0-Ac-})40=号Ac.A0-}A0, 因为AC.4A0=AC.4C+CO)=AC2, 所以AP.40=4AC2-AB.40=48-1AB40, 551 下求AB·A0的最小值，过O作QO⊥AB,9为垂足， 所以A0.AB=40AB≥ACAB=2√5×5x4=12, 2 所以当且仅当0在C处，此时原式最大值为36 【解法3建系略】 18.(17分) 【解】(1)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以BC⊥PA, …2分 因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC. 因为BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC. …5分 (2)连接PE并延长交AB于点N,连接CN …6分 (i)因为EF∥平面ABC,EFc平面PCN,平面PCN∩平面ABC=CN, 所以EF∥CN. …8分 因为AE=2EM,M是PB中点， M 所以E是△PAB的重心，N是AB的中点， ->B 所以P2=PE=2. …10分 FC EN (ii)△ABC是等腰三角形，理由如下： 因为EF⊥平面PAB,EFC平面PCN, 所以平面PCN⊥平面PAB …12分 因为PA⊥平面ABC,PAC平面PAB, 所以平面PAB⊥平面ABC. …13分 数学试卷答案第4页（共7页） 法1：在平面PCN内过C作CN⊥PW, 因为CNC平面PCN,平面PCN⊥平面PAB,平面PCN∩平面PAB=PN, 所以CN⊥平面PAB; 同理，过C作CN⊥AB,可知CN⊥平面PAB …14分 因为过平面PAB外一点C有且只有一条直线与该平面垂直， 所以CN,CN重合，由于AB∩PN=N, 所以N,N,N重合， 所以CN LAB, 因为N为AB中点，故AC=BC,即△ABC是等腰三角形 …17分 法2：证明结论：设a,B,y是平面，若ax∩B=1,a⊥y,B⊥y,则1⊥y. 因为a⊥y,设a∩y=,在a内作l⊥，则l⊥y, 同理，可设B∩y=n,ca,l⊥n,则⊥y, 所以1∥12， 因为lcB,工B,所以1∥B,因为lc,a∩B=1,所以1∥1. 所以1⊥y. 因为平面PCN∩平面ABC=CN,所以CN⊥平面PAB, 因为ABC平面PAB,所以CN⊥AB, 因为N为AB中点，故AC=BC,即△ABC是等腰三角形 19.(17分) 【解】(1)(i)因为a=b,取AB中点G,则CG⊥AB, 设F为BC的中点，连接DF,因为D是AB靠近B的四等分点， 所以DF⊥AB. 因为EB.EC-DB·DC=(EF+FB)·EF-FB)-DF+FB)·(DF-FB) =EF-DF, 因为EF≥DF,所以EB·EC-DB.DC≥O,即证 …3分 (i)设BD=m,则AD=3, 在△BDC和△ADC中，由正弦定理得， 数学试卷答案第5页（共7页） BD BC AD AC sin∠BCDsin∠BDc'sinm∠ACD sin.∠ADC' 因为∠ADC+∠BDC=π，a=b, 所以业=a =3 ,即sin∠ACD=1, 1sin∠3DC sin∠ACD 3 因为∠ACD∈(O,D),所以∠ACD= …6分 法1：因为A+B+亚+∠BCD=元， 2 所以2A=-∠BCD, 2 所以cos2A=cos(号∠BCD)=i血∠BCD=}, 所以1-2nA=}即mA= 3 因为0<4<受所以mA-5 …10分 法2：所以sin∠ACB=sin(匹+∠BCD)=cos∠BCD, 2 因为cos∠BCD=-Sm'∠BCD=2y5,A=B,A+B+C=, 3 所以sin2A=sin∠4CB=2W2 3 因为sim2A-2sin4cosA=,2tan4-22 1+tan2A 3 解得tanA=V反或tanA=y2 2 设AB中点为H,则AH=-2HD=2m,则tamA=CE=tan∠DCH-DL AH CH 所以CH=2,即SH-5,即anA=5 22 2 此时sinA=Y5 3 法3：设AB的中点为H,连接CH,因为a=b, 所以CH⊥AB, 设B=0, 在△CHB中，CH=asin6,BH=acos0, 因为D为AB四等分点，则DH=gcos0, 所以CD=VCH2+DH2=4V1+3sim28, 2 在△CDB中，由正弦定理得， BD 一=CD,即2 acose av1+3sin20 sin∠BCD sin B 1 2 sin 3 数学试卷答案第6页（共7页） 化简得，3sin20-1)2=0,因为sin0>0, 所以s5im0=y5,imA=sinB=3 3 3 (2)设DB=x,CD=y,则AD=3x, 设A=0,则在△ADC中，由正弦定理得， 3x=y=b=25, sin(0+Ssin8sin亚 4 4 所以x=2y5sin8+马，y=2V5sim0. …12分 3 4 在△BDC中，由余弦定理得， BC2=BD2+CD2-2BD×CDx cos.∠BDC 所以a2=x2+y2+√2y=8sin'(0+马+8sim6+s(sim2a+sim8cos) 9 =16sin28-16cos20+52=16cim(28-9+2, …15分 9 3 99 9 其中tanp=3, 所以当且仅当20-9=受+2m,即0=号+平取得最值， 24 此时d-16i0+52=4(2W2+V5}, 9 所以am=4V2+2V5 …17分 3 数学试卷答案第7页（共7页）