精品解析：江苏无锡市江阴市某校2025-2026学年高一下学期3月份学情调研数学试题

2025-2026学年度春学期3月份学情调研试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体，再结合圆锥和圆台的形成过程即可得出答案. 【详解】题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体． 圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体， 圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体. 故选：A. 3. 复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其实部. 【详解】复数，所以的实部为. 故选：C 4. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算得解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为：. 5. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原，即可求解. 【详解】根据斜二测画法得出，，， 将直观图还原，如下图. 四边形是直角梯形， 上、下底分别为，，高， 所以四边形的面积. 故选： A. 6. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 7. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 8. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称 C. 复数z对应的点Z在一条直线上 D. 与z对应的点Z间的距离的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性. 【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确； 复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误； 设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确； 易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 13. 已知为单位向量，且，则与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长关系结合数量积的运算律可求得，进而可得和. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得，即，解得， 则， 且，所以. 14. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【小问1详解】 因为，且， 所以，. 解得， 所以； 【小问2详解】 设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16. 已知复数与都是纯虚数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得，从而得到，即可求出其模； （2）由（1）可得，根据虚根成对原理得到也是方程的根，利用韦达定理计算可得. 【小问1详解】 由题意可设， 则， 又为纯虚数， 则，解得，所以，则； 【小问2详解】 由（1）可得， 故是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 17. 如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设. （1）试用表示，并写出的范围； （2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 【答案】（1） （2）当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小 【解析】 【分析】（1）在中，直接由正弦定理求解即可； （2）在中，，由余弦定理求得，再由倍角公式降幂，结合辅助角公式化积，则最值可求. 【小问1详解】 如图，， 在中，由正弦定理得：， ； 【小问2详解】 在中，， ， 当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6. 当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； 【小问2详解】 方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度春学期3月份学情调研试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 2. 下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4 6. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称 C. 复数z对应的点Z在一条直线上 D. 与z对应的点Z间的距离的最小值为 11. 在斜三角形中，，则（ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是虚数单位，则___________． 13. 已知为单位向量，且，则与的夹角为___________. 14. 如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且. （1）求向量； （2）若，求向量的夹角的正弦值. 16. 已知复数与都是纯虚数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 17. 如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，异于点处设两个销售点，且满足，千米，千米，设. （1）试用表示，并写出的范围； （2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小即工厂与学校的距离最远注： 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $