精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期6月检测数学试题

海门中学高一数学6月检测 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 2. 若复数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以. 故选：B. 3. 若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到删除的数为5，再利用方差公式求解. 【详解】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意，得， 删除一个数后的方差为：， 得，即． 故选：A. 4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 5. 已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标运算法则求得，利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，可得， 则向量在向量方向上的投影向量为． 故选：C. 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型利用组合进行求解公式. 【详解】. 故选：C. 7. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由同角的三角函数的关系及两角差的正弦、余弦公式、二倍角公式计算求解即可. 【详解】，则，， ， 则 ， ， 又，， ， 则， ， 又 且，则， . 故选：A. 8. 在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件恒等式，求得，然后设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 又 所以， 由两角和正弦公式可得，， 又，所以，所以， 即， 又，所以，所以即， 设，则， ∵，， ∴， 即，化简得，即， 又，解得或（舍去）， 所以， 又， 所以， 即，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为. 故选：A 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，都是复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，举反例即可求得结果；对于选项B：设出复数，，根据，列出等式即可求得结果；对于选项C：根据题干列出等式再计算即可判断；对于选项D：举反例即可； 【详解】对于选项A：设，，显然满足，但，A错误； 对于选项B：设，（），由， 得，所以， 则当，时，设， 则，所以，解得， 所以，，则；当时，则或， 若，则，则，若，则，则，因此，B正确； 对于选项C：设，（）， 由得，故， 而，故C正确； 对于选项D:取，，满足，所以，，则，D错误. 故选：BC 10. 已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为的中点 【答案】AB 【解析】 【分析】结合图形，由向量的加法法则可得A正确；由三角形重心的向量表示可得B正确；结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律以及数量积的定义可得C错误；由向量的加法法则结合三点共线的性质可得D错误. 【详解】对于A，当时，，故A项正确； 对于B，由，知此时为的重心，所以，分别是和的中点， 所以，故B项正确； 对于C，当时，，， 则，故C项错误； 对于D，当时，设， 由，，三点共线，得，解得，故D项错误． 故选：AB． 11. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 当是棱的中点时，平面 D. 直线与平面所成的角的正切值最大为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；利用锥体的体积可判断B选项；证明出平面平面，结合面面平行的性质可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则， 因为，，，故为等边三角形， 所以，，则，故，同理可得， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故，A对； 对于B选项，易知为等边三角形，， 因为点在上，且，则， 故，B错； 对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、， 因为四边形为菱形，，则为的中点， 因为点在上，且，为的中点，则， 所以为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，故平面，C对； 对于D选项，如下图所示： 由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为， 因为平面，所以，则， 因为是边长为的等边三角形，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 当时，取最小值，且最小值为， 此时，取最大值，且最大值为，D对. 故选：ACD. 三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲、乙各随机出示一张卡片有，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共个基本事件， 甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的有，，，，，共个基本事件， 故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率． 故答案为：. 14. 已知锐角三角形中，内角的对边分别为，，，若，，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得，即不是最大角，不妨设，得，，设，，解得的范围，又，利用三角函数即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以不是最大角，不妨设，则，， 所以，设，， 所以，解得， 假设，所以， 又因为， 又因为，所以， 所以在上单调递增，所以. 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【小问1详解】 由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． 【小问2详解】 由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 16. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 （1）求cosB； （2）求a的值; （3）求 的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出，再由正弦定理和二倍角的正弦公式求解即可； （2）由余弦定理可得，解方程即可得出答案； （3）利用同角的正余弦公式可求得，再求得，进而利用两角差的正弦公式可求得. 【小问1详解】 因为所以 由正弦定理可得：所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 所以，解得：或， 因为所以. 【小问3详解】 因为，所以，所以， ， ， 所以. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 【小问2详解】 (2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 18. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，且，求的值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，结合两角和的正弦公式化简，可得，然后利用诱导公式将化简为，进而平方关系求解即可；. （2）由“源向量”的定义得出，所以，根据平面数量积的定义算出，再利用余弦定理算出，进而化简得到，然后利用基本不等式算出，再根据换元法与二次函数的性质，求出的取值范围.. 【小问1详解】 若向量的“伴随函数”为， 所以， 又，即， 所以， 所以 【小问2详解】 由于函数的“源向量”为， 所以，，所以， 所以， 在中，，， 所以，即， 可得， 又，当且仅当时取等号； 又， 所以， 设，则， 可得， 相应的二次函数在区间上为减函数， 可知的最大值小于， 的最小值等于， 即其值范围为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海门中学高一数学6月检测 一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（    ） A. B. C. D. 3. 若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 8. 在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，都是复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为的中点 11. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 当是棱的中点时，平面 D. 直线与平面所成的角的正切值最大为 三、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若，，三点共线，则_______. 13. 已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为______． 14. 已知锐角三角形中，内角的对边分别为，，，若，，则实数的取值范围是________. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知向量，，，其中． （1）求及向量，夹角的余弦值； （2）若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 16. 在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 （1）求cosB； （2）求a的值; （3）求 的值. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 18. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，且，求的值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $