暑假预习专题 第22讲 等式与不等式（暑假单元自测）新高一年级数学沪教版

**基本信息** 暑假预习专题等式与不等式单元卷，整合上海多区期中真题，覆盖等式性质、不等式解法、均值定理等核心知识，适配高中数学等式与不等式单元预习检测，强化基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|恒成立问题、方程解集、二次方程根与系数关系、应用题（篱笆面积）|第11题结合矩形菜园情境，体现数学眼光观察现实世界，强化几何直观| |选择题|4题/18分|不等式取值范围、均值定理应用、解集综合判断|第15题类比均值定理，培养推理意识，发展创新思维| |解答题|5题/78分|二次方程根分布、恒成立问题、应用题（矩形扩建）、最值问题|第19题矩形扩建问题，融合几何与代数，考查建模能力，体现数学语言表达现实世界|

暑假预习专题 第22讲 等式与不等式测试卷 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1.（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 2.（22-23高三上·上海嘉定·期中）设，方程的解集为 . 3.（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为， 则实数所满足的条件为 . 4.（23-24高一上·上海普陀·期中）以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 5.（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且， 则实数 . 6.（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程； 若方程的两根为，且满足，则m的值为 7.（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根， 是关于的方程的两实根，则 . 8.（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 9.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为， 则不等式的解集是 . 10.（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，， 则的取值范围是 ． 11.（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制） 的矩形菜园；若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，， 则的最小值为 ． 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13.（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理， 有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①；②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值． 18.（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；(3)解关于的不等式：. 19.（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛， 要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 20.（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值；(2)若，不等式恒成立， 求实数的取值范围；(3)若，求的最大值． 21.（24-25高一上·上海·期中） （1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程 的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第22讲 等式与不等式测试卷 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1.（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则 【答案】【详解】因为恒成立， 即恒成立，所以， 解得，，，，所以；故答案为：． 2.（22-23高三上·上海嘉定·期中）设，方程的解集为 . 【答案】【详解】依题意， 当时，方程化为，恒成立. 当时，方程化为，不符合. 当时，方程化为. 当时，方程化为，恒成立. 方程的解集为；故答案为： 3.（24-25高一上·上海·期中）设是实数，若关于的方程组的解集为， 则实数所满足的条件为 . 【答案】且【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解，所以且，解得且；故答案为：且. 4.（23-24高一上·上海普陀·期中）以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 【答案】【详解】设一元二次方程方程为， 则由根与系数的关系可得，解的，所以方程为， 故答案为： 5.（24-25高一上·上海·期中）已知方程有两个实根，，且， 则实数 . 【答案】1【详解】由韦达定理，得，有，得， 又，所以，即，所以，解得；故答案为：1 6.（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程； 若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】【详解】因为的两根为，所以， 所以，解得，符合条件，故答案为：. 7.（24-25高一上·上海·期中）已知是关于的方程的两实根， 是关于的方程的两实根，则 . 【答案】3【详解】因为是关于的方程的两实根， 所以由根与系数的关系得，因为是关于的方程的两实根， 所以，即，， 所以，解得，经验证可得，所以，所以； 故答案为：3. 8.（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】【详解】由题意得，；当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，；综上所述：，故答案为：. 9.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为， 则不等式的解集是 . 【答案】【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，，，， 所以不等式为，解得，即不等式的解集为；故答案为：. 10.（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，， 则的取值范围是 ． 【答案】【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或，故答案为：. 11.（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制） 的矩形菜园；若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号，所以所用篱笆总长C最小值是24； 故答案为：24. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，， 则的最小值为 ． 【答案】【详解】已知：正数、、满足，. 因为 （当且仅当即时取“”）， 所以 （当且仅当时取“”），所以（当且仅当时取“”）；故答案为：. 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13.（24-25高一上·上海·期中）已知，则使得都成立的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，由可得，即， 解得，且，所以符合题意的取值范围是；故选：B. 14.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有，综上，，故选：D． 15．（24-25高一上·上海·期中）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理， 有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误；因为， 则，当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故D选项正确；故选：D 16．（24-25高一上·上海·期中）已知不等式 的解集是，则 ①；②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C【详解】由题意，不等式的解集是，所以， ，所以①正确；变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知：，所以③错误； 若不等式的解集为，即的解集为， 由韦达定理知：，则， 解得，所以④正确；综上，正确的为：①②④；故选：C 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围；(2)若满足：，求实数m的值． 【详解】（1）由均为正根，得，解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或，则 18.（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；(3)解关于的不等式：. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根，则，则； （2），则对于实数时恒成立， 则，即，，解得， ∴，则的取值范围为； （3）依题意，等价丁，当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为. 19.（23-24高一上·上海普陀·期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛， 要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米.    (1)要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围？ (2)当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 【详解】（1）设，则由与相似得 ，整理得，矩形的面积，即， 当时，得，整理得，解得，或，又， 所以的长应在； （2）时，，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，当的长为米，矩形花坛的面积最小，最小值平方米. 20.（24-25高一上·上海·期中）已知，． (1)者，求的最小值；(2)若，不等式恒成立， 求实数的取值范围；(3)若，求的最大值． 【详解】（1）由，得，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为； （2）由，得，而， ，当且仅当， 即时取等号，而，因此，则，所以实数的取值范围为； （3）由，得，，当且仅当时取得等号， 因此，所以的最大值为. 21.（24-25高一上·上海·期中） （1）对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式的解集不为空集，则实数a的取值范围． （3）符号表示不大于的最大整数，例如：.设方程 的解集为，集合，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由于，故，即， 即，解得； （2）由于关于x的不等式的解集不为空集， 若，则不等式为，解得，符合解集不为空集， 若，则不等式为，此时解集为空集，不符合题意，舍去， 若，即或，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向上， 故该不等式的解集一定不为空集，符合题意， 若，即，则不等式为一元二次不等式，由于对应的二次函数开口向下， 要使不等式的解集不为空集，则，化简得， 解得符合题意，综上可得或； （3）因为，所以，当，不等式为，解得， 当，不等式为，解得，当，不等式为，此时无解， 综上可得，又， 当时，，则，符合题意；当时，， 若，则，解得；当时，， 若，则，解得．综上所述，实数的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $