第二章等式与不等式重难点章节测试-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第二章等式与不等式重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。） 1．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题目条件得，再把代入原不等式求解即可. 【详解】由题知，，， 把代入原不等式得，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是 . 【答案】2<k<4 【分析】根据x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式得到k2－6k＋8<0，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解， 把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0， 所以 解得2<k<4. 所以k的取值范围是2<k<4. 故答案为：2<k<4. 【点睛】本题主要一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质分类讨论求解最值即可求解，或者利用参数分离，结合基本不等式求解最值. 【详解】方法一  ∵当时，不等式恒成立， ∴只需求出函数的最小值，令最小值大于0即可. 二次函数的图象的对称轴为. 当，即时，函数在处取得最小值，则，，∴. 当，即时，函数在处取得最小值， ∴，解得，∴. 综上，实数a的取值范围为. 方法二:∵，∴由得. ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为， ∴. 故a的取值范围为. 故答案为： 4．如图，某演出场地的主体造型平面图是由总面积为的圆形场地和中间的长方形舞台构成的.演出方提出需要的舞台，承办方为了节省成本，要让舞台周围的护栏总长度最小，则护栏总长度的最小值为 m.    【答案】40 【分析】由题意列式，利用基本（均值）不等式求和的最小值即可. 【详解】设长方形舞台的长为，则宽为：. 所以护栏，当且仅当时等号成立. 因为，且，所以能够成立. 故护栏长度的最小值为40m. 故答案为：40 5．两个实数之间的大小 （1）或， . （2）， ， . 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 的大小． 【答案】 或 0 【分析】略 【详解】略 6．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 7．已知a>0，b>0，且+=1，则4a+2b+的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题设可得，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 【详解】， ，，则，，        ，当且仅当时等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论． 【详解】由不等式解集知，由根与系数的关系知 ，则， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 9．已知，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 10．已知是实数,给出下列四个论断: ①; ②|; ③； ④. 以其中的两个论断作为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 .(写一个即可) 【答案】①③②④. 【分析】利用“绝对值三角不等式”和不等式的性质即可得出． 【详解】“①③⇒②④”是一个正确的论断． 下面给出证明： ． （1），故②正确； （2）结合①③得，∴④正确． 故“①③⇒②④”是一个正确的论断． 故答案为:①③⇒②④. 注：由②也能推出，故②③也能推出①④. 【点睛】对于实数:不等式,左边取等号的条件是，右边取等号的条件是；不等式，左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 11．若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得即，解分式不等式得解. 【详解】由题得， 所以， 所以， 所以， 所以或, 所以a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．已知实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得； 【详解】解：因为， 所以 因为，所以， 所以原式，当且仅当时取等号． 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 14．如果实数满足，那么（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可 【详解】对于A： 因为，所以，故A错误； 对于B： 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C： 因为，当时，故C错误； 对于D： 因为，即，故D错误； 故选：B 15．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等式的性质分别判断各个小题即可. 【详解】对于①：可得,①正确； 对于②：可得,②正确； 对于③：则或,③错误； 对于④：可得,④正确. 故选：C. 16．若0<a<b且a+b=1，则四个数，b，2ab，中最大的是（    ） A． B．b C．2ab D． 【答案】B 【分析】由得，由且，把换为可得，下面只要比较与的大小，两数作差，再根据的范围，可得差的最大值小于0，所以最大． 【详解】解：（1）且，，， （2），，， （3）， 又，， ， 综上可知：最大． 故选：． 【点睛】本题考查不等式比较大小，用到完全平方式，二次函数求最值，这种题目比较灵活，用到知识点多，不易掌握，训练逻辑推理，综合运用能力． 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，共78分） 17．设x，y是满足的正数，求的最大值． 【答案】50 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为x，y是正数，且， 所以，即，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为50. 18．如果.分别求及的取值范围． 【答案】 【分析】先利用不等式的性质分别求，的范围，再结合所求运用不等式的同向可加性，同向皆正可乘性即得. 【详解】因，故； 因，故； 又因，则，即. 19．若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 20．解关于的不等式. 【答案】答案见解析. 【解析】先讨论与的大小，当时，再讨论与的大小可求得结果 【详解】不等式等价于， 当时，不等式化为，其解集为， 当时，不等式化为，其解集为， 当时，不等式化为， 当，即时，其解集为， 当，即时，其解集为， 当，即时，其解集为. 【点睛】关键点点睛：对进行分类讨论求解是解题关键. 21．某种商品计划提价，现有四种方案： 方案（1）先提价，再提价； 方案（2）先提价，再提价； 方案（3）分两次提价，每次提价； 方案（4）一次性提价. 已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ 【答案】方案（3） 【分析】设单价为，计算四种提价方案后的价格，比较大小后可得出结论. 【详解】依题意，设单价为，那么方案（1）提价后的价格是， 方案（2）提价后的价格是， 方案（3）提价后的价格是， 方案（4）提价后的价格是， 所以，提价最少的是方案（4），方案（1）和方案（2）提价后的价格是一样的， 只需比较与的大小即可， 因为，则， 所以，， 所以， ， 因此，方案（3）提价最多. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章等式与不等式重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。） 1．若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 2．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是 . 3．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 4．如图，某演出场地的主体造型平面图是由总面积为的圆形场地和中间的长方形舞台构成的.演出方提出需要的舞台，承办方为了节省成本，要让舞台周围的护栏总长度最小，则护栏总长度的最小值为 m.    5．两个实数之间的大小 （1）或， . （2）， ， . 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 的大小． 6．设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是 ．（填序号） 7．已知a>0，b>0，且+=1，则4a+2b+的最小值为 . 8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为 ． 9．已知，求的取值范围 ． 10．已知是实数,给出下列四个论断: ①; ②|; ③； ④. 以其中的两个论断作为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 .(写一个即可) 11．若，则实数的取值范围是 . 12．已知实数，则的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 14．如果实数满足，那么（    ）． A． B． C． D． 15．下列命题中正确的个数有（    ）． ①如果，那么；②如果，且那么； ③，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．若0<a<b且a+b=1，则四个数，b，2ab，中最大的是（    ） A． B．b C．2ab D． 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，共78分） 17．设x，y是满足的正数，求的最大值． 18．如果.分别求及的取值范围． 19．若不等式组有解，求实数的取值范围． 20．解关于的不等式. 21．某种商品计划提价，现有四种方案： 方案（1）先提价，再提价； 方案（2）先提价，再提价； 方案（3）分两次提价，每次提价； 方案（4）一次性提价. 已知，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$