第二章 一元二次函数、方程和不等式（暑假单元自测）新高一年级数学人教A版

**基本信息** 本卷为高中数学人教A版第二章“一元二次函数、方程和不等式”单元自测卷，涵盖单选、多选等4类题型共19题，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配暑假单元复习，全面检测数学抽象、运算推理及模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式解集、充分必要条件|结合人工智能神经元情境（第7题），考查数学眼光观察现实问题| |多选|3/18|基本不等式应用、二次不等式参数问题|设置多结论判断（第9题），发展批判性思维与推理能力| |填空|3/15|函数最值、不等式恒成立|融入命题真假判断（第14题），强化逻辑思维表达| |解答|5/77|二次方程根分布、实际收益建模（第18题）|以政府补贴为背景构建函数模型，体现数学语言解决社会热点问题|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元自测卷 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，解得或， 所以或，又， 所以. 2．若规定，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：不等式的解集可化为 即，得． 所以不等式的解集为. 3．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得， 因为， 故“”是“”的必要不充分条件． 4．若 则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若a＝1，b＝﹣1，则，故A不成立， 对于B，a＞b，则a﹣b＞0，故（a﹣b）c2≥0，故B成立， 对于C，若a＝1，b＝﹣1，则a2＝b2，故C不成立， 对于D，若c＝0，则ac＝bc，故D不成立， 5．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，由于，，则，可得， 所以，故， 当且仅当时，即当时，此时，等号成立， 故的最小值为. 6．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 7．人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，是关于的一次函数， 且有时恒成立，则有，解得， 取交集得，因此输入特征值的取值范围是. 8．若正实数，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， ， 当且仅当，即等号成立， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，结合，作差可得，所以，即C正确； 对于D，由已知得，由不等式性质可得，可得D错误. 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以且方程的两个根为，， 即. 因此选项A正确； 因为，，所以由，因此选项B不正确； 由可知：，因此选项C不正确； 因为，所以由， 解得：，因此选项D正确， 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【详解】选项A：因为，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以有最大值为，A说法正确； 选项B：， 当且仅当，即，时取等号， 所以有最小值为，B说法正确； 选项C：因为，所以， 结合A中结论可得，当且仅当，时取等号， 所以有最小值为，C说法正确； 选项D：因为，当且仅当，即，时取等号， 与是正实数矛盾，D说法错误； 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若函数（）在=___________时取得最小值，则最小值为___________ 【答案】 3 5 【详解】由题设，， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴时，函数最小值为. 13．若不等式的解集为，则m的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以，所以， 所以m的取值范围是. 14．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.若为真命题，则实数的取值范围是________；若p，q一真一假，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】第一空：因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； 第二空：若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 16．（15分）已知关于的不等式． （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；（2）． 【详解】解：（1）不等式可化为， 当时，不等式化为； ①时，，解不等式得， ②时，，解不等式得， ③时，，解不等式得． 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． （2）由题意不等式化为， 当时，，且， 所以原不等式可化为恒成立， 设，，则的最小值为， 所以的取值范围是． 17．已知关于的不等式的解集为或 . (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）不等式的解集为或 和是方程的两个实数根且 ，解得 （2）由（1）知，于是有， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 依题意有，即， 得，解得， 的取值范围为 18．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】(1)；(2)当高邮政府的专项补贴为万元时，所获收益最大. 【详解】（1）， 因为，所以； （2）， 又因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元. 19．已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）已知， 由即， 解得 ， 则； （2）已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即恒成立， 当时，恒成立； 当时，由 解得； 综上，当时，的取值范围为； （3）已知， 由得，不等式组有解， 由 ， 又， 当，即时，对任意恒成立，则满足； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 当，即时，或， 要使，则或， 解得，则有； 综上所述，的取值范围是 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元自测卷 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若规定，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 3．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若 则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 5．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 7．人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若正实数，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若函数（）在=___________时取得最小值，则最小值为___________ 13．若不等式的解集为，则m的取值范围是________. 14．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.若为真命题，则实数的取值范围是________；若p，q一真一假，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 16．（15分）已知关于的不等式． （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知关于的不等式的解集为或 . (1)求，的值； (2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 18．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. (1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； (2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 19．已知函数和，定义集合. (1)设，求； (2)设，当时，求的取值范围； (3)设，若，求的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $