暑假预习专题 第23讲 幂、指数与对数（暑假单元自测）新高一年级数学沪教版

**基本信息** 本卷为高一暑假幂、指数与对数单元预习测试卷，整合上海各区期中真题，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配暑假预习需求，强化知识系统梳理与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|指数对数化简、方程解集、韦达定理应用|结合浦东、黄浦等区期中真题，考查抽象能力与运算能力| |选择题|4/18|对数首数尾数、实际进步率计算、取整函数|第15题以《增广贤文》为情境，体现数学眼光与应用意识| |解答题|5/78|恒等式证明、不等式恒成立、多条件表示|20题结合正实数条件论证不等式，21题多问递进，培养推理能力与创新意识|

暑假预习专题 第23讲 幂、指数与对数测试卷 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1.（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 2.（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 3.（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式 恒为定值，则的值为 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，， 则的最小值为 . 5．已知，化简： ． 6．已知，则 .（用表示） 7.（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 8.（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 9.（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 10．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 11.（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 12．（24-25高一上·上海奉贤·期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上， 一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足： 和，其中互不相等，则 ． 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13.（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 14.（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 15.（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收” （明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是 “退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍 （近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 16.（24-25高一上·上海金山·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知．(1)求的值；(2)用m表示． 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算；(2)若，求． 19．（25-26高一上·上海育才中学·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 20．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值；（3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第23讲 幂、指数与对数测试卷 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1.（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4【详解】因为,所以, 所以,故答案为：4. 2.（23-24高一上·上海·期中）当时，化简 ． 【答案】【详解】因为，所以；故答案为： 3.（23-24高一上·上海黄浦·期中）设是实数，若对任意负数，代数式 恒为定值，则的值为 ． 【答案】3【详解】由，得， 因为对任意负数，代数式恒为定值，则有，解得， 所以的值为3；故答案为：3. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，，， 则的最小值为 . 【答案】【详解】由可得， 所以， 当且仅当即时取得最小值；故答案为： 5．已知，化简： ． 5．【解析】由，可得； 故答案为：. 6．已知，则 .（用表示） 6．【解析】因为，所以；故答案为：. 7.（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】【详解】因为，可得， 所以方程的解集为；故答案为：. 8.（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】【详解】由对数运算的定义，有∵，∴，∴， ∴；故答案为：. 9.（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】【详解】因为，又，，所以. 10．（24-25高一上·上海·期中）甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 【答案】或【详解】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，；原方程为， 即，或，或；故答案为：或. 11.（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 ． 【答案】【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，，则 ；故答案为：. 12．（24-25高一上·上海奉贤·期中）课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上， 一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 【答案】【详解】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同，由已知， 可得是方程的三个不同的实数根，由一元三次方程的韦达定理得 ，即①，由，且为一常数， 则是方程的两不等根，则由韦达定理可得，②， 联立①②解得；故答案为：. 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13.（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为，所以；故选：D. 14.（22-23高一上·上海·期中）若，则关于的首数与尾数的叙述中正确的是（    ） A．首数为，尾数为 B．首数为，尾数为 C．首数为，尾数为 D．首数为，尾数为 【答案】C【详解】，首数为， 尾数为，故选：C． 15.（24-25高一上·上海金山·期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收” （明《增广贤文》是勉励人们专心学习的.  假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是.  一年后“进步者”是 “退步者”的倍.  照此计算，大约经过（    ）天，“进步者”是“退步者”的倍 （近似取计算）. A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B【详解】设经过天后“进步者”是“退步者”的倍，则. 故，根据已知条件有， 所以（天）；故选：B. 16.（24-25高一上·上海金山·期中）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】设，若是整数，则. 若不是整数，则，从而，故，这就得到. 而原式为，在中恰有是整数， 所以其中有个不是整数；故；故选：C. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知．(1)求的值；(2)用m表示． 【详解】（1）， 则； （2）. 18．（23-24高一上·上海浦东新·期中）计算： (1)计算；(2)若，求． 【详解】（1）由题意可知：； （2）因为，所以． 19．（25-26高一上·上海育才中学·期中）（1）已知，，均为不等于1的正数，求证：； （2）已知，，用，表示，. 19．（1）证明见解析；（2），. 【解析】（1）证明：，，均为不等于1的正数，令，则， 所以； （2）因为，所以，所以，又， 所以， . 20．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）令且，则，，， 所以，，故成立. （2）由（1）知，，即，所以， 当且仅当时，即时等号成立，由恒成立知， 成立，即，解得. 21．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示; （2）已知求b的值；（3）已知，试用表示； （4）已知，试用表示求. 【详解】（1）因为，则，所以； （2），设则 则即或即或或； （3），则，，，则 （4）， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $