暑假预习专题 第21讲 集合与逻辑（暑假单元自测）新高一年级数学沪教版

**基本信息** 暑假预习用集合与逻辑单元卷，整合上海各区期末及一模真题，系统覆盖集合运算、逻辑条件等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配预习阶段知识梳理与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合交并补、子集关系、参数求解|结合闵行、虹口等区期末真题，夯实基础概念| |选择题|4题/18分|充分必要条件、新定义集合（如对称对点集）|梯度设计，考查抽象能力与推理意识| |解答题|5题/78分|集合综合应用、新定义问题（如完美自相加集合）|融合高斯函数等情境，培养创新意识与数学表达能力|

暑假预习专题 第21讲 集合与逻辑测试卷 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1.（2024·上海闵行·一模）设集合，，则 ． 【答案】/【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，，所以；故答案为：. 2.（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【答案】【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得，所以，故答案为：. 3.（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，；故答案为： 4. （24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合， 则 ． 【答案】【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设；故答案为：. 5.（24-25高一上·上海奉贤·期末）设集合，若，则实数 ． 【答案】1【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出 【详解】由题意得，解得；故答案为：1. 6.（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足；综上，；故答案为：. 7.（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算， 可得答案.【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以;故答案为：. 8． 设集合满足，则满足条件的有 个． 【答案】7【解析】由题意可知，集合中一定包含元素， 且是的真子集， 所以或或或或或 或，即满足条件的集合有7个；故答案为：7. 9．已知全集，且＝{3，7}，＝{2，8}，＝{1，5，6}，则集合A＝ ． 【答案】【解析】由全集， 可知元素3和7不在集合中，由，可知元素2和8在集合中， 由，可知元素1，5和6不在集合中， 全集中除去以上元素外，剩下元素4和9，故， 可知元素4和9在集合中，综上可得.故答案为：. 10．已知集合各元素之和等于3，则实数 【答案】或【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【解析】由方程，可得化为， 解得，当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意；当且时， 可得，解得，符合题意，所以实数的值为或；故答案为：或. 11．已知全集，若集合，且对任意，均存在， 使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；     （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号） 【答案】（1）（4）【解析】对于（1），显然，且对任意，取， 此时，且，故（1）符合题意；对于（2），若，， 则，所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0， 故（2）不符合题意；对于（3），若，，而当时，， 此时如果有，就意味着，但事实上，故（3）不符合题意； 对于（4），显然，且对任意，即，取，此时有， 即，且满足，故（4）符合题意；故答案为：（1）（4）. 12．记表示不超过的最大整数，现已知集合是正整数集的子集，且满足：，并有如下性质：若，则，则集合的非空子集的个数为 ． 【答案】【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于，得到，从而确定出集合的元素，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系，即可求解.【解析】根据题意，若，则均属于，事实上，若，则，可得区间中有正整数，从而集合中相邻两数不可能大于等于，所以 ；若，则有与矛盾，当时，可得；因为，当时，可得，所以，所以， 所以集合非空子集有个；故答案为：. 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件；故选：A. 14. （2023高一上·上海·专题练习）设集合，集合， 若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或,由解得，， 所以，因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以，即，也即，解得，故选：B． 15. （23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 （其中正整数、且）或（其中正整数、且）． 现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，， 再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且， 或其中且，且集合是由某些正整数组成的集合，所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系，当时，； 当时，，，，所以；当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推，当时，，，，所以，则，故②对；故选：A. 16. （24-25高一上·上海徐汇·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的 称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 【答案】A【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或， 进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或，即或或或， 即或或或，上述不等式组表示的平面区域如图示：    由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成，所以点集所表示的平面区域的 面积是4，故选：A. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或，解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得，因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 18.（24-25高一上·上海松江·期末）设全集， 集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)条件选择见解析，. 【分析】（1）解不等式化简集合，再结合韦恩图求出集合. （2）选择条件①②③，利用交集、并集的结果，结合集合的包含关系分类列式求解. 【详解】（1）解不等式，得，则， 不等式，解得，则， 或，所以. （2）选择条件①，，则，当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②，，则，当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件③，，而，因此， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是；故选：B 19．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2).【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可；（2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，代入， 得，即，解得， 因为，则，所以，所以若，求实数的取值范围为； （2）当时，方程的两个根为，当，即时，集合， 因为，，所以，解得，则； 当，即时，集合，满足； 当，即时，集合，因为，， 所以，此时，综上，实数的取值范围为. 20．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B， 定义集合. ①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1）X－Y＝{1，2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3；（2）①见解析；② 【分析】（1）直接根据定义求解即可；（2）①分若A∪B中含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可，当，且时，可通过得证；②结合①知 ，讨论若，或，得，若，且，设，，可证得的最小值是 【详解】（1）根据定义直接得X－Y＝{1，2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3； （2）①显然，若A∪B中含有一个不在S中的元素，则， 即，若，且，则，此时A中最小的元素，B中最小的元素，所以C中最小的元素，所以，因为， 所以，即，综上，； ②由①知，所以 若，或，则若，且，设， ，且，， 则， 若，因为， 所以这个数一定在集中C中， 且均不等于1；所以 所以 当，时， 所以的最小值是 21．已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些 绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的 1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”， 若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出 “的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为： . （1） 已知有两个集合，集合，集合， 判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 【答案】（1）是完美自相加集合，不是完美自相加集合，理由见解析；（2）2051；（3）675. 【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可；（2）连续的的正整数，自相加后，形成的新的 集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；（3）由第二问的结论，我们很容易得到， 然后利用集合计算公式计算参数范围即可. 【解析】（1）是完美自相加集合，不是完美自相加集合理由如下：集合 ，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为 对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大，故不可能有相等集合， 所以是完美自相加集合；集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加 都是偶数，所以，为所有偶数构成集合；所以对再进行 一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数， 故后面集合不管进行多少次相加都是与相同；故不是完美自相加集合； （2）由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来 集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；所以对集合进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为， 最大的两个元素为；进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为； 因为集合元素都是连续的整数，所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为； （3）因为且，集合 所以 要使， 则=674，又因为，故的最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第21讲 集合与逻辑测试卷 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分） 1.（2024·上海闵行·一模）设集合，，则 ． 2.（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 3.（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 4. （24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合， 则 ． 5.（24-25高一上·上海奉贤·期末）设集合，若，则实数 ． 6.（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 7.（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合， 子集，则= 8． 设集合满足，则满足条件的有 个． 9．已知全集，且＝{3，7}，＝{2，8}，＝{1，5，6}，则集合A＝ ． 10．已知集合各元素之和等于3，则实数 11．已知全集，若集合，且对任意，均存在， 使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；     （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号） 12．记表示不超过的最大整数，现已知集合是正整数集的子集，且满足：，并有如下性质：若，则，则集合的非空子集的个数为 ． 二.选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分） 13.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14. （2023高一上·上海·专题练习）设集合，集合， 若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 15. （23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 （其中正整数、且）或（其中正整数、且）． 现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 16. （24-25高一上·上海徐汇·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的 称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．4 B．2 C．6 D．1 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 18.（24-25高一上·上海松江·期末）设全集， 集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围. 20．已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数. （1）若，求集合和，以及的值； （2）给定正整数n，集合，对于实数集的非空有限子集A，B， 定义集合. ①求证：； ②求的最小值. 21．已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些 绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的 1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”， 若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出 “的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为： . （1） 已知有两个集合，集合，集合， 判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由； （2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数； （3）若且，集合，求：的最小值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $