专题19 指数函数、对数函数与幂函数型复合函数重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

专题19 指数函数、对数函数与幂函数型复合函数 一、考情分析 二、重难点突破 知识点1 幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 知识点2.函数的周期性定义： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 ①； ②； ③. 知识点3.对称轴与对称中心 ①函数关于对称， 也可以写成 或 ； 若写成：，函数关于直线 对称. ②函数关于点对称， 或 ； 若写成：，函数关于点 对称. 三、题型分析 (一) 指数型复合函数 例1．（2019·江西省吉水县第二中学高一期中）函数f（x）=值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出指数的范围，结合指数函数单调性求出值域. 【详解】 令，为减函数，所以，结合可得C选项. 【点睛】 本题主要考查复合型函数的值域问题.主要思路是利用换元法把复合函数拆分为简单的初等函数，各个击破. 【变式训练1-1】．（2019·河南南阳中学高一月考）函数得单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 外层函数是减函数，求内层函数的单调减区间，还要注意定义域. 【详解】 令： 单调递减区间是 故选D 【点睛】 本题考查指数函数单调性与复合函数单调性的判断，复合函数的单调性判断方法：同增异减，但要注意定义域的确定. 例2．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】）函数（且）在区间上的最大值为8，求它在这个区间上的最小值． 【答案】 【分析】 令，将函数化为，分和两种情况讨论在区间上的最大值，进而求，再求出最小值. 【详解】 令，函数化为，对称轴为，开口向上， 当时，则，利用二次函数性质知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最大值，即，解得， 此时函数的最小值为； 当时，则，利用二次函数性质知，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最大值，即，解得， 此时函数的最小值为， 综上可知，函数的最小值为. 故答案为： 【点晴】 方法点睛：本题主要考查了函数的最值问题，涉及到指数函数的图象与性质，二次函数的性质及应用本题的解答中换元后，灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键，考查学生分类讨论思想，及转化与化归思想的考查，属于中档题. 【变式训练2-1】．（2020·浙江高一期中）已知函数. （1）若函数为奇函数，求的值，并求此时函数的值域； （2）若存在，使，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【分析】 （1）根据奇函数性质，结合复合函数的单调性，即可得解； （2）根据题意，分以及两种情况讨论，即可得解. 【详解】 （1）∵函数为奇函数，∴，∴. ∴， ∴为奇函数成立，∴. 此时， 由为增函数，根据同增异减原理可得在上单调递增， ∵，∴ ∴，∴， ∴，∴ （2）. ①当时，恒大于等于1，故不成立. ②当即时，在上为增函数，且值域为. （ⅰ）当即时，只要即可， ∴，∴. （ⅱ）当即时，只需要， ∴. 综上所述，. 【点睛】 本题考查了函数奇偶性和单调性，考查了分类讨论思想和较高的计算能力，属于较难题. 解决本类问题的关键有： （1）复合函数的同增异减原理的应用； （2）分类讨论等逻辑思维的综合应用. (二) 对数型复合函数 例3．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可. 【详解】 令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间. 故选B 【点睛】 本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型. 【变式训练3-1】．（2020·唐山市第十一中学高二期末）函数的单调增区间为_________. 【答案】 【详解】 额定义域为（0，1），令,则原函数可以写成 为增函数，原函数的增区间即是函数，(0,1)的增区间， 函数)的单调增区间是（0，） 【点睛】 复合函数求其单调区间运用同增异减，先看原函数的单调性，再看复合部分的单调性，从而得出最后的单调区间． 例