第一章集合和逻辑重难点章节测试-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第一章集合和逻辑重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。） 1．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件B的集合C的个数为 ． 2．给定下列命题:①“若α=,则tan α=1”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是 . 3．定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有 个. 4．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 5．一次函数的图象不过第三象限的一个充分条件是 （答案不唯一） 6．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 7．设集合，用列举法表示为 ． 8．若使集合中元素个数最少，则实数k的取值范围是 ，设，对B中的每一个元素x，至少存在一个A（k），有x∈A（k），则B＝ . 9．下列说法正确的是 .（填序号） ①空集是任何集合的真子集； ②函数的值域是，则函数的值域是； ③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若，则. 10．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 11．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ． 12．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件 ②是的必要条件 ③是的充分条件 ④是的必要条件，其中一定正确的是 A．①③ B．①④     C．②③ D．②④ 15．若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 16．如果集合只有一个元素，则的值是 A． B．或 C． D．或 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，共78分） 17．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 18．设集合，，且A＝B，求实数a、b的值. 19．已知，若，求所有可能的值. 20．已知是不相等的正数,且. 求证： 21．已知f(x)=ax+(a>1). 证明:方程f(x)=0没有负数根. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合和逻辑重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共21题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题（本大题共12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，共54分。） 1．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件B的集合C的个数为 ． 【答案】 4 3 【分析】分别求出集合A，B，根据集合间的包含关系求出集合C即可. 【详解】解：，解得或，则， 由，可得， 满足条件的集合为或或或，共4个， 满足条件B的集合为或或，共3个， 故答案为：4；3． 2．给定下列命题:①“若α=,则tan α=1”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】逆否命题的真假看原命题即可，逆命题和否命题需将原命题变换后证明真假，结合相应的知识点即可得出结论. 【详解】①原命题与逆否命题同真同假，所以看原命题真假即可，由特殊角三角函数值可知此命题为真命题； ②由三角函数性质可知该函数为余弦函数，属于周期函数，此命题为真命题； ③原命题的逆命题为：若，则，绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数，所以逆命题为假命题； ④原命题的否命题为：若，则x、y全都不为零，如果两个未知数其中一个是0，则乘积必为0，所以只能全都不为0，所以否命题为真命题. 【点睛】本题考查命题几种形式间的变换与命题真假的判断，注意理解真假命题的判断方式与四种形式命题间的真假关系. 3．定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有 个. 【答案】15 【解析】由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解. 【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15. 4．已知，，若是的充要条件，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 5．一次函数的图象不过第三象限的一个充分条件是 （答案不唯一） 【答案】 【分析】首先分析得出一次函数的图象不过第三象限的等价条件是且据此可以写出充分条件. 【详解】要使不过第三象限， 则且 这是一个等价条件，而要写出一个充分条件， 故可取. 故答案为：. 6．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 【答案】 ②③； ①④⑤. 【分析】根据题意分析即可得答案. 【详解】①由于负整数集是无限集，所欲5的负整数倍的全体组成的集合是无限集， ②由于，所以2022的正约数的全体组成的集合是有限集， ③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集， ④由于圆的直径有无数条，所以给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合是无限集， ⑤末位是7的全体自然数组成的集合，显然是无有限集. 故答案为：②③；①④⑤. 7．设集合，用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】是自然数集，是整数集，所以对分类取值、逐一计算即可. 【详解】因为，所以 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，. 综上，. 【点睛】本题考查对常用数集符号的认识，同时考查学生的推理和计算、分类讨论的能力. 8．若使集合中元素个数最少，则实数k的取值范围是 ，设，对B中的每一个元素x，至少存在一个A（k），有x∈A（k），则B＝ . 【答案】 ﹣3＜k＜﹣2 【分析】根据题意，求解不等式的解集，对参数进行分类讨论，即可求得满足题意的取值范围；根据讨论的结果，即可求得集合. 【详解】集合， ∵方程（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＝0，k≠0 解得：x1＝k+，x2＝4， ∴（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）≥0，x∈Z 当k＝0时，A＝（﹣∞,4]； 当k＞0时，4＜k+，A＝（﹣∞,4]∪[k+,+∞）； 当k＜0时，k+＜4，A＝[k+,4]； ∴当k≥0时，集合A的元素的个数无限； 当k＜0时，k+＜4，A＝[k+,4]，集合A的元素的个数有限， 令函数g（k）＝k+，（k＜0） 则有：g（k）≤﹣2， 对于集合A，[0,4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4， 只需[k+,0]包含的整数最小， ∵题意要求x∈Z， 故只需k+＞﹣5，且k+≤﹣4， 解得：﹣3＜k＜﹣2； 根据题意，对于任意整数x，均至少存在一个A（k），有x∈A（k）， 所以 故答案为：﹣3＜k＜﹣2；. 【点睛】本题考查根据对集合的限制条件，求参数范围的问题，涉及集合之间的相等关系，属中档题. 9．下列说法正确的是 .（填序号） ①空集是任何集合的真子集； ②函数的值域是，则函数的值域是； ③既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个； ④若，则. 【答案】③④ 【解析】①利用空集的性质判断; ②根据函数平移的性质判断;③通过构造函数结合奇偶性定义判断;④利用并集与交集性质判断. 【详解】对于①，根据“空集是任何非空集合的真子集”，可知①错误; 对于②，函数平移可能改变函数的定义域，但值域不变，即函数f(x)的值域是[-2，2]，则函数f(x+1)的值域为[-2，2]，故②错误; 对于③，例如函数f(x) =0 (x∈R)既是奇函数又是偶函数，当改变函数的定义域为关于原点对称的定义域时，都既是奇函数又是偶函数，因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,故③正确; 对于④，若，则，所以A∩B=A，故④正确; 故答案为：③④ 【点睛】本题主要考查了命题真假性的判断，常运用性质法、定义法、列举法，属于基础题目. 10．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 【答案】或 【分析】先求出，再求出，从而可求 。 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 11．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a． 设， 若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 12．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14．如果命题“”是真命题，那么①是的充分条件 ②是的必要条件 ③是的充分条件 ④是的必要条件，其中一定正确的是 A．①③ B．①④     C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念来分析即可. 【详解】根据必要条件和充分条件的含义，为真，则是的充分条件，是的必要条件，所以①④正确，所以正确选项为B. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念，难度较易. 为真时，则是的充分条件，是的必要条件. 15．若非空集合A,B满足，U为全集，则下列集合中表示空集的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】根据图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案. 【详解】根据可以看出 对A，； 对B，；            对C，  ； 对D，. 故选：D 16．如果集合只有一个元素，则的值是 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值. 【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解. 当，，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述：或，故选D. 【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题. 三、解答题（本大题共5题，第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，共78分） 17．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 18．设集合，，且A＝B，求实数a、b的值. 【答案】. 【分析】利用集合相等以及集合的特征即可求解. 【详解】因为集合，， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以. 19．已知，若，求所有可能的值. 【答案】，或 【分析】分三种情况分别等于5进行讨论,注意集合的互异性即可. 【详解】∵5∈A,∴,或,或, 解得：,,或． 经过验证：a＝2时不满足题意,舍去． ∴,或． 【点睛】本题主要考查集合的元素分类讨论与互异性,注意算得的答案要代入原集合进行互异性的讨论. 20．已知是不相等的正数,且. 求证： 【答案】见解析 【详解】试题分析：先根据立方差公式以及平方差公式化简条件为，再根据基本不等式放缩得.利用分析法证,转化为,即得结论. 试题解析：∵是不相等的正数,且, ∴. ∴. ∴. 要证,只需证, 只需证, 即, 只需证,只需证, 而为不相等的正数,∴显然成立. 故而成立. 综上, . 21．已知f(x)=ax+(a>1). 证明:方程f(x)=0没有负数根. 【答案】见解析 【详解】试题分析：对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论. 试题解析：假设是方程的负数根，则且,且 ∵ ∴， ∴,这与已知矛盾. 所以假设不成立,故方程无负数根. 点睛：本题考查了函数的零点问题与方程的根的问题，方程的根，就是指方程成立的未知数的值，对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$