第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：点到直线的距离 知识点02：点、直线、平面到平面的距离 知识点03：两异面直线所成的角 知识点04：直线与平面所成的角 知识点05：两个平面的夹角 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：异面直线夹角的向量求法 题型02：线面角的向量求法 题型03：面面角的向量求法 题型04：点到平面距离的向量求法 题型05：平行平面距离的向量求法 题型06：点到直线距离的向量求法 题型07：异面直线距离的向量求法 题型08：空间线段点的存在性问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 【例1】已知直线 过点 ，方向向量 ，求点 到直线 的距离。 【知识点02】点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【例2】求点 到平面 的距离。 【知识点03】两异面直线所成的角 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 注意点： 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 【例3】已知两条异面直线方向向量分别为 ，，求两异面直线所成角的余弦值。 【知识点04】直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 【例4】已知直线方向向量 ，平面法向量 ，求直线与平面所成角的正弦值。 【知识点05】两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 【例5】已知平面 法向量 ，平面 法向量 ，求两个平面的夹角。 【题型01】异面直线夹角的向量求法 【典例1-1】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·贵州遵义·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，分别为棱和上的点，且满足，求与所成角的余弦值.    【题型02】线面角的向量求法 【典例2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若直线的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为_____. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点，求与平面夹角的余弦值. 【题型03】面面角的向量求法 【典例3-1】（25-26高二上·贵州·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【变式3-3】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【题型04】点到平面距离的向量求法 【典例4-1】（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知在四面体中，，，，，求点到平面的距离.    【题型05】平行平面距离的向量求法 【典例5-1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 【变式5-3】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【题型06】点到直线距离的向量求法 【典例6-1】（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【变式6-2】（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，AD为的边BC上的高，则______． 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图棱长为1的正方体中，分别是棱，的中点．求点到直线的距离. 【题型07】异面直线距离的向量求法 【典例7-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【变式7-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【题型08】空间线段点的存在性问题 【典例8-1】（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在正方体中，，分别是棱，的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面与棱没有公共点 D．在棱上存在点，使得点在平面内 【变式8-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（25-26高二下·浙江）如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-3】（25-26高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，， (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在线段上，且.是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 知识点01空间距离问题（向量核心公式） 1. 点到直线的距离 已知空间直线 过定点 ，方向向量为 ， 为空间任意一点。 点 到直线 的距离公式： 核心原理：利用向量叉乘求平行四边形面积，除以底边长，得到空间垂线段高。 易错点：分子为叉乘模长，不可使用向量点乘。 2. 点到平面的距离 已知平面 ，平面外一点 。 点到平面距离公式： 关键说明：分子必须带绝对值，距离恒为非负数；若 ，点在平面内。 3. 直线到平面的距离 适用前提：直线与平面平行 求解方法：在直线上任取一个定点，求该点到平面的距离，即为线面距离。 4. 平行平面间的距离 适用前提：两平面互相平行 求解方法：在其中一个平面上任取一点，求该点到另一平面的距离，即为面面距离。 知识点02空间夹角问题（必考公式＋取值范围） 1. 异面直线所成的角 设两条异面直线的方向向量分别为 ，异面直线所成角为 。 计算公式： 取值范围： 核心规则：异面直线夹角只取锐角或直角，公式必须加绝对值。 2. 直线与平面所成的角 设直线方向向量为 ，平面法向量为，线面角为 。 计算公式： 取值范围： 原理记忆：线面角与“直线与法向量夹角”互余，因此使用正弦公式。 特殊情况： 直线平行于平面或在平面内； 直线垂直于平面。 3. 两个平面的夹角（面面角） 设两平面法向量分别为 ，平面夹角为 。 计算公式： 取值范围： 考试规范：高中阶段统一取锐角或直角，全程加绝对值，不讨论钝角二面角。 知识点03本节核心公式对比与易错总结 1. 公式区分口诀 距离点线用叉乘，点面距离用法式； 异面、面面余弦绝，线面正弦不要错。 2. 高频易错点汇总 1. 线面角唯一易错点：误用 ，必须使用 ； 2. 所有空间夹角（异面、线面、面面）结果无钝角，公式全部带绝对值； 3. 线面距离、面面距离必须先判定平行前提，不平行无距离概念； 4. 点面距离公式分子勿忘绝对值，距离一定是非负数。 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·广东·期中）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 11．如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（   ）.    A．不存在点，使得 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为1 D．点在棱上，且，存在点，使得 三、填空题 12．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 13．（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为__________. 14．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 16．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 17.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 18．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 19．（25-26高二上·四川遂宁·期末）如图，平面，，，，，.    (1)证明：平面； (2)若. （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 1 $ 第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：点到直线的距离 知识点02：点、直线、平面到平面的距离 知识点03：两异面直线所成的角 知识点04：直线与平面所成的角 知识点05：两个平面的夹角 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：异面直线夹角的向量求法 题型02：线面角的向量求法 题型03：面面角的向量求法 题型04：点到平面距离的向量求法 题型05：平行平面距离的向量求法 题型06：点到直线距离的向量求法 题型07：异面直线距离的向量求法 题型08：空间线段点的存在性问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 【例1】已知直线 过点 ，方向向量 ，求点 到直线 的距离。 解：第一步：求向量 第二步：计算向量叉乘 第三步：求模长 第四步：代入距离公式 答案：点到直线的距离为 【知识点02】点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【例2】求点 到平面 的距离。 解：由平面方程得： 将点坐标代入距离公式： 答案：点到平面的距离为 注意：分子必须带绝对值，距离恒为正数。 【知识点03】两异面直线所成的角 若异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 注意点： 两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 【例3】已知两条异面直线方向向量分别为 ，，求两异面直线所成角的余弦值。 解：第一步：计算向量点乘 第二步：计算向量模长 第三步：代入夹角公式 得： 答案：异面直线所成角为 【知识点04】直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 注意点： (1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角． (2)线面角的范围为. (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 【例4】已知直线方向向量 ，平面法向量 ，求直线与平面所成角的正弦值。 解：第一步：计算点乘 第二步：计算模长 第三步：代入公式 得： 答案：直线与平面所成角为 【知识点05】两个平面的夹角 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 注意点： (1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是. (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 【例5】已知平面 法向量 ，平面 法向量 ，求两个平面的夹角。 解：第一步：计算法向量点乘 第二步：代入夹角公式 得： 答案：两平面夹角为 （两平面互相垂直） 【题型01】异面直线夹角的向量求法 【典例1-1】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知两条异面直线的方向向量分别是，，则这两条异面直线所成的角满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断. 【详解】由两条异面直线的方向向量分别是，， 得，. 故选：A 【变式1-1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即可求解. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 【变式1-2】（24-25高二上·贵州遵义·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为____________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由题意，得， 则. 所以. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，分别为棱和上的点，且满足，求与所成角的余弦值.    【答案】 【分析】求得两直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】解：设，由题意得，，， 则， 所以. 所以与所成角的余弦值为. 【题型02】线面角的向量求法 【典例2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 【变式2-2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若直线的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为_____. 【答案】/ 【分析】由空间线面角的公式计算可得. 【详解】设直线与平面所成角为， 依题意，，. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点，求与平面夹角的余弦值. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】由题意，平面，由是正方形，是的中点， 如图，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，得，，，， 所以，且， 又平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则， 所以， 即与平面夹角的余弦值为. 【题型03】面面角的向量求法 【典例3-1】（25-26高二上·贵州·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接可得解. 【详解】由题意得平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 故选：C. 【变式3-1】（多选）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】计算，即可得出答案. 【详解】， 所以二面角的大小可能为或． 故选：BC 【变式3-2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用两个平面所成角的余弦公式求解. 【详解】，则， 又因为，， 所以. 【变式3-3】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) 平面平面． (2) 【详解】（1）证明：底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面． （2）由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示： 易知，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，， 可得， 平面的法向量为， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 因此平面与平面所成角的余弦值为． 【题型04】点到平面距离的向量求法 【典例4-1】（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用点面距的向量公式求解即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：C. 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 【变式4-2】（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 所以， 又，故点到平面的距离为 . 故答案为： 【变式4-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知在四面体中，，，，，求点到平面的距离.    【答案】 【分析】由点到面的距离得空间向量表示即可求解，设向量，对于任意实数，，的最小值即是点到平面的距离. 【详解】设向量，对于任意实数，，的最小值即是点到平面的距离. ， . 所以点到平面的距离为. 【题型05】平行平面距离的向量求法 【典例5-1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 【变式5-2】若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 【变式5-3】（2024高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【答案】 【分析】先证得平面平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面的距离. 【详解】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 【题型06】点到直线距离的向量求法 【典例6-1】（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 【变式6-1】（25-26高二下·福建莆田·阶段检测）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意，所以点到直线的距离为： . 【变式6-2】（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，AD为的边BC上的高，则______． 【答案】 【详解】，，， 即为在上的投影向量，所以， 所以． 【变式6-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图棱长为1的正方体中，分别是棱，的中点．求点到直线的距离. 【答案】 【分析】如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，根据点到直线的空间向量距离公式求解即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 所以点到直线的距离为； 【题型07】异面直线距离的向量求法 【典例7-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 【变式7-2】已知四边形为矩形，为四边形外一点且平面ABCD，，，，则异面直线与之间的距离为______． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与间的距离. 【详解】因平面，且平面，故， 又，故可以为坐标原点，以所在直线 分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，， 所以，令，则. 设异面直线与之间的距离为d， 则 . 故答案为： 【变式7-3】（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【答案】 【分析】根据异面直线距离的向量法即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为 ． 【题型08】空间线段点的存在性问题 【典例8-1】（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在正方体中，，分别是棱，的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C．平面与棱没有公共点 D．在棱上存在点，使得点在平面内 【答案】ABD 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量即可. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，，，，， 所以，，，.    设平面的法向量为， 则 令，得. 因为，所以与不平行， 则直线与平面不垂直，A错误. 因为， 所以直线与平面不平行，B错误. 设平面与棱交于点（），则. 因为，解得. 因为，所以，即平面与棱没有公共点，C正确. 设（），则， 所以，解得. 因为，无解，即在棱上不存在点，使得点在平面内，D错误. 故选：ABD. 【变式8-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段的中点． (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，2 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再由面面角的向量法公式求出面面角余弦值即可求解两平面的夹角； （2）先假设存在满足题意的点，，利用即可求解. 【详解】（1）由平面且四边形为矩形可得两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令得，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以，， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）假设存在满足题意的点， 因为在线段上，有，即， 所以，则， 因为，所以 ， 解得， 即存在满足题意的点． 【变式8-2】（25-26高二下·浙江）如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. (1)求证：平面； (2)若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取的中点，根据中位线定理证明，利用平行四边形的性质证明 ，再由线面平行的判定定理证得平面. （2）假设在线段上是否存在点Q满足题意，建立空间直角坐标系，并设，，根据线面角的向量求法，列出关于的方程，求解可得. 【详解】（1）取中点N，∵M为中点，∴，且. 又∵，，∴，且， ∴四边形为平行四边形，所以 . ∵平面，平面 ∴平面. （2）∵平面，且，所以两两垂直. 以点A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. ∴，，，，，. 假设存在点Q满足题意，设， . 设平面的法向量为 则，令，则 设直线与平面所成的角为，则 ， 化简得，解得或. 因为，所以，即. 【变式8-3】（25-26高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，，，， (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若点在线段上，且.是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （2）根据条件得，结合条件，利用线面角的向量法建立等量关系，即可求解. 【详解】（1）因为四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面， 又平面平面，，所以平面. 所以，，又四边形为直角梯形且， 则，故，，两两垂直. 以为坐标原点，可建系如图： 则，，，，， 所以，，，显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 取， 所以平面与平面夹角的余弦值为： ； （2）因为，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取. 假设存在满足题意，与平面所成角为， 则. 化简得，解得，∵ ∴. 故存在，使得与平面所成角的正弦值为 知识点01空间距离问题（向量核心公式） 1. 点到直线的距离 已知空间直线 过定点 ，方向向量为 ， 为空间任意一点。 点 到直线 的距离公式： 核心原理：利用向量叉乘求平行四边形面积，除以底边长，得到空间垂线段高。 易错点：分子为叉乘模长，不可使用向量点乘。 2. 点到平面的距离 已知平面 ，平面外一点 。 点到平面距离公式： 关键说明：分子必须带绝对值，距离恒为非负数；若 ，点在平面内。 3. 直线到平面的距离 适用前提：直线与平面平行 求解方法：在直线上任取一个定点，求该点到平面的距离，即为线面距离。 4. 平行平面间的距离 适用前提：两平面互相平行 求解方法：在其中一个平面上任取一点，求该点到另一平面的距离，即为面面距离。 知识点02空间夹角问题（必考公式＋取值范围） 1. 异面直线所成的角 设两条异面直线的方向向量分别为 ，异面直线所成角为 。 计算公式： 取值范围： 核心规则：异面直线夹角只取锐角或直角，公式必须加绝对值。 2. 直线与平面所成的角 设直线方向向量为 ，平面法向量为，线面角为 。 计算公式： 取值范围： 原理记忆：线面角与“直线与法向量夹角”互余，因此使用正弦公式。 特殊情况： 直线平行于平面或在平面内； 直线垂直于平面。 3. 两个平面的夹角（面面角） 设两平面法向量分别为 ，平面夹角为 。 计算公式： 取值范围： 考试规范：高中阶段统一取锐角或直角，全程加绝对值，不讨论钝角二面角。 知识点03本节核心公式对比与易错总结 1. 公式区分口诀 距离点线用叉乘，点面距离用法式； 异面、面面余弦绝，线面正弦不要错。 2. 高频易错点汇总 1. 线面角唯一易错点：误用 ，必须使用 ； 2. 所有空间夹角（异面、线面、面面）结果无钝角，公式全部带绝对值； 3. 线面距离、面面距离必须先判定平行前提，不平行无距离概念； 4. 点面距离公式分子勿忘绝对值，距离一定是非负数。 一、单选题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值从而求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·河南南阳·期末）在正三棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，根据正三棱锥的性质得到平面、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图，取棱的中点，连接，作，垂足为，过点作，交AB于点，交BC于点，连接BD. 因为三棱锥是正三棱锥， 所以平面，又为等边三角形，所以，所以， 则HB，HF，HP两两垂直， 故以为坐标原点，HB，HF，HP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，． 因为，所以， 所以，，，，所以， 所以，， 则，， ， 所以点到直线BC的距离． 故选：D    4．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知平面的一个法向量为，点为平面上一点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平面的法向量为，是平面内任意一点， 则平面外点到平面的距离为， 已知，，则， ， ，； ， 代入公式得：. 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量求解即可. 【详解】由题意可得 则与同向的单位向量， 设点到直线的距离为， 则. 故选：A. 6．（24-25高二上·四川·期中）在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设直线与的公垂线的方向向量为， 则，取，则，， ，又， 异面直线与的距离是. 故选：A. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则， . 设平面的法向量为， 则有，即， 解得，则. 平面的法向量为， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则 则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 二、多选题 9．（24-25高二下·广东·期中）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】运用空间向量解决立体几何中距离与夹角问题，A选项，求出即可；B选项，先求出平面法向量，设直线与平面所成角为，再求出；C选项，点到平面的距离可以利用法向量求出；D选项，求出平面法向量，再求出. 【详解】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 11．如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（   ）.    A．不存在点，使得 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为1 D．点在棱上，且，存在点，使得 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，， ，，，，设， 对于A：，，则，所以与不垂直， 即不存在点，使得，故A正确； 对于B：，，，设平面的法向量为， 则，取， 则点到平面的距离，故B正确； 对于C：，所以点到直线的距离，故C错误； 对于D，因为，所以，， ， 即，可得轨迹为圆：， 所以圆心， 又，所以轨迹为圆被四边形截得的4段圆弧，所以D正确. 故选：ABD    三、填空题 12．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为_________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面 平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以 平面， 平面， 又，平面， 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 13．（24-25高二下·浙江·阶段检测）已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】先利用向量夹角公式求出，再取绝对值得直线夹角的余弦值. 【详解】因为， 所以， 所以和夹角的余弦值为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解； 【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 16．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直证明， （2）求解法向量和方向向量，即可利用向量的夹角求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 则, 设平面的法向量为，则 取， 设平面的法向量为 取，则， 由于，故， 所以平面平面； （2）, 设平面的法向量为， 则取，则， 设直线与平面所成角为, 则 17.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 18．（25-26高二下·福建莆田·期中）正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，得到，结合，得到点到平面的距离； （2）由（1）得是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体  A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1  的棱长为4， 分别为，中点，且． 则， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，所以， 则，所以，即向量和为共线向量， 所以也是平面的一个法向量，所以平面， 又由，所以点到平面的距离. （2）由（1）知：向量是平面的一个法向量， 且，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 19．（25-26高二上·四川遂宁·期末）如图，平面，，，，，.    (1)证明：平面； (2)若. （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，点为线段上靠近的三等分点 【分析】（1）由面面平行的判定定理，证明平面平面，由面面平行的定义，证明平面即可. （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，，，计算法向量的夹角余弦即可. （ⅱ）先求，再求 到平面的距离，最后利用等体积法 计算即可. 【详解】（1）法一：证明：，平面，平面， 平面， 同理：平面， ，平面，平面， 平面平面， 又平面， ∴平面 法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图），    则，，，，， 设，则. 依题意，是平面的一个法向量， 又因为， ，即， ， 又因为直线平面， 平面. （2）    （ⅰ）由（1）可得：，，，，， ∴， ，，， 设，分别为平面和平面的法向量， ∴即， ∴，令，则， 是平面的一个法向量， ∴即， ∴，令，则， 所以，是平面的一个法向量， 设平面和平面的夹角为， ∴ 平面与平面所成角的余弦值为； （ⅱ）存在，点为线段上靠近的三等分点. 假设存在这样的点，且满足：，， ∴，， ∴， 又因为是平面的一个法向量， 点到平面的距离为， ∴ ， ， ∴，，， ∴ ， ∴，符合题意， ，即点为线段上靠近的三等分点. 1 $