第3课时 自由落体运动和竖直上抛运动 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦自由落体运动和竖直上抛运动核心考点，按定义、规律、研究方法、相遇问题的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理明确伽利略研究方法等关键内容，结合方法指导（如分段法与全程法对比）和16道分层真题训练，帮助学生系统突破运动学公式应用、临界条件分析等难点。 讲义突出科学思维与模型建构，如通过竖直上抛运动对称性分析培养推理能力，设置从基础计算到综合相遇问题的例题梯度，配合即时反馈设计。教师可依托其清晰的考点覆盖和分层训练，精准把控复习节奏，有效提升学生解决运动学问题的应考能力。

自由落体运动和竖直上抛运动 一、自由落体运动 1.定义:物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。 2.伽利略对自由落体运动的研究 (1)伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。 (2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)结合起来。 3.运动规律 (1)速度公式:v=gt。 (2)位移公式:h=。 (3)速度位移关系式:v2=2gh。 二、竖直上抛运动 1.定义:将物体以一定初速度竖直向上抛出,只在重力作用下的运动。 2.运动规律 (1)速度公式:v=v0-gt。 (2)位移公式:h=。 (3)速度位移关系式:v2-=-2gh。 3.竖直上抛运动的图像 v⁃t图像　　　　　　　h⁃t图像 4.竖直上抛运动的两种研究方法 分段法 将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速直线运动阶段和下落过程的自由落体运动阶段 全程法 将全过程视为初速度为v0,加速度a=-g的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方 5.竖直上抛运动的主要特性 对称性 ①速度对称:上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向; ②时间对称:上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等 多解性 当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,形成多解,在解决问题时要注意这个特性 三、自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 1.竖直上抛运动与自由落体运动相遇问题 (1)两球同时运动,设相遇时间为t,则有gt2+(v0t-gt2)=H,解得t=。 (2)上升、下降过程中相遇的临界条件 ①若在a球上升时两球相遇,临界条件:t<,即,解得v0>; ②若在a球下降时两球相遇,临界条件:,即,解得。 2.两个竖直上抛运动相遇问题 例:a、b两球先后相隔时间Δt以相同速度竖直上抛,要在空中相遇,Δt应满足什么条件? 相遇时位移相等:va(t+Δt)-g(t+Δt)2=vbt-gt2,求出时间t。要在空中相遇,必须满足条件:0<t<,求出Δt范围即可。 例题： 1．一个物体从离地某一高度开始做自由落体运动，该物体第1s内的位移恰好是最后1s内的位移的，已知重力加速度大小为10m/s2，则它开始下落时距落地点的高度为（　　） A．45m B．50m C．60m D．75m 【答案】A 【详解】物体做自由落体运动，第1s内的位移为 由题意可知最后1s内的位移，设物体下落时间为，则有 解得 则物体开始下落时距落地点的高度为 故选A。 2．两个小铁球在空中不同高度同时由静止释放，两球落地的时间差为1 s，两球由静止释放时的高度差为，两球落地时的速度差为。忽略空气阻力，重力加速度取，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设位置较低的小铁球下落总时间为（），则位置较高的小铁球下落总时间为。 AB．高度差，因，故，故AB错误； CD．落地速度差，故C正确，D错误。 故选C。 3．如图所示，甲的质量是乙质量的3倍，两物体同时从离地高度为2H和H的位置自由下落，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．甲落地时的速率是乙落地时速率的倍 B．甲下落的时间是乙下落时间的2倍 C．乙落地之前，两者之间的距离逐渐增大 D．乙落地之前，两者之间的距离逐渐减小 【答案】A 【详解】AB．甲、乙做自由落体运动，甲、乙落地时间分别为、，根据位移-时间公式 得 所以，故正确，B错误； CD．乙落地之前，甲、乙运动时间一致，根据位移-时间公式 可得甲、乙下落的距离一致，下落过程甲、乙的距离保持不变，距离为，故C错误，D错误。 故选A。 4．在近地空中某一位置处有A、B两个小球，先让A球自由下落1s后，再让B球开始自由下落。在A球落地前，下列说法正确的是 （　　） A．A、B两球间的距离保持不变 B．A、B两球间的距离逐渐增大 C．A球和B球速度差越来越大 D．A球和B球速度差越来越小 【答案】B 【详解】A球下落时间为，B球下落时间为，两球间距离 随增大两球间距离逐渐增大。 速度差 由于恒定，保持不变。 故选B。 5．如图所示，长为的圆筒B竖直放置，小球A在圆筒上方离圆筒上端高处，且在圆筒的轴线上，圆筒下端离地面的高度也为，圆筒内径比小球直径大，某时刻由静止释放小球A，过一会儿由静止释放圆筒，小球落地时刚好穿过圆筒，重力加速度为，不计空气阻力及小球的大小，则小球穿过圆筒的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球下落过程做自由落体运动，根据 解得，小球下落时间为 同理可知，圆筒下落时间为 则释放圆筒时，小球的速度为 所以，以圆筒为参考系，释放圆筒后，小球相对圆筒做匀速直线运动，速度为，则小球穿过圆筒的时间为 联立，解得 故选A。 6．水滴从屋檐由静止开始自由下落，屋檐到窗户上沿的竖直距离为。若窗户高度为时，水滴通过窗户的时间为；若窗户高度为时（窗户上沿位置不变），水滴通过窗户的时间为。忽略空气阻力，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得 由，得 由，得 又， 可得，故选A。 7．从同一高度同时以10 m/s的初速度抛出两个小球，一球竖直上抛，另一个球竖直下抛。忽略空气阻力，重力加速度，则它们落地的时间差为（    ） A．1 s B．2 s C．4 s D．5 s 【答案】B 【详解】做竖直上抛运动的小球当速度大小再次变为10m/s，方向竖直向下需要的时间为 然后该小球做竖直下抛运动，与另一个做竖直下抛运动的小球到达地面时间相同，所以从同一高度同时以10m/s的初速度抛出两个小球，一球竖直上抛，另一个球竖直下抛，它们落地的时间差为2s。 故选B。 8．将一个物体以大小为v0的初速度竖直向上抛出，物体能上升的最大高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则物体运动到高度时，下列说法正确的是（　　） A．物体的速度大小为 B．物体的速度大小为 C．所用时间可能为 D．所用时间可能为 【答案】C 【详解】AB．竖直上抛到最大高度时速度为0，由竖直上抛规律，得 可得 设高度处速度为，由匀变速直线运动速度与位移的关系，得 代入，解得，故AB错误； CD．物体到达有两种情况，上升过程经过或下落过程经过。上升过程经过，由竖直上抛运动规律，得 解得 由竖直上抛运动的对称性可知下落时速度 代入匀变速直线运动速度与时间的关系，得 解得 因此所用时间可能为或，故C正确，D错误。 故选C。 9．在足够高的塔顶上以v0= 20m/s的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力，g = 10m/s2），从抛出至位移大小为15m这段时间内，小球（　　） A．平均速度可能为7.5m/s，方向竖直向上 B．平均速率可能为11m/s C．通过的路程可能为55m D．平均速度可能为2m/s，方向竖直向下 【答案】C 【详解】BC．当位移方向向上时，即位移 路程可能为 ， 设用时为t，由位移公式得 代入得 解得 当位移方向向下时，即 路程 设用时为，由位移公式得 代入得 解得 （另一值不合理舍去） 根据平均速率 可得：平均速率可能为 B错误，C正确； AD．平均速度可能为 ， 方向竖直向上 方向竖直向下，AD错误。 故选C。 10．如图所示，在一种“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球和小球，从距水平地面和高度的地方同时由静止释放。忽略空气阻力及碰撞时间，若B球与地面碰撞后原速率弹回，要使球B在第一次上升过程中与球A相碰，则的取值可能为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【详解】设B球自由下落的时间为，根据自由落体运动公式有 B球与地面碰撞后原速率弹回，做竖直上抛运动，根据对称性，B球回到原高度h处的时间为。要使B球在第一次上升过程中与A球相碰，临界情况是B球刚好回到原高度h时与A球相碰。此时A球下落的时间为，下落的位移为 相遇时A球的高度应小于等于B球的高度h，即 解得，又，可得 故选A。 11．杂技演员每隔相等时间竖直向上抛出一小球（不计一切阻力，小球间互不影响，重力加速度为g），若每个小球抛出时的初速度大小都是，他一共有4个小球，要想使节目连续不断表演下去，在他的手中总要有1个小球停留，则每个小球在手中停留的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每个小球上升的时间都是 设两球抛出的时间间隔为，根据竖直上抛运动的对称性可知，当手刚接住一个小球时，空中有3个小球，一个刚上升，有一个在上升，一个在下降，共3个时间间隔，所以球在手中停留的时间为空中总时间的三分之一 故选B。 12．如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0 = 10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力。（取g = 10 m/s2，甲乙两球可看作质点）下列说法正确的是（　　） A．无论h为何值，甲乙两球一定能在空中相遇 B．当h > 20 m时，甲乙两球可能在空中相遇 C．当h = 15 m时，乙球能在下降过程中与甲球相遇 D．当h < 10 m时，乙球不可能与甲球相遇 【答案】C 【详解】AB．设若甲球与乙球经过时间t相遇，则有 解得 根据竖直上抛运动的规律，可知，乙球上升的时间为 乙球竖直上抛运动的总时间 甲乙两球能在空中相遇，必须满足 联立以上整理得 即 故当h < 20 m时，甲乙两球一定能在空中相遇；当h > 20 m时，甲乙两球不能在空中相遇，故AB错误； C．当t上 < t < t总时，乙球能在下降过程中与甲球相遇，即 解得 故当h = 15 m时，乙球能在下降过程中与甲球相遇，故C正确； D．当t < t上时，乙球能在上升过程中与甲球相遇，即 解得 故D错误。 故选C。 13．小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速度为8m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。某一个小球运动过程中，在抛出点上方最多能遇到多少个小球？ （g取10m/s² ）（　　） A．14个 B．13个 C．12个 D．10个 【答案】A 【详解】题意知小球以初速度做竖直上抛运动，由匀变速直线运动速度时间关系可知，从抛出到最高点时间为 由对称性可知，小球在空中运动时间总时间为 则 可知空中此时还有7个球，第8个球将要抛出，若第8个小球此时抛出，则其在上升与下降过程中，它将与它之前的7个小球相遇，且与它之后的7个小球也相遇，因此某一个小球在抛出点以上最多能遇到14个小球，故A正确，BCD错误。 故选A 。 14．在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速v0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔必须满足条件是：（不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】物体A以初速度上抛时，设上升高度为，由匀变速运动知 物体B以初速度上抛时，设上升高度为，由匀变速运动知 由数学知识，做出图像如下    由图可知，两条图线的交点表示相遇，由此可看出两物体抛出的时间间隔必须满足 故选D。 15．如图所示，一长为L的竖直圆筒，底端距地面高度为H，由静止释放，同时在圆筒中心轴线的正下方将一小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，小球的直径小于圆筒的内径。若圆筒落地前小球能进入圆筒且不会从圆筒上端离开，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球初速度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆筒做自由下落运动，初始底端高度为，任意时刻圆筒底端位置 圆筒顶端位置 小球做竖直上抛运动，初始位置为0，任意时刻小球位置 可得 ， 圆筒落地时 ，代入得 解得落地时间 小球能进入圆筒（落地前进入） 小球到达筒底时 得时间，要求 可得 小球不会从上端离开（落地前不离开） 小球到达筒顶时 得时间，要求​（落地前未到达上端，即不离开 可得 ​​ 综上，​的范围是： ​​​ 故选D。 16. 如图所示,跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起,举起双臂竖直离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高0.45 m后到达最高点,落水时身体竖直,手先入水(此过程中运动员水平方向的运动忽略不计,空气阻力忽略不计,g取10 m/s2,≈1.45)。求: (1)运动员起跳时的速度v0的大小; 答案　3 m/s 解析　运动员起跳到最高点的过程中有 =-2gh1 已知vt=0,h1=0.45 m 代入数据得v0=3 m/s。 (2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t。 答案　1.75 s 解析　方法一:设运动员起跳到最高点的过程中所需时间为t1,由运动学公式得vt=v0-gt1 代入数据得t1=0.3 s 设运动员从最高点到手接触水面的过程所需时间为t2,由运动学公式得h1+h2= 其中h2=10 m,代入数据得t2≈1.45 s 则所求时间为t=t1+t2=1.75 s。 方法二:取竖直向上为正方向,则有-h2=v0t-gt2 解得t=1.75 s。 17. 如图所示,A、B为空心圆管的两端,C为可视为质点的小球,AB长度为L=1 m,AB与C在同一竖直线上, A、C之间的距离为h=20 m。t=0时刻,空心圆管做自由落体运动,C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动,g取10 m/s2。 (1)要使C在空心圆管落地前穿过空心圆管,v0应大于多少? 答案　10.5 m/s 解析　C在圆管落地前穿过圆管的条件是圆管落地的瞬间小球经过B端,此过程小球的速度为最小值 设圆管的落地时间为t,则h=gt2 解得t=2 s,此时C恰好经过B端,则有vmint-gt2=L 解得vmin=10.5 m/s,即v0应大于10.5 m/s。 (2)若v0=20 m/s,求C从A端穿过空心圆管所用的时间。(不考虑圆管落地后的情形) 答案　0.05 s 解析　由上述分析可知,小球一定在空中穿过圆管,设C到达A端的时间为t1 则有=h 设C到达B端的时间为t2 则有=h+L C从A端穿过圆管所用的时间为Δt=t2-t1 解得Δt=0.05 s。 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 自由落体运动和竖直上抛运动 一、自由落体运动 1.定义:物体只在 作用下从静止开始下落的运动。 2.伽利略对自由落体运动的研究 (1)伽利略通过 的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论。 (2)伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理→猜想与假设→实验验证→合理外推。这种方法的核心是把实验和 (包括数学演算)结合起来。 3.运动规律 (1)速度公式:v=gt。 (2)位移公式:h= 。 (3)速度位移关系式:v2= 。 二、竖直上抛运动 1.定义:将物体以一定初速度竖直向上抛出,只在重力作用下的运动。 2.运动规律 (1)速度公式:v= 。 (2)位移公式:h=。 (3)速度位移关系式: 。 3.竖直上抛运动的图像 v⁃t图像　　　　　　　h⁃t图像 4.竖直上抛运动的两种研究方法 分段法 将全程分为两个阶段,即上升过程的匀减速直线运动阶段和下落过程的自由落体运动阶段 全程法 将全过程视为初速度为v0,加速度a=-g的匀变速直线运动,必须注意物理量的矢量性。习惯上取v0的方向为正方向,则v>0时,物体正在上升;v<0时,物体正在下降;h>0时,物体在抛出点上方;h<0时,物体在抛出点下方 5.竖直上抛运动的主要特性 对称性 ①速度对称:上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向; ②时间对称:上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等 多解性 当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,形成多解,在解决问题时要注意这个特性 三、自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 1.竖直上抛运动与自由落体运动相遇问题 (1)两球同时运动,设相遇时间为t,则有gt2+(v0t-gt2)=H,解得t=。 (2)上升、下降过程中相遇的临界条件 ①若在a球上升时两球相遇,临界条件:t<,即,解得v0>; ②若在a球下降时两球相遇,临界条件:,即,解得。 2.两个竖直上抛运动相遇问题 例:a、b两球先后相隔时间Δt以相同速度竖直上抛,要在空中相遇,Δt应满足什么条件? 相遇时位移相等:va(t+Δt)-g(t+Δt)2=vbt-gt2,求出时间t。要在空中相遇,必须满足条件:0<t<,求出Δt范围即可。 例题： 1．一个物体从离地某一高度开始做自由落体运动，该物体第1s内的位移恰好是最后1s内的位移的，已知重力加速度大小为10m/s2，则它开始下落时距落地点的高度为（　　） A．45m B．50m C．60m D．75m 2．两个小铁球在空中不同高度同时由静止释放，两球落地的时间差为1 s，两球由静止释放时的高度差为，两球落地时的速度差为。忽略空气阻力，重力加速度取，则（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，甲的质量是乙质量的3倍，两物体同时从离地高度为2H和H的位置自由下落，不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．甲落地时的速率是乙落地时速率的倍 B．甲下落的时间是乙下落时间的2倍 C．乙落地之前，两者之间的距离逐渐增大 D．乙落地之前，两者之间的距离逐渐减小 4．在近地空中某一位置处有A、B两个小球，先让A球自由下落1s后，再让B球开始自由下落。在A球落地前，下列说法正确的是 （　　） A．A、B两球间的距离保持不变 B．A、B两球间的距离逐渐增大 C．A球和B球速度差越来越大 D．A球和B球速度差越来越小 5．如图所示，长为的圆筒B竖直放置，小球A在圆筒上方离圆筒上端高处，且在圆筒的轴线上，圆筒下端离地面的高度也为，圆筒内径比小球直径大，某时刻由静止释放小球A，过一会儿由静止释放圆筒，小球落地时刚好穿过圆筒，重力加速度为，不计空气阻力及小球的大小，则小球穿过圆筒的时间为（　　） A． B． C． D． 6．水滴从屋檐由静止开始自由下落，屋檐到窗户上沿的竖直距离为。若窗户高度为时，水滴通过窗户的时间为；若窗户高度为时（窗户上沿位置不变），水滴通过窗户的时间为。忽略空气阻力，则为（　　） A． B． C． D． 7．从同一高度同时以10 m/s的初速度抛出两个小球，一球竖直上抛，另一个球竖直下抛。忽略空气阻力，重力加速度，则它们落地的时间差为（    ） A．1 s B．2 s C．4 s D．5 s 8．将一个物体以大小为v0的初速度竖直向上抛出，物体能上升的最大高度为h，不计空气阻力，重力加速度为g，则物体运动到高度时，下列说法正确的是（　　） A．物体的速度大小为 B．物体的速度大小为 C．所用时间可能为 D．所用时间可能为 9．在足够高的塔顶上以v0= 20m/s的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力，g = 10m/s2），从抛出至位移大小为15m这段时间内，小球（　　） A．平均速度可能为7.5m/s，方向竖直向上 B．平均速率可能为11m/s C．通过的路程可能为55m D．平均速度可能为2m/s，方向竖直向下 10．如图所示，在一种“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球和小球，从距水平地面和高度的地方同时由静止释放。忽略空气阻力及碰撞时间，若B球与地面碰撞后原速率弹回，要使球B在第一次上升过程中与球A相碰，则的取值可能为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 11．杂技演员每隔相等时间竖直向上抛出一小球（不计一切阻力，小球间互不影响，重力加速度为g），若每个小球抛出时的初速度大小都是，他一共有4个小球，要想使节目连续不断表演下去，在他的手中总要有1个小球停留，则每个小球在手中停留的时间为（　　） A． B． C． D． 12．如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度v0 = 10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力。（取g = 10 m/s2，甲乙两球可看作质点）下列说法正确的是（　　） A．无论h为何值，甲乙两球一定能在空中相遇 B．当h > 20 m时，甲乙两球可能在空中相遇 C．当h = 15 m时，乙球能在下降过程中与甲球相遇 D．当h < 10 m时，乙球不可能与甲球相遇 13．小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速度为8m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。某一个小球运动过程中，在抛出点上方最多能遇到多少个小球？ （g取10m/s² ）（　　） A．14个 B．13个 C．12个 D．10个 14．在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速v0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔必须满足条件是：（不计空气阻力）（　　） A． B． C． D． 15．如图所示，一长为L的竖直圆筒，底端距地面高度为H，由静止释放，同时在圆筒中心轴线的正下方将一小球从地面以初速度v0竖直向上抛出，小球的直径小于圆筒的内径。若圆筒落地前小球能进入圆筒且不会从圆筒上端离开，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则小球初速度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 16. 如图所示,跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起,举起双臂竖直离开台面,此时其重心位于从手到脚全长的中点,跃起后重心升高0.45 m后到达最高点,落水时身体竖直,手先入水(此过程中运动员水平方向的运动忽略不计,空气阻力忽略不计,g取10 m/s2,≈1.45)。求: (1)运动员起跳时的速度v0的大小; (2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t。 17. 如图所示,A、B为空心圆管的两端,C为可视为质点的小球,AB长度为L=1 m,AB与C在同一竖直线上, A、C之间的距离为h=20 m。t=0时刻,空心圆管做自由落体运动,C从地面以初速度v0开始做竖直上抛运动,g取10 m/s2。 (1)要使C在空心圆管落地前穿过空心圆管,v0应大于多少? (2)若v0=20 m/s,求C从A端穿过空心圆管所用的时间。(不考虑圆管落地后的情形) 答案第10页，共12页 2 学科网（北京）股份有限公司 $