3.1函数的概念及其表示同步练- 2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学函数概念同步练，以基础巩固-能力提升-综合应用三阶分层，覆盖函数三要素、定义域等核心知识点，通过概念辨析、情境应用与问题解决深化数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数图像、定义域求法等单一概念|单选1函数图像辨析，强化任意性与唯一性理解| |能力提升|定义域值域综合、分段函数求值|单选9结合二次函数定义域值域推理，培养逻辑思维| |综合应用|抽象函数、图像与实际情境|解答25分段函数图像绘制与值域分析，提升数学表达|

3.1函数的概念及其表示 一、函数的概念（近代定义） 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f: A → B​ 为从集合 A 到集合B的一个函数。记作：y = f(x)，x ∈ A。 自变量：x 定义域：x 的取值范围 A 函数值：与 x 对应的 y 值 值域：函数值的集合 {f(x) | x ∈ A}（注意：值域是集合 B 的子集，B 不一定等于值域） 核心理解：定义强调任意性（A中每一个都要有对应）、存在性（B中要有元素对应）、唯一性（不能一对多，但可以多对一）。 二、函数的三要素 判断两个函数是否相同（相等），只看定义域和对应关系，两者完全一致才是同一函数（值域自然相同）。 定义域：自变量 x 的取值集合（使解析式有意义或符合实际）。 对应关系：f，即 x 到 y 的运算规则（本质）。 值域：由定义域和对应关系共同决定。 三、区间的概念 高中常用区间表示定义域和值域（a < b）： 闭区间：[a, b] 表示 {x | a ≤ x ≤ b} 开区间：(a, b) 表示 {x | a < x < b} 半开半闭：[a, b)、(a, b] 无穷区间：R = (-∞, +∞)，[a, +∞)，(a, +∞) 等（∞ 旁边永远是小括号）。 四、函数的表示方法 1. 解析法（公式法）：用数学表达式表示对应关系。 优点：简明、便于运算；缺点：不够直观。 2. 列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系。 优点：不需计算直接看值；缺点：只能表示有限个值。 3. 图象法：用平面直角坐标系中的点集表示。 优点：直观形象反映变化趋势；缺点：精确度有限。 五、分段函数 在定义域的不同子集（区间）上，有不同的对应关系的函数。 本质：是一个函数，不是几个函数。 定义域：各段定义域的并集。 值域：各段值域的并集。 求值时要先定位（看 x 在哪段），再代入。 六、定义域的常见求法（自然定义域） 分式：分母 ≠ 0。 偶次根式：被开方数 ≥ 0。 零次幂：底数 ≠ 0。 整式：定义域为 R。 一、单选题 1．下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 3．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 4．若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 7．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 8．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，4） B．（4，7） C．[1，4] D．[4，7] 10．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 11．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 13．观察下表： x 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（    ） A． B． C．3 D．5 14．已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 15．已知函数则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 16．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 17．函数，则函数的值域为__________. 18．已知，且，则_____. 19．函数，则__________. 三、解答题 21．求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 22．（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 23．求函数的值域． 24．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 25．已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1函数的概念及其表示 一、函数的概念（近代定义） 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f: A → B​ 为从集合 A 到集合B的一个函数。记作：y = f(x)，x ∈ A。 自变量：x 定义域：x 的取值范围 A 函数值：与 x 对应的 y 值 值域：函数值的集合 {f(x) | x ∈ A}（注意：值域是集合 B 的子集，B 不一定等于值域） 核心理解：定义强调任意性（A中每一个都要有对应）、存在性（B中要有元素对应）、唯一性（不能一对多，但可以多对一）。 二、函数的三要素 判断两个函数是否相同（相等），只看定义域和对应关系，两者完全一致才是同一函数（值域自然相同）。 定义域：自变量 x 的取值集合（使解析式有意义或符合实际）。 对应关系：f，即 x 到 y 的运算规则（本质）。 值域：由定义域和对应关系共同决定。 三、区间的概念 高中常用区间表示定义域和值域（a < b）： 闭区间：[a, b] 表示 {x | a ≤ x ≤ b} 开区间：(a, b) 表示 {x | a < x < b} 半开半闭：[a, b)、(a, b] 无穷区间：R = (-∞, +∞)，[a, +∞)，(a, +∞) 等（∞ 旁边永远是小括号）。 四、函数的表示方法 1. 解析法（公式法）：用数学表达式表示对应关系。 优点：简明、便于运算；缺点：不够直观。 2. 列表法：用表格列出自变量与函数值的对应关系。 优点：不需计算直接看值；缺点：只能表示有限个值。 3. 图象法：用平面直角坐标系中的点集表示。 优点：直观形象反映变化趋势；缺点：精确度有限。 五、分段函数 在定义域的不同子集（区间）上，有不同的对应关系的函数。 本质：是一个函数，不是几个函数。 定义域：各段定义域的并集。 值域：各段值域的并集。 求值时要先定位（看 x 在哪段），再代入。 六、定义域的常见求法（自然定义域） 分式：分母 ≠ 0。 偶次根式：被开方数 ≥ 0。 零次幂：底数 ≠ 0。 整式：定义域为 R。 一、单选题 1．下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 2．已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先求出的值，再将其作为自变量代入求出的值. 【详解】已知，此时函数. 把代入可得：. 由上一步得到，那么. 因为，此时函数. 把代入可得：. 故选：C. 3．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 4．若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 6．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 7．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 8．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的三要素判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 9．若函数f（x）＝x2﹣8x+15的定义域为[1，a]，值域为[﹣1，8]，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，4） B．（4，7） C．[1，4] D．[4，7] 【答案】D 【分析】先根据值域确定函数自变量取值范围，再结合二次函数图象确定实数a的取值范围. 【详解】由，所以， 由得，所以 故选：D 【点睛】本题考查根据值域求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题. 10．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 11．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 12．所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； (2)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【答案】D 【分析】先逐一分析各事件对应的距离和时间的关系，找出与之相对应的图象，再根据事件的顺序对相应的图象进行排序，从而判断选项． 【详解】事件(1)：离开家返回家找作业本上学，距离变化为“上升下降为0保持为0上升”，对应图象为④； 事件(2)：匀速行驶堵车继续匀速行驶，距离变化为“匀速上升水平不变匀速上升”，对应图象为①； 事件(3)：缓缓加速，速度逐渐增大，距离关于时间的曲线斜率（速度）递增，对应图象为②； 综上，与所给3件事吻合最好的顺序为④①②，故D正确． 故选：D． 13．观察下表： x 1 2 3 5 1 3 5 1 4 2 3 则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【解析】根据表格求出，，再求出即可得解. 【详解】由题中表格得，， ∴， 故选：D. 【点睛】此题考查函数概念辨析，根据表格形式表示的函数关系求函数值. 14．已知函数则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，先判断自变量所在的区间，再代入对应的表达式逐步计算. 【详解】因为，所以代入，得， 因为，所以代入，得， 将代入，得. 故选：C. 15．已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B. 二、填空题 16．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 17．函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【分析】分段求解，结合二次函数的性质求出取值的范围即可. 【详解】当时，，图象对称轴为， 当时，取最小值0，当时，取最大值1， 所以；当或时，， 综上，，则函数的值域为. 故答案为：. 18．已知，且，则_____. 【答案】 【分析】根据的表达式求出，从而得到，根据的表达式及的值求出. 【详解】， ， ，， ，， . 故答案为：. 19．函数，则__________. 【答案】 【分析】利用换元法令求解即可. 【详解】令 ，则 ，所以 ，所以. 故答案为： 20．若函数的定义域为，则实数的取值范围________. 【答案】 【分析】将函数定义域问题转化为不等式问题，对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立条件即可求解. 【详解】由题意可知，对任意恒成立. 当时，不等式可化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 21．求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 22．（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 23．求函数的值域． 【答案】 【分析】法一：运用分离常数法得到，再根据，利用不等式的性质逐步求得的范围，最终得解； 法二：运用反表示法，将表示为，再解分式不等式即可得解. 【详解】法一：， ， ，则，， 得，即， 即函数的值域为． 法二：由得， 即， 当时，方程等价为，不成立，则， 则，得且，解得， 故函数的值域为. 24．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 25．已知函数    (1)在答题卡中相应的位置画出的图象； (2)若在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)    (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象及分段函数画出图象； （2）根据端点值和单调性，再结合图象分析求解范围即可. 【详解】（1）画出的图像，如图所示.    （2），，. 因为在上的值域为， 所以结合图象可得，即的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $