3.2 函数的基本性质（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了函数的单调性与最值、奇偶性及综合性质。从单调性定义出发，涵盖判断方法（定义法、图象法等）和最值求法，延伸至奇偶性定义、结论及运算性质，最终实现两者综合应用，形成从基础到综合的学习支架，衔接函数概念，为后续复杂函数学习奠基。 知识链路按“定义-判断-结论-拓展-易错-题型”逻辑展开，单调性与奇偶性对比梳理，表格与图像结合培养几何直观（数学眼光）。题型覆盖证明、求区间等，强调定义法证明与逻辑推理（数学思维），易错点警示规范表达，帮助学生构建完整性质认知框架，提升应用意识（数学语言）。

第三章 函数的概念与性质 3.2函数的基本性质 🔷知识点一 单调性与最大（小）值 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 (2) 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2.单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 3.函数最值 （1）函数最大值、最小值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值，对应图像最高点纵坐标 为最小值，对应图像最低点纵坐标 （2）值域与最值的关系：函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； 若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 4. 单调性常用判断方法 （1）定义法：取值→作差 或作商→变形→定正负→下结论； 步骤： ①取值：在区间内任意取两个自变量、，并且规定大小关系：。 ②作差或作商：计算两个函数值的差：，作商法适用前提：恒成立 ③变形对第二步得到的差（或商）进行因式分解、通分、配方、有理化等恒等变形，把式子拆成能直接判断正负的乘积或平方和形式，不能保留复杂整体。 ④定正负：结合、以及变形后的式子结构，判断整体是大于 0 还是小于 0；若用商法，则判断大于 1 还是小于 1。 ⑤下结论： 若，即，则函数在区间上单调递增； 若，即，则函数在区间上单调递减。 （2）图象法：看图升降直接判断单调区间； （3）四则运算性质（公共定义域内） 增增增；减减减；增减增；减增减； 与单调性相反； （4)复合函数 “同增异减”：内层、外层单调性相同则复合函数递增，内外单调性相反则复合函数递减。 💡拓展延伸 1.函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． （5）若关于直线轴对称，则；函数在与单调性相反。 （6）若关于点中心对称，则；函数在与单调性相同。 ⚠️特别提醒 1. 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 2.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，复合函数求单调区间，必须先求函数总定义域，再分层判断。 3.“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 4.定义法证明单调性，必须在同一区间内任意选取，不能取特殊值； 5.最值必须能取到，只满足不等式但无对应自变量，不能称作最值； 📌归纳总结 判断单调性优先图像，证明单调性只能用定义；求闭区间最值，同时比较区间端点与极值；复合函数先定定义域，再遵循同增异减规则。 🔷 知识点二 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 2. 函数奇偶性结论 （1）定义域关于原点对称是函数具备奇偶性必要前提，不对称则非奇非偶； （2）奇函数若在处有定义，则一定满足； （3）同时满足与的函数为既奇又偶，解析式恒等于 0； （4）对称区间单调性：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；（奇同偶异）。 （5）若函数是偶函数，则． 3.奇偶四则运算 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ⚠️特别提醒 1.判断函数奇偶性的第一步先检查定义域是否关于原点对称，跳过定义域直接化简极易出错，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2.只能作为奇函数必要条件，不是充分条件，不能仅凭判定奇函数； 3.偶函数只能写，去掉绝对值简化计算，奇函数无该结论。 📌归纳总结 判断奇偶先看定义域对称性，再代入对比函数式；奇函数原点有定义必取 0，奇偶函数对称区间增减规律记为 “奇同偶异”。 💡拓展延伸 函数周期性结论 1.仅轴对称：关于、两条直线对称，且不等于，可推出函数最小正周期为 2.仅中心对称：关于、两个点对称，且不等于，可推出函数最小正周期为 3.一轴一对称中心：存在一条对称轴，同时拥有一个对称中心，可推出函数最小正周期为 4.奇偶与周期常用组合 （1）函数为偶函数，且满足，则函数最小正周期为 （2）函数为奇函数，且满足，则函数最小正周期为 （3）若，为函数周期；奇函数满足，因此可推出 5.易错点 周期函数不唯一，最小正数周期叫最小正周期；常函数无最小正周期。 周期只能平移重复图像，不能直接改变区间单调性，需结合对称转换自变量。 🔷 知识点三　单调性与奇偶性综合性质 1.偶函数：，比较函数值、解不等式可直接转化为正数区间分析； 2.奇函数：，可将负数自变量转化为正数自变量计算； 3.抽象不等式解题核心：利用奇偶统一符号，再利用单调性脱去符号，同时保留定义域约束。 ⚠️特别提醒 1.脱去符号时，自变量必须全部落在函数定义域内； 2.同时含奇偶性、单调性的不等式，优先利用奇偶性把自变量转化到同一单调区间再比较。 📌归纳总结 奇偶性负责统一自变量正负，单调性负责去掉函数符号，两步结合解抽象函数不等式，全程不能忽略定义域限制。 💡拓展延伸 函数对称性与周期性 1. 轴对称（直线对称） 图像关于直线对称 2. 中心对称（点对称） 图像关于点对称 3. 周期性推导 （1）（函数周期为a） （2） （3） （4）函数存在两条对称轴 （5）函数存在两个对称中心 （6）函数拥有一条对称轴，同时存在一个对称中心 4. 综合结论 1.一个函数既是奇函数，图像又存在直线对称轴，那么该函数的最小正周期为； 2.一个函数既是偶函数，图像又存在直线对称轴，那么该函数的最小正周期为。 易错点 1 单调区间用并集符号连接 错例：单调递减区间写成 错因：函数在两个区间单独递减，但跨区间取数不满足递减定义，并集会产生逻辑错误。 规避方法：多个分开的单调区间，只用逗号或 “和” 隔开，禁止使用。 易错点 2 证明单调性取特殊值代替任意 错例：取满足，直接判定函数递增 错因：单调性定义要求区间内任意两个自变量，仅两组特殊值无法代表全部情况。 规避方法：证明必须设区间内任意，通过作差变形判断符号。 易错点 3 忽略定义域直接判断复合函数单调区间 错例：直接判断在递减，不考虑 错因：复合函数内层代数式必须有意义，未求总定义域直接分析区间。 规避方法：第一步先求整个函数定义域，再分层判断内外函数单调性。 易错点 4 不检验定义域直接判定奇偶函数 错例：，直接判定为偶函数 错因：定义域不关于原点对称，不满足奇偶函数前提。 规避方法：判断奇偶第一步先观察定义域是否关于原点对称。 易错点 5 认为的函数一定是奇函数 错例：满足，误判为奇函数 错因：只是奇函数的必要条件，不是充分条件，仍需验证。 规避方法：仅有函数值不能下结论，必须代入任意验证等式。 易错点 6 解偶函数不等式忘记转化绝对值 错例：偶函数在递增，由直接写 错因：偶函数自变量正负不影响函数值，负数区间未纳入讨论。 规避方法：统一写成，再利用单调性求解。 易错点 7 认为区间端点不影响最值，直接忽略 错例：，，误写最小值为 1，最大值 3 错因：3 不在定义域内，无法取到，不存在最大值。 规避方法：最值对应的自变量必须属于定义域，取不到的数不能作为最值。 题型一： 判断或证明函数单调性 📝方法技巧 1.图像判断（仅选择填空，不能证明）：图像从左上升为增，下降为减； 2.定义证明（大题唯一严谨方法，固定五步） ① 取值：② 作差：③ 变形④ 定号⑤ 下结论： 3.复合函数判断（同增异减，必先求定义域） 拆分内层、外层，内外单调性相同则复合递增，相反递减；定义域优先。 4.四则运算（公共定义域内成立） 增函数加增函数结果仍为增函数；减函数加减函数结果仍为减函数；增函数减去减函数得到增函数；减函数减去增函数得到减函数； 与单调性相反；单调性相反（）。 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 3．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. 【详解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. 4．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 【答案】证明见详解 【分析】根据函数单调性的定义证明. 【详解】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 5．（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 6．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 题型二：求函数单调区间 📝方法技巧 1.二次函数：先求对称轴，结合开口方向写出单调区间，严格带上定义域限制； 2.根式、分式复合函数：第一步求解使解析式有意义的定义域，再分层利用同增异减； 3.分段函数：每一段单独判断增减，分段写出单调区间，区间之间用逗号或“和”分隔，严禁∪连接；端点按需合并； 4.图像类函数：直接观察图像升降分段，标注清楚空心、实心端点对应的区间边 1．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 3．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 4．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 5．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 6.（25-26高三·全国·一轮复习）试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【答案】 . 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ， ， ，即， 在内是减函数. ②设， 由①知， ， ， 即， 在内是增函数. 题型三： 利用单调性比较函数值大小 📝方法技巧 1.同单调区间：直接根据增减性，自变量大则增函数函数值大，减函数函数值小； 2.自变量正负不同：奇函数转化为对称区间正数，偶函数统一写成绝对值再比较； 3.抽象函数：借助奇偶性质把所有自变量转化到同一个单调区间再对比； 4.含参数自变量：分类讨论参数范围，确定自变量相对大小后比较。 1.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 2.（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 3．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 4．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【详解】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A 5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 6．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义，结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】由绝对值的几何意义可知，在数轴上表示到的距离比到1的距离更近， 而，该二次函数的对称轴为，且开口朝上，易知到对称轴的距离越近，函数值越小，故， 故答案为：. 题型四： 由单调性求参数取值范围 📝方法技巧 1.一次、二次基础函数：根据单调性限制一次项系数、二次对称轴范围，列不等式求解； 2.复合函数：分内层、外层单调要求，结合定义域联立不等式； 3.分段函数整体单调：①每一段自身满足增减；②左侧区间端点函数值小于等于（递增）或大于等于（递减）右侧区间端点函数； 4.恒单调题型：区间内任意满足恒正或恒负，分离参数求范围。 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2.（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 4．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 5．（高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 题型五：求函数最大值与最小值 📝方法技巧 1.闭区间连续函数：先判断单调区间，计算区间端点、极值点函数值，全部对比选出最大、最小； 2.开区间、无穷区间：端点无法取到则无对应最值，仅存在上界或下界； 3.二次函数配方法：配方找到顶点，结合给定自变量区间判断顶点是否可取； 4.数形结合：画出函数图像，最高点纵坐标为最大值，最低点为最小值； 5.奇偶函数：只需求正数区间最值，对称区间可直接推导负数区间最值。 1.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值为5，最小值为； (2). 【分析】（1）当时，函数，利用二次函数的图像求解； （2）由对任意实数，恒成立，整理得到对任意实数恒成立，按照和讨论求解，当时，对任意实数恒成立等价于，计算得解. 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． （2）因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 2.（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为，故B正确． 3.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 4．（广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出． 【详解】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 【答案】 4 3 【分析】根据基本不等式求的最小值，再结合二次函数性质求结论. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即也在处取得最小值， 所以，解得，即， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 6.（25-26高一上·安徽宣城·期中）已知正数与函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)求函数在上的最大值； (3)若函数在上的最大值为5，求的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）去掉绝对值求解即可； （2）按照，，，去掉绝对值讨论求解； （3）利用第（2）问的结论进行求解. 【详解】（1），，， 当时，即当或时，， 当时，即当时，， 则，其图像为 结合图像可知，当时，取最小值为， 当时，取最大值为， 则函数在上的值域为. （2）当时， 时，，开口向下， 对称轴为，最大值为， 时，，开口向上， 对称轴为，在上是增函数，则最大值为； 当时，即当时，最大值为， 当时，即当，最大值为， 当时，，，开口向下， 对称轴为，最大值为， 当时，，，开口向下， 对称轴为，在上是增函数，则最大值为； 综上可知： . （3），， ，，是偶函数， 只需考虑，则，， 由第（2）问知道： ， 函数在上的最大值为5， 当时，，解得，符合； 当时，，解得，符合； 当时，，解得，不符合； 综上可知，或. 题型六：判断函数奇偶性 📝方法技巧 1.第一步判定定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶； 2.定义域对称时代入，化简，对比、； ①偶函数； ②奇函数； ③两式都不满足则非奇非偶； 3.快速技巧：奇函数原点有定义直接验证，可快速排除非奇函数。 1．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 3．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 4．（2027高考一轮数学北师）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 5.(2026高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，则函数关于点中心对称．( ) 【答案】正确 【详解】函数是奇函数， 则，即， 则函数关于点中心对称． 题型七： 利用奇偶性求函数解析式 📝方法技巧 1.求哪一段解析式，就设该区间内自变量； 2.构造，转化到已知解析式的区间，写出； 3.利用（偶）或（奇）变形，解出； 4.单独验证，分段书写完整解析式。 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 3．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的解析式为________. 【答案】. 【分析】通过奇函数的定义，分别求解和时的函数表达式，从而得到分段解析式. 【详解】当时，因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，，， 所以. 故答案为：. 4.已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 5.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 【答案】， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示： 当时，， 所以当时，，则， 整理有， 所以的解析式为． 题型八：利用奇偶性求函数值 📝方法技巧 1.奇函数：，负数自变量转为正数计算； 2.偶函数：，正负自变量函数值相等； 3.同时含、的等式，将替换为联立方程组求解； 4.奇函数在有定义，直接得快速求值。 1．（25-26高二下·江西上饶·期末）是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是偶函数且周期为， 所以， 当时，，则， 所以. 2．（25-26高一下·广西贺州·期末）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出的周期，再利用奇函数的性质和条件，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以， 又因为是偶函数，所以，即， 所以，即， 则，所以的周期为8， 则，， 所以． 3．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 6．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. 题型九：单调性和奇偶性综合解不等式 📝方法技巧 1.利用奇偶变形：奇函数消去负号，偶函数统一绝对值； 2.把不等式两边全部转化为形式； 3.根据函数单调性去掉符号，得到自变量不等式； 4.联立函数定义域，取交集得到最终解集； 5.抽象函数全程保证所有自变量在定义域、同一单调区间内。 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 5．（25-26高二下·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数不等式等条件构造函数，利用题设条件判断该函数的单调性，再结合，运用数形结合思想即可求解. 【详解】令，当时，，则在上单调递增， 又因分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则由可知函数为奇函数，故在上单调递增， 又因，则， 则由和的单调性可得或. 故不等式的解集是，A正确. 6．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 题型十： 函数性质的综合应用 📝方法技巧 1.梳理题干条件：先确定定义域，标记已知的奇偶性、单调性、特殊点函数值。 2.转换区间：利用奇偶性、周期性、对称性，将未知区间问题转化到已知区间上分析。 3.单调性脱去符号 先把不等式整理成与比较的形式，同一单调区间内： 增函数： 减函数： 列式时必须带上定义域限制。 4.草图辅助分析：借助奇偶、单调性画出简易图像辅助思考，图像仅做分析，不能当作证明过程。 5.结果检验：答案必须满足定义域，验证是否符合全部已知条件。 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 2．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知二次函数满足，且，为上的偶函数，且当时，.    (1)求，的解析式； (2)在下列坐标系内作出函数的图像，若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)当时，记在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1)，； (2)或； (3). 【分析】（1）设二次函数，由和得到的值，计算得到；因为为上的偶函数及当时，.求出当时的表达式，将写出分段函数即可得解. （2）利用二次函数画出的图像，通过图像写出的单调递增和单调递减区间，由函数在区间上单调，得到或，计算得解； （3）因为在的左侧和右侧，影响在区间的最小值，所以按照和两种情况讨论求解. 【详解】（1）设二次函数，则， 因为， 故，所以，解得，则，所以； 因为为上的偶函数，且当时，. 当时，，可得， 又为偶函数，所以，所以当时，， 所以. （2）作出函数的图象，如图，      可得的单调递增区间为，，单调递减区间为，. 若函数在区间上单调，则或， 即或，解得或， 故实数a的取值范围是或. （3），函数的图象为    因为在的左侧和右侧，影响在区间的最小值， 所以按照和两种情况讨论求解， 当时，，此时； 当时，在区间上单调递增，所以. 综上可知，. 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1) ， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. (2)或. 【分析】（1）取，解得， 取，得到，故为奇函数. （2）由为奇函数，将转化为，将中的换，， 得到，代入，得到，利用得到，由是上的增函数，得到，解此不等式即可. 【详解】（1）略 （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 5．（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程） 【答案】(1)2 (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求出时，，即可求解的值. （2）结合二次函数的图象画出分段函数的图象即可. （3）根据图象，利用函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则，所以， 因为函数是奇函数，所以， 所以； （2）当时，，当时，， 当时，， 故函数图象如图所示： （3）要使在区间上单调递增， 结合图象可知，，解得， 所以实数a的取值范围是． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.2函数的基本性质 🔷知识点一 单调性与最大（小）值 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 (2) 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2.单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 3.函数最值 （1）函数最大值、最小值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值，对应图像最高点纵坐标 为最小值，对应图像最低点纵坐标 （2）值域与最值的关系：函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； 若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 4. 单调性常用判断方法 （1）定义法：取值→作差 或作商→变形→定正负→下结论； 步骤： ①取值：在区间内任意取两个自变量、，并且规定大小关系：。 ②作差或作商：计算两个函数值的差：，作商法适用前提：恒成立 ③变形对第二步得到的差（或商）进行因式分解、通分、配方、有理化等恒等变形，把式子拆成能直接判断正负的乘积或平方和形式，不能保留复杂整体。 ④定正负：结合、以及变形后的式子结构，判断整体是大于 0 还是小于 0；若用商法，则判断大于 1 还是小于 1。 ⑤下结论： 若，即，则函数在区间上单调递增； 若，即，则函数在区间上单调递减。 （2）图象法：看图升降直接判断单调区间； （3）四则运算性质（公共定义域内） 增增增；减减减；增减增；减增减； 与单调性相反； （4)复合函数 “同增异减”：内层、外层单调性相同则复合函数递增，内外单调性相反则复合函数递减。 💡拓展延伸 1.函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． （5）若关于直线轴对称，则；函数在与单调性相反。 （6）若关于点中心对称，则；函数在与单调性相同。 ⚠️特别提醒 1. 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 2.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，复合函数求单调区间，必须先求函数总定义域，再分层判断。 3.“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 4.定义法证明单调性，必须在同一区间内任意选取，不能取特殊值； 5.最值必须能取到，只满足不等式但无对应自变量，不能称作最值； 📌归纳总结 判断单调性优先图像，证明单调性只能用定义；求闭区间最值，同时比较区间端点与极值；复合函数先定定义域，再遵循同增异减规则。 🔷 知识点二 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 2. 函数奇偶性结论 （1）定义域关于原点对称是函数具备奇偶性必要前提，不对称则非奇非偶； （2）奇函数若在处有定义，则一定满足； （3）同时满足与的函数为既奇又偶，解析式恒等于 0； （4）对称区间单调性：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；（奇同偶异）。 （5）若函数是偶函数，则． 3.奇偶四则运算 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ⚠️特别提醒 1.判断函数奇偶性的第一步先检查定义域是否关于原点对称，跳过定义域直接化简极易出错，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2.只能作为奇函数必要条件，不是充分条件，不能仅凭判定奇函数； 3.偶函数只能写，去掉绝对值简化计算，奇函数无该结论。 📌归纳总结 判断奇偶先看定义域对称性，再代入对比函数式；奇函数原点有定义必取 0，奇偶函数对称区间增减规律记为 “奇同偶异”。 💡拓展延伸 函数周期性结论 1.仅轴对称：关于、两条直线对称，且不等于，可推出函数最小正周期为 2.仅中心对称：关于、两个点对称，且不等于，可推出函数最小正周期为 3.一轴一对称中心：存在一条对称轴，同时拥有一个对称中心，可推出函数最小正周期为 4.奇偶与周期常用组合 （1）函数为偶函数，且满足，则函数最小正周期为 （2）函数为奇函数，且满足，则函数最小正周期为 （3）若，为函数周期；奇函数满足，因此可推出 5.易错点 周期函数不唯一，最小正数周期叫最小正周期；常函数无最小正周期。 周期只能平移重复图像，不能直接改变区间单调性，需结合对称转换自变量。 🔷 知识点三　单调性与奇偶性综合性质 1.偶函数：，比较函数值、解不等式可直接转化为正数区间分析； 2.奇函数：，可将负数自变量转化为正数自变量计算； 3.抽象不等式解题核心：利用奇偶统一符号，再利用单调性脱去符号，同时保留定义域约束。 ⚠️特别提醒 1.脱去符号时，自变量必须全部落在函数定义域内； 2.同时含奇偶性、单调性的不等式，优先利用奇偶性把自变量转化到同一单调区间再比较。 📌归纳总结 奇偶性负责统一自变量正负，单调性负责去掉函数符号，两步结合解抽象函数不等式，全程不能忽略定义域限制。 💡拓展延伸 函数对称性与周期性 1. 轴对称（直线对称） 图像关于直线对称 2. 中心对称（点对称） 图像关于点对称 3. 周期性推导 （1）（函数周期为a） （2） （3） （4）函数存在两条对称轴 （5）函数存在两个对称中心 （6）函数拥有一条对称轴，同时存在一个对称中心 4. 综合结论 1.一个函数既是奇函数，图像又存在直线对称轴，那么该函数的最小正周期为； 2.一个函数既是偶函数，图像又存在直线对称轴，那么该函数的最小正周期为。 易错点 1 单调区间用并集符号连接 错例：单调递减区间写成 错因：函数在两个区间单独递减，但跨区间取数不满足递减定义，并集会产生逻辑错误。 规避方法：多个分开的单调区间，只用逗号或 “和” 隔开，禁止使用。 易错点 2 证明单调性取特殊值代替任意 错例：取满足，直接判定函数递增 错因：单调性定义要求区间内任意两个自变量，仅两组特殊值无法代表全部情况。 规避方法：证明必须设区间内任意，通过作差变形判断符号。 易错点 3 忽略定义域直接判断复合函数单调区间 错例：直接判断在递减，不考虑 错因：复合函数内层代数式必须有意义，未求总定义域直接分析区间。 规避方法：第一步先求整个函数定义域，再分层判断内外函数单调性。 易错点 4 不检验定义域直接判定奇偶函数 错例：，直接判定为偶函数 错因：定义域不关于原点对称，不满足奇偶函数前提。 规避方法：判断奇偶第一步先观察定义域是否关于原点对称。 易错点 5 认为的函数一定是奇函数 错例：满足，误判为奇函数 错因：只是奇函数的必要条件，不是充分条件，仍需验证。 规避方法：仅有函数值不能下结论，必须代入任意验证等式。 易错点 6 解偶函数不等式忘记转化绝对值 错例：偶函数在递增，由直接写 错因：偶函数自变量正负不影响函数值，负数区间未纳入讨论。 规避方法：统一写成，再利用单调性求解。 易错点 7 认为区间端点不影响最值，直接忽略 错例：，，误写最小值为 1，最大值 3 错因：3 不在定义域内，无法取到，不存在最大值。 规避方法：最值对应的自变量必须属于定义域，取不到的数不能作为最值。 题型一： 判断或证明函数单调性 📝方法技巧 1.图像判断（仅选择填空，不能证明）：图像从左上升为增，下降为减； 2.定义证明（大题唯一严谨方法，固定五步） ① 取值：② 作差：③ 变形④ 定号⑤ 下结论： 3.复合函数判断（同增异减，必先求定义域） 拆分内层、外层，内外单调性相同则复合递增，相反递减；定义域优先。 4.四则运算（公共定义域内成立） 增函数加增函数结果仍为增函数；减函数加减函数结果仍为减函数；增函数减去减函数得到增函数；减函数减去增函数得到减函数； 与单调性相反；单调性相反（）。 1． （2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 2． （2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 3．（2026高三上·广东·学业考试）已知函数 (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的单调性． 4．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）证明：函数是严格增函数. 5．（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 题型二：求函数单调区间 📝方法技巧 1.二次函数：先求对称轴，结合开口方向写出单调区间，严格带上定义域限制； 2.根式、分式复合函数：第一步求解使解析式有意义的定义域，再分层利用同增异减； 3.分段函数：每一段单独判断增减，分段写出单调区间，区间之间用逗号或“和”分隔，严禁∪连接；端点按需合并； 4.图像类函数：直接观察图像升降分段，标注清楚空心、实心端点对应的区间边 1．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的单调区间． (1). (2). 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 5．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是________． 6.（25-26高三·全国·一轮复习）试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 题型三： 利用单调性比较函数值大小 📝方法技巧 1.同单调区间：直接根据增减性，自变量大则增函数函数值大，减函数函数值小； 2.自变量正负不同：奇函数转化为对称区间正数，偶函数统一写成绝对值再比较； 3.抽象函数：借助奇偶性质把所有自变量转化到同一个单调区间再对比； 4.含参数自变量：分类讨论参数范围，确定自变量相对大小后比较。 1.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 题型四： 由单调性求参数取值范围 📝方法技巧 1.一次、二次基础函数：根据单调性限制一次项系数、二次对称轴范围，列不等式求解； 2.复合函数：分内层、外层单调要求，结合定义域联立不等式； 3.分段函数整体单调：①每一段自身满足增减；②左侧区间端点函数值小于等于（递增）或大于等于（递减）右侧区间端点函数； 4.恒单调题型：区间内任意满足恒正或恒负，分离参数求范围。 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 4．（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 5．（高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 题型五：求函数最大值与最小值 📝方法技巧 1.闭区间连续函数：先判断单调区间，计算区间端点、极值点函数值，全部对比选出最大、最小； 2.开区间、无穷区间：端点无法取到则无对应最值，仅存在上界或下界； 3.二次函数配方法：配方找到顶点，结合给定自变量区间判断顶点是否可取； 4.数形结合：画出函数图像，最高点纵坐标为最大值，最低点为最小值； 5.奇偶函数：只需求正数区间最值，对称区间可直接推导负数区间最值。 1.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 2.（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 3.（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 4．（广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是__________. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 6.（25-26高一上·安徽宣城·期中）已知正数与函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)求函数在上的最大值； (3)若函数在上的最大值为5，求的值. 题型六：判断函数奇偶性 📝方法技巧 1.第一步判定定义域是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶； 2.定义域对称时代入，化简，对比、； ①偶函数； ②奇函数； ③两式都不满足则非奇非偶； 3.快速技巧：奇函数原点有定义直接验证，可快速排除非奇函数。 1．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2027高考一轮数学北师）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 5.(2026高三·全国·专题练习）若函数是奇函数，则函数关于点中心对称．( ) 题型七： 利用奇偶性求函数解析式 📝方法技巧 1.求哪一段解析式，就设该区间内自变量； 2.构造，转化到已知解析式的区间，写出； 3.利用（偶）或（奇）变形，解出； 4.单独验证，分段书写完整解析式。 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 3．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的解析式为________. 4.已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 5. （25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 题型八：利用奇偶性求函数值 📝方法技巧 1.奇函数：，负数自变量转为正数计算； 2.偶函数：，正负自变量函数值相等； 3.同时含、的等式，将替换为联立方程组求解； 4.奇函数在有定义，直接得快速求值。 1．（25-26高二下·江西上饶·期末）是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广西贺州·期末）已知是定义域为的奇函数，若为偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 6．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 题型九：单调性和奇偶性综合解不等式 📝方法技巧 1.利用奇偶变形：奇函数消去负号，偶函数统一绝对值； 2.把不等式两边全部转化为形式； 3.根据函数单调性去掉符号，得到自变量不等式； 4.联立函数定义域，取交集得到最终解集； 5.抽象函数全程保证所有自变量在定义域、同一单调区间内。 1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 题型十： 函数性质的综合应用 📝方法技巧 1.梳理题干条件：先确定定义域，标记已知的奇偶性、单调性、特殊点函数值。 2.转换区间：利用奇偶性、周期性、对称性，将未知区间问题转化到已知区间上分析。 3.单调性脱去符号 先把不等式整理成与比较的形式，同一单调区间内： 增函数： 减函数： 列式时必须带上定义域限制。 4.草图辅助分析：借助奇偶、单调性画出简易图像辅助思考，图像仅做分析，不能当作证明过程。 5.结果检验：答案必须满足定义域，验证是否符合全部已知条件。 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 2．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知二次函数满足，且，为上的偶函数，且当时，.    (1)求，的解析式； (2)在下列坐标系内作出函数的图像，若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)当时，记在区间上的最小值为，求的表达式. 4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 5．（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程） 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $