拓展专题01：函数的周期性学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

拓展专题01：函数的周期性 1、 知识点自主预习 周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得 恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期， 则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1 ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数； ③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦，则是以为周期的周期函数. 二、典例详解 考点01：函数周期性的定义与求解 例1：1．定义在R上的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．－1 D．2022 【答案】A【详解】因为，可得，所以，所以的周期为4，函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，. 2．（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（       ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．时， 【答案】AB 解：因为定义在上的函数满足，所以是偶函数，故A正确； 又，所以是以为周期的周期函数，故B正确； 设，则，所以，又是偶函数， 则，即当时，故D错误； ，故C错误； 考点02：由周期性求函数的解析式 例2：1．设函数的定义域为R，满足，且当时.则当，的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由知：周期为1，∴令，有则， ∴， 故在上的最小值为. 2．已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 【答案】 解：因为当时，,是定义在上周期为的函数所以，， 考点03：判断证明抽象函数的周期性 例3：1．定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，定义在上的函数满足，所以， 所以是周期为的周期函数. 2．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则______． 【答案】1 【详解】由题得，所以函数的周期为4. ,所以. 考点04：函数周期性的应用 例4：1．如果今天是2021年6月22日（星期二）那么两百天后是（       ） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】C【详解】因为，，所以两百天后是星期六. 2．奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为_______. 【答案】5 【详解】函数是定义在上的奇函数，故，又，即周期为，，又由，且 ，，故在区间，方程根有，，，，， 个数最小值是个， 考点05：由函数的周期性求函数的值 例5：1．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A【详解】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即 所以. 2．已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（       ） A．0 B．1 C．6 D．216 【答案】C【详解】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故 考点06：由抽象函数周期性求函数的值 例6：1．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ） A．1 B．-1 C．2 D．-3 【答案】B 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以． 2．已知函数对任意都有且成立，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知．又， ，，， 函数是周期为的周期函数，，，． 由可得，即，. 三、练习提升 1．如果今天是星期三，那么天后的那一天是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】C 【分析】只要求出2025除以7的余数即可. 【详解】由， 所以周三，2天后的那一天是星期五. 故选：C. 2．若函数满足，且当时，，则（   ） A． B．10 C．4 D．2 【答案】B 【分析】利用周期性求值即可. 【详解】由，得， ∴函数是周期函数，且4是它的一个周期. 又当时，， ∴， 故选：B. 3．是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用周期性与奇函数性质求的值. 【详解】因为是定义在上周期为的奇函数， 所以. 故选：C. 4．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 5．已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据为奇函数，得到，根据，得到的周期为4，进而运用周期求解. 【详解】由为定义在上的奇函数，得，得， 由得，所以的周期为4， 所以 故选：B. 6．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（） A．点A处 B．点B处 C．O、A之间 D．O、B之间 【答案】D 【分析】根据周期性求得正确答案. 【详解】钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒， 又，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间. 故选：D 7．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案. 【详解】是定义在上的奇函数，所以， ， 所以是周期为的周期函数，所以. 故选：B 8．定义在上的满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知函数的一个周期为，根据周期性分析求解即可． 【详解】因为，则， 可知函数的一个周期为， 当时，， 所以． 故选：A． 9．（多选）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案. 【详解】对于A：函数为奇函数，则， 则， 则的一个周期为4，故A正确； 对于B：，则函数关于对称，故B正确； 对于C：的一个周期为4， ， 令中的，则， 函数为定义在上奇函数， ， ，故C正确； 对于D：的一个周期为4， ， 函数为奇函数， ， ，故D错误； 故选：ABC. 10．（多选）已知函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件，可知函数的周期， 因为，则. 故选：CD 11．（多选）已知定义在R上的连续函数是偶函数，且满足，且，，，都有，则（    ） A． B．在单调 C． D．在有三个极值点 【答案】CD 【分析】通过周期性定义以及题干条件可以判断A，利用的周期性、奇偶性以及在的单调性可以判断B和C，利用的奇偶性即可判断D. 【详解】由可知，所以，A错误； 因为,，，都有，所以在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，由周期性可知在单调递增，所以在不单调，B错误； 由A项知的周期为8，所以，又，且在单调递增，故，C正确； 由为偶函数知是的一个极值点，又的周期为8，则是的一个极值点，又，，则，所以的图象关于直线对称，即是的一个极值点，因此在内有三个极值点，D正确； 故选：CD. 12．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的周期性与奇偶性，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为2的偶函数， 所以， 又当时，，所以， 所以. 故答案为：. 13．已知函数满足.当时，，则 . 【答案】8 【分析】根据周期即可求解. 【详解】因为，所以是以3为周期的周期函数， 所以. 故答案为：8 14．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】由题知，再代入求解即可． 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以， 当时，， 则． 故答案为：． 15．函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式. 【答案】 【分析】根据函数的周期性求得正确答案. 【详解】依题意，函数是以4为周期的周期函数， 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. 16．若定义在上的奇函数满足，当时，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案. （2）根据函数解析式的求法求得正确答案. 【详解】（1）定义在上的奇函数满足， ，， ，即函数是以4为周期的周期函数 ． （2）当时，，当时，， ， 又当时，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题01：函数的周期性 1、 知识点自主预习 周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得 恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期， 则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, 1 ，则是以为周期的周期函数； ②，则是以为周期的周期函数； ③，则是以为周期的周期函数； ④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数. ⑥，则是以为周期的周期函数. ⑦，则是以为周期的周期函数. 二、典例详解 考点01：函数周期性的定义与求解 例1：1．定义在R上的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．－1 D．2022 2．（多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（       ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．时， 考点02：由周期性求函数的解析式 例2：1．设函数的定义域为R，满足，且当时.则当，的最小值是（       ） A． B． C． D． 2．已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 考点03：判断证明抽象函数的周期性 例3：1．定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（       ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则______． 考点04：函数周期性的应用 例4：1．如果今天是2021年6月22日（星期二）那么两百天后是（       ） A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日 2．奇函数定义在上，且对常数，恒有，则在区间上，方程根的个数最小值为_______. 考点05：由函数的周期性求函数的值 例5：1．已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 2．已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（       ） A．0 B．1 C．6 D．216 考点06：由抽象函数周期性求函数的值 例6：1．已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（       ） A．1 B．-1 C．2 D．-3 2．已知函数对任意都有且成立，若，则的值为（       ） A． B． C． D． 三、练习提升 1．如果今天是星期三，那么天后的那一天是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 2．若函数满足，且当时，，则（   ） A． B．10 C．4 D．2 3．是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 5．已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 6．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是（） A．点A处 B．点B处 C．O、A之间 D．O、B之间 7．已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 8．定义在上的满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 10．（多选）已知函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知定义在R上的连续函数是偶函数，且满足，且，，，都有，则（    ） A． B．在单调 C． D．在有三个极值点 12．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 13．已知函数满足.当时，，则 . 14．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 ． 15．函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式. 16．若定义在上的奇函数满足，当时，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $