江苏省如皋中学2025-2026学年第二学期综合练习（一）数学试题

江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（一） 高二数学 命题人：曹春茂 命题中心审核人：钱如美 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知离散型随机变量满足，且，则（ ） A. 0.07 B. 0.03 C. 0.09 D. 3. 已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（ ） A. 0.30 B. 0.26 C. 0.24 D. 0.20 5. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 6. 被8除的余数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 7. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则与相互独立 D. 若，则 10. 甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（ ） A. 若甲和乙相邻，共有48种排法 B. 若甲不排第一个共有96种排法 C. 若甲与丙不相邻，共有36种排法 D. 若甲在乙的前面，共有60种排法 11. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（，2，3）表示第i次抽到红球的个数，则下列结论中正确的是（ ） A. X的分布列为，，2，3 B. X的方差 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，且，则___________． 13. 已知，则的值为________．（用数字作答） 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两选手进行象棋比赛，采用五局三胜制.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且每局的胜负相互独立. （1）求比赛三局定胜负的概率； （2）在甲第一局获胜的前提下，设还需进行的局数为，求的分布列与数学期望. 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，为的中点. （1）证明：平面平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； （3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 18. 某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. （1）在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; （2）在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（一） 高二数学 命题人：曹春茂 命题中心审核人：钱如美 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】121 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 的分布列为： 2 3 4 期望： 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【18题答案】 【答案】（1） 0 1 2 （2）66 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i），， 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为 ，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且，所以， 故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列. （ii）能 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $