江苏省启东中学2025-2026学年高二下学期数学周考期末综合三

**基本信息** 试卷注重真实情境与综合能力考查，如枸杞收益回归分析、翻折问题二面角求解等，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式定理、排列组合、立体几何|结合“友情点对”新定义考查函数对称性| |多选题|3/18|概率、函数性质、空间角|以三棱锥为载体综合考查线面角与体积| |填空题|3/15|导数极值、正方体截面、距离最值|正方体动态截面问题考查空间观念| |解答题|5/77|回归分析、几何分布、圆锥、函数证明|宁夏枸杞收益模型体现数据意识，函数证明考查逻辑推理|

启东中学高二数学期末综合三 一、单选题(8小题,每小题5分,共40分) 1.已知(1+x+x2)的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤8,则n=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里,其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法数为 A.12 B.24 C.36 D.48 3.设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若,,则; ②若,,则; ③若,,,则; ④若,,,,,则. 其中所有真命题的序号是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①③④ 4.已知,则等于( ) A.9 B.11 C.-11 D.12 5.若复数z满足(为虚数单位),则的最小值为( ) A. B. C. D. 6.把二项式的展开式中所有的项重新排成一列,其中有理项都互不相邻的概率为( ) A. B. C. D. 7.若图象上存在两点,关于原点对称,则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若,,,则a、b、c满足的大小关系式是( ). A. B. C. D. 二、多选题3小题,每小题6分,共18分 9.甲罐中有2个黑球,5个白球,乙罐中有4个黑球,3个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,事件表示“由甲罐取出的球是黑球”;再从乙罐中随机取出一球,事件表示“由乙罐取出的球是黑球”,则( ) A. B. C.事件 与事件相互独立 D. 10.已知函数及其导函数满足,且和均为偶函数,则( ) A.图象关于直线对称 B.是周期为4 的周期函数 C.的图象关于原点对称 D. 11.如图,在三棱锥中,侧棱,,两两垂直,且,,,为底面ABC内一动点(含边界),点P到三个侧面,,的距离分别为,,,直线OP和三条侧棱所成的角分别为,,,直线和三个侧面所成的角分别为,,,则( ) A.该三棱锥的外接球直径为 B. C. D. 三、填空题 3小题,每小题5分,共15分 12.设函数,若 ,是函数的两个极值点,现给出如下结论,正确的是_ ①;②;③当时,;④;⑤ 13.如图,在棱长为2的正方体中,,分别是棱,的中点,点在线段上运动,给出下列四个结论:①;②平面截正方体所得的截面图形是正五边形;③存在点,使得;④面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是_. 14.已知实数,满足,,则的最小值为_ 四、解答题本题共5小题,共77分 15.(13分)宁夏枸杞是中国国家地理标志产品.某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞,下表为年投入资金(万元)与年收益(万元)的8组数据: 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系,求出回归方程; (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片,预计其收益为投入的5%.2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品,求年总收益的最大值. 附:①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:, ② 161 29 20400 109 603 ③, 16.(15分)进行独立重复试验,设每次成功的概率为,将试验进行到首次成功时结束,以表示试验次数,则称服从以为参数的几何分布,记为,其中,. (1)若, (i)求和; (ii); (2)若,,, 求证:. 17.(15分)如图,将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为,圆锥的侧面积 .设是底面圆周上的两点,线段不经过点 O . (1)求圆锥的体积; (2)二面角 的大小为 ,求直线与平面所成角的大小. 18.(17分)在平面四边形中,,,将沿AC翻折至. (1)设,三棱锥的各个顶点都在球的球面上. (i)证明:平面平面; (ii)求球的半径; (2)求二面角的余弦值的最小值. 19.(17分)设函数. (1)判断函数的单调性; (2)若,且,求证:.