微专题 反证法的解读与应用讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学反证法复习讲义以“正难则反”为核心，通过知识框架图梳理反证法的“反设-归谬-结论”三步解题流程，用对比表格呈现常用关键词的否定形式，系统构建从概念本质到适用场景的知识脉络，突出“至多至少”“唯一性”等命题的重难点分布。 讲义亮点在于分层设计10类典型题型，如用反证法证明无理数、几何唯一性问题，结合费马大定理等传统文化题培养推理意识与创新思维。解析版提供详细推理步骤和易错点提醒，基础学生可掌握反设技巧，优秀学生能探究综合交汇题，助力教师实施精准化分层教学。

【学生版】 微专题 反证法的解读与应用 反证法是沪教版高中数学重要的间接证明方法。核心思路是 “正难则反”：先否定命题结论，以此为推理前提，结合已知条件、公理定理进行推导，最终推出矛盾，从而证明原结论成立。其逻辑依据是原命题与否定结论不能同时成立。 反证法解题分为三步：反设、归谬、结论。首先假设所要证明的结论不成立；接着合理推理，得出与已知条件、定义、公理或是临时假设相互矛盾的结果；最后由矛盾判定假设错误，确定原命题正确。 它常用于直接证明难度较大的题型，典型适用场景：证明 “至多、至少、唯一、不存在、无限” 类命题，以及部分正面情况繁多的几何、不等式证明，例如证明直线唯一、无理数相关结论。 运用时易错点在于反设不完整，遗漏结论反面的多种情况。学习反证法，不仅掌握证明技巧，更能锻炼逆向逻辑思维，完善数学推理体系。 1、相关知识准备 要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论；有时直接验证这一点并不是一件容易的事； 2、反证法的概念 对于命题“若，则”，首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法； 【注意】1、应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论；这一步是十分关键的只有这一步表述对了，接下来的逻辑推理才有意义； 2、数学上一些常用的否定形式： 3、反证法的一般步骤： （1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；【否定结论】 （2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；【推导矛盾】 （3）立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立；【命题成立】 【注意】1、在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定； 2、可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。 4、适合应用反证法的情形： ①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论． ③结论为“至少”、 “至多”、 “有无穷多个” ---类命题； ④结论为 “唯一”类命题； 题型1 反证法的概念辨析 例1、下列关于用反证法证明一个命题的说法中，正确的是（     ） A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾 C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 题型2 用反证法证明肯定性命题 例3、已知一个整数的平方能被整除，求证：是一个偶数； 例4、当实数时，求证：方程有且仅有一个实数解为； 题型3 用反证法证明否定性命题 例5、用反证法证明：“已知，若，则.” 例6、已知集合，，且. （1）用反证法证明; （2）若，求实数的值； 题型4 用反证法证明“至多”、“至少”命题 例7、若，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根； 例8、已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1． 题型5 用反证法证明唯一性命题 例9、已知，用反证法证明关于x的方程有且只有一个根. 例10、求证：平面上，两条相交直线有且只有一个交点； 题型6 用反证法证明方程问题 例11、设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 例12、已知，求证关于的二次方程，中至少有一个方程有实根． 题型7 用反证法证明无理数问题 例13、证明：是无理数. 例14、已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 题型7 用反证法证明几何问题 例13、用反证法证明命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是 例14、平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 题型8 反证法与传统文化的交汇 例15、在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（     ） A． B． C． D． 例16、十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是 A．存在至少一组正整数组使方程有解 B．关于的方程有正有理数解 C．关于的方程没有正有理数解 D．当整数时，关于的方程没有正实数解 题型9 反证法与逻辑推理的交汇 例17、利用反证法证明：个人中至少有两人生日相同； 例18、设，证明：“”不是“”的必要条件. 题型10 反证法与集合综合题的交汇 例19、设集合． （1）求证：，，； （2）用反证法证明：10不是集合的元素． 例20、记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. （1）求证：； （2）若，，求证：： （3）若u是非零有理数，且，求证：. 反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处；反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。 运用反证法证题时，还应注意以下三点： （1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏； （2）推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的； （3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊； 另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式. 关键词 否定 是 不是 都是 不都是 等于(＝) 不等于(≠) 大于(>) 不大于(≤) 小于(<) 不小于(≥) 能 不能 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有n－1个 至多有n个 至少有n＋1个 任意 存在 存在 任意 1．用反证法证明命题“关于的方程有且只有一个解”时，反设是关于的方程（     ） A．无解 B．有两解 C．至少有两解 D．无解或至少有两解 2．用反证法证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”时，反设是“关于的一元二次方程（     ） A．有两个相等实数根 B．无实数根 C．无实根或有两个相等实数根 D．只有一个实数根 3．用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”时，有如下三个步骤： ①，这与三角形内角和为矛盾，故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设有两个直角，不妨设. 上述步骤正确的顺序为（     ） A．③②① B．①②③ C．①③② D．③①② 5．命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________． 6．如果用反证法证明命题“设a，b∈R，则方程x2+ax+a-1=0至少有一个实根”，那么首先假设 7．已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设_______________. 8．设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________． 9．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名;乙说：我是第三名;丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是__________. 10．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 11．（1）设，证明：的充要条件为． （2）设，求证：至少有一个为负数． 12．已知元有限集合.，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出2个“二元和谐集”（无需写计算过程）； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素中，至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【解析版】 微专题 反证法的解读与应用 反证法是沪教版高中数学重要的间接证明方法。核心思路是 “正难则反”：先否定命题结论，以此为推理前提，结合已知条件、公理定理进行推导，最终推出矛盾，从而证明原结论成立。其逻辑依据是原命题与否定结论不能同时成立。 反证法解题分为三步：反设、归谬、结论。首先假设所要证明的结论不成立；接着合理推理，得出与已知条件、定义、公理或是临时假设相互矛盾的结果；最后由矛盾判定假设错误，确定原命题正确。 它常用于直接证明难度较大的题型，典型适用场景：证明 “至多、至少、唯一、不存在、无限” 类命题，以及部分正面情况繁多的几何、不等式证明，例如证明直线唯一、无理数相关结论。 运用时易错点在于反设不完整，遗漏结论反面的多种情况。学习反证法，不仅掌握证明技巧，更能锻炼逆向逻辑思维，完善数学推理体系。 1、相关知识准备 要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论；有时直接验证这一点并不是一件容易的事； 2、反证法的概念 对于命题“若，则”，首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法； 【注意】1、应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论；这一步是十分关键的只有这一步表述对了，接下来的逻辑推理才有意义； 2、数学上一些常用的否定形式： 3、反证法的一般步骤： （1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；【否定结论】 （2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；【推导矛盾】 （3）立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立；【命题成立】 【注意】1、在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定； 2、可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。 4、适合应用反证法的情形： ①直接证明困难; ②需分成很多类进行讨论． ③结论为“至少”、 “至多”、 “有无穷多个” ---类命题； ④结论为 “唯一”类命题； 题型1 反证法的概念辨析 例1、下列关于用反证法证明一个命题的说法中，正确的是（     ） A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾 C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 【提示】根据反证法的定义和使用方式，可依次判断选项的正误； 【答案】B； 【解析】反证法是：肯定条件，假设结论不正确，通过推理得到矛盾，故A错误，B正确； 对于C选项，经过推理得出的结论与原题条件矛盾，或者与公理矛盾，或者与正确的定理，定义矛盾，也是反证法的正确使用方式，故C错误； 对于D，原题的条件也能当做条件使用，故D错误； 故选：B； 【说明】本题考查了反证法的概念辨析、判断命题的真假； 例2、用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【提示】直接利用反证法的步骤，即可得到答案； 【答案】且； 【解析】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且； 【说明】本题主要考查了反证法的概念辨析； 题型2 用反证法证明肯定性命题 例3、已知一个整数的平方能被整除，求证：是一个偶数； 【提示】本题可以考虑：正难则反的证明思路；假设这个整数不是偶数，则设，进而推出与已知矛盾即可； 【证明】假设这个整数不是偶数，则由题意可知该数为奇数， 设该整数为，则， 显然是一个奇数不能被整除，这与已知条件矛盾， 所以假设不成立，所以这个整数是偶数； 【说明】本题考查反证法证明命题，解题的关键在于假设为奇数，则其平方不能被2整除，进而得矛盾，考查推理论证能力；当一个命题的已知条件较少，且从已知出发直接推证结论而感觉理由不足或感到说理不清时，而采用反证法却能打破僵局，由假设出发，得出矛盾是归宿；由此证明命题成立； 例4、当实数时，求证：方程有且仅有一个实数解为； 【提示】注意题设中的“有且仅有”； 【证明】先证存在性：由方程化简得,且，得出为方程的解； 再证唯一性：假设方程至少存在两个解，不妨设其中的两个解分别,且， 则有和成立， 两式相减并整理得， 因,则有 ①， 而事实上由：，得，必有， 这与①式矛盾；故假设不成立，从而知方程仅有一解； 综上所述，原命题获证； 【说明】要证唯一型命题，需先证存在性，再证唯一性，而正面证唯一性有难度，常用反证法化难为易；所谓“唯一”就是“有且仅有（只有）一个”，其反面是“没有或至少有两个”，而“没有”本身与“存在”就是对立面；故只需再否定“至少有两个”就能肯定得到“唯一”； 题型3 用反证法证明否定性命题 例5、用反证法证明：“已知，若，则.” 【提示】根据反证法定义提出合理假设，得出假设与命题矛盾即可； 【解析】假设， 则， 与矛盾， 故假设不成立，所以原命题成立； 【说明】本题主要考查了利用反证法证明否定性命题； 例6、已知集合，，且. （1）用反证法证明; （2）若，求实数的值； 【提示】（1）假设，则可得方程的两个根分别为1和3，将1和3分别代入方程，求出两个不同的值，从而可得矛盾即可， （2）由题意可得， 方程的根为1或3，从而可求出实数的值； 【答案】（1）证明见解析，（2）； 【解析】（1），， 假设，则可得方程的两个根分别为1和3， 所以方程无解， 所以假设不成立， 所以， （2）因为，，，, 所以或， 即方程的根只为1或3， 当方程的根只为1时，得，，则，其根为1或9，不合题意， 当方程的根只为3时，得，，则，其有两个 等的根3，符合题意， 综上，； 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、利用反证法证明否定性命题； 用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法；这类命题结论是否定的,而结论的反面是肯定的,用反证法证明易得结果;如结论中要证某些事物或元素是“不是什么、不可能什么、不具有什么特性”等含有否定量词的命题；   题型4 用反证法证明“至多”、“至少”命题 例7、若，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根； 【提示】假设上述三个方程都没有实数根，得到，得到，即得证； 【证明】假设上述三个方程都没有实数根， 则三个方程的判别式满足 不等式两边同时相加，得， 即， 即， 与矛盾，所以假设不成立， 所以一元二次方程和中至少有一个方程有实根． 【说明】本题主要考查了利用反证法证明“至少”问题； 例8、已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数中，至多有一个数不小于1． 【提示】至多一个的否定为至少两个，利用反证法假设a，b，c中至少有两个数不小于1，推导出矛盾的结果即可得证； 【证明】假设a，b，c中至少有两个数不小于1， 由m，n，p都是正整数 不妨设，则 ， ． 两式相加，得， 从而， 与条件p是正整数矛盾． 所以命题成立． 【说明】本题主要考查了利用反证法证明“至多”问题； 用反证法证明“至多”、“至少”等问题的两个关注点： 1、反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的； 2、常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法． 反证法证明； 题型5 用反证法证明唯一性命题 例9、已知，用反证法证明关于x的方程有且只有一个根. 【提示】首先假设方程至少存在两个根，然后结合已知条件推出矛盾即可求解； 【证明】假设方程至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为，且， 则，， 所以，即， 因为，所以， 故，这与已知矛盾. 故假设不成立，结论成立. 【说明】本题主要考查用反证法证明证明唯一性问题； 例10、求证：平面上，两条相交直线有且只有一个交点； 【提示】注意：两条相交直线确定平面与平面几何中“两条直线的位置关系”； 【解析】因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾； 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点； 【说明】当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一”等形式出现的命题时，由于，反设结论易于导出矛盾，所以，用反证法证明唯一型命题比较简单；证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性； 题型6 用反证法证明方程问题 例11、设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 【提示】利用反证法，假设方程有整数根，，则，然后分为偶数和为奇数，进行推理即可； 【证明】假设方程有整数根，，则，即． ①若为偶数，则与均为偶数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾； ②若为奇数，则与均为奇数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾． 综上所述，方程无整数根； 【说明】本题考查了反证法在证明方程方面的应用； 例12、已知，求证关于的二次方程，中至少有一个方程有实根． 【提示】由于正面求证比较困难，考虑用反证法加以证明，即与都无实根； 【证明】假设原命题不成立, 即与都无实根. 所以， 两式相加得: ,即 又因为，，所以， 即:,此式显然不成立. 故假设不成立,原命题是正确的 【说明】本题考查了反证法在证明方程方面的应用； 题型7 用反证法证明无理数问题 例13、证明：是无理数. 【提示】利用反证法证明即可； 【证明】假设是有理数， 因为，所以不是整数， 则不妨设（、为互质正整数）， 从而，所以， 因为是的倍数，所以是的倍数， 又是正整数，所以是的倍数， 设是正整数），则，则， 因为是的倍数，所以是的倍数， 又是正整数，所以也是的倍数， 这样，，就不是互质的正整数， 与假设矛盾，所以不可能（、为互质正整数）， 所以是无理数； 【说明】本题考查了利用反证法证明有关无理数问题； 例14、已知x是有理数，y是无理数，求证：是无理数． 【提示】运用反证法进行证明即可； 【证明】假设是无理数不成立，即是有理数， 因为x是有理数，所以是互质的整数， 因为是有理数，所以是互质的整数， 因此，因为是整数，显然也是整数， 故y是有理数，这与已知y是无理数矛盾，故假设不成立，所以是无理数； 【说明】本题考查了利用反证法证明有关无理数问题； 题型7 用反证法证明几何问题 例13、用反证法证明命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是 【提示】依据命题的否定即可求得结论的否定为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角”； 【答案】在一个三角形中至少有两个内角是钝角； 【解析】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角” 的否定 为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角” 故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角； 【说明】本题考查了写出简单命题的非命题，以及用反证法解答平面几何问题； 例14、平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 【提示】利用反证法来证明； 【解析】假设过在同一条直线上的三个点可以作一个圆． 则该圆与直线有三个交点，这与直线与圆最多有2个交点相矛盾， 所以假设不成立，即过在同一条直线上的三点不能作圆． 【说明】本题考查了利用反证法证明平面几何问题； 题型8 反证法与传统文化的交汇 例15、在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（     ） A． B． C． D． 【提示】根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解； 【答案】B； 【解析】有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x， 除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10， 2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1， 不满足除以11余10， 2111全都满足 故选：B 【说明】本题以中华民族优秀传统文化为背景，考查推理，涉及数论相关知识，考查了反证法与传统文化的交汇； 例16、十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是 A．存在至少一组正整数组使方程有解 B．关于的方程有正有理数解 C．关于的方程没有正有理数解 D．当整数时，关于的方程没有正实数解 【提示】由于B,C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.利用反证法，先假设有正有理数解，然后推出跟题目所给费马大定理矛盾，由此得出方程没有正有理数解； 【答案】C； 【解析】由于B,C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于的方程有正有理数解，故可写成整数比值的形式，不妨设，其中为互质的正整数，为互质的正整数.代入方程得，两边乘以得，由于都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于的方程没有正有理数解.故选C. 【说明】本小题主要考查对新概念的理解和运用，考查了反证法证明命题成立，考查了有理数的概念与性质；有理数是有限小数或者无限循环小数；另一种说法是有理数是可比数，即可以写成两个整数比值的数.根据有理数的性质，利用反证法，推出和费马大定理矛盾的结果，由此得出正确选项； 题型9 反证法与逻辑推理的交汇 例17、利用反证法证明：个人中至少有两人生日相同； 【提示】假设结论不成立，可知有个不同的生日日期，根据一年总共才或个日期推出矛盾，由此可得出结论成立； 【证明】假设个人中生日各自都不相同，那么就有个不同的生日日期， 但一年总共才或个日期，产生矛盾，假设不成立， 所以个人中至少有个人生日相同. 【说明】本题考查了反证法与逻辑推理的交汇； 例18、设，证明：“”不是“”的必要条件. 【提示】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可； 【证明】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、必要条件、反证法证明； 题型10 反证法与集合综合题的交汇 例19、设集合． （1）求证：，，； （2）用反证法证明：10不是集合的元素． 【提示】（1）找出使，，得到答案. （2）假设10是的元素，则，讨论方程成立的各种情况，均无解，得证. 【解析】（1）易知：，， 故，， （2）假设10是的元素，则存在、，使得， 因为同为奇数或者同为偶数， 所以假设不成立 所以，10不是的元素． 【说明】本题综合考查了反证法与集合知识和方法；考查了集合的元素与集合关系，反证法，意在考查学生的逻辑推理能力. 例20、记有理数集Q的非空子集S具有以下性质：①：②若，，则；③存在非零有理数q，且每一个不在S中的非零有理数都可写成qs的形式，其中. （1）求证：； （2）若，，求证：： （3）若u是非零有理数，且，求证：. 【提示】（1）根据定义令即可证明； （2）先令，，可得，再令，，即可证明； （3）由题意可得于是，利用反证法，假设，即可证明. 【解析】（1）令，则. （2）由（1）知， 若，令，，则， 若，令，，则. （3）由，则存在且，使得，其中， 于是， 假设，可设，，则，矛盾， 所以， 由，，可得. 【说明】本题综合考查了反证法证明、集合新定义； 反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处；反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。 运用反证法证题时，还应注意以下三点： （1）必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏； （2）推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的； （3）在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊； 另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式. 关键词 否定 是 不是 都是 不都是 等于(＝) 不等于(≠) 大于(>) 不大于(≤) 小于(<) 不小于(≥) 能 不能 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有n－1个 至多有n个 至少有n＋1个 任意 存在 存在 任意 1．用反证法证明命题“关于的方程有且只有一个解”时，反设是关于的方程（     ） A．无解 B．有两解 C．至少有两解 D．无解或至少有两解 【答案】D； 【解析】因为“只有唯一”的反设是“无解或至少两种解”. 故选：D. 2．用反证法证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根”时，反设是“关于的一元二次方程（     ） A．有两个相等实数根 B．无实数根 C．无实根或有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【解析】证明“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根” 反证法需假设“关于的一元二次方程无实根或有两个相等实数根， 推出矛盾. 故选：C 3．用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 【答案】B； 【解析】反证法的步骤是先假设命题的结论不成立. 原结论是 “”，其否定是 “或”（因为 “且” 的否定是 “或”）. 所以在证明时应假设 “已知，或”， 故选： B. 4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”时，有如下三个步骤： ①，这与三角形内角和为矛盾，故假设错误. ②所以一个三角形不能有两个直角. ③假设有两个直角，不妨设. 上述步骤正确的顺序为（     ） A．③②① B．①②③ C．①③② D．③①② 【答案】D； 【解析】根据反证法的步骤： 第一步：假设有两个直角，不妨设； 第二步：，这与三角形内角和为矛盾，故假设错误； 第三步：所以一个三角形不能有两个直角. 故正确顺序为：③①② 故选：D 5．命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________． 【答案】；   【解析】考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或. 6．如果用反证法证明命题“设a，b∈R，则方程x2+ax+a-1=0至少有一个实根”，那么首先假设 【答案】方程x2+ax+a-1=0没有实数根 【解析】反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， 所以用反证法证明命题“设a，b∈R，则方程x2+ax+a-1=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+a-1=0没有实数根． 故答案为方程x2+ax+a-1=0没有实数根 7．已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设_______________. 【答案】m、n不都是奇数 【解析】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 8．设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________． 【答案】且 【解析】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 9．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名;乙说：我是第三名;丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是__________. 【提示】若甲正确,则乙与丙错误.则甲不是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,矛盾,假设不成立;若乙正确,甲与丙错误.则甲是第三名,乙是第三名,丙是第一名,矛盾,假设不成立; 若丙正确,甲与乙错误.则甲是第三名,乙不是第三名,丙不是第一名,即乙是第一名,丙是第二名,甲是第三名,假设成立； 【答案】甲； 【解析】解:若甲的预测正确,乙与丙预测错误.则甲不是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,即甲乙丙都不是第三名,矛盾,假设不成立; 若乙的预测正确,甲与丙预测错误.则甲是第三名,乙是第三名,丙是第一名,即甲乙都是第三名,矛盾,假设不成立; 若丙的预测正确,甲与乙预测错误.则甲是第三名,乙不是第三名,丙不是第一名,即乙是第一名,丙是第二名,甲是第三名,假设成立. 故答案为:甲 10．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 【提示】从命题的否定入手可解； 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和； 【解析】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和； 11．（1）设，证明：的充要条件为． （2）设，求证：至少有一个为负数． 【提示】（1）分别证明充分性和必要性即可. （2）方法一：采用反证法，先假设，对两边平方并整理，根据假设的的范围分析得到与题干矛盾的结论，从而假设错误，结论得证. 方法二：采用反证法，先假设，根据可得，从而得到，相加得到，与题干条件矛盾，从而假设错误，结论得证. 【解析】（1）证明：充分性：若，则， ， ，， ． 必要性：若， 则，， ， ． （2）证明：方法一：假设， ， ， ， ， ， ，与矛盾， 至少有一个为负数． 方法二：假设， ， ， ， ， 与矛盾， 至少有一个为负数； 12．已知元有限集合.，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出2个“二元和谐集”（无需写计算过程）； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素中，至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【提示】（1）由“元和谐集”的概念易得结果； （2）利用反证法进行证明； （3）设满足要求，则，不妨设，，从而可得，，从而可得答案. 【解析】（1），，答案不唯一，只要满足即可 （2）假设， 因为集合中的元素互异，所以，不妨设，则 ， 因为是“二元和谐集”，所以，即.① 因为，所以，故， 结合①得这与假设矛盾， 所以元素中至少有一个大于2. （3）有，一个，理由如下： 假设正整数集是“三元和谐集”，则② 不妨设，则由②可得，所以， 又因为是互不相等的正整数，所以只能是，代入②得， 所以元素均为正整数的“三元和谐集”有且仅有1个，为. 第24页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $