微专题 例析对充分条件与必要条件的理解与应用讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义通过概念解析、表格对比及集合关系转化构建充分条件与必要条件的知识体系，用表格呈现命题真假与条件关系的对应，梳理定义法、命题判断法等核心方法，突出四种条件关系的逻辑推导与内在联系。 讲义亮点在于分8类题型系统训练，如判断充分不必要条件（例1三角形锐角与内角有锐角）、充要条件证明（例13方程根与等式关系），结合集合子集关系直观理解条件，培养推理能力与模型观念，基础题巩固概念，综合题提升逻辑分析，助力分层提升，为教师提供清晰知识脉络与典型例题支持精准教学。

【原卷版】 微专题 例析对充分条件与必要条件的理解与应用 沪教版高中数学必修一，《第1章 集合与逻辑》1.2.2 充分条件与必要条件中，充分条件、必要条件建立在命题 “若，则” 之上；若由条件可以推出结论，即，则称是的充分条件，是的必要条件。 充分条件重在 “足够、够用”：只要满足，就一定能得到，但达成未必只有这一条路径。必要条件重在 “必不可少”：想要得到，前提必须满足，缺少就一定得不到，但仅有不一定推出。 当且时，是的充要条件，二者等价； 学习时要区分四种关系：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要； 判断核心是理清推导方向，不能颠倒条件与结论。这一知识搭建起逻辑推理基础，常用于集合、方程、不等式问题，帮助严谨分析命题间的逻辑关联。 1、充分条件、必要条件的概念 对于两个陈述句是，如果，则称是的充分条件（sufficient condition），或称是的必要条件（necessary condition）； 【注意】（1）充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若则”是真命题 “若则”是假命题 推出关系 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 （2）的含义： ①“若，则”形式的命题为真命题； ②由条件可以得到结论； ③是的充分条件或的充分条件是；是的必要条件或的必要条件是； ④只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于的成立是必要的； ⑤为得到结论，具备条件就可以推出； 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已； 2、充要条件的概念 对于两个陈述句是，如果既有，又有，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件；记作：；读作“与等价”或“成立当且仅当成立”； 【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：，且，记作；（2）简称：是的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：，则是的充要条件或是的充要条件，即与互为充要条件； 3、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 4、从逻辑推理关系理解充分条件、必要条件、充要条件的判断 命题“若，则”，其条件与结论之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 5、从集合与集合间的关系理解充分条件、必要条件、充要条件的判断 若，， ①若，则是的充分条件，是的必要条件； ②若，则是的充分不必要条件；若，则是的必要不充分条件； ③若，则、互为充要条件； ④若不是的子集且不是的子集，则是的既不充分也不必要条件． 6、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件是否是的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若，则β”为真且“若，则”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明与的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 题型1 判断命题的充分不必要条件 例1、已知：“三角形是锐角三角形”， ：“三角形的内角中有锐角”，则是的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】 【答案】 【解析】 例2、请写出不等式的一个充分不必要条件___________． 题型2 根据充分不必要条件求参数 例3、已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______. 例4、已知集合，集合． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 题型3 判断命题的必要不充分条件 例5、“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6、努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 题型4 根据必要不充分条件求参数 例7、已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 例8、已知集合，. （1）当时，求，； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； 题型5 充分、必要、充要条件的判断 例9、已知三条线段的长分别为a，b，c，若，则“”是“a，b，c为某三角形三边长”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例10、已知集合，，则“且”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6 根据充要条件求参数取值范围 例11、若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 例12、设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 题型7 充要条件的证明 例13、证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 例14、设集合． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 题型8 探求命题为真的充要条件 例15、已知集合，非空集合. （1）若是的必要条件，求实数m的取值范围; （2）是否存在实数m，使是的充要条件. 例16、已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论； （2）判断若，则是否成立时注意利用等价命题； （3）可以用反例说明由推不出，但不能用特例说明由可以推出； 2、充分条件、必要条件、充要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件； （2）命题判断法： ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件； 3、充要条件的判断通常有四种结论： 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件； 判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 4、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 1．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．设有非空集合A、B、C，若“”的充要条件是“且”，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，是的必要条件.现有下列命题： ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件； ③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件； ⑤是的充分 条件而不是必要条件，则正确命题序号是（    ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 5．命题“”是命题“”的 条件． 6．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为___________. 7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 8．已知集合，非空集合，若是的必要条件，则实数m的取值范围为______． 9．已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 10．已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件， q是s的必要条件.现有下列命题: ①s是q的充要条件　②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件　④r是s的充分条件而不是必要条件 则正确命题序号是 11．集合，， （1）当，集合A是B的什么条件？ （2）若A是B的必要不充分条件，求a的值. 12．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． （1）求； （2）已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【解析版】 微专题 例析对充分条件与必要条件的理解与应用 沪教版高中数学必修一，《第1章 集合与逻辑》1.2.2 充分条件与必要条件中，充分条件、必要条件建立在命题 “若，则” 之上；若由条件可以推出结论，即，则称是的充分条件，是的必要条件。 充分条件重在 “足够、够用”：只要满足，就一定能得到，但达成未必只有这一条路径。必要条件重在 “必不可少”：想要得到，前提必须满足，缺少就一定得不到，但仅有不一定推出。 当且时，是的充要条件，二者等价； 学习时要区分四种关系：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要； 判断核心是理清推导方向，不能颠倒条件与结论。这一知识搭建起逻辑推理基础，常用于集合、方程、不等式问题，帮助严谨分析命题间的逻辑关联。 1、充分条件、必要条件的概念 对于两个陈述句是，如果，则称是的充分条件（sufficient condition），或称是的必要条件（necessary condition）； 【注意】（1）充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若则”是真命题 “若则”是假命题 推出关系 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 （2）的含义： ①“若，则”形式的命题为真命题； ②由条件可以得到结论； ③是的充分条件或的充分条件是；是的必要条件或的必要条件是； ④只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于的成立是必要的； ⑤为得到结论，具备条件就可以推出； 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已； 2、充要条件的概念 对于两个陈述句是，如果既有，又有，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件；记作：；读作“与等价”或“成立当且仅当成立”； 【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：，且，记作；（2）简称：是的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：，则是的充要条件或是的充要条件，即与互为充要条件； 3、充分条件、必要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． （2）命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件． 4、从逻辑推理关系理解充分条件、必要条件、充要条件的判断 命题“若，则”，其条件与结论之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 5、从集合与集合间的关系理解充分条件、必要条件、充要条件的判断 若，， ①若，则是的充分条件，是的必要条件； ②若，则是的充分不必要条件；若，则是的必要不充分条件； ③若，则、互为充要条件； ④若不是的子集且不是的子集，则是的既不充分也不必要条件． 6、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件是否是的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若，则β”为真且“若，则”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明与的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 题型1 判断命题的充分不必要条件 例1、已知：“三角形是锐角三角形”， ：“三角形的内角中有锐角”，则是的（     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】由锐角三角形的定义说明充分性成立，再由直角三角形或钝角三角形中也有锐角说明必要性不成立； 【答案】B； 【解析】若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角； 但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形， 也可能是直角三角形或钝角三角形． 故是的充分不必要条件． 故选：B； 例2、请写出不等式的一个充分不必要条件___________． 【提示】根据充分不必要条件，找到一个能推出，但是推不出来的条件即可； 【答案】 (答案不唯一)； 【解析】因为能推出，但是不能推出， 所以是不等式的一个充分不必要条件， 故答案为：（答案不唯一） 【说明】本题主要考查了判断命题的充分不必要条件； 题型2 根据充分不必要条件求参数 例3、已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______. 【提示】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； 【答案】； 【解析】因为是的充分不必要条件，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【说明】本题主要考查了根据充分不必要条件求参数； 根据充分条件求参数取值范围： （1）化简、两命题， （2）根据与的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 例4、已知集合，集合． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【提示】（1）根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可； （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数； 题型3 判断命题的必要不充分条件 例5、“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B； 【解析】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件； 【说明】本题主要考查了判断命题的必要不充分条件； 例6、努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C； 【解析】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 【说明】本题主要考查了判断命题的必要不充分条件； 题型4 根据必要不充分条件求参数 例7、已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 【提示】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解； 【答案】； 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是； 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数； 根据必要不充分条件求参数取值范围 （1）化简、两命题， （2）根据与的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系， （3）利用集合间的关系建立不等关系， （4）求解参数范围． 例8、已知集合，. （1）当时，求，； （2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； 【答案】（1），或；（2）； 【解析】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． 【说明】本题综合考查了交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数； 本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 题型5 充分、必要、充要条件的判断 例9、已知三条线段的长分别为a，b，c，若，则“”是“a，b，c为某三角形三边长”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答； 【答案】C； 【解析】依题意，由，得，，因，因此，a，b，c能为一个三角形三边长， a，b，c是某三角形三边长，则有， 所以“”是“a，b，c为某三角形三边长”的充要条件. 故选：C； 【说明】本题主要考查了充要条件的判别与推导； 例10、已知集合，，则“且”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可； 【答案】C； 【解析】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 【说明】本题综合考查了根据两个集合相等求参数、充要条件的证明、集合元素互异性的应用； 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法： （1）定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假； （2）集合法：即利用集合的包含关系判断； （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由，可得；充要条件也有传递性； 题型6 根据充要条件求参数取值范围 例11、若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】； ； 【解析】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 【说明】本题考查了根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数； 例12、设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2； 【解析】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据充要条件求参数； 题型7 充要条件的证明 例13、证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【提示】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【解析】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【说明】本题主要考查了充要条件的证明； 例14、设集合． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【证明】（1）设集合中的元素， 所以 ．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 【说明】本题综合考查了判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件； 题型8 探求命题为真的充要条件 例15、已知集合，非空集合. （1）若是的必要条件，求实数m的取值范围; （2）是否存在实数m，使是的充要条件. 【提示】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【答案】（1）（2）不存在； 【解析】（1）因为，是的必要条件，故， 所以，，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）因为，若是的充要条件，则， 所以，，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件； 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数、根据必要不充分条件求参数、根据充要条件求参数； 例16、已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】不存在； 【详解】因为，若是的充要条件，则， 所以，，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、探求命题为真的充要条件； 1、判断充分条件、必要条件的注意点 （1）明确条件与结论； （2）判断若，则是否成立时注意利用等价命题； （3）可以用反例说明由推不出，但不能用特例说明由可以推出； 2、充分条件、必要条件、充要条件的两种判断方法 （1）定义法： ①确定谁是条件，谁是结论； ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件； （2）命题判断法： ①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件； ②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件； 3、充要条件的判断通常有四种结论： 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件； 判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 4、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 1．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】A选项：，错误；B选项：，错误； C选项：，，正确； D选项：，错误. 故选：C. 2．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知, 因为，是的必要不充分条件，所以， 所以， 3．设有非空集合A、B、C，若“”的充要条件是“且”，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B； 【详解】解：若“”的充要条件是“且”， 则， 则，不一定， 但，一定得到， 则“”是“”的必要非充分条件． 故选：B． 4．已知是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，是的必要条件.现有下列命题： ①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件； ③是的必要条件而不是充分条件；④是的必要条件而不是充分条件； ⑤是的充分 条件而不是必要条件，则正确命题序号是（    ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B； 【解析】解：是的充分条件而不是必要条件等价于， 是的充分条件等价于 是的必要条件等价于， 是的必要条件等价于 由上可知， ，，知，故 ①正确； 由知，由，知，故②正确； 由知，又由于，故是的充要条件，故③错误； 对于④，由是的必要条件而不是充分条件等价于是的必要条件而不是充分条件，因为则由知，故④正确； 对于⑤，因为所以故是的充要条件，故⑤错误. 故选：B. 5．命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【解析】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 6．已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】是的必要条件     ，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 7．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 8．已知集合，非空集合，若是的必要条件，则实数m的取值范围为______． 【提示】由是的必要条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系求解即可. 【答案】 【解析】∵，非空集合， 若是的必要条件，则， ∴，解得， ∴m的取值范围是， 故答案为：. 9．已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】因为“”是“”的必要条件，所以， 当时满足题意，即，所以； 当时，或， 解得：或； 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 10．已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件， q是s的必要条件.现有下列命题: ①s是q的充要条件　②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件　④r是s的充分条件而不是必要条件 则正确命题序号是 【答案】①② 【解析】由p是r的充分条件而不是必要条件，可得p⇒r， 由s是r的必要条件可得r⇒s， 由q是r的充分条件得q⇒r， 由q是s的必要条件可得s⇒q， 故可得推出关系如图所示: 据此可判断命题①②正确. 故答案为：①②. 11．集合，， （1）当，集合A是B的什么条件？ （2）若A是B的必要不充分条件，求a的值. 【提示】（1）当时，分别化简集合A和B，利用定义可判断出集合A是B的既不充分也不必要条件； （2）分和两种情况，利用A是B的必要不充分条件，求出a的值． 【答案】（1）既不充分也不必要条件；（2）或或 【解析】（1）当时，， 则集合A是B的既不充分也不必要条件； （2）当时，，满足题意； 当时，，若A是B的必要不充分条件，则或，解得或 综上可得：或或 12．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． （1）求； （2）已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【提示】（1）根据题意由集合新定义计算即可； （2）设，先根据集合新定义和必要性列方程组及讨论和求出；再由充分性和集合新定义讨论和时即可求出； 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 第11页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $