微专题 1.2 常用逻辑用语讲义--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学单元复习讲义以命题、充分必要条件、反证法为核心构建知识体系，通过表格对比命题真假与推出关系，步骤化梳理定义法判断条件关系，结合集合图示呈现充要条件与集合包含关系的内在联系，突出逻辑推理的重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如“充要条件的证明”题型引导学生从充分性、必要性双向推理，“反证法证明否定性命题”培养批判性思维，落实数学思维与推理能力。每个题型配解析与方法总结，基础生掌握步骤，优生深化逻辑，助力教师实施精准分层教学。

【原卷版】 必修第一册 第1章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 本节是衔接数学语言与严谨推理的基础内容，核心围绕命题、充分必要条件、全称与存在量词三大板块展开。首先界定命题概念：可判断真假的陈述句为命题，分真命题、假命题，介绍 “若p，则q” 形式的条件命题，同时讲解命题的否定，区分否命题与命题否定的不同逻辑。 其次重点学习充分条件、必要条件与充要条件：结合集合关系理解，若p能推出q，p是q 充分条件；q推出p，p是q必要条件；双向互推即为充要条件，借助例题掌握判断与证明方法。 同时，引入反证法，为后续函数、不等式证明、几何推理提供逻辑工具，要求学生能准确改写命题、判断条件关系、正确写出带量词命题的否定，建立规范数学推理思维。 1、命题的概念： 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）； 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； 2、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若p则q”为真 “若p则q”为假 表示方法 p⇒q pq 读法 p推出q p不能推出q 3、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论； 4、子集与推出关系： 如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。 5、【拓展】四种命题及其等价关系 （1）一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出。记作：；读作：“推出”；换言之：表示以为条件、为结论的命题是真命题。 如果，，并且；那么；读作：“与等价” 又推出关系满足传递性：，那么； （2）复习初中学过的命题与逆命题的知识 定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题； 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定叫做互否命题； 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定叫做互为逆否命题； （3）若为原命题条件，为原命题结论； 则： 原命题：若 则 逆命题：若 则 否命题：若 则 逆否命题：若 则 在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假； 6、充分条件、必要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果α⇒β，则称α是β的充分条件（sufficient condition），或称β是α的必要条件（necessary condition）； 【注意】（1）充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若α则β”是真命题 “若α则β”是假命题 推出关系 α⇒β α β 条件关系 α是β的充分条件 β是α的必要条件 α不是β的充分条件 β不是α的必要条件 （2）p⇒q的含义： ①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出； 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已； 7、充要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α⇔β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”； 【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：α⇒β，且β⇒α，记作α⇔β；（2）简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：α⇔β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件； 8、定义法判断充分条件、必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； （3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。 9、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 10、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇 （1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB， 若p是q的必要不充分条件，则BA； （2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件， 若N⊆M，则p是q的必要条件， 若M＝N，则p是q的充要条件； 11、反证法的定义 反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法； 【注意】反证法证明数学问题的理解：反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误；从而结论正确；（2）反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步；“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明，做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况；（3）反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等；（4）反证法属“间接解题方法”； 12、反证法证题的基本步骤： （1）假设原命题的结论不成立；（假设） （2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） （3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 【注意】用反证法证明结论是B的命题；其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键。 13、反证法证明数学问题的理解 反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。 【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法； （2）另外，宜用反证法证明的题型还有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等等。 题型一、命题的概念 例1、判断下列语句是不是命题，并说明理由． （1）是有理数； （2）； （3）梯形是不是平面图形呢？ （4）若，则； （5）一个数的算术平方根一定是负数； （6）若a与b是无理数，则ab是无理数． 【提示】 【解析】 【说明】 例2、下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 题型二、命题的结构形式 例3、将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． （1）6是12和18的公约数； （2）当时，方程有两个不等实根； （3）已知为非零自然数，当时，； 例 4、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）两个相似三角形是全等三角形； （3）矩形的对角线相等； 题型三、命题的真假判断 例5、给定下列命题： ①若，则；②若，则；③矩形的对角线互相垂直；④命题“若，是无理数，则是无理数”是真命题； 其中真命题共有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例6、给定下列命题： ①“若，则方程”有实数根 ②若，，则 ③对角线相等的四边形是矩形 ④若，则，中至少有一个为0 其中真命题的序号是 （    ） 题型四、四种命题 例7、写出命题“若都是有理数，则是有理数．”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断所有命题的真假； 例8、（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题； （2）判断上述四个命题的真假，并说明理由； 题型五、充分条件的判断 例9、下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 例10、已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的序号是 ①p：，q： ②p：，q： ③p：，q： ④p：，q： 题型六、必要条件的判断 例11、下列命题中，p是q的必要条件的是________． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 例12、下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的序号是 ①若，则 ②若，则 ③若mn为无理数，则m，n为无理数 ④若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 题型七、充分条件与必要条件的应用 例13、设；，若是的充分条件，求实数的取值范围是___________. 例14、设或，，若是的必要条件，求实数的取值范围_______________. 题型八、充分、必要、充要条件的判断 例15、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 例16、已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 题型九、充要条件的证明 例17、求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 例18、设集合． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 题型十、用反证法证明否定性命题的适用类型 例19、设，证明：“”不是“”的必要条件. 例20、平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 题型十一、用反证法证明“至多”“至少”等问题 例21、已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 例22、用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 题型十二、用反证法证明唯一性命题 例23、求证：两条相交直线有且只有一个交点； 题型十三、利用反证法解读生活现象 例24、证明：个人中至少有两人生日相同（利用反证法） 1、对于一个句子，有时我们可能无法判断它的真假，但这个句子本身确实有真假，如“太阳系外有外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前人们尚无法确定其真假，但从事物的本质而论，句子本身是可分辨真假的，这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。 2、四种命题及其相互关系 若原命题是“若则”，则逆命题为“若则”；否命题为“若不成立 则不成立” ；逆否命题为“若不成立 则不成立” . 【提醒】（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定， 而命题的否定仅对命题的结论否定；对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据之一。 3、充分条件与必要条件的两点说明 （1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇔q，则p是q的充要条件； ③若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件； ④若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； ⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件； （2）从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件； ⑤若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 AB BA A＝B A B 且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充 要条件 p是q的既不充分也不必要条件 4、“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 5、反证法是间接证明的一种基本方法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过逻辑推理得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法； 6、反证法的适用题型：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题； （4）“唯一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题； 7、反证法的一般步骤是什么？（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【特别提醒】推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法； 8、反证法证题的关键是什么？用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的． 9、用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式主要有哪些？见下表： 正面词语 否定 正面词语 否定 等于 不等于 都是 不都是(至少有一个不是) 小于 不小于(大于或等于) 至多有一个 至少有两个 大于 不大于(小于或等于) 至少有一个 一个也没有 1．有下列命题： ①若，则；②若，则；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共 有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．有下列命题： ①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ②若a＞b，则a＋c＞b＋c； ③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列各题中，是的充要条件的是（     ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 4．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 5．下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是________． 6．命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为____________________． 7．命题“”是命题“”的____________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要） 8．下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 9．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 10．已知：，：，若是的一个充分不必要条件，求实数的取值范围是______. 11．已知集合，.用反证法证明 12．已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【解析版】 必修第一册 第1章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 本节是衔接数学语言与严谨推理的基础内容，核心围绕命题、充分必要条件、全称与存在量词三大板块展开。首先界定命题概念：可判断真假的陈述句为命题，分真命题、假命题，介绍 “若p，则q” 形式的条件命题，同时讲解命题的否定，区分否命题与命题否定的不同逻辑。 其次重点学习充分条件、必要条件与充要条件：结合集合关系理解，若p能推出q，p是q 充分条件；q推出p，p是q必要条件；双向互推即为充要条件，借助例题掌握判断与证明方法。 同时，引入反证法，为后续函数、不等式证明、几何推理提供逻辑工具，要求学生能准确改写命题、判断条件关系、正确写出带量词命题的否定，建立规范数学推理思维。 1、命题的概念： 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）； 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； 2、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若p则q”为真 “若p则q”为假 表示方法 p⇒q pq 读法 p推出q p不能推出q 3、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论； 4、子集与推出关系： 如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。 5、【拓展】四种命题及其等价关系 （1）一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出。记作：；读作：“推出”；换言之：表示以为条件、为结论的命题是真命题。 如果，，并且；那么；读作：“与等价” 又推出关系满足传递性：，那么； （2）复习初中学过的命题与逆命题的知识 定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题； 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定叫做互否命题； 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定叫做互为逆否命题； （3）若为原命题条件，为原命题结论； 则： 原命题：若 则 逆命题：若 则 否命题：若 则 逆否命题：若 则 在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假； 6、充分条件、必要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果α⇒β，则称α是β的充分条件（sufficient condition），或称β是α的必要条件（necessary condition）； 【注意】（1）充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若α则β”是真命题 “若α则β”是假命题 推出关系 α⇒β α β 条件关系 α是β的充分条件 β是α的必要条件 α不是β的充分条件 β不是α的必要条件 （2）p⇒q的含义： ①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出； 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已； 7、充要条件的概念 对于两个陈述句α是β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α⇔β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”； 【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：α⇒β，且β⇒α，记作α⇔β；（2）简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：α⇔β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件； 8、定义法判断充分条件、必要条件 （1）确定谁是条件，谁是结论； （2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； （3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。 9、充要条件的证明策略 （1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论； 10、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇 （1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB， 若p是q的必要不充分条件，则BA； （2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件， 若N⊆M，则p是q的必要条件， 若M＝N，则p是q的充要条件； 11、反证法的定义 反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法； 【注意】反证法证明数学问题的理解：反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误；从而结论正确；（2）反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步；“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明，做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况；（3）反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等；（4）反证法属“间接解题方法”； 12、反证法证题的基本步骤： （1）假设原命题的结论不成立；（假设） （2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） （3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 【注意】用反证法证明结论是B的命题；其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键。 13、反证法证明数学问题的理解 反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。 【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法； （2）另外，宜用反证法证明的题型还有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等等。 题型一、命题的概念 例1、判断下列语句是不是命题，并说明理由． （1）是有理数； （2）； （3）梯形是不是平面图形呢？ （4）若，则； （5）一个数的算术平方根一定是负数； （6）若a与b是无理数，则ab是无理数． 【提示】注意理解命题的概念与构成； 【解析】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． （6）“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 【说明】本题考查了命题的概念、判断命题的真假； 例2、下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 【提示】根据命题的定义能判断真假的陈述句即是命题，逐项验证即可求解； 【答案】①②③； 【解析】对于①，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于②，如果，则，是假命题； 对于③，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于④，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于⑤，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：①②③； 【说明】判断一个语句是不是命题的三个关键点：（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题；（2）语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题；（3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题。 题型二、命题的结构形式 例3、将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． （1）6是12和18的公约数； （2）当时，方程有两个不等实根； （3）已知为非零自然数，当时，； 【提示】根据“若p，则q”的形式，即可求解，从而可判断真假； 【答案】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题； （2）若，则方程有两个不等实根，是假命题； （3）已知为非零自然数，若，则，是假命题； 【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数． 因为，所以6是12和18的公约数， 所以，若一个数是6，则它是12和18的公约数是真命题. （2）若，则方程有两个不等实根， 当时，方程为，方程只有1个实根， 所以，若，则方程有两个不等实根是假命题． （3）已知为非零自然数，若，则， 当时，满足， 所以，已知为非零自然数，若，则是假命题； 【说明】本题考查了命题的概念、判断命题的真假； 例 4、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． （1）平行四边形的对角线互相平分； （2）两个相似三角形是全等三角形； （3）矩形的对角线相等； 【提示】根据“若p，则q”的形式，即可求解，从而可判断真假； 【答案】（1）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题； （2）两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，是假命题； （3）若一个四边形是矩形，则它的对角线相等，是真命题； 【解析】（1）改写为：若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质可知，若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题. （2）改写为：若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. （3）若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. 【说明】本题主要考查了判断命题的真假、指出命题的条件和结论； 题型三、命题的真假判断 例5、给定下列命题： ①若，则；②若，则；③矩形的对角线互相垂直；④命题“若，是无理数，则是无理数”是真命题； 其中真命题共有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【提示】根据命题相关知识点，逐个判定，即可得出结果； 【答案】B； 【解析】①由得到或，所以不一定成立，是假命题； ②当时，有成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题. ④若，是无理数，则是有理数，所以④是假命题； 因此真命题共有1个. 故选：B 【说明】本题主要考查命题真假的判定； 例6、给定下列命题： ①“若，则方程”有实数根 ②若，，则 ③对角线相等的四边形是矩形 ④若，则，中至少有一个为0 其中真命题的序号是 （    ） 【提示】①中：时，，方程”有实数根； ②中：由不等式的性质知，是真命题； ③中：如等腰梯形对角线相等，但不是矩形； ④中：若，则，中至少有一个为0，故可判断正确. 【答案】①②④； 【解析】①中，故为真命题； ②由不等式的性质知，，，则显然是真命题； ③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题； ④若，则或，则，中至少有一个为0，为真命题. 所以①②④是真命题， 【说明】本题主要考查了“利用相关知识”判断命题的真假；一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 题型四、四种命题 例7、写出命题“若都是有理数，则是有理数．”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断所有命题的真假； 【提示】根据四种命题中原命题和逆否命题为等价命题，否命题和逆命题为等价命题，据此可判断各命题的真假； 【答案】详见解析； 【解析】命题“若都是有理数，则是有理数”，为真命题. 逆命题：若是有理数，则都是有理数，为假命题， 比如两者均为无理数，则为有理数. 否命题：若不都是有理数，则不是有理数，为假命题； 逆否命题：若不是有理数，则不都是有理数，为真命题. 【说明】写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断； 例8、（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题； （2）判断上述四个命题的真假，并说明理由； 【提示】（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题； （2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假. 【答案】（1）答案见解析； （2）原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题； 【解析】（1）原命题可改写成：如果两个数都是有理数，那么这两个数的和是有理数． 逆命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数； 否命题：如果两个数不都是有理数，那么这两个数的和不是有理数； 逆否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数． （2）原命题是真命题，证明如下： 设，都是有理数，则令，（，，，，且）， ． 因为，，，且，所以，是有理数． 由于逆否命题与原命题是等价命题，所以逆否命题也是真命题． 逆命题是假命题，其反例如下： 设，，则是有理数，但，都不是有理数． 由于逆命题与否命题是等价命题，所以否命题也是假命题； 【说明】写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断；特别注意：在判断命题的真假时，可利用互为逆否的两个命题真假性相同来判断； 题型五、充分条件的判断 例9、下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【提示】根据充分条件定义判断各个选项即可； 【答案】③； 【解析】①,则或，不能推出. 所以，p不是q的充分条件．     ② 因为，两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，所以，p不是q的充分条件． ③则 ∴方程无实根，∴p是q的充分条件． 故答案为：③. 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件； 例10、已知集合M，N为R的非空子集，且M≠N，则下列结论中命题p是命题q的充分条件的序号是 ①p：，q： ②p：，q： ③p：，q： ④p：，q： 【提示】结合集合的运算，根据充分条件的定义判断即可； 【答案】①③； 【解析】因为由可推出，所以p是q的充分条件，所以，①对． 因为不能推出，所以p不是q的充分条件，所以，②错． 若，则，则，∴p是q的充分条件，所以，③对． 若，则，∴，∴p不是q的充分条件，所以，④错． 故选：①③； 【说明】充分条件的判断方法：（1）判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题；（2）除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件。 题型六、必要条件的判断 例11、下列命题中，p是q的必要条件的是________． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【提示】根据充分条件和必要条件的定义即可求解； 【答案】（2）； 【解析】（1）由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件． （2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件． 故答案为：（2） 【说明】本题考查判断命题的必要不充分条件； 例12、下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的序号是 ①若，则 ②若，则 ③若mn为无理数，则m，n为无理数 ④若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】①②； 【解析】若，则，即是的必要条件，故① 正确；由“”可以推出“”，故②正确； 取，，满足mn为无理数，但m为有理数，故③错误； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故④错误 【说明】（1）判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件；（2）也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件。 题型七、充分条件与必要条件的应用 例13、设；，若是的充分条件，求实数的取值范围是___________. 【提示】命题的范围解出不等式，若是的充分条件，满足的范围是的范围的子集. 【答案】； 【解析】满足，，因为是的充分条件，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 【说明】本题主要考查了充分条件的应用； 例14、设或，，若是的必要条件，求实数的取值范围_______________. 【提示】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可； 【答案】； 【解析】解：或，， 若是的必要条件， 则或， 故或， 故答案为：或． 【说明】充分条件与必要条件的应用技巧：（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；（2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解。 题型八、充分、必要、充要条件的判断 例15、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【提示】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论； 【答案】充分不必要； 【解析】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件； 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件； 例16、已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【提示】根据题意，只需写出的范围满足是的真子集即可； 【答案】（答案不唯一）； 【解析】根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 【说明】本题考查了判断命题的必要不充分条件；判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法：(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；(2)集合法：即利用集合的包含关系判断；(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性； 题型九、充要条件的证明 例17、求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【提示】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性； 【解析】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是； 【说明】本题主要考查了充要条件的证明； 例18、设集合． （1）证明：“”是“”的充分不必要条件； （2）写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）k为偶数；证明见解析； 【解析】证明：（1）设集合中的元素， 所以 ．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件； 【提醒】充要条件证明的两个思路：（1）直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性；（2）集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 题型十、用反证法证明否定性命题的适用类型 例19、设，证明：“”不是“”的必要条件. 【提示】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可； 【答案】证明：假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件； 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、必要条件、反证法证明； 例20、平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 【提示】利用反证法来证明. 【解析】假设过在同一条直线上的三个点可以作一个圆． 则该圆与直线有三个交点，这与直线与圆最多有2个交点相矛盾， 所以假设不成立，即过在同一条直线上的三点不能作圆． 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆” ；如何证明这个命题？ 【说明】1、结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法；2．用反证法证明数学命题的：（1）反设：假设命题的命题的结论不成立；，即假定原结论的反面为真；（2）归缪：从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果;（3）存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立。 题型十一、用反证法证明“至多”“至少”等问题 例21、已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【提示】假设，都不小于，利用不等式的性质推出矛盾，即可证明； 【解析】假设，都不小于，即，， 因为，，，∴，. 所以，. 即，这与已知矛盾. 所以，，中至少有一个小于. 【说明】本题考查了；由不等式的性质证明不等式、反证法证明； 例22、用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【提示】假设、、都小于0，根据题意结合配方法可得，得出矛盾即可； 【解析】假设、、都小于0，即，则， 因为、、，且，，， 则， 当且仅当时，等号成立， 这与矛盾， 可知假设不成立，所以、、中至少有一个不小于0. 【说明】用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点：（1）反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的；（2）常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法； 【规律技巧】用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”。 题型十二、用反证法证明唯一性命题 例23、求证：两条相交直线有且只有一个交点； 【证明】因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点； 【说明】1、巧用反证法证明唯一性命题：（1）当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证；（2）用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立； 题型十三、利用反证法解读生活现象 例24、证明：个人中至少有两人生日相同（利用反证法） 【提示】假设结论不成立，可知有个不同的生日日期，根据一年总共才或个日期推出矛盾，由此可得出结论成立； 【解析】证明：假设个人中生日各自都不相同，那么就有个不同的生日日期， 但一年总共才或个日期，产生矛盾，假设不成立， 所以个人中至少有个人生日相同； 【说明】本题主要是借助反证法解释生活中的数学问题； 1、对于一个句子，有时我们可能无法判断它的真假，但这个句子本身确实有真假，如“太阳系外有外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前人们尚无法确定其真假，但从事物的本质而论，句子本身是可分辨真假的，这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。 2、四种命题及其相互关系 若原命题是“若则”，则逆命题为“若则”；否命题为“若不成立 则不成立” ；逆否命题为“若不成立 则不成立” . 【提醒】（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定， 而命题的否定仅对命题的结论否定；对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据之一。 3、充分条件与必要条件的两点说明 （1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件； ②若p⇔q，则p是q的充要条件； ③若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件； ④若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件； ⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件； （2）从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件； ⑤若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 AB BA A＝B A B 且BA 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充 要条件 p是q的既不充分也不必要条件 4、“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 5、反证法是间接证明的一种基本方法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过逻辑推理得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法； 6、反证法的适用题型：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题； （4）“唯一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题； 7、反证法的一般步骤是什么？（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【特别提醒】推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法； 8、反证法证题的关键是什么？用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的． 9、用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式主要有哪些？见下表： 正面词语 否定 正面词语 否定 等于 不等于 都是 不都是(至少有一个不是) 小于 不小于(大于或等于) 至多有一个 至少有两个 大于 不大于(小于或等于) 至少有一个 一个也没有 1．有下列命题： ①若，则；②若，则；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题共 有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】试题分析：①是假命题，因为时，不成立，故错误；②正确，因为根据不等式的性质可得若，则；③是假命题，因为除正方形外，矩形的对角线不互相垂直，真命题共有一个，故选B. 2．有下列命题： ①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ②若a＞b，则a＋c＞b＋c； ③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】逐一考查所给的命题： ①当时，xy＝0，不满足|x|＋|y|＝0，原命题为假命题； ②由不等式的性质可知：若a＞b，则a＋c＞b＋c，原命题为真命题； ③矩形的对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直，原命题为假命题． 综上可得：真命题共有1个. 本题选择B选项. 3．下列各题中，是的充要条件的是（     ） A． B． C．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 D．：两个三角形全等，：两个三角形三边对应相等 【答案】D 【解析】对于A，当时，满足，所以充分性不成立， 反之，当时，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件，不符合题意； 对于B，当时，可得，即充分性成立， 反之，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于C，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立； 反之，若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，不符合题意； 对于D，若两个三角形全等，可得两个三角形三边对应相等，即充分性成立； 反之，若两个三角形三边对应相等，可得两个三角形全等，即必要性成立， 所以是的充分必要条件，符合题意． 故选：D． 4．已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【解析】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 5．下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是________． 【答案】②④ 【解析】①是陈述句，且能判断真假，故①是命题； ②语句中含有变量，没有给赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题； ③是陈述句，且能判断真假，故③是命题； ④是祈使句，故④不是命题. 故答案为：②④ 6．命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为____________________． 【答案】满足满足 【解析】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足. 故答案为：满足满足. 7．命题“”是命题“”的____________条件（从如下四个中选一个正确的填写：充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要） 【答案】必要不充分 【解析】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 8．下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：，q：； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根． 【答案】③ 【解析】①,则或，不能推出. ∴p不是q的充分条件．     ② ∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③则 ∴方程无实根，∴p是q的充分条件． 故答案为：③. 9．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【解析】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 10．已知：，：，若是的一个充分不必要条件，求实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】若是的一个充分不必要条件，则是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．已知集合，.用反证法证明 【提示】假设，根据根与系数的关系，结合反证法证明即可. 【解析】 假设，则，与矛盾，故假设不成立 ； 12．已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题乙是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【提示】（1）根据，得出，从而得解； （2）根据集合交集为空集，判断集合中元素满足的条件，列出不等式，求出结果即可； （3）根据命题甲和乙为真时的取值范围，求出参数范围； 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】（1）根据题意，， 由于，所以，得， 所以实数的取值范围为； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得， 由（2）可知命题乙是真命题时，， 命题甲和乙中至少有一个真命题，得， 综上所述，命题甲和乙中至少有一个真命题，实数a的取值范围为. 第20页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $