微专题 1.2 常用逻辑用语讲义--2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

【原卷版】      必修第一册  第1章  集合与逻辑

1.2 常用逻辑用语

本节是衔接数学语言与严谨推理的基础内容，核心围绕命题、充分必要条件、全称与存在量词三大板块展开。首先界定命题概念：可判断真假的陈述句为命题，分真命题、假命题，介绍 “若p，则q” 形式的条件命题，同时讲解命题的否定，区分否命题与命题否定的不同逻辑。

其次重点学习充分条件、必要条件与充要条件：结合集合关系理解，若p能推出q，p是q 充分条件；q推出p，p是q必要条件；双向互推即为充要条件，借助例题掌握判断与证明方法。

同时，引入反证法，为后续函数、不等式证明、几何推理提供逻辑工具，要求学生能准确改写命题、判断条件关系、正确写出带量词命题的否定，建立规范数学推理思维。

1、命题的概念：

把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）；

【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

2、命题的分类：

其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题；

【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可；

3、命题的表示方法：

命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论；

用集合的语言描述：满足α满足β；

【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论；

4、子集与推出关系：

如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。

5、【拓展】四种命题及其等价关系

（1）一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出。记作：；读作：“

推出”；换言之：表示以为条件、为结论的命题是真命题。

如果，，并且；那么；读作：“与等价”

又推出关系满足传递性：，那么；

（2）复习初中学过的命题与逆命题的知识

定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题；

一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定叫做互否命题；

一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定叫做互为逆否命题；

（3）若为原命题条件，为原命题结论； 则：

原命题：若 则          逆命题：若 则

否命题：若 则        逆否命题：若 则

在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假；

6、充分条件、必要条件的概念

     对于两个陈述句α是β，如果α⇒β，则称α是β的充分条件（sufficient  condition），或称β是α的必要条件（necessary  condition）；

【注意】（1）充分条件与必要条件的理解

 

（2）p⇒q的含义：

①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出；

显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已；

7、充要条件的概念

     对于两个陈述句α是β，如果既有α⇒β，又有β⇒α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α⇔β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”；

【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：α⇒β，且β⇒α，记作α⇔β；（2）简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：α⇔β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件；

8、定义法判断充分条件、必要条件

（1）确定谁是条件，谁是结论；

（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；

（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。

9、充要条件的证明策略

（1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真；

（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论；

10、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇

（1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB，

若p是q的必要不充分条件，则BA；

（2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的充分条件，

若N⊆M，则p是q的必要条件，

若M＝N，则p是q的充要条件；

11、反证法的定义

反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法；

【注意】反证法证明数学问题的理解：反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误；从而结论正确；（2）反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步；“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明，做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况；（3）反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等；（4）反证法属“间接解题方法”；

12、反证法证题的基本步骤：

（1）假设原命题的结论不成立；（假设）

（2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

（3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

【注意】用反证法证明结论是B的命题；其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的