培优专题01 有理数的基础概念及其应用（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以题型为纲，提炼“非负性应用”“奇负偶正”等9类解题方法，构建从概念理解到实际应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正负数应用|3典例+4变式|找相反意义量|实际情境→数学符号表达| |非字有理数分类|1典例+5变式|明确“非”含0|概念内涵→分类标准| |数轴距离|1典例+3变式|考虑左右两解|几何直观→数量关系| |概念理解|1典例+4变式|辨析核心属性|定义辨析→性质应用| |符号化简|1典例+4变式|奇负偶正规则|符号规则→化简技巧| |相反数应用|1典例+4变式|a+b=0关系|概念本质→代数表达| |绝对值计算|1典例+4变式|先判正负再求值|定义理解→计算方法| |非负性应用|1典例+2变式|非负数和为0则各为0|性质推导→综合应用| |大小比较|1典例+5变式|数轴/绝对值法|数的特征→比较策略|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题01有理数的基础概念及其应用 (题型突破举一反三) 题型01应用正负数的实际意义解决相送问题 典例精析 【典例1-1】 【答案】+2 【典例1-2】 【答案】A 【典例1-3】( 【答案】A 【典例1-3】 【答案】+1 举一反三 【变式1】 【答案】-2℃ 【变式2】 【答案】 -50 130 【变式3】 【答案】-0.22 【变式4】 【答案】0.6 题型02含“非”字有理数的分类 三典例精析 【典例2】 【答案】2 1/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式1】 【答案】6 【变式2】 【答案】 3 2 【变式3】 【答案】1 【变式4】 【答案】13 【变式5】 【答案】 ②③⑥⑧ ④⑥⑧ ①⑤ 题型03数轴上两点之间的距离 典例精析 【典例3】 【答案】1或-5 三 举一反三 【变式1】 【答案】0 【变式2】 【答案】6 【变式3】 【答案】4.4 题型04有理数相送概念的理解 典例精析 2/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例4】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】B 【变式4】 【答案】B 题型05多重符号的化简 典例精析 【典例5】 【答案】A 举一反 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】B 【变式3】 【答案】(1)-3.5 (2)11 y明 (4)5.8 (6)20 3/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式4】( 【答案】（1)2：3：-5：4.5：6：（2)-5”-5：总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后 的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身：(3)2. 题型06相反数的应甩 典例精析 【典例6】 举一反三 【变式1】(2025·吉林长春·模拟预测)互为相反数的两个数（都不为零）的商为() A.-1 B.1 C.0 D.不确定 【答案】A 【变式2】 【答案】6 【变式3】 【答案】2025 【变式4】 【答案】2025 题型07求一个数绝对值 E 典例精析 【典例7】 【答案】A 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】C 【变式3】 4/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】3或-3 【变式4】 【答案】≥ 题型08利用绝对值的非负性求解 三 典例精析 【典例8】 【答案】5 举一反三 【变式1】 【答案】-2 【变式2】 【答案】-1 题型09有理数的大小比较 E 典例精析 【典例9】 【答案】(1)数轴表示如图： 3 4 01.52 -54-3-210广23> 2)-4<-3 <0<1.5<2 【详解】(1)略 3 (2)解：由数轴可得，-4<- 2 <0<1.5<2 举一反三 【变式1】 【答案】 14.2% 【变式2】 5/6 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】< 【变式3】 【答案】b 【变式4】 2599 259 25 【答案】一 2600 26026 【变式5】 【详解】解：-3<-2<-1<0<1<2<3，-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<6， .从小到大依次连接各点，得到下图： ∠4 左图是一条鱼，右图是一只小鸟， 6/6 培优专题01 有理数的基础概念及其应用 （题型突破·举一反三） 题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题 题型02 含“非”字有理数的分类（易错） 题型03 数轴上两点之间的距离（易错） 题型04 有理数相关概念的理解 题型05 多重符号的化简 题型06 相反数的应用（热） 题型07 求一个数绝对值 题型08 利用绝对值的非负性求解（热） 题型09 有理数的大小比较（常考） ▌题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题 找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义. 【典例1-1】（2026·辽宁营口·一模）小王做了一个水温变化实验，以为基准，水温下降到记作，那么水温上升到应记作______． 【答案】 【详解】解：由题意可得，以为基准，水温下降记为负数，则水温上升记为正数， 计算差值：， 因此水温上升到应记作． 【典例1-2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间，即可得出答案． 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 故选：A． 【典例1-3】（25-26七年级上·全国·阶段检测）某种零件，标明要求是φ（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是毫米，该零件（   ） A．合格 B．不合格 C．无法判断 D．可能合格也可能不合格 【答案】A 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是掌握正负数的意义． 利用正负数的意义进行求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 该零件合格， 故选：A． 【典例1-3】（1.1正数和负数（培优分阶练）-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））若将数28记为0作为基准，则可将数27记为﹣1，若将数27记为0作为基准，数28应记为___． 【答案】+1 【分析】根据正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：∵27+1＝28， ∴若将数27计为0作为基准，数28应计为+1． 故答案为：+1． 【点睛】此题考查的是正负数，掌握其意义是解决此题关键． 【变式1】（26-27七年级上·上海·开学考试）某地白天最高气温是，到了夜里12时，气温下降了，该地当晚12时的气温是( )． 【答案】 【分析】根据气温变化即可解答． 【详解】解：∵气温下降后是，再下降后是， ∴某地白天最高气温是，到了夜里12时，气温下降了，该地当晚12时的气温是． 【变式2】（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． 【变式3】（2026·辽宁沈阳·一模）在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 【变式4】（2026·福建莆田·模拟预测）为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以米作为基准0点，高于基准水位的差值记为正数，低于基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，调度基准水位为米，即点，高于基准水位记为正，低于基准水位记为负． 当水位降至 米时，计算得： 因此水位降至 米时，应记作米． ▌题型02 含“非”字有理数的分类 理解带“非”字有理数的相关概念： ①非正数：0、负数； ②非负数：0、正数； ③非正分数：0、负分数； ④非正分数：0、负分数； ⑤非正整数：0、负整数； ⑥非负整数：0、正整数； ⑦非正有理数：0、负有理数. 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】2 【详解】解：在，，0，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个． 【变式1】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数中，非负有理数有___________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查非负有理数的定义，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义． 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，根据非负有理数的定义即可求解． 【详解】解：在数中，非负有理数是，共6个． 故答案为：6． 【变式2】（25-26七年级上·四川凉山·阶段检测）在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【详解】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 【变式3】（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数分类、相反数、绝对值、代数式求值等知识点，掌握有理数的分类是解题的关键．先化简数字并分类，找出非负整数和分数的个数，从而确定a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（分数）、（负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（非负整数）、（分数）、（分数）、（无理数，不是分数，也不是整数）， 综上，非负整数有 ，共 4 个， 分数有 ，共 3 个， 即， 则 ． 故答案为：1． 【变式4】（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 【变式5】（25-26七年级上·云南昆明·期中）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 【答案】 ②③⑥⑧ ④⑥⑧ ①⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确正有理数、非负整数、负分数的定义． 先明确各类数的定义，正有理数是大于0的有理数；非负整数是0和正整数；负分数是小于0的分数（包括可化为分数的负小数）；再逐一分析所给有理数，按定义归类． 【详解】解：正有理数是大于0的有理数，包括②、③、⑥10、⑧； 非负整数是0和正整数，包括④0、⑥10、⑧； 负分数是小于0的分数，包括①、⑤ 故正有理数：②③⑥⑧；非负整数：④⑥⑧；负分数：①⑤． ▌题型03 数轴上两点之间的距离 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 【典例3】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）在数轴上，与的距离为3的数是______． 【答案】1或 【分析】分为该数在的左侧和该数在的右侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：当该数在的左侧时，则该数为， 当该数在的右侧时，则该数为， 综上所述，该数为1或． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）已知数轴上点表示的数为，将点沿数轴向右移动9个单位长度到达点，若点到点的距离为4，且在点左侧，则点表示的数为___________． 【答案】0 【分析】本题考查数轴上点的平移运算与两点间距离的应用，先根据点的平移规律求出点B表示的数，再结合点C的位置条件求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，将点A沿数轴向右移动9个单位长度到达点B， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，且在点B左侧， ∴点C表示的数为， 故答案为：0． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式进行计算． 已知点A表示的数为4，点B表示的数为，代入距离公式，计算得到距离为 ． 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离为． 故答案为6． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 【答案】4.4 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：坐标轴上的和分别与尺子的和对应， 所以坐标轴上的单位长度是， 由题意知，， 故答案为：4.4． ▌题型04 有理数相关概念的理解 【典例4】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【答案】B 【分析】本题根据绝对值、相反数、倒数的基本概念，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：对于A，的绝对值是，不是正数，故A错误，不符合题意； 对于B，若一个数的相反数等于它本身，满足，解得，相反数等于本身的数只有，故B正确，符合题意； 对于C，倒数等于本身的数有和，故C错误，不符合题意； 对于D，负数的绝对值是它的相反数，为正数，正数大于负数，因此负数的绝对值大于它本身，故D错误，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断即可解答． 【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意； B、0的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意； D、当时，，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·河北承德·期中）下列关于负数的计算正确的是（   ） A． B． C．的相反数是2 D．的倒数是 【答案】C 【分析】本题考查负数的绝对值、有理数的乘方、相反数和倒数的概念，掌握负数的基本运算是关键，注意绝对值、幂次、相反数和倒数的定义；根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵绝对值非负，，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵的相反数是2，∴C正确； ∵的倒数是，∴D错误； 故选C． 【变式3】（22-23七年级上·安徽池州·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数定义和性质，有理数是整数和分数的统称，有理数没有最小的数，也没有最大的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是有理数，原说法错误，不符合题意； B、有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； C、在有理数中没有最小的数，原说法错误，不符合题意； D、是有理数，则不一定是负数，例如时，是正数，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式4】（25-26六年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．0不是有理数 B．整数和分数统称为有理数 C．倒数等于本身的数是和0 D．a是有理数，则一定是负数 【答案】B 【详解】解：有理数包括整数和分数，0是整数，属于有理数，A选项错误 整数和分数统称为有理数是有理数的定义，B选项正确 0没有倒数，倒数等于本身的数只有，C选项错误 当a为负数时，是正数；当a为0时，是0，不是负数，D选项错误 ▌题型05 多重符号的化简 在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”. 【典例5】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握化简多重符号法则是解题关键．根据化简多重符号的法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项正确，不符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【答案】B 【详解】解：A、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； B、∵，，3和只有符号不同，符合相反数定义，∴两数互为相反数，该选项符合题意； C、∵，与相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； D、∵，与5相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）在数，，%，，，，，中，非负整数有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值化简、多重符号化简及有理数的分类．先化简各数，再根据非负整数(大于等于0的整数)的定义筛选即可． 【详解】解：∵，，， ∴非负整数有、、，共个 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2)11 (3) (4)5.8 (5) (6)20 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，正确掌握相反数的定义和绝对值的意义是解题关键． （1）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （2）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （3）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （4）直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而化简答案． （5）原式先去小括号得，再去中括号得，最后化去绝对值符号即可得答案． （6）原式先去小括号得，再去中括号得 ，最后化去绝对值符号即可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式4】（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 【答案】（）；；；；；（），；总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身；（）． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，相反数的定义，有理数的加法，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． （）根据相反数的定义分别化简即可； （）根据前面的结果猜想即可求解； （）根据（）的规律得出算是，然后通过有理数加法法则即可求解． 【详解】解：（） ；；；；； 故答案为：，，，，； （）根据（）可得，当前面有个负号时，化简后的结果是，当前面有个负号时，化简后的结果是， 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身， 故答案为：，； （）根据（）的规律可得， ． ▌题型06 相反数的应用 若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 【典例6】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查相反数，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，两个互为相反数的数之和为0，其中一个数为a，另一个数为．计算它们的商即可得出结果． 【详解】解：设这两个数分别为a和（a≠0），则它们的商为： ， 无论以哪一个数作为被除数，结果均为−1． 因此，互为相反数的两个非零数的商恒为−1． 故选A． 【变式2】（25-26七年级上·山东菏泽·期末）当_______时，代数式与 的值互为相反数． 【答案】6 【分析】本题考查的是相反数的含义，解一元一次方程，掌握“解一元一次方程的步骤”是解题的关键． 根据相反数的定义，代数式与的值互为相反数，则它们的和为零，据此列出方程求解． 【详解】解：由题意，得， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：． 故答案为：6． 【变式3】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）若a、b互为相反数，则=______． 【答案】2025 【分析】本题考查相反数的定义．由和互为相反数，可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【变式4】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． ▌题型07 求一个数绝对值 求一个数a的绝对值，要先判断这个数a是正数，负数或0.再由绝对值的代数意义求出这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值. 【典例7】（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值及相反数，先利用绝对值的性质计算出的值，再依据相反数的定义求出该值的相反数，即可得到结果． 【详解】解：∵负数的绝对值是它的相反数， ∴， ∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是， ∴的相反数是． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知四个数：，，，，其中正数的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算，再根据正数大于0即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴是正数 ∵，， ∴是正数 ∵，， ∴是正数 ∵，， ∴是负数 ∴正数共有3个， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）若，则x的值是_________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此方程有两个解． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示x到原点的距离为3， ∴或． 故答案为：3或． 【变式4】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质和有理数的大小比较，关键是根据绝对值的性质确定、的取值范围．首先利用绝对值的性质，由判断出是非负数，由判断出是非正数，再依据有理数大小比较的规则，即可推出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：． ▌题型08 利用绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 【典例8】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若，则___________． 【答案】5 【分析】根据绝对值和平方的非负性，求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质和代数式求值问题．根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零，则每个部分为零，解出a和b的值，再代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴且， 解得，， 代入代数式，得． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）若互为相反数，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值与平方的非负性，代数式求值．根据相反数的定义和绝对值与平方的非负性，求出、和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：因为，互为相反数，所以． 由， 得且， 解得，． 则． 所以． 故答案为：． ▌题型09 有理数的大小比较 比较数大小数轴最直接；数比0大，负数比0小；同负绝对值，值大数反小. 【典例9】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 【答案】(1)数轴表示如图： (2) 【详解】（1）略 （2）解：由数轴可得，． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）在、、中最小的数是___________． 【答案】 【分析】先将分数百分数统一转化为小数，再根据小数大小比较方法判断最小的数． 【详解】解：将三个数均化为小数：，，，比较大小可得：， 因此最小的数是． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【答案】b 【分析】观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，距离原点最远的数即为绝对值最大的数． 【详解】解：观察数轴上a、b、c三点到原点的距离，点b到原点O的距离最长，点a次之，点c最短． ∴绝对值最大的是b． 【变式4】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键。负数比较时，绝对值大的负数反而小。 【详解】解　，， ， ∴， 按从小到大的顺序排列起来为． 【变式5】（25-26七年级上·全国·课后作业）请将下列两组数分别按照从小到大的顺序，用线段把表示它们的点连接起来，看看是什么图形． 【答案】图见解析，左图是一条鱼，右图是一只小鸟 【分析】本题考查有理数的大小比较和根据结果连接点形成图形，熟练掌握有理数大小的比较规则是解题的关键．根据“负数总是小于正数，两个负数比较时，绝对值大的反而小”，先比较各组数的大小，然后按照从小到大的顺序依次连接各点，观察所形成的图形． 【详解】解：，， 从小到大依次连接各点，得到下图： 左图是一条鱼，右图是一只小鸟． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 有理数的基础概念及其应用 （题型突破·举一反三） 题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题 题型02 含“非”字有理数的分类（易错） 题型03 数轴上两点之间的距离（易错） 题型04 有理数相关概念的理解 题型05 多重符号的化简 题型06 相反数的应用（热） 题型07 求一个数绝对值 题型08 利用绝对值的非负性求解（热） 题型09 有理数的大小比较（常考） ▌题型01 应用正负数的实际意义解决相关问题 找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义. 【典例1-1】（2026·辽宁营口·一模）小王做了一个水温变化实验，以为基准，水温下降到记作，那么水温上升到应记作______． 【典例1-2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【典例1-3】（25-26七年级上·全国·阶段检测）某种零件，标明要求是φ（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是毫米，该零件（   ） A．合格 B．不合格 C．无法判断 D．可能合格也可能不合格 【典例1-3】（1.1正数和负数（培优分阶练）-2022-2023学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））若将数28记为0作为基准，则可将数27记为﹣1，若将数27记为0作为基准，数28应记为___． 【变式1】（26-27七年级上·上海·开学考试）某地白天最高气温是，到了夜里12时，气温下降了，该地当晚12时的气温是( )． 【变式2】（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【变式3】（2026·辽宁沈阳·一模）在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【变式4】（2026·福建莆田·模拟预测）为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． ▌题型02 含“非”字有理数的分类 理解带“非”字有理数的相关概念： ①非正数：0、负数； ②非负数：0、正数； ③非正分数：0、负分数； ④非正分数：0、负分数； ⑤非正整数：0、负整数； ⑥非负整数：0、正整数； ⑦非正有理数：0、负有理数. 【典例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【变式1】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数中，非负有理数有___________个． 【变式2】（25-26七年级上·四川凉山·阶段检测）在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【变式3】（25-26七年级上·四川达州·期中）在中，非负整数有个，分数有个，则值为_____． 【变式4】（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【变式5】（25-26七年级上·云南昆明·期中）“有理数运动会”已经拉开序幕，每位有理数运动员要通过自己专属的检录通道，才能参加运动项目，请你作为志愿者带领以下有理数有秩序地进行检录（填序号）：①；②；③；④0；⑤；⑥10；⑦；⑧； 运动会检录窗口 正有理数 非负整数 负分数 ▌题型03 数轴上两点之间的距离 由于距离没有方向性，所以数轴上到已知点距离相等的点一般有两个，因此要注意考虑所有可能出现的结果． 【典例3】（25-26七年级上·江苏·阶段检测）在数轴上，与的距离为3的数是______． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）已知数轴上点表示的数为，将点沿数轴向右移动9个单位长度到达点，若点到点的距离为4，且在点左侧，则点表示的数为___________． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． ▌题型04 有理数相关概念的理解 【典例4】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．绝对值一定是正数 B．相反数等于本身的数只有 C．倒数等于本身的数只有 D．负数的绝对值小于本身 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【变式2】（25-26七年级上·河北承德·期中）下列关于负数的计算正确的是（   ） A． B． C．的相反数是2 D．的倒数是 【变式3】（22-23七年级上·安徽池州·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 【变式4】（25-26六年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．0不是有理数 B．整数和分数统称为有理数 C．倒数等于本身的数是和0 D．a是有理数，则一定是负数 ▌题型05 多重符号的化简 在进行多重符号化简时，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”，当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”. 【典例5】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【变式2】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）在数，，%，，，，，中，非负整数有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【变式4】（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． ▌题型06 相反数的应用 若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数. 【典例6】（25-26七年级上·福建漳州·期中）若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（2025·吉林长春·模拟预测）互为相反数的两个数（都不为零）的商为（　　） A． B．1 C．0 D．不确定 【变式2】（25-26七年级上·山东菏泽·期末）当_______时，代数式与 的值互为相反数． 【变式3】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）若a、b互为相反数，则=______． 【变式4】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． ▌题型07 求一个数绝对值 求一个数a的绝对值，要先判断这个数a是正数，负数或0.再由绝对值的代数意义求出这个数的绝对值.若遇到复杂的情形，可以先化简，也可以由绝对值的几何意义求绝对值. 【典例7】（25-26九年级上·广东惠州·期末）的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）的相反数是（    ） A． B． C．2026 D． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·期末）已知四个数：，，，，其中正数的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）若，则x的值是_________． 【变式4】（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知有理数，请比较两数的大小：_______． ▌题型08 利用绝对值的非负性求解 根据绝对值或平方的非负性可知，如果几个非负数和为0，那么每一个非负数为0. 【典例8】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）若，则___________． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值是_____． 【变式2】（25-26七年级上·贵州毕节·期末）若互为相反数，，则的值为___________． ▌题型09 有理数的大小比较 比较数大小数轴最直接；数比0大，负数比0小；同负绝对值，值大数反小. 【典例9】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 【变式1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）在、、中最小的数是___________． 【变式2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【变式3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的数是_____ ． 【变式4】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）将，，按从小到大的顺序排列起来． 【变式5】（25-26七年级上·全国·课后作业）请将下列两组数分别按照从小到大的顺序，用线段把表示它们的点连接起来，看看是什么图形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $