专题03 正方形的性质与判定综合重难点题型汇编(九大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题03 正方形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用正方形的性质求角度】............................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】........................................3 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.......................................5 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】..................................6 【题型5 正方形的判定证明】..................................................7 【题型6 正方形的性质与判定综合】............................................9 【题型7 求正方形形中最值问题】..............................................16 【题型8 正方形中“十字架”模型】...........................................18 【题型9 正方形中“对角互补”模型】.........................................20 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在正方形中，，，，则为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在正六边形和正方形中，点G、H在正六边形的内部，连结并延长交于点N，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为 ． 方形，，那么等于 ． 7．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，，求的度数 ． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 1．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在正方形中，点E，H，F，G分别在边，，，上，，交于点O，，．则的长为（　　） A．4 B．5 C．3 D．4.5 3．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长，交于点，，若点是边的中点，则长（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，D 是斜边的中点，以为边作正方形，若，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 5．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为（　　） A． B． C．cm D．cm 6．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，在正方形中，平分于点F．若，则此正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 1．（21-22九年级上·河南郑州·期中）如图，面积为1的正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的面积是（　　） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是 ． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为 ． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 【题型5 正方形的判定证明】 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件 时，四边形是正方形． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． (1)求证：； (2)当a为何值时，四边形是正方形？ 3．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形中，点E、F分别在、边上，，于点G．求证：四边形是正方形． 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 2．（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 4．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 6．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 7．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 11．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，作 交边于点，作 于点， (1)长的取值范围是 ； (2)猜想线段与 的数量关系并说明理由； (3)求的长． 12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 15．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【题型7 求正方形形中最值问题】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正三角形与正方形中，、、三点共线，且，．若有一动点沿着由往移动，则的长度最小是（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是边上一动点.连接，将沿翻折得到，连接．当最小是（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，正方形的面积为S，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为 ． 4．（2024·河南安阳·一模）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【题型8 正方形中“十字架”模型】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）（1）如图1，点E、F分别在边、上，．求证：． （2）如图2，点E、F、G、H分别在边、、、上，，求证：． （3）如图3，点E、F分别在边、上，、相交于点O，，若正方形的边长为5，与四边形的面积之和与正方形的面积之比为，求的周长． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 1．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 2．（2025·吉林长春·二模）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明（无需证明）即可推导出来．连结，则，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连结，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．       3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）问题解决： 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，且与相交于点G． （1）与的位置关系为 ； （2）延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正方形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用正方形的性质求角度】............................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】........................................9 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.......................................15 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】.................................20 【题型5 正方形的判定证明】.................................................24 【题型6 正方形的性质与判定综合】...........................................28 【题型7 求正方形形中最值问题】.............................................57 【题型8 正方形中“十字架”模型】...........................................64 【题型9 正方形中“对角互补”模型】.........................................73 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外角的性质，三角形内角和定理，正方形的性质和等边三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据正方形的性质和等边三角形的知识，得到， ， ，然后利用三角形内角和定理求得，再根据外角的性质然后即可求解； 【详解】解：∵在正方形的外侧作等边， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C； 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在正方形中，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理及正方形性质，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，实现角的等量代换与角度推导． 过点作且，连接、，，证，得出；证，得到、，进而推出；结合、长度，利用勾股定理得，由知，再证，得．通过角的等量代换，得出，从而求解． 【详解】解：过点作，使，连接、，． ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中： ∴， ∴，． 在和中： ∴， ∴，． ∴， 在中，，， ， ∴ ∴． 在和中： ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，等边对等角．先根据正方形的性质和旋转的性质得到的度数，，再根据等腰三角形的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵正方形绕着点逆时针旋转得到正方形， ∴°，， ∴． 故选：C． 4．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在正六边形和正方形中，点G、H在正六边形的内部，连结并延长交于点N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和问题、正方形的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据正六边形的内角和为，得到，根据正方形的性质得到，再利用四边形的内角和为，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴， ∵正方形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴ ． 故选：D． 5．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在正方形中，E是延长线上一点，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先根据正方形的性质得到，，则，再根据等腰三角形的性质可得到，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，四边形是正方形，，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．过点N作于F，证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点N作于F． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：． 7．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，，求的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质． 以为一边作等边三角形，且点F在的内部，连接，先证明和全等得，，进而得，由此可证明和全等得，，继而得，则，由此得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出的度数． 【详解】解：以为一边作等边三角形，且点F在的内部，连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 1．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在正方形中，点E，H，F，G分别在边，，，上，，交于点O，，．则的长为（　　） A．4 B．5 C．3 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键．过点作于点，过点作于点，设与交于点，先根据正方形的性质可得，，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设与交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长，交于点，，若点是边的中点，则长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，可证得，则，设，则，，，在中，利用勾股定理求得，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 由折叠得：，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，D 是斜边的中点，以为边作正方形，若，则的长为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，点是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为（　　） A． B． C．cm D．cm 【答案】C 【分析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键．根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的性质求出，计算即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴， 即点，之间的距离为． 故选：C． 6．（24-25八年级下·全国·期末）如图所示，在正方形中，平分于点F．若，则此正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，由正方形的性质得，推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，由角平分线的性质得，进而得正方形的边长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 为等腰直角三角形， 设， ，即， ，即， 平分， ， 故选：A． 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理． 由全等三角形的性质可得，，，即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 1．（21-22九年级上·河南郑州·期中）如图，面积为1的正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积公式等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键． 正方形的性质可得，再利用中点的定义可得，即；同理可得，然后根据图形列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵点E、H分别是边的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形的面积． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要运用全等三角形的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理来求解．先根据全等三角形性质得出四边形边和角的关系，判断四边形形状，再通过设未知数结合已知条件列方程组求出直角边长度，最后用勾股定理求出四边形边长进而得到面积． 【详解】解：∵如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形， ∴，，， ，， ∴四边形是菱形，，， ∴ ∴四边形是正方形， ∵，， ∴设，， ∴， 解得， 在中，，， ∴， ∴四边形的面积是 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【分析】设点为正方形的中心，过点作于点于点，利用正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质得到，同理求得另一个阴影部分的面积，则结论可得． 【详解】解：设点为正方形的中心，过点作于点于点， ， ∴四边形为矩形， ∵为正方形的中心， ∴四边形为正方形， ， 由题意得：， ， ， 在和中， ， ， ， ∴． 同理：另一个阴影部分的面积， ∴两个阴影部分面积之和是． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是 ． 【答案】32 【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键． 连接AC交BD于点O，根据正方形性质及勾股定理求出，则，根据得，由三角形面积公式得，继而可得出四边形AECF的面积． 【详解】解：连接交于点O，如图所示： 四边形是正方形，且边长为8， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ，， ，， ， ， ，， 故答案为： 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键. 连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标. 【详解】解：连接交于点，如图所示:   四边形是正方形，   ，，，，   点，   ，   ，   ，，   点的坐标为．   故选: B． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，， ， 发现是8次一循环，则余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 3．（24-25八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，如图，作辅助线；证明，得到；求出、的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴，而， ∴， ∴， 在与中， ， ， ， 由题意得：，而， ， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 【题型5 正方形的判定证明】 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、、、分别是四边形四边的中点，当对角线、满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】， 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定、正方形的判定解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、分别是四边形四边的中点， ∴、、分别为、、的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 当时，， ∴平行四边形为菱形， 当时，， ∴菱形为正方形， 故答案为：，． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期中）已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点，设． (1)求证：； (2)当a为何值时，四边形是正方形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是正方形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，，进而可得，再利用（1）的结论可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而可得，进而可得四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵点是的中点， ， ∵分别是线段的中点， ，， ， ∴四边形是菱形， ， ∴四边形是正方形． 3．（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在矩形中，点E、F分别在、边上，，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、证明四边形是正方形、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，再证明，得出，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形是正方形． 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形． 【详解】 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 2．（24-25八年级下·四川攀枝花·阶段练习）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且 (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， 又∵， ． ； （2）解：成立，理由如下： ， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ，， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ， 设，则， ，． 在中，， ， 解得：． ． 3．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点分别在y轴和x轴上，顶点的坐标满足． (1)求证：四边形为正方形； (2)若点E为线段边上的动点，连接，过E点作，且，连接的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)连接，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)为定值，始终等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据非负数的性质先求解，可得，从而可得结论； （2）如图，在上截取等于，连接，证明，再证明，结合，可得，再结合全等三角形的性质可得结论； （3）先对等腰运用勾股定理求出，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， 点， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）解：是定值，恒为，理由如下： 如图，在上截取等于，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ∵ ∴， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又在正方形中， ． （3）解：如图， ∵，且， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：． 4．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． (1)如图，求证：四边形是菱形； (2)如图，若，连接、和，判断的形状？并说明理由； (3)如图，若，，，是的中点，是的中点，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】此题是四边形的综合题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出≌，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明≌可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）解：是等边三角形， 理由：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， 连接， ，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：如图中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， 四边形为正方形． 是的平分线，， ， ∵， ， ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ≌， ，． ， 是等腰直角三角形． 是的中点， ， ，， ， ． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得出四边形是矩形，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证明四边形为正方形； （2）根据矩形与正方形的性质，推出，，根据折叠的性质，得出，，根据勾股定理计算，由计算出的长，设，则，根据勾股定理，，列出方程求解，由，计算得出答案即可． 【详解】解：（1）证明：∵在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形为正方形； （2）∵四边形是矩形，，，由（1）得四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、运用勾股定理计算求解是解题的关键． 6．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 7．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证； （2）先求出，，在中，由勾股定理得到，在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：， ， 由（1）知， 在中，，，，则由勾股定理得， 在正方形中，为其对角线，则在等腰中，，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、互余、直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟记特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 11．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，作 交边于点，作 于点， (1)长的取值范围是 ； (2)猜想线段与 的数量关系并说明理由； (3)求的长． 【答案】(1) (2)， 理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接交于，由勾股定理得，，由点在边上，，可知点在线段上，进而可得的取值范围； （2）如图2，作于点M，于点N，由四边形是正方形，则，平分，，可证四边形是正方形，，证明，进而结论得证； （3）如图3，过作于点H，则为等腰直角三角形的中线，同（2）可得，证明，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接交于， ∵正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点在边上，， ∴点在线段上， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，作于点M，于点N， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， 又， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图3，过作于点H，则为等腰直角三角形的中线， 同（2）可得， 在和中， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与相交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出与的数量关系 ． (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和题意得，再根据矩形的判定证得四边形是矩形，由角平分线的定义得，再由等角对等边得，最后根据正方形的判定求证即可； （2）由角平分线的定义得，再由垂线的定义和矩形的性质得，根据等腰直角三角形的判定和勾股定理得，，即可求证； （3）由（2）得、是等腰直角三角形，，利用勾股定理求得，进而求得，再根据正方形的性质得，再根据等腰直角三角形的判定得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵平分， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的判定与性质是解题的关键． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或． 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）作出辅助线，由，得到，即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）当点在线段上时，由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到；当点在线段的延长线上时，同理求解即可． 【详解】解：（1）过作于点，过作于点， 正方形， ，， ，且， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中，， ， ， 矩形为正方形； （2）矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （3）当点在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 当点在线段的延长线上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 综上，的长为或． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图①，点E为正方形内一点，，点为正方形外一点，（点A的对应点为点C，点E的对应点为点）．延长交于点F，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图②，若，请猜想线段段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2)9 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键； （1）由正方形的性质得到，由全等三角形的性质可得，再证明，，即可证明四边形是矩形，再由，即可证明矩形是正方形； （2）由全等三角形的性质得到，由正方形的性质可得，则可得到，根据勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）过点作于点．证明，推出，由三线合一定理得到，则可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． （3）解：，证明如下： 如图所示，过点作于点，则， ∴ 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ， ， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴ ， ． 15．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过点E作，交边于点F，以为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：线段之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据正方形性质，得，结合，得，即得； （2）①证明：如图，作于M，于N，证明四边形是矩形，得，得，由角平分线性质，得，得，得，即得矩形是正方形；②根据正方形性质，得， ，得，得，∴．由，得． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①证明：如图，作于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②， 理由如下， ∵矩形为正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形判定和性质，矩形判定和性质，全等三角形判定和性质，角平分线判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 【题型7 求正方形形中最值问题】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正三角形与正方形中，、、三点共线，且，．若有一动点沿着由往移动，则的长度最小是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质和正三角形的性质，解题关键是熟练掌握的直角三角形性质． 过点F，作交于点M，由题意知的长度最小值即为F到的距离，首先求出，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点F，作交于点M， 此时为的最小值， ∵正三角形与正方形中，、、三点共线， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴的长度最小值为2． 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）如图，正方形的边长为，点是边的中点，点是边上一动点.连接，将沿翻折得到，连接．当最小是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点G、F、B三点共线时，最小． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵点G是边的中点， ∴， 连接， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点G、F、B三点共线时，最小， ∴的最小值为． 故选：B． 3．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，正方形的面积为S，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，正方形的性质； 由正方形的性质可得B、D关于对称，则，的最小值为，然后根据正方形的面积为S，是等边三角形进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴B、D关于对称， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵正方形的面积为S， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．（2024·河南安阳·一模）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 【答案】2 【分析】在上截取，使得，连接，交于点T， 得到，继而得到点F是点N关于直线的对称点，利用三角形不等式，垂线段最短原理，正方形的判定和性质证明即可． 【详解】在上截取，使得， ∵矩形中，的平分线交边于点E， ∴，， 连接，交于点T， ∴， ∴点F是点N关于直线的对称点， ∴， 连接， 则， 根据垂线段最短原理，当三点共线，且时，的值最小， ∵矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证，四边形是正方形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式，垂线段最短，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握三角形不等式，垂线段最短，正方形的判定和性质是解题的关键． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)为与的交点．证明见解析 (2)的最小值为：． 【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值． 【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，，四点共线时，如图， 此时最小， ∴为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于， ∵正方形，等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 1．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 2．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边，上的点，与交于点P．    (1)【特例感知】如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 (2)【深入探究】如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使…… 如图，在的延长线上取一点N，使，……                 (3)【类比迁移】如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； 【答案】(1) (2)猜想．证明见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得．再由证明即可得到； （2）两种方法：通过辅助线构造证得，或通过辅助线构造证得，再由即可证明结论． （3）通过延长，使，构造，进而得到，结合求出答案． 【详解】（1）解：当四边形是正方形，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：思路一：如图，在上取一点M，使，则，    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 思路二：如图，在延长线上取点N，使，则，    根据菱形的性质，， ∴， 又∵，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，使，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，等边三角形和等腰三角形的性质等知识点． 3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）（1）如图1，点E、F分别在边、上，．求证：． （2）如图2，点E、F、G、H分别在边、、、上，，求证：． （3）如图3，点E、F分别在边、上，、相交于点O，，若正方形的边长为5，与四边形的面积之和与正方形的面积之比为，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）设与交于点M，根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形的性质推出，进而推出，即可得证； （2）过点A作交于M，过点B作交于N，与交于点，则四边形和四边形均为平行四边形，得到，，同理（1）中的方法证得，得到，等量代换即可得证； （3）由（1）得，根据全等三角形的性质可得，得出，设，，利用三角形面积公式和勾股定理分别得到，，再通过对完全平方公式变形求出，则，最后利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． （2）证明：如图2，过点A作交于M，过点B作交于N，与交于点， 则四边形和四边形均为平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， 同理（1）中的方法证得， ∴， ∴； （3）解：∵与四边形的面积之和与正方形的面积之比为， ∴与四边形的面积和为， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 设，，则， 即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、勾股定理、完全平方公式的应用，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 1．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题 在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D (2)平分；见解析 (3) 【分析】（1）根据“等补四边形”的定义进行判断即可； （2）延长，过点A作于点E，作于点F，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； （3）根据解析（2）可知：平分，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补， ∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等， ∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补， ∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等， ∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”； 故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，勾股定理，补角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 2．（2025·吉林长春·二模）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明（无需证明）即可推导出来．连结，则，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连结，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．       【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可，由全等三角形的性质得到，则，再利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，延长，交于点，连接，证明，得到，，推出，得到，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， ∴， ∴， ∴； 连接，    ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． （2），理由如下： 连接，    ∵矩形的中心O是矩形的一个顶点， ∴，，， 延长，交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴； （3）设， ①当点在线段上：    ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， 解得：， ∴； ②当点在线段的延长线上时：如图，    此时， 过点作，延长交于点，连接， 同（2）法可证：， ∴， 又， ∴， 解得：， ∴； 综上：线段的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）问题解决： 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，且与相交于点G． （1）与的位置关系为 ； （2）延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，见解析；（3）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形和菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）证明即可； （2）由全等可得，继而，是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质求证； （3）延长到K，使，连接，证明，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴与的位置关系为：， 故答案为：； （2）是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到K，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$