专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角模型，构建“通法-题型-挑战”三阶训练体系，提炼双角平分线（内内/内外/外外）及高线组合的核心解法，强化模型迁移与逻辑推理，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|模型结论（如内内夹角=90°+∠C/2）、互余转化、内角和/外角定理|从模型特征到解法原理，建立“特征-方法-易错”认知链| |题型归纳|4类（每类含典例+3变式）|双内角用角平分线定义+内角和推导；内外角结合外角定理；双外角用180°-内角转化；高线模型用直角三角形互余|按角平分线组合类型递进，从基础模型到变式拓展，形成知识网络| |压轴挑战|12题（选择/填空/解答）|综合运用多模型交叉（如角平分线与外角、高线组合）、分类讨论|从单一模型到多模型综合，提升复杂问题解决能力，对接中考压轴思维|

专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹角。 - 解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+ ∠C）；高线模型利用互余关系转化角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 - 易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90°+ ∠C，外外为90°- ∠C）；高线在钝角三角形中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C，利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】/44度 【分析】点D在内部，且到三边的距离相等，得到平分，平分，根据三角形内角和求解即可； 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ； 变式1-2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 变式1-3．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 【答案】(1) ∴ ∴ (2) (3)①；②或或 【分析】（1）根据题意补全过程，即可求解； （2）根据三等分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理可得； （3）①同（2）可得，根据已知，求得，进而求得； ②分情况讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，且． ． ∵、是的三等分线，、是的三等分线， ，， ∴ ∴ （3）解：如图， 同（2）可得， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ②如图，当时，设垂足为 ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：，即 如图，当时，设垂足为， ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ 当时，如图， ∴ 综上所述，或或． 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)解：平分，理由如下： ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴平分 (2) 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得，，结合为的平分线，，进而证得平分； （2）由平分，平分，可证得，利用三角形内角和定理即可解得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，平分，即， ∵平分，即， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2.方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等式推导。 变式2-1．（25-26七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式2-2．（25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． （2）证明：∵，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． ， 分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ； ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 变式2-3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；；45 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ 度． （2）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ ． （3）解：∵，， ∴，， ， ． ， ， ∴ ∴，即． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解，进一步利用角平分线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：，， ， ， ， 平分外角，平分外角， ，， 平分，平分， ，， ， ． 题型模版 1.特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°-半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B, ∠C ，利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系式。 变式3-1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，和的外角平分线相交于点D．若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形的外角性质及三角形的内角和定理得到；再由角平分线的定义可得，在中，结合三角形的内角和定理及的度数即可求解． 【详解】解：如图所示， ，，， ∴， 是的外角平分线、是的外角平分线， ，， ， ， ， ， 解得． 变式3-2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是________，并加以证明； ②若，的平分线，相交于点，直接写出与之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是________； ②如图，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是________． 【答案】(1)①； 证明：∵，是的两个外角． ∴ ∴； ② (2)①；② 【分析】（1）①根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． 【详解】（1）①略 ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 变式3-3．（25-26七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2.方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和求解。 变式4-1．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式4-2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 变式4-3．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·二模）如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和求得，根据题意可得，再利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，和的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论中，错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线性质及三角形外角性质分别推导、、与的数量关系，并验证选项D的等式即可求解． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， ∴， 故A正确； 平分， ， 共线，B，C，F共线， ， 在中， ，故B错误； 分别平分， ，， ，故C正确； 由上可知，，， ，故D正确． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义表示出，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 二、填空题 4．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】利用角平分线将角进行等分，结合三角形外角性质推导与的数量关系，再结合已知倍数关系列方程求解． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵平分， ∴． 由三角形外角性质可知，，, ∴, ∴, ∵， ∴, 又∵, ∴，即, ∵， ∴, 在 中，∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 6．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知，如图，，点，分别是直线，上的点．连接，分别作与的平分线，交于点，如图①；在图（1）基础上继续分别作与的平分线，交于点，如图②；在图（2）基础上按上述作图方法继续分别画角平分线交于点，那么的度数是________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质以及平行线的性质求得，同理得出，，即可求解． 【详解】解：如图①，过点作 ∵，分别是与的平分线 ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 如图② 同理可得 ∴在图（2）基础上按上述作图方法继续分别画角平分线交于点，那么 三、解答题 7．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_________． (2)已知：如图2，与分别是的两个外角，且．则_________． (3)如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数．（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理可求得 ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （3）解：延长，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 (1)如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 (2)如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据三角形的内角和定理得，再由，三等分，，三等分，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到的大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ； （3）解：如图， 由三角形的内角和定理得， ∵，三等分，，三等分， ∴，， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________ 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：设， ∵平分， ， ，， ∵， ∴， 、分别平分和， ，， ， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ． 11．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 12．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究角之间数量关系的数学活动，如图，已知直线，点P是直线上方的一个动点，点在直线上，连接，分别交于点G，点H． (1)如图1，【探索发现】当__________°． (2)如图2，“快乐小组”通过尺规作图，作出与的角平分线，且角平分线相交于点Q，“快乐小组”发现，证明“快乐小组”的结论． (3)如图3，【操作探究】在（2）问的条件下，当“智慧小组”连接，他们惊奇地发现，平分，并且，“智慧小组”将延长到K，过K点作，若时，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作，通过两直线平行内错角相等以及平角的意义求解即可； （2）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线得到，最后在中运用三角形内角和定理求解； （3）先得到求解，然后对运用内角和定理求解的度数，再对运用三角形内角和定理求解的度数，即可求解． 【详解】（1）解：过点作 ∴ ∵ ∴； （2）证明：由（1）得 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解：如图， ∵ ∴ 由（2）得， ∴， 解得 ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类 综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同通法通法一明晰接心解法，助力能力迁移 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹 角。 ·解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+号 ∠C):高线模型利用互余关系转化 角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 -易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90+ 2∠C,外外为90° 2∠C):高线在钝角三角形 中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔失解题根基 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1.(25-26八年级下·贵州毕节期中)如图，在△ABC中，∠ABC和∠4CB的平分线相交于点O (1)若∠A=52°，求∠BOC的度数： (2)把(1)中∠A=52°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系. 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90+半角。 2方法：设两角为∠B,∠C,利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1.(25-26八年级下·宁夏银川期末)如图，在△ABC中，∠ADC=112°，点D在△ABC内部，且到 三边的距离相等，则∠B= B 变式1-2.(25-26七年级下·江苏盐城阶段检测)在△ABC中，∠BAC>∠ABC,三个内角的平分线交于点 0 E 图1 图2 ()填空：如图1，若∠ACB=70°，则∠AOB的大小为—度： (②)如图1，过点O作OD⊥OC,交AC于点D,证明：∠AD0=∠AOB; 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，CO的延长线交AB于点E.点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE 于点N,请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系. 变式1-3.(25-26七年级下河南驻马店期末)【问题原型】如图①，在△ABC中，∠A=66°，BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACB,求∠D的度数. F 图① 图② ()对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程. 解：：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=66° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=114° :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, :∠1=∠ABC,∠2=∠4CB 2 (补全过程) (2)【问题拓展】如图②，在△ABC中，∠A=a,BE、BF是∠ABC的三等分线（即∠ABF=∠FBE= ∠EBC),CE、CF是∠ACB的三等分线，则∠E= (用含“的代数式表示) (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若∠E+∠F=249°，∠F的度数为. ②当∠ACB=48°时，△BFC的一条边的所在直线与△ABC的某一边的所在直线垂直时，∠A=」 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2.(25-26七年级下河北石家庄期末)如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线， CD在∠ACE的内部，与BD交于点D,∠A=2∠D 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)判断CD是否平分∠ACE,并说明理由： (2)如图2，∠ACB的平分线CO交BD于点O,∠D=48°，求∠DOC的度数. 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等 式推导。 变式21.(25-26七年级下·甘肃天水阶段检测)如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分线与 ∠ACD的平分线相交于点E,则∠E的度数为 E D 变式2-2.(25-26七年级下四川资阳期中)如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC,交 AC于点E,DP平分∠ADE,交∠ACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,∠ACF的平分线CQ与 DP的延长线相交于点O. (1)若∠A=50°，∠B=60°，求∠DPC与∠Q: (2)若∠A=x°时，求∠DPC与∠Q: 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠A的度数. 变式2-3.(25-26七年级下·吉林长春·期末)【问题再现】如图①，在△ABC中，∠CAB的平分线AE与外 角∠CBD的平分线BE交于点E,若∠C=90°，求∠E的度数. 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： :AE平分∠BAC,BE平分∠CBD, .∠BAC=2LBAE,∠CBD=2∠DBE ∠DBE=+∠BAE, .2∠DBE=2∠E+2∠BAE .∠CBD= +∠BAC, ·<E= 2<C=度 将小明的过程补充完整。 【应用】 (2)如图②，在△ABC中，∠CAB的平分线AE与外角∠CBD的平分线BE交于点E.设∠C的度数为m,求 ∠E的度数.（用含m的代数式表示） 【拓展】 3)如图③，在△ABC中，∠C为锐角，∠BAC内部的射线AE与外角∠CBD内部的射线BE交于点E(∠E 为能角).若<CE=}<B4C,∠CBE-号<C8D,设∠C的度数为m:则∠的大小为一飞用 含m的代数式表示) 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3.(25-26七年级下·河南新乡期中)如图，在△ABC中，∠A=80°，BF平分外角∠CBD,CF平分 外角∠BCE,BG平分∠CBF,CG平分∠BCF,求∠G的度数. 题型模版 1特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B,∠C,利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系 式。 变式3-1.(25-26七年级下全国课后作业)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点 D. 若∠BDC=40°，则∠A= 变式3-2.(25-26七年级下·吉林长春期末)【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.”那 么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内 角之间的数量关系又如何呢？ 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E N B D M B 图1 图2 图3 【问题初探】 (I)如图1，∠ACD,∠CAE是△ABC的两个外角 ①∠ACD,∠CAE与LB之间的数量关系是 ,并加以证明： ②若∠ACD,∠CAE的平分线CN,AM相交于点O,直接写出∠AOC与∠B之间的数量关系是 【迁移拓展】 (②)如图2，∠DAE,∠DCF是四边形ABCD的两个外角. ①LDAE,∠DCF与LB,∠D之间的数量关系是 ②如图3，∠DAE,∠DCF的平分线AM,CN相交于点O,若∠B=60°，∠D=136°，则∠AOC的度数 是 变式3-3.(25-26七年级下山东聊城期末)探究以下问题： 图(a) 图(b) 图(c) 图(d (I)探究一：如图(a),BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由： (2)探究二：如图(b),BE平分∠ABC,CE平分∠ACM,请确定∠A与∠E的数量关系 (3)探究三：如图(c),BF平分∠CBP,CF平分∠BCQ,请确定∠A与∠F的数量关系 解决问题： 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (④如图(d),在△ABC中，∠A=56°，BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,Q分别在DB,DC, BC的延长线上，BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分LEBC,∠ECO,则∠F= 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4.(25-26八年级下·重庆南岸·期末)如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线 D E (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数： (②)若∠B=a,∠C=P,且a>B,直接写出LAEC和LDAE的度数（用含a,P的代数式表示）. 题型模版 1特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和求 解。 变式41.(2026七年级下江苏·专题练习)如图，在△ABC中，E为△ABC角平分线AM的延长线上一点， 过点E作ED⊥BC于点D,若LB=45°，∠CAE=2∠E,则∠C的度数为 B 变式42.(25-26七年级下·上海期中)如图，CD是△ABC的角平分线，E是CD的中点，过点E作 EF⊥AB于点F,连接BE, 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E DF ()若∠A=36°，∠ABC=66°，求∠DEF的度数： (2)若BD=8,EF=6,求△BCE的面积. 变式43.(25-26七年级下山东潍坊阶段检测)在△ABC中，∠C>∠B，AE是边BC上的高，AD是 ∠BAC的平分线。 B B D E F 图① 图② (1)如图①，若∠DAE=20°，∠B=30°，求∠C的度数； (②)如图②，若F是AD的延长线上一点，FG⊥BC于点G,试探究∠F与∠C，∠B之间的数量关系，并 说明理由. ◆◆ 同压轴桃战一攻克高障压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(2026安微宿州二模)如图.在。BC中，∠P8C-写ABC,∠PC8写4CB,且∠A-72.则 LBPC的度数为() B A.108° B.120% C.144° D.150° 2.(25-26七年级下福建厦门期末)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的外 9/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论中，错 误的是() 29 B.∠E=90°-∠A C.∠B0C=90°+∠A D.∠E+∠DCF-∠ABD=90° 3.(25-26七年级下江苏南通期末)如图，C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段AB同侧 作△ACD和△BCE,且∠D=∠E=2∠DAC=2∠EBC.若∠DAC的平分线与∠ECB的平分线交于点F,则 ∠DCE与∠F的数量关系为() D A.∠DCE=∠F B.∠DCE+3∠F=90° C.∠DCE+4∠F=180° D.∠DCE+6∠F=360° 二、填空题 4.(25-26七年级下福建漳州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D在射线BC上，∠ABC和 ∠ACD的角平分线相交于点E,若∠ECD=3∠E,则∠A的度数为一 δ 5.(25-26七年级下江苏泰州阶段检测)如图，线段AB和线段CD交于点O,连AC、BD, ∠CAP=}∠C4B,∠CDP-CDB,AP:Dp分别交CD:AB于MN:则∠C、∠B∠P之间数 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 量关系是 B M N A D 6.(25-26七年级下广东佛山期中)已知，如图，CD∥EF,点A,B分别是直线CD,EF上的点.连 接1B,分别作∠D1B与∠FBA的平分线1， 线识，此交于点尸，如图O:在图()基础上继续分别作 P DM与2FB 线4织.B识交于点B,如图②：在图(2)基础上按上述作图方法继续分别面角平 的平分线， 分线交于点P,那么∠B的度数是 P -D D P >P2 B ① ② 三、解答题 7.(25-26八年级下河北保定期中)如图，在△ABC中，∠A=80°. 图1 图2 (I)如图1，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠P的度数： (②)如图2，B0平分∠ABC,CQ平分外角∠ACD,求∠9的度数. 8.(25-26七年级下河南洛阳期末)结合图形，解决问题. 11/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 图1 图2 图3 (1)已知：如图1，在△ABC中，∠A=60°，BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,∠BPC的度数是 (2)已知：如图2，∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB=210°，则LA= (3)如图3，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线 构成的锐角，若设∠A=a,∠D=B,求∠F的度数.（用含a,P的式子表示） 9.(25-26七年级下·吉林长春期中)结合图形，解答下列各题： 图1 图2 【问题】 (I)如图L,在△ABC中，BE平分LABC,CE平分LACB.若∠A=80°，则∠BEC=一： 【探究】 (2)如图l,在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB.试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图2，在△ABC中，BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=n°，则∠BEC= 10.(25-26七年级下·广东深圳期中)已知在△ABC中，AE平分∠BAC,∠C>∠B GM (a) (b) (c) 【特例探究】 (I)如图(a),AD⊥BC,垂足为D,若∠B=35°，∠C=65°，则∠DAE的度数为 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【一般推导】 (2)如图(b),点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC,垂足为G.请写出∠EPG与∠B,∠C之间的数量 关系： 【拓展应用】 (3)如图(C),在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,EP,CP分别平分∠AEC和∠ACM,过点P作 PG⊥BC交BCE长线于点G·若∠EAD2CD,∠CPG-号(B+∠CPE).求∠B的度数. 11.(25-26七年级下·北京阶段检测)如图1、2、3所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于 点P. B B 图1 图2 图3 (1)如图1所示，若∠ABC=42°，∠ACB=48°，则∠BPC的度数为· (2)如图1所示，如果∠A=80°，求∠BPC的度数； (3)如图2所示，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点卫，试探索∠0，∠A之间的数量关系： (④)如图3所示，延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请写 出∠A的度数. 12.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探 究角之间数量关系的数学活动，如图，已知直线AB‖CD,点P是直线AB上方的一个动点，点E,F在直 线CD上，连接PE,PF,分别交AB于点G,点H. 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P G入H B 图1 P G人H CE FD 图2 G H B D K 图3 (I)如图1，【探索发现】当∠P+∠PEF+∠PFE= (2)如图2，“快乐小组”通过尺规作图，作出∠PEF与∠PFE的角平分线，且角平分线相交于点Q,“快 乐小组”发现∠EQF=90P+)∠EPF,证明“快乐小组”的结论. 2 (3)如图3，【操作探究】在(2)问的条件下，当“智慧小组”连接P№，他们惊奇地发现，P平分 ∠EPp,并且5∠BOF=∠EPF-9°，“智慧小组”将PO延长到K过K点作K和1CD,若∠PK=50时， 求∠PE0的度数. 14/14