专题01 三角形双角平分线模型（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以三角形双角平分线三类模型为核心，通过“模型详解+分层练习”系统构建角关系推导方法，提炼“内加外减”口诀实现解题迁移，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双内角平分线|8题|∠P=90°+∠A/2|基于内角和定理推导，从基础计算到综合证明| |一内一外平分线|8题|∠P=∠A/2|结合外角性质递进，含规律探究与多问变式| |双外角平分线|6题|∠P=90°-∠A/2|通过外角和推导，拓展至四边形与动态问题| |模型综合|8题|口诀“内加外减，一内一外不加不减”|整合三类模型，强化知识网络与迁移应用|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形双角平分线模型 题型归纳 题型一三角形的两条内角平分线形成的夹角 题型二三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 题型三三角形的两条外角平分线形成的夹角 题型四三角形双角平分线模型综合 题型专练 题型一：三角形的两条内角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∠P=90°+ 结论： A B 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCB=B A B C :BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， .∠Psc=∠PB1=ABc=&.∠PcB=∠PC4=ACB=B 1/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P+a+B=180° .a+B=180°-∠P ∠A+2a+2B=180° :∠A+2×(180°-∠P)=180° :P=90+∠4 2 过关练习 1.125° 2.C 3.20° 4.(1)115°；(2)∠A=36 【详解】解：(1)：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, 2Pac-=A8c,∠cB-4c :∠ABC+∠ACB=130°. :∠PBC+∠PCB=(LABC+∠ACB)=65. ·.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-65°=115°， (2):BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, :∠PBC=,∠ABC,∠PCB=∠ACB, ÷∠PBC+ZPCB=2Z4BC+∠1CB, :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 2P8c+∠PcB=0号4 ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- .∠BPC=3∠A. 2/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :34=90°+∠4， 2 .∠A=36° 3/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.（1)13cm:(2)4.112.50:690°+2 2 【详解】解：(1)：AB=4cm,AC=3cm, 1<BC<7, BC是能被3整除的偶数， .BC=6cm. ∴三角形的周长为：CMBc=AB+AC+BC=4+3+6=13cm: (2)a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°， :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∠PBC=ABc,∠Pcn-号ACB, :∠P8C+∠PCB-ABc+4CB=(ZABc+Z4CB)=×135=675”, 2 :.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-67.5°=112.5°， b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°， :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， A∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, ∠P8C+☑PcB=5ABC+4CB∠Bc+∠ACB)=x080-r)=0-, ·.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 61)60:②90-4，见解折 【详解】解：(1)：∠ABC=50°，∠ACB=70°， .∠A=180°-50°-70°=60°. (2∠DPC=90°-1∠A, 理由：：∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠1=∠ABC,2=∠ACB. 2 2 ∠BPc=180-4-2=I80-4BC-4B=180-2Aac+Ac).。 :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠BPC=180P-2I80-∠A)=90+)∠A. :.∠DPC=180° （90+号4=0-4 7. ∠BEC=150°，∠BDE=60° 【详解】解：由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，∠BDC=90°+∠A=120°， 2 ∠BEC=90°+ 2<BDC=150: :BE、CE分别平分∠DBC、∠DCB,相交于点E, .DE是∠BDC的平分线， /BDE-BDC60 8.(1)70°；(2)20°：(3)70° 【详解】(1)解：如图AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P, ∴.∠BDA=∠CEA=90°， 又∠BPC=110°， :.∠EPD=∠BPC=110°， :在四边形AEPD中，内角和为360°， .∠A=360°-110°-90°-90°=70° (2)解：：AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD, .∠BAP=∠FAC,∠BCE=∠ACE, 5/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠APC=100°， .∠FAC+∠ACE=180°-100°=80°， .∠BAC+∠BCA=160° .∠B=180°-160°=20° B E 分 (3)解：如图：连接AC. B E .∠ADC=130°，∠APC=100°. :∠DAC+∠DCA=180°-130°=50°，∠PAC+∠PCA=180°-100°=80°， .∠2+∠4=30°， 又'：AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD, :.∠1+∠3=∠2+∠4=30° ∴.∠BAC+∠BCA=110° .∠B=180°-110°=70° 题型二：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, ∠P=∠A 结论： 2 6/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCD=B C D :BP,CP分别平分∠ABC,∠ACD, :∠Pac=∠PBA=A6c=a.∠nD=∠PCA=4cD=B ∠P+a=B ∠P=B-a :∠A+2a=2B .∠A=2(B-a) ∠P=∠4 2 过关练习 1.20 2.40° 3. 22020 a 4. 22020 m 5. 40°’20°'100 22015 6.40° 【详解】解：由题意：设∠ABE=∠EBC=x,∠ACE=∠ECD=y, 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2y=2x+∠A① 则有 y=x+∠E ②· ①-2×②可得∠A=2∠E, :∠E=∠A=400 2 8/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.∠A=60°，∠OCP=90° 【详解】解：：BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, .∠ACD=2∠PCD,∠ABC=2∠PBC, :∠A=∠ACD-∠ABC,∠P=∠PCD-∠PBC, .∠A=2∠P=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°」 :CP平分∠ACD,CO平分∠ACB, Z0CA-ACB.ZACP-ACD, :∠OCP=∠0CA+∠ACP=∠ACB+∠ACD=∠BCD, 2 .∠BCD=180° ∴.∠OCP=90°. 8.(1)40°；(2)40°；(3)见解析 【详解】(1)解：：BD为△ABC的角平分线，∠ABC=60°， ZD6-号4C=30. .∠DCE=70°. ·.∠D=∠DCE-∠DBC=70°-30°=40°： (2)解：：∠4BC=70°，∠A=80°， :.∠ACB=180°-∠ABC-∠A=30°， .∠ACE=180°-∠ACE=150°， :BD为△ABC的角平分线， .∠DBC=∠ABC=35°， :CD为△ABC外角∠ACE的平分线， :∠DCE=∠4CE=75°， .∠D=∠DCE-∠DBE=75°-35°=40°： 故答案为：40； 9/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：D的大小不度，DA,理如下 2 :∠DCE=∠DBC+∠D, ∴.∠D=∠DCE-∠DBC, :∠ACE=∠ABC+∠A, .∠A=∠ACE-∠ABC, :BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线， :∠DCE=,∠ACE,∠DBC=∠ABC, 2 ∠D-4CE-ABc=24CE-∠ABC)A 题型三：三角形的两条外角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP平分外角∠DBC,CP平分外角∠BCE, ∠P=90-1∠4 结论： 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCB=B 10123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :BP,CP分别平分∠DBC,∠BCE, ∠PBC=∠PBD-/D8C=a∠PCB=∠PcE=号∠BcE=D :∠P+a+B=180° :a+B=180°-∠P ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， :∠A+180°-2a+180°-2B=180° 即∠A+180°=2(a+B) :∠4+180°=2-(180°-∠P), <P=90-)∠4 2 过关练习 1.∠BGc=m+m） 【详解】解：∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点G, 在△BGC中， ∠BGC=180° =180°-2080-m+180-nm)=(m+n), 2.105° 3.)0120:®∠D=90+4,证明见解折；（②）不正确.D=904 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)①解：：∠A=60°， ∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°. :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠Dsc+∠DcB=(∠4BC+∠4CB)-20=60。 2 .∠D=180°-60°=120°： ②解：∠D=90°+)∠4，理由如下 2 :∠A+∠ABC+∠ACB=180° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A. :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠D8C+∠DcB=∠4BC+∠4CB)=90-5A a∠D=180°-(2DBC+∠DCB)=90°+A: ②解：不正商，D=04,提数下 :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， :.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, .∠PBC+∠QCB=(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)=180°+∠A. :BD平分∠PBC,CD平分∠BCQ, ∴∠DBC+∠DCB=(∠PBC+∠0CB)=90+5∠A, :∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=90°-∠A 2 4.不变，∠C=45° 【详解】解：∠C的度数不会改变. :∠ABE、∠BAF的平分线交于C, ∠C4B=FAB,∠C8A=EBA, 12123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=180-(2CMB+∠CB4)=180-(∠ABE+∠BAF) =180-(0+∠04B+∠BMF)=180°-(<0+180)=90°-0=45°. 5.∠CPG=90°+2∠A 【详解】解：∠ACB+∠ABC=180°-∠A, :.∠ECB+∠FBC=180°×2-(180°-∠A)=180°+∠A, :点P是△ABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点， a2C8P+∠BCP-080+∠40=0+号A, 又：∠CPG=∠CBP+∠BCP, ∠CPG=90+5∠A. 2 6.见解析 【详解】(1)证明：，∠A=∠C=90°， ∴.∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°： (2)解：DE⊥BF,证明如下： 如图1，延长DE交BF于点G, :∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°， .∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABC+∠MBC=180°， .∠ADC=∠MBC, :DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC, &∠BDC=3∠ADC,∠EBG=5MBC, 1 .∠EDC=∠EBG, :∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=18O°，∠DEC=∠BEG, ·∠EGB=∠C=90°， DE⊥BF (3)解：DE∥BF,证明如下： 13123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，连接BD, :DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC, :∠EDC=∠NDC,∠FBC=∠MBC, :∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC, .∠MBC+∠NDC=180°， .∠EDC+∠FBC=90°， :∠C=90°， .∠CDB+∠CBD=90°. .∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=18O°，即∠EDB+∠FBD=180°， ,DE∥BF D D 图1 图2 题型四：三角形双角平分线模型综合 模型总结 三角形双内角平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∠P=90°+∠A 结论： 3 A C 三角形一内一外平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, 14123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P= 结论： C 0 三角形双外角平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分外角∠DBC,CP平分外角∠BCE, ∠P=90°-1∠A 结论： 口诀：内加外减，一内一外不加不减。 过关练习 1.36° 2.(1)见解析：(2)见解析；(3)见解析 【详解】(1)证明：设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BC0=y. 由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°.① 由△B0C的内角和为180°，得∠BOC+x+y=180°.② 由②得x+y=180°-∠B0C,③ 把③代入①，得∠A+2(180°-∠B0C)=180°， 即2∠BOC=180°+∠A, 即∠B0C=90+号∠A: 2 15123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， ∠BCD=(A+∠ABC),∠DBC=(∠A+∠ACB). 由=三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-)[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)] -1sw-4+18r91-0-号4， (3)证明：如图： A D C :BD为△ABC的角平分线，交AC与点E,CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点 D, 4=25-424.3=4 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3， .∠1+∠3=180°-∠A① 在ACDe中，∠D=180-∠4-∠5=180°-3-（∠A+2Z). 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， 把①代入②得∠D= ∠A 2 3.山125：②20=60-4,6∠A的度数是45或心或20或135 21 【详解】解：(1)：∠A=70°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° :点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， :∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB, 2 .∠PBC+∠PCB=55°， 16123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BPC=180°-(LPBC+∠PCB)=125°： (2):'∠MBC=∠ACB+∠A,∠NCB=∠ABC+∠A, ∴.∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A, :点O是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点， ∠OBC=2∠MBC,∠QCB=)∠NCB. 08c+0cB=2(∠MBc+zca)-080+∠4)=90+号A .∠0=180°-（∠QBC+∠0CB)=180°- （0+54=90-4 (3)延长BC得射线BF, 图③ :CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， .∠BCQ=∠NCQ. .∠BCQ=∠FCE,∠NCQ=∠ACE, :.∠FCE=∠ACE, ∴.CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， .∠ACF=2∠ECF. :BE平分∠ABC, .∠ABC=2∠EBC. :'∠ECF=∠EBC+∠E, :.2∠ECF=2∠EBC+2∠E. 即∠ACF=∠ABC+2∠E, :∠ACF=∠ABC+∠A, 17/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=2∠E, 即2E=4, ∠EBQ=∠EBc+∠CB0-4ABc+5MBc=x180=90 2 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①∠EB0=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°： ②∠EB0=3∠0，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°： ③∠Q=3∠E,则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°： ④∠E=3∠0，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°， 综合上述，∠4的度数是45°或60°或120°或135°. 4610:a∠BPc=4,8)∠BPc=90-A 【详解】解：(1)，∠A=40°， .∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， :∠ABC和∠ACB的平分线交于P, :∠PBC=∠ABC,∠PCB=4CB, ∠BPC=180-(∠4BC+4C8)=180-70=10: (2)∠BPC 2<4, 证明：：∠ACE是△ABC的外角， ∠PCE是△PBC的外角， ∴.∠ACE=∠ABC+∠A,∠PCE=∠PBC+∠BPC, :BP平分∠ABC,CP平分∠ACE, :∠PBC=∠ABC,∠PCE=∠ACE, 2 2 号4CE=4Bc+∠BPc, 18123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BPC-ACE-ABC-(LACE-ZABC) 2 :ZBPC= 1 ∠A: 1 (3)由(1)得，∠BPC=90°-5∠A. 2 3<BDC=90+:2∠BFC 2:(3)∠BMC=90°+C 【详解】解：(1)，∠A=a, .∠ABC+∠ACB=180°-a, :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠D8c=4Bc.∠BCD4CB. &∠DBC+∠BCD=2(∠ABC+∠ACB)=90-) a. :∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD)=90+)a: 2 (2):∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F, ∠Fc-号4c,2FE-4c8, :∠ACE=∠A+∠ABC,∠FCE=∠BFC+∠FBC, 1 2 (3):∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M, ∴方法同(4)可得∠BMC=90°+∠G, 2 :将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC, 1 ∠G=∠BFC=a, 2 1 .∠BMC=90°+-a 4 6(1)理由见解析：（②）∠B4C=2∠B0C:3)理由见解析：(4)∠P 1∠D+5∠C+90 2 19123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)：OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线， :.∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB. :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， :∠0CB+∠0BC=1s0°-∠A)=90°-7∠A, :.∠BOC=180°- 0-40+4 (2):BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACD的角平分线， ∴.∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCD, .∠BAC+∠ABC=∠ACD,∠OBC+∠BOC=∠OCD, ∴.2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD. :.∠ABC+2∠BOC=∠ACD. .∠BAC=2∠BOC: (3):AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线， .∠DAP=∠PAC,∠DBP=∠PBC, ,∠D+∠DAP=∠P+∠DBP,∠P+∠PAC=∠PBC+∠C, ∠D-∠P=∠P-∠C, P-C+∠D, (4):AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线， .∠MAP=∠PAC,∠DBP=∠PBC, 设∠DBP=∠PBC=x,∠MAP=∠PAC=y, ∠AGB=∠C+2x, .∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x)-y, :.∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y, :∠D+∠AEG=∠MAP, :∠D+180-(∠C+2x)-y=y. x+y=)∠D-ZC+90° 2 20123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠P=)∠D-号∠C+90+∠C=∠D+∠C+90° 2 2 2 2 7、山∠D8C+∠ECA=180+∠4理自见解折：(250：d)2P=0-4:4 ∠BAD+∠CDA=360°-2∠P,理由见解析 【详解】解：(1)∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-（∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A: (2):∠1+∠2=180°+∠C, :.130°+∠2=180°+∠C, :.∠2-∠C=50°： (3)∠DBC+∠ECB=180°+∠A, :BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB, ∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)=I80°+∠A). 在AP8c中，P=180-080+∠4=90-A. 即∠P=90°- A； 图4 (4)延长BA、CD于Q, 则∠P=90-)∠0. 2 .∠0=180°-2∠P. .∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°-2∠P=360°-2∠P 8.(1)∠AEB=135°：(2)∠E=67.5°：(3)60°或45° 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：(1)∠AEB的大小不变， :直线MN与直线PQ垂直相交于O, ∠AOB=90 .∠OAB+∠OBA=90°. :AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， :∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠AB0, ·∠BME+∠MBE=2(∠01B+∠ABO)=45, .∠AEB=135°. (2)如图2，延长AD、BC交于点F. PA 0 图2 :直线MN与直线PO垂直相交于O, ∠A0B=90°， .∠OAB+∠OBA=90°， .∠PAB+∠MBA=270° :AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， :∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM, :∠B4D+∠ABc-(PAB+∠ABM)=I35. .∠F=45°， 、.∠FDC+∠FCD=135, .∠CDA+∠DCB=225 :DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， 22123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CDE+∠DCE=112.5°. .∠E=67.5°： (3):∠BAO与∠BO0的角平分线相交于E, 2E0-3B40,∠E00-5800. &∠E=∠E00-∠E10=(∠B00-∠BA0)=3∠4B0, :AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， :.∠EAF=90°， 在△AEF中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ①∠EAF=3∠E,∠E=30°，∠AB0=60°： ②∠EAF=3∠F,∠E=60°，∠AB0=120°（舍去）： ③∠F=3∠E,∠E=22.5°，∠AB0=45°： ④∠E=3∠F,∠E=67.5°，∠AB0=135°（舍去）： .∠AB0=60°或45°. M B P/A ○ 图3 23123可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形双角平分线模型 题型归纳 题型一三角形的两条内角平分线形成的夹角 题型二三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 题型三三角形的两条外角平分线形成的夹角 题型四三角形双角平分线模型综合 题型专练 题型一：三角形的两条内角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∠P=90°+ 结论： A B 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCB=B A B C :BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， .∠Psc=∠PBA=ABc=&.∠PcB=∠PC4=ACB=B 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P+a+B=180° :.a+B=180-∠P ∠A+2a+2B=180° :∠A+2×(180°-∠P)=180° :P=90+∠4 2 过关练习 1,如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O,则∠BOC 的度数为 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于 点E,那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE: ③BF>CF； ④若∠A=80°，则∠BFC=130°. 其中正确的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如下图，在△ABC中，B0,CO分别平分∠ABC,∠ACB.若∠BOC=100°，求∠A的度数. 2/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 C 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P. (1)若∠ABC+∠ACB=130°，求∠BPC的度数. (2)当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A? 5.如图，在△ABC中， A B C (1)如果AB=4cm,AC=3cm,BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长. (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线. a当∠A=45°时，求∠BPC的度数， b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数. 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P. D D B (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A=°： (2)试探究∠DPC与∠A之间的数量关系并说明理由. 7.如图，己知在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,相交于点D,BE、 CE分别平分∠DBC、∠DCB,相交于点E,求∠BEC、∠BDE的度数. B 5/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(1)在锐角△ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P,∠BPC=110° ,求∠A的度数 (2)如图，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD,当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线， ∠APC=100°，则∠B= E D (3)在(2)的基础上，当点D在直线AC外时，如下图：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的 度数 B E 4入 题型二：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, ∠P=∠A 结论： 2 0 C 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCD=B C D 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BP,CP分别平分∠ABC,∠ACD, ∠Pc=∠P=4c=a.D-∠pc44cD=A ∠P+a=B, ∠P=B-a :∠A+2a=2B :∠A=2(B-) ∠P=∠A 2 过关练习 L.如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE 交于点B,则∠E=度. E C D 2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,延长BO与∠ACB的外角平分线交于点 D,若∠B0C=130°，则∠D=一 3.如图，在△ABC中，∠A=a,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A,得∠A:∠ABC与∠ACD的 平分线相交于点A,得∠4，；：∠A01gBC与∠A,01CD的平分线相交于点A020,得∠A020,则 ∠A2020= 2A 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA是∠ABD的平分线，CA是 ∠ACD的平分线，BA是∠A,BD的平分线，CA,是∠A,CD的平分线，…以此类推，若∠A=a,则 ∠A020= 2 B 一4 —D 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A,得∠A,∠ABC和∠ACD的角平分线 交于点A,得∠A,…,∠ABC和∠AnCD的角平分线交于点A,得∠A. (1)若∠A=80°，则∠4=一，∠4，=一，∠4，=： (2)若∠A=m°，则∠A015= 一D 6.如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E,∠A=80°，求∠E的度数. D 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P.若 ∠P=30°，求∠A与∠0CP的度数. 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D. E (1)若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D=°： (2)若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D=—°： (3)当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什 么结论？（用含∠A的式子表示∠D) 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：三角形的两条外角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP平分外角∠DBC,CP平分外角∠BCE, ∠P=90°-÷∠A 结论： 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCB=B B BP,CP分别平分∠DBC,∠BCE, ∠PBC=∠PBD=∠DBC=a∠PCB=∠PCE=∠BCE=B ∠P+a+B=180° :.0+B=180°-∠P :∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∠A+180°-2a+180°-2B=180°， 即∠A+180°=2(a+B) ∠A+180°=2(180°-∠P) 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P=90°-1∠A 过关练习 1.如图，己知在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点G,若∠ABC=m°，∠ACB=n°， 求∠BGC的度数. A B C E G 2.如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分 ∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD= A E D F 3.(1)如图(a),BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. ①当∠A=60°时，求∠D的度数 ②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论 (2)如图(b),BD平分外角∠CBP,CD平分外角∠BCQ,(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确， 请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）· D 图(a) 图(b) 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，己知射线OE⊥射线OF,B、A分别为OE、OF上一动点，∠ABE、∠BAF的平分线交于C 点，问B、A分别在OE、OF上运动的过程中，∠C的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说 明理由， B E 5.如图，点P是△ABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G,请写出∠A和 ∠CPG的数量关系 B G F E 6.已知，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°. A A D N B M 图1 图2 (1)求证：∠ABC+∠ADC=180° (2)如图1，若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明， (3)如图2，若BF、DE分别平分∠ABC,∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明. 13121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：三角形双角平分线模型综合 模型总结 三角形双内角平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∠P=90+1∠A 结论： A 三角形一内一外平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, ∠P=∠A 结论： A D 三角形双外角平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分外角∠DBC,CP平分外角∠BCE, ∠P=90-1∠A 结论： 2 14/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 口诀：内加外减，一内一外不加不减. 15/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关练习 1.如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果 ∠CMB:∠CNB=3:2,那么∠CAB= B 2.(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明： ∠B0C=90+∠A. 2 (1) (2)如图所示·△MBC的外角平分线BD和CD相交于点D,证明：∠BDC=90°-∠A. 2 B D (2) ()如闲所不。1BC的内角半分线BD和外角平分线CD相交T点”，阴：∠D=A A D (3) 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. B B 图① 0 图② 图③ (1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数： (2)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点O,试探索∠Q,∠A之间的数量关系. (3)如图③，延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A 的度数. 4.(1)问题发现： 如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P,则∠BPC的度数是 (2)类比探究： 如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P,则∠BPC与∠A的关 系是 一，并说明理由. (3)类比延伸： 如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P,请直 接写出∠BPC与∠A的关系是一· 17121 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 E 图2 图3 5.在△ABC中，己知∠A=a (1)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D.求∠BDC的大小（用含a的代数式表示）； (2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F,求∠BFC的大小（用含C的代数式表示）； (3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC,∠GBC的平分线与∠GCB的平 分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数（用含Q的代数式表示）. 9 D B B 图1 图2 图3 61)如图1所示，在AABC中，∠ABC和∠ACB的平分线将于点0，则有∠B0C=90+)∠A, 请说明理由. (2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O,请直接写出 ∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由. )如图3所不·4P:BP分别平分∠C4D:∠CBD则有∠P=(C+∠D).请说明理。 (4)如图4所示，AP,BP分别平分∠CAM,∠CBD,请直接写出∠P与∠C,∠D之间的关系， 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不必说明理由， 0 个e 1 2入 CB 图1 图2 图3 图4 19/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻 的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 9 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样 的数量关系？为什么？ 初步应用： (2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED,得到四边形ABDE,∠1=130°，则∠2-∠C=一： (3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、 ∠ECB,∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案一· 3拓展提升： (4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB,∠P与∠A、∠D有何数 量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由） 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &.直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动. M M E A PA P/ 图1 图2 图3 (I)如图1，己知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的 大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小 (2)如图2，己知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别 是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化， 请说明理由；若不发生变化，试求出其值. (3)如图3，延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、 F,在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数， 21/21可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形双角平分线模型 题型归纳 题型一三角形的两条内角平分线形成的夹角 题型二三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 题型三三角形的两条外角平分线形成的夹角 题型四三角形双角平分线模型综合 题型专练 题型一：三角形的两条内角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∠P=90°+ 结论： A B 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCB=B A B C :BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， .∠Psc=∠PBA=ABc=&.∠PcB=∠PC4=ACB=B 1/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P+a+B=180° :.a+B=180-∠P ∠A+2a+2B=180° :∠A+2×(180°-∠P)=180° :P=90+4 过关练习 1,如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O,则∠BOC 的度数为 【答案】125° 【详解】解：在△ABC中， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°， :∠ABC与∠ACB的角平分线BO,CO相交于点O, ÷∠0BC+∠0CB=(∠ABC+∠4CB)=x110=55。 在△BOC中， ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125° 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于 点E,那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE=BD+CE: 2/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③BF>CF: ④若∠A=80°，则∠BFC=130° 其中正确的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：①：BF是∠ABC的角平分线，CF是∠ACB的角平分线， .∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠BCF, DE∥BC, .∠CBF=∠BFD,∠BCF=∠EFC, ∴.∠ABF=∠BFD,∠ACF=∠EFC, ∴DB=DF,EF=EC, :.△BDF和△CEF都是等腰三角形， ∴①选项正确，符合题意： ②：DE=DF+FE, .DB=DF,EF=EC, .DE=DB+CE, ∴②选项正确，符合题意； ③根据题意不能得出BF>CF, ∴④选项不正确，不符合题意： ④若∠A=80°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100° :∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠BCF, :.∠CBF+∠BCF=5×100°=50°， 2 .∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°， ∴④选项正确，符合题意： 故①②④正确. 故选C. 3.如下图，在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB.若∠BOC=100°，求∠A的度数. 3/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c 【答案】20° 【详解】解：：∠B0C=100°， .∠OBC+∠OCB=80°， :BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB, :.∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB, :.∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2(∠OBC+∠OCB)=160°， ·.∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=20° 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P. (1)若∠ABC+∠ACB=130°，求∠BPC的度数. (2)当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A? ◇ 【答案】(1)115°；(2)∠A=36° 【详解】解：(1)：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, 2PBC=4Bc,∠PCB-ZACB, .∠ABC+∠ACB=130°， &∠P8C+ZPCB-=2(L4BC+∠1CB)=65, :.∠BPC=180°-(LPBC+∠PCB)=180°-65°=115°， (2)BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, 4/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠4CB, 2 &∠P8C+ZPCB=2∠4BC+∠ACB), :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 2PC+∠PCB=90-)A, 2 ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 90-34=90+24， .∠BPC=3∠A, :3∠A=90°+5∠A. 2 .∠A=36°. 5/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在△ABC中， A B (1)如果AB=4cm,AC=3cm,BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长. (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数. b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数. 【答案】4)13cm:(2)a12.50:b、90°+2 【详解】解：(1)，AB=4cm,AC=3cm, .1<BC<7, ,BC是能被3整除的偶数， .'BC=6cm, ∴三角形的周长为：CABc=AB+AC+BC=4+3+6=13cm: (2)a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°， ,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， &∠PsC-5ABC,∠PcB=;∠40B. 2 ∠PBC+∠PcB=ABc+54CB=ABc+∠ACB)-=x135=675. .∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-67.5°=112.5°： b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°， :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 6/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠4CB, 2 ∠P8c+∠Pc8-48c+4cB-(4Bc+∠4c8)-x0s0-r)=90-r. :∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°- 6.如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A=°： (2)试探究∠DPC与∠A之间的数量关系并说明理由. 【答案1(60，(290-4，见解折。 【详解】解：(1)：∠ABC=50°，∠4ACB=70°， .∠A=180°-50°-70°=60°. 2∠DPC=90-}∠A, 2 理由：：∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, :∠1=∠ABC,∠2=∠ACB, 2 2 ∠BPc=180-4-2=I80-号4BC-4CB=-180-(4ac+∠AC8). :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∠BrC=180-2I80°-∠A)=90+)A, :.∠DPC=180°- （90+54054 7.如图，已知在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,相交于点D,BE、 CE分别平分∠DBC、∠DCB,相交于点E,求∠BEC、∠BDE的度数. 7/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【答案】∠BEC=150°：∠BDE=60° 【详解】解：由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，∠BDC=90°+)∠A=120°， 1 ∠BEC=90°+5∠BDC=150°： 2 :BE、CE分别平分∠DBC、∠DCB,相交于点E, :.DE是∠BDC的平分线， ·.∠BDE=二∠BDC=60° 2 8.(1)在锐角△ABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P,∠BPC=110° ,求∠A的度数， (2)如图，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD,当点D在直线AC上时，且B、P、D三点共线， ∠APC=100°，则∠B= E (3)在(2)的基础上，当点D在直线AC外时，如下图：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的 度数. E A D 【答案】(1)70°；(2)20°：(3)70° 【详解】(1)解：如图AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P, 8/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D .∠BDA=∠CEA=90° 又∠BPC=110°. ∠EPD=∠BPC=110°， :在四边形AEPD中，内角和为360°， ∠A=360°-110°-90°-90°=70° (2)解：，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD, .∠BAP=∠FAC,∠BCE=∠ACE, 又：∠APC=100°， .∠FAC+∠ACE=180°-100°=80°， ,∠BAC+∠BCA=160°， :.∠B=180°-160°=20° B D (3)解：如图：连接AC, B E :∠ADC=130°，∠APC=100°. :.∠DAC+∠DCA=180°-130°=50°，∠PAC+∠PCA=180°-100°=80°， .∠2+∠4=30°， 又，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD, 9/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠1+∠3=∠2+∠4=30°， .∠BAC+∠BCA=110°， .∠B=180°-110°=70°. 10140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, ∠P=∠A 结论： 2 C 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCD=B 人B C :BP,CP分别平分∠ABC,∠ACD, ∠PBC=∠PBA=∠ABc=a∠PCD=∠PCA=3∠ACD=B 2 2 :∠P+a=B ∠P=B-a ∠A+2a=2B. .∠A=2(B-a) ∠P=∠A 2 过关练习 1.如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE 交于点E,则∠E=度. 11/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E C 【答案】20 【详解】解：：∠ACD=∠A+∠ABC,CE平分∠ACD, .ZECD-4+∠ABC 又：∠ECD=∠E+∠EBC, 2E+∠EBC=2(M+∠ABC). ,BE平分∠ABC, :.∠EBC=2 ABC, ∴ABC+∠E=(2A+∠ABC). :B=A=20, 2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,延长BO与∠ACB的外角平分线交于点 D,若∠B0C=130°，则∠D=· -E C 【答案】40° 【详解】解：：∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O, .∠ACO= ∠ACB, 2 :CD平分∠ACE, :∠ACD=∠ACE. :∠ACB+∠ACE=180°， 12140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠0CD=∠AC0+∠4CD=(∠4CB+∠4CE)=2x180=90, .∠B0C=130°， :.∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°， 13140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在△ABC中，∠A=a,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A,得∠A;∠ABC与∠ACD的 平分线相交于点A,得∠A,;;∠A,019BC与∠A,01CD的平分线相交于点A,020,得∠A20,则 ∠A020= A B D 【答案】200 【详解】解：根据题意，∠A=a,∠ABC与∠ACD的平分线交于点A, 24=180号48c-∠4CB40D. :∠ACD=∠A+∠ABC, &∠4=180-∠ABC-∠ACB-∠A. 2 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 44 4-4-4-受 23: =x是xx∠A=g 24 、.∠A20=2200· 14140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA是∠ABD的平分线，CA是 ∠ACD的平分线，BA是∠A,BD的平分线，CA,是∠A,CD的平分线，…以此类推，若LA=a,则 ∠A020= 24 B 经一4 —D a 【答案】220 【详解】解：：AB是∠ABC的平分线，AC是∠ACD的平分线， ∠ABc-ABC,ACD=4CD. 又：∠ACD=∠A+∠ABC,∠ACD=∠A+∠ABC, 2448c04+4c-4+∠4c-4cD=4cD. ,∠A=a ∠4=)∠A=)0,同理可得∠4=34= 1 1 1 2 2, 根据规律推导， a 、.∠A020= 22020. 5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A,得∠A,∠ABC和∠ACD的角平分线 交于点A,得∠A,,∠An-BC和∠An-CD的角平分线交于点An,得∠An. (1)若∠A=80°，则∠A=,∠4，=一，∠A,=一： (2)若∠A=m°，则∠A015= 15140 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ---rA2 C 【答案】 40°’20°’100： （22015 【详解】解：(1)∠A=∠ACD-∠ABC,∠A=∠ACD-∠ABC, :∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A,∠A=80°， ∠4cD-4cn,ZAsc-4Bc, :∠A=∠AcD-∠AB=∠ACD-∠ABC=2ACD-∠ABC)2∠A=40 2 同理可证：4=4=20,4=4=10 (2):∠A=∠ACD-∠ABC,∠A=∠A,CD-∠ABC, ,∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A,∠A=m°， :∠ACD=∠ACD,∠ABC=∠ABC, 24=4cD-∠ABc=4 CD-ZARC=-4cD-∠48c)-5A=（}. 同理可证： 44(.44= .∠A4015 m 22015 6.如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E,∠A=80°，求∠E的度数. 【答案】40° 【详解】解：由题意：设∠ABE=∠EBC=x,∠ACE=∠ECD=y, 16/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2y=2x+∠A① 则有 y=x+∠E ②· ①-2×②可得∠A=2∠E, :∠E=∠A=400 2 17140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P.若 ∠P=30°，求∠A与∠OCP的度数. 【答案】∠A=60°，∠OCP=90° 【详解】解：BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, .∠ACD=2∠PCD,∠ABC=2∠PBC, :∠A=∠ACD-∠ABC,∠P=∠PCD-∠PBC, .∠A=2∠P=60° :.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°」 :CP平分∠ACD,CO平分∠ACB, :∠OCA=∠ACB,∠ACP=∠ACD. :∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠ACB+∠ACD=∠BCD, 2 ∠BCD=180° .∠OCP=90° 8.如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D. A D E (1)若∠ABC=60°，∠DCE=70°，则∠D=; (2)若∠ABC=70°，∠A=80°，则∠D=°； (3)当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什 么结论？（用含∠A的式子表示∠D)》 【答案】(1)40°；(2)40°：(3)见解析 【详解】(1)解：：BD为△ABC的角平分线，∠ABC=60°， 18140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠DBC=5∠ABC=30°， .∠DCE=70°， .∠D=∠DCE-∠DBC=70°-30°=40°： (2)解：：∠ABC=70°，∠A=80°， .∠ACB=180°-∠ABC-∠A=30°， .∠ACE=180°-∠ACE=150°， :BD为△ABC的角平分线， ∠D8C=21BC=350, :CD为△ABC外角∠ACE的平分线， ∠DCE=∠ACE=75P, 2 ∠D=∠DCE-∠DBE=75°-35°=40°， 故答案为：40； (3)解： ∠D的大小不变，∠D=2∠A:理由如下： 2 :∠DCE=∠DBC+∠D, .∠D=∠DCE-∠DBC, :∠ACE=∠ABC+∠A, :.∠A=∠ACE-∠ABC, :BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线， DCE-ACE.ZDBC-ARC D-ACE-7ZABC-(LACE-ZABC)-4 19140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：三角形的两条外角平分线形成的夹角 模型详解 条件：如图，在△ABC中，BP平分外角∠DBC,CP平分外角∠BCE, ∠P=90°-÷∠A 结论： 证明：如图，设∠PBC=a,∠PCB=B B BP,CP分别平分∠DBC,∠BCE, ∠PBC=∠PBD=∠DBC=a∠PCB=∠PCE=∠BCE=B ∠P+a+B=180° :.0+B=180°-∠P :∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∠A+180°-2a+180°-2B=180°， 即∠A+180°=2(a+B) ∠A+180°=2(180°-∠P) 20140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠P=90°-1∠A 过关练习 1.如图，己知在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点G,若∠ABC=m°，∠ACB=n°， 求∠BGC的度数. A B C E 【签灯∠BGC-m+m) 【详解】解：∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点G, 在△BGC中， ∠BGC=180° 3EBc+5acr=180-EBC+∠Bcr)=180-080P-∠ABc+180-∠AC8) =180°-080°-m+180-nr)=2(m+nP). 2.如图，五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分 ∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD= B 【答案】105 【详解】解：：∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°， :.∠BCD+∠CDE=(5-2)×180°-160°-80°-90°=210°， 21/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P, :.∠PCD+∠PDC= 802-210-79 在APCD中，∠CPD=180°-（∠PCD+∠PDC)=180°-75°=-105°， 22140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(1)如图(a),BD平分∠ABC,CD平分∠ACB ①当∠A=60°时，求∠D的度数 ②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论 (2)如图(b),BD平分外角∠CBP,CD平分外角∠BCQ,(1)中②的猜想还正确吗？如果不正确， 请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）， B B D 图(a) 图(b) 【答案】山①120：②∠D=90+A,证明里解新：②)不正确，D=90-号A 2 2 【详解】(1)①解：：∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-60°=120° :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ÷DaC+∠DCB-∠ABC+∠4CB)-x120=60, .∠D=180°-60°=120°： ②解：∠D=90°+∠A,理由如下 :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A. :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ÷2D8C+∠Dc8=∠4BC+Z4C)=0-A, &2D=180-(D8c+∠Dc8)=0+A: (②解：不正确，∠D=90°-)∠A,理由如下： .∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 23140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :.∠PBC+∠QCB=(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB)=180°+∠A :BD平分∠PBC,CD平分∠BCQ, 2D8C+∠DCB=(☑P8C+∠0C8)=90P+号A, :∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=90°-∠A 4.如图，已知射线OE⊥射线OF,B、A分别为OE、OF上一动点，∠ABE、∠BAF的平分线交于C 点.问B、A分别在OE、OF上运动的过程中，∠C的度数是否改变？若不变，求出其值：若改变，说 明理由. B E 【答案】不变，∠C=45 【详解】解：∠C的度数不会改变， :∠ABE、∠BAF的平分线交于C, :∠CAB=∠FAB,∠CBA=∠EBA, :∠C-180°-（∠CAB+∠CBA)=180°-（∠ABE+∠BAF) =180-(<0+∠01B+∠B4F)=180-20+1809）=90-3<0=45. 5.如图，点P是△ABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点，延长BP交AC于G,请写出∠A和 ∠CPG的数量关系. 24140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】∠CPG=90+∠A 2 【详解】解：：∠ACB+∠ABC=180°-∠A, :∠ECB+∠FBC=180×2-(180°-∠A)=180°+∠A, :点P是△ABC的外角∠BCE和∠CBF的角平分线交点， ∴∠CBP+∠BCP=080+Z4=0+24, 又：∠CPG=∠CBP+∠BCP, A∠CPG=90°+∠A. 21 6.已知，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°， M 图1 图2 (1)求证：∠ABC+∠ADC=180° (2)如图1，若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明. (3)如图2，若BF、DE分别平分∠ABC,∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明. 【答案】见解析 【详解】(1)证明：∠A=∠C=90°， :.∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°： (2)解：DE⊥BF,证明如下： 如图1，延长DE交BF于点G, ∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°， :.∠ABC+∠ADC=180°， :∠ABC+∠MBC=180°， .∠ADC=∠MBC, :DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC, 25140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠EDC=∠ADC,∠EBG=∠MBC, 2 2 :.∠EDC=∠EBG, :∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=18O°，∠DEC=∠BEG, ∴.∠EGB=∠C=90°， .DE⊥BF (3)解：DE∥BF,证明如下： 如图2，连接BD, :DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC, :∠EDC=;∠NDC,∠FBC=,∠MBC, 2 :∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC, :∠MBC+∠WDC=180°， :.∠EDC+∠FBC=90°， :∠C=90°， .∠CDB+∠CBD=90° .∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=18O°， .DE∥BF 图1 图2 题型四：三角形双角平分线模型综合 模型总结 三角形双内角平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线， ∠P=90°+5∠A 结论： 21 26140 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 三角形一内一外平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACD, ∠P=∠A 结论： 2 C 0 三角形双外角平分线模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分外角∠DBC,CP平分外角∠BCE, 结论： 2P=0-A 口诀：内加外减，一内一外不加不减。 过关练习 1.如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果 ∠CMB:∠CNB=3:2,那么∠CAB= 27140 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B 【答案】36° 【详解】解：由题意得：∠NCM=∠MBN=二×180°=90° .∠CMB+∠CNB=180°， 又∠CMB:∠CNB=3:2, .∠CMB=108°， 4C8+∠ABc)=180-∠CMB=7z. .∠ACB+∠ABC=144°， :.∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC)=36°. 28140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(1)如图所示，在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，证明： ∠B0C=90°+∠A. (1) (2②)如图所示，AABC的外角平分线BD和CD相交T点D,证明：∠BDC=90°-)∠A. 2 D (2) (③)如图所示，△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D,证明：∠D=)∠A D (3) 【答案】(1)见解析：(2)见解析；(3)见解析 【详解】(1)证明：设∠ABO=∠OBC=x,∠ACO=∠BCO=y 由△ABC的内角和为180°，得∠A+2x+2y=180°.① 由△B0C的内角和为180°，得∠B0C+x+y=180°.② 由②得x+y=180°-∠B0C.③ 把③代入①，得∠A+2(180°-∠B0C)=180°， 即2∠BOC=180°+∠A, 即∠B0C=90+∠A, 21 (2)证明：：BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线， 29140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCD=(∠A+∠ABC),∠DBC=(∠A+∠ACB), 由三角形内角和定理得，∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-[∠A+(ZA+∠ABC+∠ACB)】 =180-24+180）-90-4, (3)证明：如图： A :BD为△ABC的角平分线，交AC与点E,CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点 D, ÷41=∠25=221+240.3=∠4 在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3， .∠1+∠3=180°-∠A① 在ACDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-3-（∠A+2☑）. 即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②， RAE翔∠D=号A 3.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. B 图① 图② 图③ (1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数： (2)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点O,试探索∠Q,∠A之间的数量关系. 30140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，延长线段BP,QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A 的度数。 【路16125：62<0=90-4，∠4的腹数是45成60度120政135 【详解】解：(1)：∠4=70°， :.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° :点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， 2Pc-4c,∠cB-4CB, ∴.∠PBC+∠PCB=55°， .∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=125°： (2):∠MBC=∠ACB+∠A,∠NCB=∠ABC+∠A. :.∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A, :点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点， ∠OBc=5∠MBc,∠QcB=NcB, :∠QBC+∠0CB=(MBC+∠CB)=)180+∠A)=90+)∠A, ÷∠0=180°-（∠0BC+∠0CB)=180°- (3)延长BC得射线BF, R 图③ :CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， .∠BCQ=∠NCQ, :LBCQ=LFCE,∠NCQ=∠ACE, 31140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FCE=∠ACE. :.CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， .∠ACF=2∠ECF, :BE平分∠ABC, .∠ABC=2∠EBC, ,∠ECF=∠EBC+∠E, :.2∠ECF=2∠EBC+2∠E, 即∠ACF=∠ABC+2∠E, :∠ACF=∠ABC+∠A, .∠A=2∠E, 即∠E=}∠A, 2 :∠EBQ=∠EBC+∠CB0=,∠ABC+5∠MBC=xI80°=90°. 2 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①∠EB0=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°： ②∠EB0=3∠Q,则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°， ③∠0=3∠E,则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°， ④∠E=3∠0，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°， 综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°. 4.(1)问题发现： 如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分线交于P,则∠BPC的度数是 (2)类比探究： 如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线和∠ACB的外角∠ACE的角平分线交于P,则∠BPC与∠A的关 系是一，并说明理由. (3)类比延伸： 如图3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分线和∠ACB的外角∠BCE的角平分线交于P,请直 接写出∠BPC与∠A的关系是 32140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 E 图3 【路案110：②∠BPC-A:)∠BPC=90-4 【详解】解：(1)：∠A=40°， .∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， :∠ABC和∠ACB的平分线交于P, ∴∠P8c=5ABc,∠PCB=54CB, .∠BPC=180°- {248c+4C8)=180-70=10: 2∠BPC)LA 证明：，∠ACE是△ABC的外角， ∠PCE是△PBC的外角， .∠ACE=∠ABC+∠A,∠PCE=∠PBC+∠BPC, :BP平分∠ABC,CP平分∠ACE, A∠PBC=∠ABC,∠PCE=∠ACE, ÷ACE=ABC+∠BPC. ∠Brc-4cE-4ac-40cE-∠4c. .∠BPC= 2 33140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)由(1)得，∠BPC=90-∠A 2 5.在△ABC中，已知∠A=Q, (I)如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D.求∠BDC的大小（用含M的代数式表示）： (2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点P,求∠BFC的大小（用含M的代数式表示）： (3)在(2)的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC,∠GBC的平分线与∠GCB的平 分线交于点M(如图3)，求∠BMC的度数（用含Q的代数式表示）. D B B 图1 图2 图3 【容案】d∠BDC=90+号：②)∠BFC=:)∠BMC=90+ 4 【详解】解：(1)，∠A=a, .∠ABC+∠ACB=180°-aM, :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴∠D8C=ABC.∠BcD=54CB, ∠D8C+∠BcD=(∠4BC+Z4C)=90-0. :∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD)=90°+c (2):∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F, :∠FBC=∠ABC,∠FCE=∠ACE, :∠ACE=∠A+∠ABC,∠FCE=∠BFC+∠FBC, ∠BFc-4-0: 1 2 (3):∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M, 34140 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法同(1)可得∠BMC=90°+∠G. 2 :将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC, ∠G=∠BFC=5a, 2 1 :.∠BMC=90°+a 4 6)如图1所示，在a4BC中，∠ABC和∠4CB的平分线将于点0，则有∠B0C=90P+)∠A 请说明理由， (2)如图2所示，在△ABC中，内角的平分线∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点O,请直接写出 ∠BOC与∠BAC之间的关系，不必说明理由. (3)如图3所示， 4P°BP分别T分∠C1D'∠CBD则有∠P-(<C+∠D).请明理电 (4)如图4所示，AP,BP分别平分∠CAM,∠CBD,请直接写出∠P与∠C,∠D之间的关系， 不必说明理由. CB 图1 图2 图3 图4C 【答案】(1)理由见解析：(2)∠BAC=2∠BOC:(3)理由见解析；(4) 2P-2D2C90 2 【详解】解：(1)：OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线， .∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB, :∠A+∠ABC+∠ACB=180°， <0C8+208c=080-24=90-4。 .∠B0C=180°- （0-4=0+号4 (2):BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACD的角平分线， 35/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCD ,∠BAC+∠ABC=∠ACD,∠OBC+∠BOC=∠OCD, :.2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD, .∠ABC+2∠BOC=∠ACD. ·.∠BAC=2∠BOC: (3):AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线， .∠DAP=∠PAC,∠DBP=∠PBC, :∠D+∠DAP=∠P+∠DBP,∠P+∠PAC=∠PBC+∠C, .∠D-∠P=∠P-∠C, ∠P=C+∠D: (4):AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线， .∠MAP=∠PAC,∠DBP=∠PBC, 设∠DBP=∠PBC=x,∠MAP=∠PAC=y, .∠AGB=∠C+2x, :∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x)-y, ∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y, ,∠D+∠AEG=∠MAP, :∠D+180-(∠C+2x)-y=y, 1 。1 x+y=三∠D-三∠C+90° 2 2 &∠P=∠D-∠C+90°+∠C=∠D+∠C+90. 2 2 2 2 7.课本拓展 旧知新意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻 的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 36140 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样 的数量关系？为什么？ 初步应用： (2)如图2，在△ABC纸片中剪去△CED,得到四边形ABDE,∠1=130°，则∠2-∠C=一 (3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、 ∠ECB,∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案一· 3拓展提升： (4)如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB,∠P与∠A、∠D有何数 量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由） 【答案1)∠D8C+∠Cn=180r+∠4理由见解折：2)50：)∠P=90-A:( ∠BAD+∠CDA=360°-2∠P,理由见解析 【详解】解：(1)∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB =360°-（∠4ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A, (2)·∠1+∠2=180°+∠C. :.130°+∠2=180°+∠C, ∠2-∠C=50°： (3)∠DBC+∠ECB=180°+∠A :BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB, ∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)=I80+∠A). 在PBC中.∠P=180-080+∠40=0-A. 5∠A: 37/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图4 (4)延长BA、CD于Q, 则∠P=90°-2∠9 :.∠0=180°-2∠P .∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°-2∠P=360°-2∠P 8.直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动. M M B B D PA O P/A G 图1 图2 图3 (I)如图1，己知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的 大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小 (2)如图2，己知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别 是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化， 请说明理由；若不发生变化，试求出其值 (3)如图3，延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、 F,在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数. 【答案】1)∠4EB=135°，(2)∠E=67.5°，(3)60°或45 【详解】解：(1)∠AEB的大小不变， :直线MW与直线PQ垂直相交于O, .∠A0B=90°， 38140 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠OAB+∠OBA=90° :AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， :∠BAE=,∠0AB,∠ABE=∠AB0, 2 2 :∠BIE+乙ABE-(201B+∠HB0)=4S, .∠AEB=135°. (2)如图2，延长AD、BC交于点F. PA 图2 :直线MN与直线PO垂直相交于O, ·.∠A0B=90°， .∠OAB+∠OBA=90°， .∠PAB+∠MBA=270°， :AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∠B1D=∠BP,∠ABc=A8M, 2 &∠B4D+∠ABC=(PAB+∠ABM)=135. .∠F=45°」 .∠FDC+∠FCD=135°， .∠CDA+∠DCB=225°， :DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， .∠CDE+∠DCE=112.5°， .∠E=67.5°： (3):∠BAO与∠BO0的角平分线相交于E, 39/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D=-LBA0.∠E00=)A 2E=∠E00-∠E0-00-∠B40)-40, :AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， .∠EAF=90°， 在△AEF中，有一个角是另一个角的3倍，故有： ①∠EAF=3∠E,∠E=30°，∠AB0=60°： ②∠EAF=3∠F,∠E=60°，∠AB0=120°（舍去）： ③∠F=3∠E,∠E=22.5°，∠AB0=45°： ④∠E=3∠F,∠E=67.5°，∠AB0=135°（舍去）： :.∠AB0=60°或45 M B P/A N 图3 40140