专题01 三角形中的线与角的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建三角形线与角综合题突破体系，通过通法提炼、题型模版与分层训练，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|内角和/外角定理、中线倍长、角平分线+平行出等腰等|从三角形基本性质到特殊线应用的逻辑递进| |六类题型|每题型1典例+3变式|三边关系化简、中线构造全等、高线面积法等|按“线（中线/高线/角平分线）—角（内外角）—变换（折叠）”维度分类| |压轴挑战|14题（选择/填空/解答）|综合运用多方法解决复杂图形问题|从基础应用到跨知识点综合的能力提升|

专题01 三角形中的线与角的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 题型二、利用三角形中的中线求解 题型三、利用三角形中的高线求解 题型四、利用三角形中的角平分线求解 题型五、利用三角形中的折叠求解 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或线段长。 - 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等；高线注意直角三角形分拆；中垂线转化等距。 - 易错提醒：外角定理误用为相邻外角；高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 典例1．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 题型模版 1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。 2.方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。 变式1-1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 变式1-2．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 变式1-3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 类型二、利用三角形中的中线求解 典例2．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 题型模版 1.特征：已知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。 2.方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。 变式2-1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 变式2-2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 变式2-3．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 题型三、利用三角形中的高线求解 典例3．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：已知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。 2.方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。 变式3-1．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 变式3-2．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 变式3-3．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 题型四、利用三角形中的角平分线求解 典例4．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理； （1）根据角平分线性质得到，根据，得到，求出，即可证出结论； （2）根据三角形内角和定理得到，根据，得到，根据角平分线得到，推出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。 2.方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例；或作对称构造全等，结合等面积法求解。 变式4-1．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 变式4-2．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由三角形中线的定义得，即得到的周长的周长，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， 又∵与的周长差为， ∴或， ∵， ∴或． 变式4-3．（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 题型五、利用三角形中的折叠求解 典例5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。 2.方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求解。 变式5-1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 变式5-2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 变式5-3．（24-25八年级上·江西·阶段检测）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 典例6．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，，平分交于点，点在的延长线上且． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 平分， ， ； (2) 【分析】（1）首先由平行的性质可知，然后根据角平分线的定义即可证明； （2）首先由三角形的内角和求出，然后根据平行线的性质求出，进而由平分求出． 【详解】（1）略； （2）在中，， ． ， ． 平分， ． 题型模版 1.特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。 2.方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性质推导。 变式6-1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． (1)若，求的度数； (2)判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)， 证明：设， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）根据角平分线可知，进而由三角形的外角即可求解； （2）设，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）略 变式6-2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式6-3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 【答案】(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 3．（2026八年级上·广东东莞·竞赛）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 4．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 8．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 三、解答题 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 10．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图：为线段延长线上一点，，分别平分、，． (1)若，，，求的度数； (2)已知：，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先求出，然后利用平行线性质得到与，即可求解； （2）先通过三角形外角性质和平行线性质得到，结合，可得到，进而可得， 从而可证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 由三角形外角定理可知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 11．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD是的角平分线，点在上（不与点重合），连接BE，交AD于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为___________； (2)如图2，若BE是的高，，则的度数为___________； (3)如图3，若BE是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，， 然后利用三角形内角和定理求出，则，即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）∵是的中线， ∴， ∴与的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵是的高， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴ ． 12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 14．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) (3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． （2）解：，，    ．     点是的外角，的角平分线的交点， ，， ，     ． （3）解：， ．     ，， ，     ．     由（2）可知，． ，， ，     ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形中的线与角的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 题型二、利用三角形中的中线求解 题型三、利用三角形中的高线求解 题型四、利用三角形中的角平分线求解 题型五、利用三角形中的折叠求解 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或 线段长。 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等： 高线注意直角三角形分拆：中垂线转化等距。 -易错提醒：外角定理误用为相邻外角：高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对 应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。 夙题型归纳一精讲臭型题法，寿尖解题报基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 典例1.(25-26八年级上山东德州期中)已知a,b,c是一个三角形的三边长，化简 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b-c-b-a-c+a-b-c 题型模版 1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。 2方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。 变式1-1.(25-26七年级下江苏盐城阶段检测)己知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a=9，,b=5,且c为整数，求△ABC周长的最大值. (2化简： b+c-a-c-a-b-a-b+e 变式1-2.(25-26七年级下河南周口期中)已知a,b,c是△ABC的三边长. ①若a-+6-c=0,试判断△ABC的形状， (2)化简： a-b-c+b+c-a+c-a-b 变式1-3.(25-26七年级下陕西西安阶段检测)按要求完成下列各小题。 (①)在△ABC中，AB=6,BC=2,AC的长为偶数，求△ABC的周长： ②已知△1BC的三边长分别为3,7，弘，化简m+2m-10+2m-4 类型二、利用三角形中的中线求解 典例2.(25-26七年级下山西临汾期末)如图，CD、CE分别是△ABC的高和中线，若AC=5cm, BC=12cm,AB=13cm,∠ACB=90° (I)求CD的长 (2)求△BCE与△ACE的周长差 题型模版 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：已知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。 2方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。 变式2-1.(25-26七年级下广东广州期中)如图，在△ABC中，BC=8,AB=1. (1)求周长C的取值范围： (2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为l0,求△BCD的周长. 变式2-2.(25-26七年级下江苏南通·期末)【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在△ABC中，AB=2,BC=4,则△ABC的高AD与CE的比是多少？ D D (图1) (图2) (图3) (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系.他提出了以下猜想：如图 S△MBp-BD 2'若。ABC中，D是边BC上的点，则SCCD: (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由： 【拓展应用】 (3)如图3，△ABC中，D,E分别是边BC,AC上的点，AD与BE交于点O.若BD=CD,AE=2CE, AO 请直接写出AD的值. 变式2-3.(25-26七年级下四川资阳期末)综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心. 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状 态. 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 图① 图② 图③ 图④ )如图②，D是△1BC的中线，则AABD与△4CD 的面积关系为： S4m(填、<或)： (2)如图③，点G是△ABC的重心，猜想△BFG与△CEG的面积之间的关系，并说明理由： (3)如图③，点G是△ABC的重心，三条中线AD、BE、CF分别交BC、AC、AB于点D、E、F,求 DG AG的值： (④如图④，点G是△ABC的重心，且BD1CE,若BD=6,CE=4,求四边形AEGD的面积. 题型三、利用三角形中的高线求解 典例3.(25-26七年级下·河南郑州：阶段检测)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm, BC=4cm,AB=5cm (I)点A到直线BC的距离是垂线段 的长度，该长度是 cm (2)画出表示点C到直线AB的距离的线段，并求这个距离， 题型模版 1.特征：已知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。 2方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。 变式3-1.(25-26八年级上山东日照期末)在△ABC中，AB=AC,D为直线BC上任意一点，连接AD, 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BG⊥AC于点G. E G C D 图1 图2 (I)如图1，观察、测量、猜想、证明DE,DF,BG之间的数量关系，完善空格内容. 小明是这样证明的： S。ABc= +S。ACD AC.BG-AB.DE+ 1 AB=AC. (2)如图1，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系 (3)如图2，当点D在BC的延长线上时，请猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证明 变式3-2.(2627八年级全国暑假作业)【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形. 例如：如图①.在△ABC和△A'B'C'中，AD,AD分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D,则 △ABC和△AB'C是等高三角形. D C B'D' B D B D 图① 图② 图③ 【性质探究】 如图O.用，Sc分别表示△C和△4BC的面积. 则Se号acAD,Sae-BC4D ·AD=A'D 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S.ABC S.c BC:B'C 【性质应用】 @0加图②，D是△HBC的边BC上的-点.若BD=3DC=4,则Sm:Sc (2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S△BC=1, △BEc= SACDE= 则 (3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m,，CD:BC=1:n, S.ABC=a SaCDE= ,则 变式3-3.(25-26七年级下·河南南阳·阶段检测)综合探究 C E B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD的长为一 (2)如图2，在△ABC中，AB=6,BC=3,CD,AE为△ABC的高，试分析CD,AE的数量关系 (③)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP 垂足分别为E,F.若BC=m,求DE+DF的值（用含m的代数式表示）. 题型四、利用三角形中的角平分线求解 典例4.(25-26八年级上云南昆明期中)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D,使DB=DE, 6/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)求证：DE∥BC: (2)若∠A=75°，∠AED=40°，求∠DEB的度数. 题型模版 1特征：己知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。 2方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例：或作对称构造全等，结合等面积法求解。 变式41.(25-26八年级上江西上饶·阶段检测)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上 (不与点A,B重合)，CD与BE交于点O. y (I)若CD是中线，BC=7,AC=5,则△BCD与△ACD的周长差为 (②)若∠ABC=64°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数. 变式42.(25-26八年级上：江西上饶期中)如图，AD是△ABC的高，CE是△BC的角平分线，BF是 △ABC的中线. E (I)若∠ACB=50,∠AEC=55°，求∠BAD的度数： (2)若BC=15,△BCF与△BAF的周长差为6，求AB的长 变式43.(25-26八年级上全国单元测试)【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个 角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”.例如三个内角分别为130°，40°10°的三角形是 “完美三角形”、 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M BN B 图① 图② 【简单应用】如图①，∠MON=72°，在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交射线ON于点B,以A 为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合)· (I)∠AB0=°，∠AOB=°，△AOB“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若∠ACB=90°，求证：△AOC是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点D在△ABC的边AB上，连接DC,DE平分∠ADC,DE∥BC.若△BCD是“完 美三角形”，请直接写出∠B的度数. 题型五、利用三角形中的折叠求解 典例5.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点 C的位置. (1)当∠C=45°时，求∠1+∠2的度数 (2)若∠C=a,请直接写出∠1+∠2的度数.（用含“的代数式表示） 题型模版 1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。 2方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求 解。 变式5-1.(2025八年级上全国专题练习)如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC,点 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D,E分别在边AB,AC上.将△ABC沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合. D (1)若∠B=35°，∠C=60°，求∠A的度数. (2)若∠A=70°，求∠1+∠2的度数. 变式5-2.(2425八年级上·河南漯河阶段检测)如图(1)所示，把△ABC沿DE折叠， E B 图(1) 图(2) 图(3) (1)当点C落在四边形BCDE内部时，∠C与∠I、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这 个规律，请你写出规律并证明你的规律， (2)当点A落在四边形AC上方时，∠C与∠1、∠2之间数量关系是_· (3)当点A落在四边形BC下方时，∠C与∠1、∠2之间数量关系是_· 变式5-3.(2425八年级上江西阶段检测)(1)如图1，若∠A=90°：则∠1+∠2=」 (②)把三角形纸片1BC顶角A沿DE折叠，点4落到点处，记∠4DB为1∠MBC为2. ①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ②如图3，∠1，∠2与∠A的数量关系是 (3)如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 典例6.(25-26七年级下重庆綦江期末)如图，AB∥CD,CE平分∠ACD交AB于点E,点F在BA的 延长线上且∠AFC=110° D B (1)证明：∠ACE=∠CEA, (2)若∠ACF=30°，求∠DCE的度数. 题型模版 1特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。 2方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性 质推导。 变式6-1.(25-26八年级下山东潍坊期末)如图，在△ABC中，OA、OB、OC是三个内角的平分线， OD⊥OB交BC于点D. D (1)若∠ABC=40°，求∠ODC的度数： (2)判断∠AOC与∠ODC的数量关系并说明理由. 变式6-2.(25-26七年级下·江苏宿迁期末)如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB,交 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC于E,F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G,且∠DFA=∠A, B E (I)DE平分∠CDF吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若∠C=80°，∠ABC=60°，求∠G的度数. 变式6-3.(25-26七年级下·河北邯郸期末)如图，己知直线MN‖P吧，点B为直线P№上一定点，点C 为直线MN上的一个动点，连接BC.在直线MN、PO之间找点A使∠ABC=90°，∠ACB=30°，设 ∠ABP=a,∠ACM=B」 M M E P B B (1)当a=40°时，求B的度数. (2)a与B有怎样的数量关系？并给出证明. (3)设∠CAB的角平分线AE与MN交于点E,当∠AEM=20°时，求a. ◆◆ 同压轴挑战一支克离难压轴。 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西汉中期末)三角形三边长分别为：2，X,6,化简-4+-8() A.4 B.2x-12 C.12-2x D.-4 2.(25-26七年级下吉林长春·期末)如图，AD是△ABC中边BC上的中线，E、F分别是AB、AD的 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中点，若△4CD 2cm2 的面积为 2cm,则△DEF的面积是（） A 6cm2 B 3cm2 C.1.5cm2 D.Icm2 3.(2026八年级上：广东东莞竞赛)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于 点E.∠BAC、LB与LE有什么样的关系() B C D A.∠BAC=∠B+∠E B.∠BAC=∠B+2∠E C.∠BAC=∠B-2∠E D.∠BAC=∠B-∠E 4.(25-26七年级下江苏南通阶段检测)如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N,将 纸片沿着BN对折一次使得点A落在A处后，再将纸片沿着BA对折一次，使得点C落在BN上的C'处， 已知∠CMB=68°，∠A=18°，则原三角形中∠C的度数为() M A.90° B.88 C.87 D.86 二、填空题 5.(25-26八年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，∠B=35°，AD平分△ABC的外角∠CAE交BC 12/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的延长线于点D,若∠DAE=6O°，则∠ACD的度数为 B D 6.(25-26八年级上山西太原阶段检测)如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若 AC=24cm,则AE=12cm,若∠ABC=72°，则∠ABD=度， 7.(25-26七年级下广东深圳期中)如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点， CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则△ABC中BC边上的高 为 B D 8.(25-26八年级下河南郑州开学考试)如图，有一张三角形纸片ABC,∠B=30°，∠C=50°，点D是 AB边上的固定点(BD<2A),在BC上找一点E,将纸片沿DE折叠(DE为折痕)，点B落在点F处， 使EFI‖AC,则∠BDE的度数为 刀 B- 三、解答题 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级下四川成都期中)已知△ABC的三边长为a,b,C,且a,b,C都是整数. (化简：a+h+d-b-c-a+la-b+d (2)若a2+b2-6a-14b+58=0.且a,b为等腰△ABC的边长，求△ABC的周长. 10.(25-26七年级下·湖北武汉期末)如图：D为线段BC延长线上一点，BE,CE分别平分∠ABC、 ∠ACD,EF∥BD. F G C (1)若∠A=76°，∠ABC=42°，GF∥CE,求∠EFG的度数： (2)已知：2∠EFG+∠A+∠ABC=360°，求证：FG∥EC. 11.(25-26八年级上·安徽准南期中)如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AC上（不与点A,C重 合)，连接BE,交AD于点O. A 0 E D B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，若BE是△ABC的中线，AB=8,BC=5,则△ABE与△BCE的周长差为 (2)如图2，若BE是△ABC的高，∠BAC=28°，则∠BOD的度数为. (3)如图3，若BE是△ABC的角平分线，∠C=62°，求∠AOB的度数. 12.(25-26七年级下·吉林长春·期中)【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容. 如图，在△ABC中，∠ABC=80°.∠ACB=50°，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠BPC的度数. 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D 图1 图2 解：BP平分∠ABC(已知)， ·`、PBC=5∠ABC三2X80=4O。 同理可得∠PCB= :∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°( .∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB(等式的性质)= (①)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）. (②)【拓展延伸】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠，使得点A 与点P重合，若∠I+∠2=100°，求∠BPC的度数： (3)如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O,OD⊥OB，,交边BC于点D,点E在CB的延长线上， 作∠ABE的平分线交C0的延长线于点F.若∠F=24,则∠D0C=°. 13.(25-26八年级上·湖北武汉·期末)用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心. 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形△ABC,把△ABC剪下来，并在△ABC的每个顶点处钉 一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线 的“痕迹”AD;对于小钉B(或C)重复操作过程，描出细线的“痕迹”BE(或CF),若记AD与BE 的交点为G,则发现CF也经过G点，如图1.G点既是三角形薄板的重心也是△ABC的重心 LLLLLLL A 、G D B D F 图1 图2 图3 数学思考：点P是△ABC的重心 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SBPC (I)如图2，连PA'PB'PC:直接写出3的值： PF (2)如图3，AP,BP,CP的延长线分别交BC,AC,AB于点F,B,D,求PA的值. 拓展运用：(3)如图4，Rt△BPC中，∠BPC=90°，D,E分别是CP,BP延长线上的点，BD,CE的延 长线交于点A,若D,E刚好分别为AB,AC的中点，CD=12,BE=18,直接写出四边形ADPE的面积. D 图4 14.(25-26七年级下福建泉州期末)数学探究 在△ABC中，已知∠A=a, B B M 图1 图2 图3 ()如图1，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P, ①当a=70°时，∠BPC= °；（直接写出结果） ②∠BPC的度数为 ；(用含“的代数式表示) (2②)如图2，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点.求 ∠BQC的度数.（用含a的代数式表示） (3)如图3，点M,N分别为AB,AC延长线上的一点，点P,卫分别在△ABC内部和外部，且满足 ∠ABC=n∠PBC,∠ACB=nLPCB,∠MBC=n∠QBC,∠NCB=n∠QCB.分别求∠BPC,∠BQC的度 数.（用含a、n的代数式表示） 16/16