专题02 二次函数的综合应用（高效培优专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数四大应用场景，以问题链构建"实际建模-几何综合-压轴突破"的递进式训练体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际问题|8题|含利润最值、几何面积等场景，需建立函数模型|从实际问题抽象为二次函数表达式，通过顶点坐标求最值| |实物相关|10题|桥拱、运动轨迹等抛物线模型，结合坐标系求解|用待定系数法确定函数解析式，体现数形结合思想| |几何存在性|10题|等腰三角形、直角三角形等存在性探究|综合二次函数性质与几何判定定理，培养空间观念| |综合压轴|10题|含参数讨论、动态问题及多问递进|融合函数、几何与代数推理，提升创新意识与综合应用能力|

专题02 二次函数的综合应用 题型一 利用二次函数解决实际问题 题型二 二次函数型实物的相关问题 题型三 二次函数与几何图形的存在性问题 题型四 二次函数的综合压轴题 题型一：利用二次函数解决实际问题 1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 3．如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料． (1)若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？ (2)菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？ 4．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ 5．如图，在∆ABC中，∠B=90°，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 6．阅读材料，完成相关问题 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 7．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为． (1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________． (2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 8．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 题型二：二次函数型实物的相关问题 1．如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是，当水位线在位置时，A到B的水面宽为，求水面离桥顶的高度 ． 2．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为 米． 3．鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表： 5 10 15 20 25 3 4.5 5 4.5 3 (1)求关于的函数解析式； (2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 4．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 5．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 6．某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． (1)求抛物线解析式； (2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球； (3)求篮球的初始高度（的长）． 空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”． 7．一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 8．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 9．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑高． (2)求落水点之间的距离． (3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 10．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为，且一排能容纳5张高为，宽为的椅子．设其抛物线型支架的形状值为，请求出a的最小值． 题型三：二次函数与几何图形的存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直 线，D为上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 3．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________； (2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 6．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式； (3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型四：二次函数的综合压轴题 1．已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值； (3)已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围． 2．已知二次函数． (1)若其图象经过点，求此二次函数的表达式； (2)当时，随的增大而增大，则的取值范围是______； (3)点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系． 3．已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 4．已知二次函数（是实数）． (1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值； (3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围． 5．在平面直角坐标系中．已知抛物线的对称轴是直线． (1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线与x轴相交于点A、B，且线段，求a的值； (3)若抛物线与x轴的一个交点为，且当时，y的取值范围是，结合函数图象，求满足条件的m，n的值． 6．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)当点到轴的距离是时，求的值； (3)在（2）的条件下，且取有理数时，将抛物线绕点旋转得到抛物线，设与轴交于两点（点在点的左侧），求长度． 7．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． (1)求，和的值； (2)若直线经过点，求的值； (3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)若抛物线经过点，求a的值； (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围． 9．已知关于x的函数，其中k为实数． (1)若函数经过点，求k的值； (2)若函数图象经过点，，试说明： (3)已知函数，当时，都有恒成立，求k的取值范围． 10．已知抛物线 经过点 ，请解决下列问题： (1)点，分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值． (2)当时， 求的取值范围． 若，求 的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的综合应用 题型一 利用二次函数解决实际问题 题型二 二次函数型实物的相关问题 题型三 二次函数与几何图形的存在性问题 题型四 二次函数的综合压轴题 题型一：利用二次函数解决实际问题 1．【答案】D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 2．【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 3．【答案】(1)若面积为，菜园的长为，宽为 (2)当时，菜园有最大面积，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设这个菜园一边长为，则另一边长为，根据菜园面积为列方程求解即可； （2）设菜园的面积为，列出y关于x的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）解：设这个菜园一边长为，则另一边长为． 依题意，得， 解得（舍去），． 当时，． 答：若面积为，菜园的长为，宽为； （2）解：设菜园的面积为， 依题意，菜园的面积为， ∵， ∴当时，菜园有最大面积，最大面积为． 4．【答案】(1) (2)当为米时，鸡舍的面积为90平方米． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． （1）设米，则米，根据矩形面积公式求出表达式，再结合墙长与门宽求出x的取值范围即可； （2）结合（1）所得表达式，列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 则， ，， ， 即S关于x的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，， 则， 解得：，（舍）， 即当为米时，鸡舍的面积为90平方米． 5．【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)108 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并根据题意正确列出解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，利用面积公式计算即可； （2）根据题意得到，，推出， 然后由得到关于的一元二次方程，根据值即可得到答案； （3）根据题意得到，然后由和确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：当时，， （2）解：由题意得：， 与四边形的面积相等，即 ，即， 此方程无解 不存在与四边形的面积相等的时刻 （3）解：由题意可得： 其中： ． 当时，有最小值为108． 6．【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【分析】任务一：根据列式表示即可； 任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得，， 故答案为：； 任务二：当时，； 任务三：把代入得，， 解得（不合，舍去），， 答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 7．【答案】(1)； (2)240元 (3)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量x的范围是易错点． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数，列出方程，解方程即可； （3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：根据题意得： 整理，得， 解得：，（舍去）， （元）， 答：房价应该为240元； （3）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 8．【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 题型二：二次函数型实物的相关问题 1．【答案】9米 【分析】本题考查二次函数的应用，设，把代入求出函数表达式，再把代入即可求出水面离桥顶的高度． 【详解】解：桥拱是抛物线，顶点为原点， ∴设， 把代入得：， 解得， ， ∵A到B的水面宽为， ∴点B的横坐标， 把代入得，， 水面离桥顶的高度为， 故答案为：． 2．【答案】 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式，求出水面上升2米后抛物线与水面相交的两个交点的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线为， 由题意可得，点在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线为， 当时，， 解得， ∴当水面上升2米后水面宽度为， 故答案为：． 3．【答案】(1) (2)这次守门员能防守成功． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式． （1）根据表格可知，抛物线顶点为，用待定系数法可得； （2）结合（1），求出，即可知这次守门员能防守成功． 【详解】（1）解：根据表格可知，抛物线顶点为， 设关于的函数解析式为， 把代入得：， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：这次守门员能防守成功，理由如下： 在中，令得：， ， 这次守门员能防守成功． 4．【答案】(1)； (2)不能，理由见解析； 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. （2）当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 5．【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 6．【答案】(1) (2)本次进球为空心球 (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用； （1）根据题意可得抛物线的顶点坐标是，进而根据顶点坐标公式求得，，即可求解； （2）将代入解析式，得出的值，与篮筐的中心坐标为比较，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． ∴抛物线的顶点坐标是 ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为：； （2）当时，代入抛物线解析式为 ∵篮筐的中心坐标为， ∴本次进球为空心球； （3）当时，， ∴篮球的初始高度为． 7．【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球，证明见解析 (2)小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． （1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值可得抛物线解析式，把代入求出值与比较即可得答案； （2）把代入抛物线解析式，求出的值，再求出与球门的距离即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为， ∴设抛物线为． ∵抛物线过， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， ∵， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：或， ∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守， ∴， ， 答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门． 8．【答案】(1)； (2)能达点处，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 9．【答案】(1) (2) (3)顶部是会碰到水柱，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及图象关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图象与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点在图象上． 当时， ． （2）解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， （3）解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱． 10．【答案】【建立模型】；【运用模型】最多可摆放的椅子数量为6张；【分析计算】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，求出，，得出（张)，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：【建立模型】∵A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ∴，B， 设抛物线函数关系式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴； 【运用模型】解：∵，且椅子高度，宽度， ∴， 解得，， ； （张)， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为6张； 【分析计算】依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 题型三：二次函数与几何图形的存在性问题 1．【答案】(1) (2)点D的坐标为 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可； 根据抛物线的解析式求得点，点，则，过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，则四边形是矩形， 有，，结合题意得，即可证明，则，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则， ， ，进一步求得，，，求得和，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线的解析式为：，令，得，令，得，， ∴点，点， ∴， 如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：，   ∴直线的解析式为：， 设，则，则， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ，， ， ， ， 整理得：， 解得，(不合题意，舍去) ， ∴点D的坐标为． 2．【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)的周长最小为，点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线 经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为， 如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接 ∴， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴ ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 3．【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 4．【答案】(1)， (2)存在点，或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． （1）由对称轴为直线，点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为，即可得顶点； （2）设，可得，，，根据是以为斜边的直角三角形，有，即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线，分三种情况：①当，即时，随的增大而减小，可得，②当，即时，时最小值为，这种情况不存在最小值为；③当时，随的增大而增大，有，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： 对称轴为直线，点的坐标为， ， 将，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，； （2）解：存在点，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令得， ， ， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得或， 或； （3）解：由抛物线对称轴为直线，分三种情况： ①当，即时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得（舍去）或， 此时； ②当，即时，时最小值为， 这种情况不存在最小值为； ③当时，随的增大而增大， 时，取最小值， ， 解得（舍去）或， 此时 综上所述，或． 5．【答案】(1)，； (2)，，，，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标； （3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， 设， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即，解得， ∴点M坐标为或； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为，， 综上，点M的坐标为，，，，； （3）解：存在点P使，理由如下： 当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时， 解得； ∴点P的横坐标为； 当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， 将代入，得 ． 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点P的横坐标为 综上，点P的横坐标为或． 6．【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 7．【答案】(1) (2)点E的横坐标为或1 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意，证明，然后即可求解； （3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把和代入可得． 解得． ∴抛物线的解析式为：； （2）直线中，令可得，解，得， ∴． 直线中，令，可得． ①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图： ∵轴，轴， ∴和为直角三角形． 在和中，， ∴． ∴． 设，则， ∴，． 从而，． ∴．解，得（舍去）或． ②如图：同理可得． 解，得（舍去）或． ∴点E的横坐标为或1； （3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 理由：∵点M是的中点，，． ∴． ∵点N在抛物线上，轴． ∴． ∴． 在（2）中，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴． 解，得（舍去）或． ∴，． 分两种情况： ①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． ②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． 在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 8．【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 9．【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 10．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）由可证是等腰直角三角形，分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，得到，利用，即可解答；同理，当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，得到，利用，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得， 解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示：   ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示：   ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； 此时， 此时，， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 此时，直线的解析式为：； （3）解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 分两种情况：点在上方；点在下方； 当点在上方时，如图所示，   ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得： ， ，即， ， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上，． 题型四：二次函数的综合压轴题 1．【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求即可； （2）根据二次函数的图象的顶点坐标为，分两种情况求解①当时和②当时，分别求出其最大值和最小值，再根据其差值为8即可求出t的值； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定m的范围即可． 【详解】（1）解：由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式为 （2）由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． ①当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，此时方程无实数解； ②当时，二次函数的最小值为． ∴当时，该二次函数最大值与最小值的差是8， ∴该二次函数最大值为． ∵时， ∴时，， 即，解得（舍去）或， ∴当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，t的值为 （3）由题意知，该二次函数的大致图象如图所示． 当时，，此时点M的坐标为． 由图知当时，交点只有一个． ∵， ∴当时，图中也符合只有一个交点， ∴该二次函数的图象与线段只有一个公共点时，m的取值范围为或 2．【答案】(1)； (2) (3)时，；时，；时，． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先判断出，根据对称轴，据此求解即可； （3）求出，根据的取值进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，随的增大而增大， ∴，， 解得：； （3）解：∵点是函数图象上两个点， ∴， ∴ ， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴当时，； 当，； 当时，． 3．【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；② (2)， 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）①解：当时，则， 把和分别代入可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； ②解：当和时，函数值相等， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴的值为； （2）∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数过点和， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 整理可得：， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上，，． 4．【答案】(1) (2)1或8 (3) 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可解答； （2）先根据函数顶点在轴上，结合，求出，得到二次函数表达式，进而得到二次函数图象的对称轴为，且开口向下，再根据二次函数的性质，分，，三种情况讨论即可； （3）由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，根据，则有，求解即可． 【详解】（1）解：， 函数顶点坐标为； （2）解：函数顶点在轴上， ， 解得：或， ， ， 二次函数表达式为：， ， 二次函数图象的对称轴为，且开口向下， 时，函数最大值为， 当时，， 则时，函数有最大值， 即， 解得：（舍去）； 当时， 则时，函数有最大值， 即， 解得：（舍去）； 当时，函数最大值为0，不符合题意； 综上，的值为1或8； （3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下， 二次函数图象上的两点，，时，始终有成立， ∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离， ，即， ，即， ， ， ，即， ， 解得：， ， ． 5．【答案】(1)， (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），根据可得a，b的关系，再将代入关系式即可； 对于（2），根据抛物线对称轴为，A、B两点关于对称轴对称，且， 可求出点A的坐标，再代入关系式得出答案； 对于（3），先求出函数关系式，再结合自变量，函数的范围讨论得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴抛物线为. 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为：． 答：；抛物线的顶点坐标为：； （2）∵抛物线对称轴为，A、B两点关于对称轴对称，且， ∴， 将A点代入， 解得； （3）抛物线与x轴的一个交点为，代入得， ∴， ∴抛物线为. ∵当时，y的取值范围是， 令得：， 解得（舍）或， ∴； ∵由自变量的最小值为m与函数值的最小值也为m，由得 ， ∴或， 此时顶点包含在范围内，不符合要求，故舍去； 故满足条件的m，n的值为：；或． 6．【答案】(1) (2)或或 (3)1 【分析】（1）直接将点P的坐标代入解析式即可求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，进而根据题意即可求得的值； （3）根据取有理数可得的值，进而抛物线的解析式，再根据旋转得出抛物线的解析式，求出与轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ； （2）解：， ， ，或， 解得或或； （3）解：存在，理由如下， 依题意，m为有理数， ，抛物线解析式为， 令，解得， ， 抛物线绕点旋转得到抛物线，与轴交于两点（点在点的左侧）， 与大小形状相同，顶点坐标相同为，开口向下， 解析式为， 令， 解得，， ，， ． 7．【答案】(1)，，； (2)； (3)当或时，直线与有公共点． 【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）根据和的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出，和的值； （2）先求出点，进而代入一次函数即可得解； （3）当直线与有公共点时，可以分别计算直线经过点和时的的值，根据图象可得结论． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴． ∵抛物线最低点的纵坐标为， ∴抛物线的顶点是． ∴抛物线的表达式是，即． ∴，， 把代入抛物线表达式， 求得； （2）解：由（）得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； （3）解：如图， 当经过点时，得，， 当经过点时，−，， 综上所述，当或时，直线与有公共点． 8．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入函数解析式，经过化简得到，再根据即可求得答案； （3）由（2）知，抛物线图象开口向上，对称轴为，由，结合点，是抛物线上两个不同点，可得，两点关于直线对称，即轴，易得，根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：，即， 解得：； （2）解：设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是， 代入解析式可得：． ∴两式相加可得： ∴， ∵， ∴， 同号， 当 解得：， 当， 解得，不等式组无解， ； （3）解：由（2）知， 抛物线图象开口向上，对称轴为， ，即，且，是抛物线上两个不同点， ，两点关于直线对称， 轴， ， ， ， ． 9．【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握恒成立问题转化为最值问题时解决本题的关键． （1）将代入得到关于的方程，解方程即可； （2）将点，代入，则，即可求证； （3）当时，都有恒成立转化为恒成立，，令，即当时，恒成立，即成立即可，分类讨论，，利用函数的增减性进行分析即可． 【详解】（1）解：若函数经过点， 将代入 得：， 解得：； （2）解：∵函数图象经过点，， ∴将点，代入 得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，都有恒成立转化为恒成立， ∴， 令，即当时，恒成立， ①当时，在范围内恒成立，故符合题意； ②当时，可求对称轴为直线， 当时，由于， ∴在范围内，随着的增大而增大， 故在范围内成立即可， ∴当时，， 解得：， ∴； 当时，由于， ∴在范围内，随着的增大而减小， 故在范围内成立即可， ∴当时，， 解得：， ∴， 综上所述，． 10．【答案】(1)； (2)  或 【分析】（1）根据题意，结合对称轴可求出的值，进而得到抛物线的解析式，最后将点代入解析式即可求解； （2）点代入抛物线中得到，结合即可求解； 根据题意，当时，；若，即时，，根据可求出的值；若，即时，，根据可求出的值． 【详解】（1）解：对称轴， ， 又， ， ， 抛物线经过点， ； （2）解：当时，， ， 当时，， 当时，， ； ， 当时，， 若，即时， ， 则， 解得：，（舍去）， 若，即时， ， 则， 解得：（舍去），， 综上所述，或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的综合应用 题型一 利用二次函数解决实际问题 题型二 二次函数型实物的相关问题 题型三 二次函数与几何图形的存在性问题 题型四 二次函数的综合压轴题 题型一：利用二次函数解决实际问题 1．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 2．市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 3．如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料． (1)若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？ (2)菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？ 【答案】(1)若面积为，菜园的长为，宽为 (2)当时，菜园有最大面积，最大面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设这个菜园一边长为，则另一边长为，根据菜园面积为列方程求解即可； （2）设菜园的面积为，列出y关于x的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可． 【详解】（1）解：设这个菜园一边长为，则另一边长为． 依题意，得， 解得（舍去），． 当时，． 答：若面积为，菜园的长为，宽为； （2）解：设菜园的面积为， 依题意，菜园的面积为， ∵， ∴当时，菜园有最大面积，最大面积为． 4．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ 【答案】(1) (2)当为米时，鸡舍的面积为90平方米． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． （1）设米，则米，根据矩形面积公式求出表达式，再结合墙长与门宽求出x的取值范围即可； （2）结合（1）所得表达式，列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 则， ，， ， 即S关于x的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，， 则， 解得：，（舍）， 即当为米时，鸡舍的面积为90平方米． 5．如图，在∆ABC中，∠B=90°，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）． 点、分别从、同时出发，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动的时间为． (1)当时，求出的面积； (2)是否存在某一时刻，与四边形的面积相等，若存在，求出此时时间；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求出的最小值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)108 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并根据题意正确列出解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，，利用面积公式计算即可； （2）根据题意得到，，推出， 然后由得到关于的一元二次方程，根据值即可得到答案； （3）根据题意得到，然后由和确定的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：当时，， （2）解：由题意得：， 与四边形的面积相等，即 ，即， 此方程无解 不存在与四边形的面积相等的时刻 （3）解：由题意可得： 其中： ． 当时，有最小值为108． 6．阅读材料，完成相关问题 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【分析】任务一：根据列式表示即可； 任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得，， 故答案为：； 任务二：当时，； 任务三：把代入得，， 解得（不合，舍去），， 答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 7．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为． (1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________． (2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)240元 (3)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量x的范围是易错点． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数，列出方程，解方程即可； （3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：根据题意得： 整理，得， 解得：，（舍去）， （元）， 答：房价应该为240元； （3）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 8．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 题型二：二次函数型实物的相关问题 1．如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是，当水位线在位置时，A到B的水面宽为，求水面离桥顶的高度 ． 【答案】/9米 【分析】本题考查二次函数的应用，设，把代入求出函数表达式，再把代入即可求出水面离桥顶的高度． 【详解】解：桥拱是抛物线，顶点为原点， ∴设， 把代入得：， 解得， ， ∵A到B的水面宽为， ∴点B的横坐标， 把代入得，， 水面离桥顶的高度为， 故答案为：． 2．如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式，求出水面上升2米后抛物线与水面相交的两个交点的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：设抛物线为， 由题意可得，点在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线为， 当时，， 解得， ∴当水面上升2米后水面宽度为， 故答案为：． 3．鹰眼技术助力厦门世界杯亚洲区预选赛，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表： 5 10 15 20 25 3 4.5 5 4.5 3 (1)求关于的函数解析式； (2)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】(1) (2)这次守门员能防守成功． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式． （1）根据表格可知，抛物线顶点为，用待定系数法可得； （2）结合（1），求出，即可知这次守门员能防守成功． 【详解】（1）解：根据表格可知，抛物线顶点为， 设关于的函数解析式为， 把代入得：， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：这次守门员能防守成功，理由如下： 在中，令得：， ， 这次守门员能防守成功． 4．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析； 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. （2）当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 5．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分和矩形的三边，，组成，已知河底是水平的，，，抛物线的顶点C 到的距离是， 以所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)根据题意，填空： ①顶点C 的坐标为 ； ②点B 的坐标为 (2)求抛物线的解析式． (3)已知从某时刻开始的内，水面与河底的距离l(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系，且当点C到水面的距离不大于时，需禁止船只通行，请通过计算说明，在这一时段内，有多少小时禁止船只通行？ 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，构建二次函数模型解决实际问题是解题的关键． （1）求出、、的长即可解决问题． （2）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把坐标代入即可求解； （3）水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为，把代入所给二次函数关系式，求得的值，相减即可得到禁止船只通行的时间． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴，， 故答案为：和； （2）解：由（1）知，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：水面到顶点的距离不大于米时，即水面与河底的距离至多为(米) ，， ， ∴， 解得：，， (小时)， ∴需小时禁止船只通行． 6．某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． (1)求抛物线解析式； (2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球； (3)求篮球的初始高度（的长）． 空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”． 【答案】(1) (2)本次进球为空心球 (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用； （1）根据题意可得抛物线的顶点坐标是，进而根据顶点坐标公式求得，，即可求解； （2）将代入解析式，得出的值，与篮筐的中心坐标为比较，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． ∴抛物线的顶点坐标是 ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为：； （2）当时，代入抛物线解析式为 ∵篮筐的中心坐标为， ∴本次进球为空心球； （3）当时，， ∴篮球的初始高度为． 7．一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； (2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？ 【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球，证明见解析 (2)小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． （1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值可得抛物线解析式，把代入求出值与比较即可得答案； （2）把代入抛物线解析式，求出的值，再求出与球门的距离即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为， ∴设抛物线为． ∵抛物线过， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， ∵， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：或， ∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守， ∴， ， 答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门． 8．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1)； (2)能达点处，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 9．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑高． (2)求落水点之间的距离． (3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)顶部是会碰到水柱，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及图象关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图象与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点在图象上． 当时， ． （2）解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， （3）解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱． 10．【数学建模】用脚去丈量世界，用眼睛去记录风景，“十一”黄金周期间秋高气爽，露营成为大多数人倾向的假期休闲活动，各式帐篷成为户外露营活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】小邕发现A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，于是他建立了平面直角坐标系（如图2所示），请你帮他求出帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入A款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为，且一排能容纳5张高为，宽为的椅子．设其抛物线型支架的形状值为，请求出a的最小值． 【答案】【建立模型】；【运用模型】最多可摆放的椅子数量为6张；【分析计算】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，求出，，得出（张)，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：【建立模型】∵A款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ∴，B， 设抛物线函数关系式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴； 【运用模型】解：∵，且椅子高度，宽度， ∴， 解得，， ； （张)， ∵椅子数量为正整数， ∴最多可摆放的椅子数量为6张； 【分析计算】依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 题型三：二次函数与几何图形的存在性问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直 线，D为上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可； 根据抛物线的解析式求得点，点，则，过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G，则四边形是矩形， 有，，结合题意得，即可证明，则，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则， ， ，进一步求得，，，求得和，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； （2）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线的解析式为：，令，得，令，得，， ∴点，点， ∴， 如图：过点D作于点E，过点C作于F， 设与交于点G， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：，   ∴直线的解析式为：， 设，则，则， ， ∵点D是上方抛物线上的一个动点， ， ，， ， ， ， 整理得：， 解得，(不合题意，舍去) ， ∴点D的坐标为． 2．如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标． (3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)的周长最小为，点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、轴对称的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接，易得，则此时的周长最小；然后再运用两点间距离公式求得进而求得最小周长；再运用待定系数法求得直线的解析式为，然后令令，可得，即可确定点Q的坐标． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线 经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4， ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或． （3）解：∵抛物线 ， ∴对称轴为， 如图：作点C关于对称轴为的对称点，则，连接 ∴， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴ ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 3．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 4．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________； (2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1)， (2)存在点，或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． （1）由对称轴为直线，点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为，即可得顶点； （2）设，可得，，，根据是以为斜边的直角三角形，有，即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线，分三种情况：①当，即时，随的增大而减小，可得，②当，即时，时最小值为，这种情况不存在最小值为；③当时，随的增大而增大，有，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： 对称轴为直线，点的坐标为， ， 将，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，； （2）解：存在点，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令得， ， ， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得或， 或； （3）解：由抛物线对称轴为直线，分三种情况： ①当，即时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得（舍去）或， 此时； ②当，即时，时最小值为， 这种情况不存在最小值为； ③当时，随的增大而增大， 时，取最小值， ， 解得（舍去）或， 此时 综上所述，或． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点M是抛物线对称轴上一点，已知为等腰三角形，请求出点M的坐标； (3)若点P为抛物线上的一个动点，是否存在点P使，如果存在，请求出点P的横坐标，如果不存在，请说明理由； 【答案】(1)，； (2)，，，，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）将函数解析式化为顶点式，得到对称轴，分三种情况：当时， 当时，当时，分别求出点M的坐标； （3）当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，证明，有，设，可得，即知，求出直线解析式为，令，求出点P的横坐标；当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，同理可得点P的横坐标为． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， 设， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当时，，即，解得， ∴点M坐标为或； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为； 当时，，即， 解得， ∴点M坐标为，， 综上，点M的坐标为，，，，； （3）解：存在点P使，理由如下： 当P在上方时，过B作于T，过T作轴于M，过C作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 当时， 解得； ∴点P的横坐标为； 当P在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过C作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， 将代入，得 ． 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得， ∴点P的横坐标为 综上，点P的横坐标为或． 6．如图所示，已知以M为顶点的抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线的表达式为． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，在x轴上方的抛物线上有一点D，若，求点D的坐标； (3)若点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作，求的最大值； (4)在x轴上是否存在一点N，使得以A，C，N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) (4)存在，或 【分析】（1）求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设与y 轴交于点E，求出点A的坐标是，得到，证明，则，得到，求出直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式即可求出答案； （3）作轴于点K，交于点F，设点P的坐标为，则点F的坐标为，则，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用二次函数的性质即可得到答案； （4）求出．得到，．则，证明．则当N的坐标为时，．连接，过点C作，交x轴与点N．证明．得到．则，即，解．即可得到． 【详解】（1）把代入，得， ∴． 把代入得：， ∴， 将、代入得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）设与y 轴交于点E，如图， 当时，， 解得， ∴点A的坐标是， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 联立得到，解得，， ∴点D的坐标是； （3）作轴于点K，交于点F，如图， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）， ∴． 又∵、， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴．， ∴． 又∵， ∴． ∴当N的坐标为时，． 如图所示：连接，过点C作，交x轴与点N． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即，解得：． ∴， ∴． 综上所述，当N的坐标为或时，以A，C，N为顶点的三角形与相似． 7．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的横坐标为或1 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意，证明，然后即可求解； （3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把和代入可得． 解得． ∴抛物线的解析式为：； （2）直线中，令可得，解，得， ∴． 直线中，令，可得． ①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图： ∵轴，轴， ∴和为直角三角形． 在和中，， ∴． ∴． 设，则， ∴，． 从而，． ∴．解，得（舍去）或． ②如图：同理可得． 解，得（舍去）或． ∴点E的横坐标为或1； （3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 理由：∵点M是的中点，，． ∴． ∵点N在抛物线上，轴． ∴． ∴． 在（2）中，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴． 解，得（舍去）或． ∴，． 分两种情况： ①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． ②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． 在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 8．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求当面积最大值时直线的解析式； (3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）由可证是等腰直角三角形，分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，得到，利用，即可解答；同理，当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，得到，利用，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线， 对称轴为， 抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且， ，，则，解得， ，， 将代入得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由得：， 设直线：，将，代入得， 解得， 直线：， 在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时； 当在轴之间时，如图所示：   ，， ， ，， 抛物线开口向下，当时，有最大值，为； 当在轴右边时，过作轴，如图所示：   ，， ， ，对称轴为，， 抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为； ， 当时，面积有最大值，为； 此时， 此时，， 设直线的解析式为：，则， 解得：， 此时，直线的解析式为：； （3）解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 分两种情况：点在上方；点在下方； 当点在上方时，如图所示，   ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得： ， ，即， ， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上，． 题型四：二次函数的综合压轴题 1．已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值； (3)已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求即可； （2）根据二次函数的图象的顶点坐标为，分两种情况求解①当时和②当时，分别求出其最大值和最小值，再根据其差值为8即可求出t的值； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定m的范围即可． 【详解】（1）解：由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式为 （2）由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． ①当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，此时方程无实数解； ②当时，二次函数的最小值为． ∴当时，该二次函数最大值与最小值的差是8， ∴该二次函数最大值为． ∵时， ∴时，， 即，解得（舍去）或， ∴当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，t的值为 （3）由题意知，该二次函数的大致图象如图所示． 当时，，此时点M的坐标为． 由图知当时，交点只有一个． ∵， ∴当时，图中也符合只有一个交点， ∴该二次函数的图象与线段只有一个公共点时，m的取值范围为或 2．已知二次函数． (1)若其图象经过点，求此二次函数的表达式； (2)当时，随的增大而增大，则的取值范围是______； (3)点是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系． 【答案】(1)； (2) (3)时，；时，；时，． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）先判断出，根据对称轴，据此求解即可； （3）求出，根据的取值进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当时，随的增大而增大， ∴，， 解得：； （3）解：∵点是函数图象上两个点， ∴， ∴ ， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴当时，； 当，； 当时，． 3．已知二次函数的图象经过原点和点，其中． (1)当时． ①求关于的函数解析式，求出当为何值时，有最大值？最大值为多少？ ②当和时，函数值相等，求的值． (2)当时，在范围内，有最大值，求相应的和的值． 【答案】(1)①；时，有最大值，最大值为；② (2)， 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； ②根据和时，函数值相等，列得方程，解方程即可求解； （2）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）①解：当时，则， 把和分别代入可得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； ②解：当和时，函数值相等， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴的值为； （2）∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数过点和， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 整理可得：， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得：， ∴， ∴， 综上，，． 4．已知二次函数（是实数）． (1)求函数顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，且函数顶点在轴上，当时，函数最大值为，求的值； (3)对于该二次函数图象上的两点，，当时，始终有成立．求的取值范围． 【答案】(1) (2)1或8 (3) 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可解答； （2）先根据函数顶点在轴上，结合，求出，得到二次函数表达式，进而得到二次函数图象的对称轴为，且开口向下，再根据二次函数的性质，分，，三种情况讨论即可； （3）由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下，根据，则有，求解即可． 【详解】（1）解：， 函数顶点坐标为； （2）解：函数顶点在轴上， ， 解得：或， ， ， 二次函数表达式为：， ， 二次函数图象的对称轴为，且开口向下， 时，函数最大值为， 当时，， 则时，函数有最大值， 即， 解得：（舍去）； 当时， 则时，函数有最大值， 即， 解得：（舍去）； 当时，函数最大值为0，不符合题意； 综上，的值为1或8； （3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为，且开口向下， 二次函数图象上的两点，，时，始终有成立， ∴点A到对称轴的距离小于或等于B点到对称轴的距离， ，即， ，即， ， ， ，即， ， 解得：， ， ． 5．在平面直角坐标系中．已知抛物线的对称轴是直线． (1)用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线与x轴相交于点A、B，且线段，求a的值； (3)若抛物线与x轴的一个交点为，且当时，y的取值范围是，结合函数图象，求满足条件的m，n的值． 【答案】(1)， (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），根据可得a，b的关系，再将代入关系式即可； 对于（2），根据抛物线对称轴为，A、B两点关于对称轴对称，且， 可求出点A的坐标，再代入关系式得出答案； 对于（3），先求出函数关系式，再结合自变量，函数的范围讨论得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴抛物线为. 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为：． 答：；抛物线的顶点坐标为：； （2）∵抛物线对称轴为，A、B两点关于对称轴对称，且， ∴， 将A点代入， 解得； （3）抛物线与x轴的一个交点为，代入得， ∴， ∴抛物线为. ∵当时，y的取值范围是， 令得：， 解得（舍）或， ∴； ∵由自变量的最小值为m与函数值的最小值也为m，由得 ， ∴或， 此时顶点包含在范围内，不符合要求，故舍去； 故满足条件的m，n的值为：；或． 6．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)当点到轴的距离是时，求的值； (3)在（2）的条件下，且取有理数时，将抛物线绕点旋转得到抛物线，设与轴交于两点（点在点的左侧），求长度． 【答案】(1) (2)或或 (3)1 【分析】（1）直接将点P的坐标代入解析式即可求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，进而根据题意即可求得的值； （3）根据取有理数可得的值，进而抛物线的解析式，再根据旋转得出抛物线的解析式，求出与轴的交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ； （2）解：， ， ，或， 解得或或； （3）解：存在，理由如下， 依题意，m为有理数， ，抛物线解析式为， 令，解得， ， 抛物线绕点旋转得到抛物线，与轴交于两点（点在点的左侧）， 与大小形状相同，顶点坐标相同为，开口向下， 解析式为， 令， 解得，， ，， ． 7．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． (1)求，和的值； (2)若直线经过点，求的值； (3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)； (3)当或时，直线与有公共点． 【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）根据和的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出，和的值； （2）先求出点，进而代入一次函数即可得解； （3）当直线与有公共点时，可以分别计算直线经过点和时的的值，根据图象可得结论． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴． ∵抛物线最低点的纵坐标为， ∴抛物线的顶点是． ∴抛物线的表达式是，即． ∴，， 把代入抛物线表达式， 求得； （2）解：由（）得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； （3）解：如图， 当经过点时，得，， 当经过点时，−，， 综上所述，当或时，直线与有公共点． 8．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)若抛物线经过点，求a的值； (2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入函数解析式，经过化简得到，再根据即可求得答案； （3）由（2）知，抛物线图象开口向上，对称轴为，由，结合点，是抛物线上两个不同点，可得，两点关于直线对称，即轴，易得，根据，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：，即， 解得：； （2）解：设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是， 代入解析式可得：． ∴两式相加可得： ∴， ∵， ∴， 同号， 当 解得：， 当， 解得，不等式组无解， ； （3）解：由（2）知， 抛物线图象开口向上，对称轴为， ，即，且，是抛物线上两个不同点， ，两点关于直线对称， 轴， ， ， ， ． 9．已知关于x的函数，其中k为实数． (1)若函数经过点，求k的值； (2)若函数图象经过点，，试说明： (3)已知函数，当时，都有恒成立，求k的取值范围． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握恒成立问题转化为最值问题时解决本题的关键． （1）将代入得到关于的方程，解方程即可； （2）将点，代入，则，即可求证； （3）当时，都有恒成立转化为恒成立，，令，即当时，恒成立，即成立即可，分类讨论，，利用函数的增减性进行分析即可． 【详解】（1）解：若函数经过点， 将代入 得：， 解得：； （2）解：∵函数图象经过点，， ∴将点，代入 得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，都有恒成立转化为恒成立， ∴， 令，即当时，恒成立， ①当时，在范围内恒成立，故符合题意； ②当时，可求对称轴为直线， 当时，由于， ∴在范围内，随着的增大而增大， 故在范围内成立即可， ∴当时，， 解得：， ∴； 当时，由于， ∴在范围内，随着的增大而减小， 故在范围内成立即可， ∴当时，， 解得：， ∴， 综上所述，． 10．已知抛物线 经过点 ，请解决下列问题： (1)点，分别落在抛物线 上，且 ，分别求 和 的值． (2)当时， 求的取值范围． 若，求 的值． 【答案】(1)； (2)  或 【分析】（1）根据题意，结合对称轴可求出的值，进而得到抛物线的解析式，最后将点代入解析式即可求解； （2）点代入抛物线中得到，结合即可求解； 根据题意，当时，；若，即时，，根据可求出的值；若，即时，，根据可求出的值． 【详解】（1）解：对称轴， ， 又， ， ， 抛物线经过点， ； （2）解：当时，， ， 当时，， 当时，， ； ， 当时，， 若，即时， ， 则， 解得：，（舍去）， 若，即时， ， 则， 解得：（舍去），， 综上所述，或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $