高频专练01 二次函数的图象与性质（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，系统覆盖二次函数核心题型，通过分层训练培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的概念|2题型8题|聚焦定义辨析与参数求解，强化对二次项系数的理解|从概念识别到参数计算，构建二次函数认知基础| |二次函数的图象与性质|7题型28题|涵盖图象平移、解析式求法、系数符号判断等高频考点|以图象为核心，串联性质应用与综合分析，形成完整知识链|

高频专练01 二次函数的图象与性质 高频题型·核心突破 知识点01 二次函数的概念 题型1二次函数的识别 题型2根据二次函数的定义求参数 知识点02 二次函数的图象与性质 题型3二次函数的图象和性质 题型4二次函数图象的平移 题型5待定系数法求二次函数解析式 题型6二次函数图象与各项系数符号 题型7一次函数、二次函数图象综合判断 题型8已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9二次函数的最值 综合演练·实战攻坚 高频题型·核心突破 知识点01 二次函数的概念 题型1二次函数的识别 1．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 4．下列是关于的二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 题型2根据二次函数的定义求参数 5．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 6．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．函数是关于的二次函数，则______． 8．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 考点02 二次函数的图象与性质 题型3二次函数的图象和性质 9．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 10．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 12．二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 题型4二次函数图象的平移 13．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 14．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 15．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 16．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 题型5待定系数法求二次函数解析式 17．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 19．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 20．二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 题型6二次函数图象与各项系数符号 21．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 22．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　） A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0 C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0 24．函数的图象如图所示，那么__________0．（填“”，“”，或“”） 题型7一次函数、二次函数图象综合判断 25．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 26．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 27．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 28．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 题型8已知抛物线上对称的两点求对称轴 29．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 30．如果抛物线与轴交于和两点，则该抛物线的对称轴为直线_______． 31．已知二次函数 的图象如图所示，试根据图象写出其对称轴为____________． 32．在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 题型9二次函数的最值 33．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 34．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 35．二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 36．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 综合演练·实战攻坚 一、选择题 1．将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 4．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 5．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 二、填空题 6．二次函数的图象经过点．其解析式为________． 7．抛物线的顶点坐标为_______ 8．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 三、解答题 9．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求m的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频专练01 二次函数的图象与性质 高频题型·核心突破 知识点01 二次函数的概念 题型1二次函数的识别 题型2根据二次函数的定义求参数 知识点02 二次函数的图象与性质 题型3二次函数的图象和性质 题型4二次函数图象的平移 题型5待定系数法求二次函数解析式 题型6二次函数图象与各项系数符号 题型7一次函数、二次函数图象综合判断 题型8已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型9二次函数的最值 综合演练·实战攻坚 高频题型·核心突破 知识点01 二次函数的概念 题型1二次函数的识别 1．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 3．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 4．下列是关于的二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，含有分式，不是二次函数，故A错误； 对于B，，化简得，是一次函数，故B错误； 对于C，，展开得，是二次函数，故C正确； 对于D，，化简得，，不是整式，故D错误． 故选：C． 题型2根据二次函数的定义求参数 5．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 6．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 7．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 8．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 考点02 二次函数的图象与性质 题型3二次函数的图象和性质 9．下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 10．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 11．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【答案】 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 12．二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 【答案】> 【详解】解：将代入得：， 将代入得：， ∵， ∴． 题型4二次函数图象的平移 13．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 14．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 15．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 16．将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 题型5待定系数法求二次函数解析式 17．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 18．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 19．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 20．二次函数的图象经过三点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解:设该二次函数的解析式为. 将三点坐标分别代入，得 ， 解得， 故该二次函数的解析式为. 题型6二次函数图象与各项系数符号 21．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 22．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　） A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0 C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴＞0， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∵抛物线与x轴有一个交点， ∴Δ=0， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式． 24．函数的图象如图所示，那么__________0．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【详解】解：∵函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故答案为：； 题型7一次函数、二次函数图象综合判断 25．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 26．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 27．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 28．如果二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过（    ）    A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，且在第四象限， ∴， ∴ 则一次函数图像经过第一、二、三象限 故选：A． 题型8已知抛物线上对称的两点求对称轴 29．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 30．如果抛物线与轴交于和两点，则该抛物线的对称轴为直线_______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． 31．已知二次函数 的图象如图所示，试根据图象写出其对称轴为____________． 【答案】直线 【详解】解：根据函数图象可得：与关于直线对称 ∴二次函数 的对称轴为直线 故答案为：直线． 32．在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【答案】1 【详解】解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． 题型9二次函数的最值 33．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 34．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 35．二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∵ ∴当时，二次函数最小值为， 故选：D． 36．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 综合演练·实战攻坚 一、选择题 1．将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 2．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 3．抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【详解】解：对于： ∵， ∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴； 故选C． 4．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 5．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 二、填空题 6．二次函数的图象经过点．其解析式为________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式．熟练掌握二次函数图象上的点的特征，是解题的关键． 7．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 8．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 三、解答题 9．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：，对称轴是直线， 抛物线的开口向上． 当时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， ； （3）解：当时，则， 点在对称轴的右侧或对称轴上，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ； 当时，则， 点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧． 点关于对称轴的对称点在对称轴的右侧，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ， 综上可知m的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $