26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象性质（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以分层设计为核心，通过A组基础巩固、B组能力进阶、C组思维拔高及中考拓展，构建从单一图象性质到综合应用的知识巩固路径，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|y=ax²+k等顶点式图象性质、待定系数法、平移|基础选择填空结合作图题，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|参数讨论、几何综合|含字母参数分析题，提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|最值探究、新定义问题|如“互异二次函数”，培养创新意识与问题解决能力| |拓展链接中考|中考真题题型|对接中考考点，如实际应用（乒乓球运动路线），强化应用意识|

分层作业 26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 y=ax²+k的函数图象 题型02 y=a(x-h)²的图象和性质 题型03 y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型04待定系数法求解析式 题型05二次函数的图象平移问题 题型06与顶点式相关的字母参数讨论 题型07二次函数的最值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 y=ax²+k的图象和性质题型01 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴抛物线开口向上，A正确； 当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误； 对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确； 顶点坐标为，D正确； 故选B． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 3．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 4．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) 抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (2)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (3)抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标； (4)抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标； (5)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； (6)抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． 【分析】将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：，且， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （4）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； （5）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （6）解：，且， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 5．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． 【答案】图见解析，相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴．不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下；②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大；③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的图像可得二次函数的性质，进行分析比较即可． 【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示． 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴． 不同点：①开口方向不同，函数的图象开口向上，函数的图象开口向下； ②增减性不同，当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，当时，随x的增大而减小，函数随x的增大而增大； ③顶点不同，函数的图象的顶点坐标为，函数的图象的顶点坐标为 y=a(x-h)²的图象和性质 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ）题型02 A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置． 【详解】解：顶点坐标为，在轴上， 故选：A． 7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 抛物线的二次项系数为正，开口向上，顶点为是最小值点；向左平移1个单位得；当时，随增大而增大． 【详解】解：∵中， ∴开口向上，A正确； ∵ ∴顶点坐标为， ∴当时，取最小值，C正确； 将抛物线向左平移1个单位，替换为， 得，D正确； 当时，，且随增大而增大，随增大而增大，故B错误． 故选：B． 8．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：函数图象的对称轴分别为直线：，，， 联立与，，解得， 即与的交点的横坐标为， 同理可得，与的交点的横坐标为2， 如图， 由图可知，当时，， 故答案为：． y=a(x-h)²+k的图象和性质题型03 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，，. ①∵，∴开口向下，正确； ②对称轴为直线，正确； ③顶点坐标为，即，正确； ④∵，开口向下，∴当时，随增大而减小，正确. ∴所有结论均正确，共4个. 故选：D． 12．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 13．现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为，再代入各个选项一一判断即可． 【详解】解：由题意可设这组抛物线的顶点为， A、将代入中，得，顶点在直线上，本选项符合题意； B、将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； C、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意； D、将代入中，得，顶点不在抛物线上，本选项不符合题意； 故选：A 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 待定系数法求解析式题型04 15．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键． 根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数的正负决定，开口大小由二次项系数的绝对值决定．由于两抛物线开口方向和大小相同，故二次项系数相等． 【详解】解：∵抛物线 与抛物线 的开口方向和开口大小相同， ∴． 故答案为 ：2． 16．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据抛物线的对称轴为直线，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线解析式为， 抛物线经过， ， 解得， 抛物线解析式为． 17．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】(1)此抛物线的解析式为 (2)①向上；；；②；③，小， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【详解】（1）解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为：； （2）①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 18．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 19．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)顶点为，对称轴为直线 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴顶点为，对称轴为直线． 二次函数的图象平移问题题型05 20．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 22．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题先将原抛物线配方化为顶点式，再利用抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”得到平移后抛物线的顶点式，根据二次项系数判断开口方向，从顶点式直接得到对称轴和顶点坐标． 【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式： 抛物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，开口方向向下． 根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标，纵坐标，即新顶点坐标为． 平移后抛物线的顶点式为，可得对称轴为直线． 因此所得抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 与几何的综合问题题型06 23．（2023·浙江台州·模拟预测）已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 24．（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 25．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 【答案】D 【分析】由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动，结合正方形的性质可得，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点，故只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值． 【详解】解：如图：由题意可得，互异二次函数的顶点为在直线上运动， ∵在正方形中，点，点， ∴， 从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后在经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点、点和点， ∴只需要算出当函数经过点以及点时的值，即可求出的最大值及最小值， 当互异二次函数经过点时，， 解得或， 当互异二次函数经过点时，， 解得：或， ∴互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是，． 26．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 【答案】(1)1 (2) (3)A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的最值，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，得出关于m的方程，据此进行求解即可； （2）根据题意，结合m的范围进行计算即可求n的取值范围； （3）对m的取值范围进行分类讨论，据此进行判断即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移4个单位后得到函数， 点平移后对应点的坐标为， 新图象对称轴是直线，顶点坐标是； ，， 故答案为：1； （2）当时， 时，， 将代入，， ， 时，， 将代入，， ， n的取值范围为； （3）解：因为函数的对称轴为直线且开口向上， 所以当时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标． 当时，； 当时，， 又因为， 所以当时，， 则随的增大而增大； 当时，， 所以随的增大而增大，所以A选项符合题意． 故答案为：A． 27．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将点代入，用待定系数法求解即可； （2）①将和代入得，由得：，再求解即可； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：，解得．在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1，所以最大值为0，且最大值在端点或处取得．再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得： 解得， 所以二次函数解析式为； （2）解：①点和在图象上，则： ， 由得：， 两边消去并除以正数得：， 展开得，化简得：， ， ， 所以的取值范围是； ②因为点和在对称轴的两侧，所以：， 解得． 在上，函数在处取得最小值．最大值与最小值之差为1， 所以最大值为0，且最大值在端点或处取得． 情况一：当时取得最大值0则：， 解得．同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得： 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到时，从增大到（因为且可取）， 所以． 情况二：当时取得最大值0则：， 解得． 同时，当时函数值不超过0：， 代入得：， 因为，两边乘以得：， 展开化简得， 即． 结合，得． 此时，当从增大到2时，从减小到（因为且可取）， 所以． 综合两种情况，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 33．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性确定对称轴的位置． 先判断二次函数的开口方向，确定其增减性与对称轴的关系；再根据“时随 增大而减小”的条件，得出对称轴与的位置关系，进而求出的取值范围． 【详解】解：二次函数，其二次项系数，故抛物线开口向上． ∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小，且该函数的对称轴为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴对称轴需满足． 故选：C． 34．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 35．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和， ∴此抛物线的大致图象如下图所示： （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 37．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 38．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 39．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 40．（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）定义 ，已知函数，其中，若的最小值为1，则_________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合设，，可证明当时，，则当时，的值一定要大于或等于1，再根据二次函数的增减性推出，结合的最小值为1确定，据此可得答案． 【详解】解：设，， 当时，， 当时，， ∴当，随x增大而减小，当时，随x增大而增大； 当时，，当时，， ∴当时，； ∵， ∴的图像开口向下， ∴当时，函数有最大值，最大值为b； ∵的最小值为1， ∴当时，的值一定要大于或等于1， ∵函数开口向下，对称轴为y轴， ∴当时，的值随x的增大而减小， ∴当时，，且， 又∵的最小值为1，且当或时，， ∴，即， 故答案为：． 41．（2025·上海·一模）如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查求二次函数的解析式，根据“互为关联”的定义，需找到另一抛物线，其顶点在给定抛物线上，且给定抛物线的顶点也在该抛物线上，通过设另一抛物线的顶点坐标，代入条件求解即可． 【详解】解：给定抛物线的顶点为， 设另一抛物线方程为，则顶点坐标为， 根据题意，， 将点代入得，即， 将代入得，整理得， 由于顶点不同，则，故，即， 取，则， 故另一抛物线可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 42．已知点在抛物线上，且点P在第一象限内． (1)求m的值； (2)过点P作轴交抛物线于点Q，若，试求点P，Q与原点O围成的三角形的面积． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】本题考查了点与抛物线的关系，抛物线的对称性及三角形面积公式． （1）先代入点P的坐标到抛物线中，根据点P在第一象限内即可求得m的值； （2）先确定抛物线的解析式，再求出点P和点Q的坐标，得出的值，最后利用三角形面积公式即可求出其面积． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且在第一象限， ∴， ∴可得，解得或， ∴． （2）解：∵， ∴，抛物线的解析式为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为3， 将代入，得， 解得或， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴． 43．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为，宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时，达到最高点，此时球与桌面的距离是． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 【答案】 （1） （2）的值为 （3）球能落到对方台面上，落球点为 【分析】本题考查二次函数的实际应用与一次函数的解析式，理解题意把函数问题转化为方程问题是解题关键． （1）将代入解析式进行计算即可； （2）利用待定系数法求出反弹后的抛物线解析式，求出顶点坐标，h就是顶点的纵坐标； （3）根据（2）中求得的顶点坐标和擦网点的坐标计算出直线的解析式，进而算出球着落点的坐标，并判断是否出界． 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得，（负值舍去）， ∴； （2）设反弹后抛物线解析式为， 由题意可知，反弹后的抛物线过点，， 将，代入解析式，得， ， 解得，， ∴，顶点坐标为， ∴； （3）能．理由如下： 由题意可知，反弹后最高点为，球擦网点为， 设过这两点的直线解析式为，依题意得， ， 解得，， ∴  ， 令，得 ， 解得，， ∴球能落到对方台面上，落球点为． 44．（2026·山东德州·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． (1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； (2)若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 【答案】(1) (2)①1；1 【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可； （2）①过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解； ②过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．由，可知当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，过点P作直线与直线成角，过点C作交x轴于F，解直角三角形得到F点坐标为，可求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，然后根据进行求解． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴该抛物线顶点P的坐标为； （2）解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P点坐标为， ∵P为抛物线的顶点， ∴P点坐标为， ∴， ∴M点坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴c的值为1； ②∵， ∴当取得最小值时，的值最小． 由①知，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴C点坐标为，顶点P坐标为， ∵， ∴， 如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接． 在中，， ∴， ∴当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值， 在中，， ∴，即， 过点C作交x轴于F， ∴， 在中，，即， ∴，即F点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 【答案】(1)全体实数 (2)①，；②图象见详解；③图象见详解 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数解析式可直接进行求解； （2）把或代入函数解析式进行求解即可；②根据描点可进行作图；③根据描点、连线可进行作图； （3）根据函数图象可直接进行求解； （4）由图象易得点A、B在之间的函数图象上，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：自变量为全体实数； 故答案为全体实数； （2）解：①当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； ②所描点，如图所示； ③所作函数图象如图所示： （3）解：由（2）中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为或； 故答案为或； （4）解：∵点，均在该函数图象上，且， ∴根据（2）中函数图象可知：点A、B在之间的函数图象上， 由图象可知在之间的函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， ∴当时，p与q的大小关系是； 故答案为． 46．（25-26九年级上·江苏南京·期末）课本内容再探索（一） 课本中研究了二次函数的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图像 图像特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值 当时，y有最小值，最小值为2． ∵（当且仅当时，等号成立）， ∴． ∴当时，y有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 任取图像上两点，． 当时，③…… 当时，同理可得当时，y随x的增大而增大． 图像的对称性 图像关于②对称． ④ (1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整； (3)写出④处的论证图像对称性的过程． 【答案】(1)图见解析，直线 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）列表、描点、连线，即可作出函数图像，根据函数图像知函数图像关于直线对称； （2）根据图示求解即可； （3）分别求得横坐标和时的值，得到点和关于直线对称，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由题意得， 列表 0 1 6 3 2 3 6 描点、连线，函数图像如图所示： 观察图像得：图像关于直线对称． ②处的空格为直线； （2）解：∵图像是任意两点，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴当时，y随x的增大而减小； （3）证明：任取一个点的横坐标，对应点的坐标为， ∴， 而时，， ∴点和关于直线对称， ∴的图像关于直线对称． 47．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 48．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 49．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 50．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.2.2 y=a(x-h)²+k的图象性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 y=ax²+k的函数图象 题型02 y=a(x-h)²的图象和性质 题型03 y=a(x-h)²+k的图象和性质 题型04待定系数法求解析式 题型05二次函数的图象平移问题 题型06与顶点式相关的字母参数讨论 题型07二次函数的最值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 y=ax²+k的图象和性质题型01 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（   ） A．因为，所以抛物线开口向上 B．当时，函数有最大值1 C．当时，函数随的增大而增大 D．抛物线的顶点坐标是 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林·模拟预测）若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 4．确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数与的图象，并说明这两个函数图象性质的相同点与不同点（从开口方向、开口大小、对称轴、顶点、增减性这5个方面进行说明）． y=a(x-h)²的图象和性质 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点在（    ）题型02 A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限 7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．当时，函数值最小 D．将抛物线向左平移1个单位长度得到 8．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 10．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知，设函数．直线与函数，的图象分别交于点．若，则的取值范围是___________ y=a(x-h)²+k的图象和性质题型03 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 13．现有一组抛物线：，…，则这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 待定系数法求解析式题型04 15．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同，则__． 16．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）已知抛物线的对称轴为直线，且过点，求抛物线的解析式． 17．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）已知抛物线经过点，解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 18．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 19．（25-26九年级上·宁夏中卫·期末）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． 二次函数的图象平移问题题型05 20．（2026·山西朔州·模拟预测）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 22．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 与几何的综合问题题型06 23．（2023·浙江台州·模拟预测）已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 24．（25-26九年级下·广西南宁·阶段检测）若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）定义：我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数的图象与正方形有交点时，m的最大值和最小值分别是（    ） A．4， B．， C．4，0 D．， 26．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（m，n为常数）的图象经过点． (1)将该函数图象向右平移4个单位后仍过点A，则______； (2)当时，求n的取值范围； (3)当时，函数的最大值为M，则下列结论中正确的是______． A．M随m的增大而增大 B．M随m的增大而减小 C．M随m的增大先增大后减小 D．M随m的增大先减小后增大 27．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）已知二次函数 (1)若该函数的图象经过点求二次函数的解析式； (2)若点和是该函数图象上的两个点 ①当时，求m的取值范围； ②若M、N两点分别在对称轴的两侧，当时，该函数最大值与最小值差为1，请直接写出a的取值范围____________． 33．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 34．（2026·江苏南京·三模）若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 36．（25-26九年级上·贵州黔西南·期中）如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 37．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 38．（2026·广东深圳·三模）当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 39．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 40．（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）定义 ，已知函数，其中，若的最小值为1，则_________． 41．（2025·上海·一模）如果抛物线的顶点在抛物线上时，抛物线的顶点也在抛物线上，此时我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______（只需写出一个）． 42．已知点在抛物线上，且点P在第一象限内． (1)求m的值； (2)过点P作轴交抛物线于点Q，若，试求点P，Q与原点O围成的三角形的面积． 43．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）根据背景素材，探索解决实际问题 素材一 乒乓球发球机的运动路线 如图1所示，乒乓球台规格约是长为，宽为的矩形，球网高度约为．某品牌乒乓球发球机的出球口在桌面中轴线端点O正上方的点P处． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中轴线上的点M处，且球的运动路线是一条形状不变的抛物线，以O为原点，桌面中轴线所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设发球机发球后到落在桌面前的抛物线解析式为． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在中轴线点M处后反弹，其运动路线仍是抛物线．当球与O点的水平距离为时，球的高度为；当球与O点的水平距离为时，达到最高点，此时球与桌面的距离是． 问题解决 任务一：研究乒乓球着落点问题 （1）点M的坐标为__________； 任务二：研究乒乓球反弹后的最大高度 （2）求h的值； 任务三：研究乒乓球是否出界问题 （3）某运动员想在乒乓球反弹到最高点时挥拍击球，使得球沿直线擦网而过，此时球能落到对方台面上吗？若能，请求出球落点的坐标；若不能实现，请说明理由． 44．（2026·山东德州·二模）已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． (1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； (2)若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 45．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）九年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)函数的自变量x的取值范围是____________； (2)①列表：如表是x，y的几组对应值，其中____________，____________； x … 0 1 2 3 4 … y … 9 0 m 3 n 0 9 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整； (3)请观察函数图象，当y随x的增大而增大时，x的取值范围为____________． (4)若点，均在该函数图象上，且，则p与q的大小关系是____________． 46．（25-26九年级上·江苏南京·期末）课本内容再探索（一） 课本中研究了二次函数的图像与性质，将其整理并增加推理论证（不完整）如下： 函数图像 图像特征与函数性质 推理论证 ① 函数的最大（小）值 当时，y有最小值，最小值为2． ∵（当且仅当时，等号成立）， ∴． ∴当时，y有最小值，最小值为2． 函数的变化趋势 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大． 任取图像上两点，． 当时，③…… 当时，同理可得当时，y随x的增大而增大． 图像的对称性 图像关于②对称． ④ (1)在①处画出该函数的图像，并填写②处的空格； (2)③处的论证思路如下，将其补充完整； (3)写出④处的论证图像对称性的过程． 0 1 6 3 2 3 6 47．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 48．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 49．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 50．（2026·广西·中考真题）二次函数的最小值为__________． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 26.2.2y=u(x-h)2+k的图象性质 A组 巩固过关 颗型01 y=x2+k的图象和性质 1.B 2.D 3.> 3 37 则抛物线的开口向上，对称轴为直线=2，顶点坐标为24： (2)解：y=1-2x-×=-r-2x+1=-(+旷+2，且1<0， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线=-1，顶点坐标为仁12) C3、y=7x2-27x十气=7引x-2◆ 1 7 2,且7>0' √7 万1 则抛物线的开口向上，对称轴为直线=7，顶点坐标为7’2： (4)解：y=100-5x2=5x2+100 且5<0 则抛物线的开口向下，对称轴为直线=0('轴)，顶点坐标为 0,100) 5)解：y=-6r+12x=-6(x-少旷+6，且6<0， 则抛物线的开口向下，对称轴为直线】，顶点坐标为么0）， 1122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.4211 3 6)解：y号24x+1=2x+3)个3，且分 <0 411 则抛物线的开口向下，对称轴为直线3，顶点坐标为3'3 5.【详解】解：画出这两个函数的图象如图所示. /=42+1 91 -2-10 5 421 相同点：①开口大小相同；②对称轴都是y轴. 士酱月。Vzc烧☐壮☑9I+X一=M涨但业L☐士( ②增减性不同，当>0时，乃随x的增大而增大，”随x的增大而减小，当<0时，片随x的增大而减 小，函数随x的增大而增大： ®顶点不同，函数片=4+1的图象的顶点坐标为(0,1)，函数片=--1的图象的顶点坐标为(0，-1) 颗型02 y=(c-)2的图象和性质 6.A. 7.B. 8.D 9<<h 10.2<m< 2 2122 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03 y=Q(c)2+k的图象和性质 11.D 12.B 13.A 14.B 颗型04 待定系数法求解析式 15.2 16.【详解】解：~抛物线y=a(x-h) 的对称轴是直线x=-1, h=-l, “抛物线解析式为y=a(x+小， 1,-4) ·抛物线经过 .-4=4a. 解得a=-1, 六抛物线解析式为y=-(x+) 17.【i详解】(1)解：把M(-32 代入解析式得： a(-3+4)2=2 解得a=2, ÷此抛物线的解析式为：y=2(x+4炉 (2)①.a=2>0. ∴.所以此抛物线开口向上； y=a(x-顶点为 ..(h,0 ,对称轴为r=h (-4,0) ∴此抛物线顶点坐标是 对称轴是x=-4」 3122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②·此抛物线开口向上，对称轴是x=一4， 当<-4时，y随x的增大而减小； @:a=2>0,顶点坐标是4,0) 当x=-4时，函数有最小值为0； 放答案为：①响上：（-40：x=4:@<-4:③=4，小，0 18。【详解】1)解：~抛物线的顶点为③，-) “设抛物线的顶点式为y=a(r-3)-1(a≠0) ·抛物线与'轴的交点是0,4) :a×(0-3}-1=-4 解得：a 3 y=- -3y-1: (2)解：，抛物线与x轴交于点“ 5M(-1,0）N(2,0) 设抛物线的解析式为'=a(x+1(x-2)(a≠0) 1,2) ,抛物线过点 :ax1+1)x1-2)=2 .a=-1, :y=-(x+10x-2）=-x2+x+2 (3)解：~所求抛物线与抛物线)=-V5 形状相同，开口方向相反， ·所求抛物线Q=V5 4122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -5,0) 所求抛物线顶点坐标是 :y=V5(x+5) (4)解：y=r+2x-1=(x+1-2 将抛物线'=+2x-先绕原点旋转180°，得到的抛物线的解析式为=-(-+2 ·再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为’=(--3。 (5)解：将抛物线'=先向下平移2个单位长度，符到的抛物线的解析式为 =x2-2 ·抛物线y=2-2 (0-2) 的顶点坐标为 ·抛物线少=x2- 沿直线-3 0,-4) 翻折后的项点坐标为 ,开口方向相反， 六翻折后的抛物线的解析式为少-(x-0-4=-2-4 19.【详解】()解：“抛物线y=r+bx+c过1(-3,0)、D(-2,-3) 9-3b+c=0 4-2b+c=-3, [b=2 解得c=-3, 六抛物线的表达式为"=”+2x-3 (2)解：y=2+2x-3=(x+1}-4 -1,-4) 顶点为 对称轴为直线=1 颗型05 二次函数的图象平移问题 5122 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.C 21.B 22.【详解】解：先将原抛物线配方化为顶点式： y-43+23=++分=++ 物线平移不改变二次项系数，因此平移后二次项系数仍为，<0，开口方向向下 根据平移规则，向下平移1个单位，再向右平移4个单位后，顶点坐标变化为：横坐标-1+4=3，纵坐标 3 2,即新顶点坐标为 2 平移后抛物线的顶点式为少=一)x一3)》+2，可得对称轴为直线3 2 5 因此所得抛物线开口向下，对称辅为直线x=3,顶点坐标为3引】 颗型06 与几何的综合问题 23.D 24.B 25.D 2近【详解】（①少解：将二次两数--+”的图象向右平移4个单位后得到5数广=-收m-4护+n 点132)平移后对应点的坐标为？，2)， 3+7 新图象对称轴是直线x= 2=5,顶点坐标是(5，n): ∴m+4=5,m=1, 故答案为：1； (2)当0≤m≤2时， 6122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=0 y=x2+n 时， 将A(3,2)代入，2=9+n, n=-7, m=2时，y=(x-2}+n 将43,2)代入，2=(6-2+n .n=1, n的取值范围为-7≤n≤l: (3)解：因为函数'=(x-m+”的对称轴为直线r=m且开口向上， 所以当0≤x≤2时，函数的最大值为离对称轴较远点的坐标. 当m≤1时，M=(2-m)}+n 当m>l时，M=(0-m)'+n 又因为n=2-(3-m)} 所以当m≤1时，M=(2-m+2-(3-m°=2m-3 则M随m的增大而增大； 当m>1时，M=m2+2-(3-m)}=6m-7 所以M随m的增大而增大，所以A选项符合题意. 故答案为：A, 27.【详解】（解：将点(O,代入y=a(x-2-1得： 1=a(0-2)}2-1=4a-1 解得a=2, 所以二次西数解折式为=-2-1： 7122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：① M(m)和Nm+3 在图象上，则： =a(m-2)}2-1,y2=a(m+1)2-1 由%>得：a(m-2-1>a(m+1-1 两边消去-1并除以正数“得：(m-2)'>(m+1 展开得m2-4m+4>m2+2m+1,化简得：-4m+4>2m+1, -6m>-3 1 m22' 1 所以m的取值范围是m<2: ②因为点M和N在对称轴x=2的两侧，所以：m<2<m+3, 解得-1<m<2. 在m≤x≤m+3上，函数在x=2处取得最小值-1.最大值与最小值之差为1， 所以最大值为0，且最大值在端点x=m或x=m+3处取得. 情况一：当x=m时取得最大值0则：a(m-2-1=0 解得(m-2).同时，当x=m+3时函数值不超过0：a(m+1)-1≤0， (m+1) -≤1 代入a得：(m-2 因为m-2>0,两边乘以(m-2得：(m+1≤(m-2 展开化简得6m≤3， .1 即m≤2： 结合-1<m<2,得1<m≤克. 8122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 a= 1 4 此时(m-2},当m从-1增大到2时，a从9增大到9（因为m≠1且m=2可取）， 所以gsas4 9 情况二：当x=m+3时取得最大值0则：a(m+1)-1=0 解得(m+1). 同时，当x=m时函数值不超过0：a(m-2-1≤0 (m-2 -≤1 代入a得：(m+1) 因为m+旷>0，两边乘以(m+ヅ得：(m-2'≤(m+ 展开化简得6m≥3， 1 结合-1<m<2,得2≤m<2. 1 a= 41 此时 (m+1,当m从2增大到2时，a从9减小到9（因为m≠2且m=2可取）， 1 4 所以ga≤。 9· 4 综合两种情况，a的取值范围是g<a≤ . 1 4 -<a≤ 故答案为：9 9· 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论 是解答本题的关键。 9122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 33.C 34.D 35.> 36。【详解】（解：抛物线线解折式为'=-r+4 ·该抛物线的顶点坐标为 0,4) ,开口向下， 令P0 则x=士2，即该抛物线经过点 -2,0)和点2,0) 令y3 则x=1,即该抛物线经过点 1.33) ,此抛物线的大致图象如下图所示： 5-4-312-10 _1 1345 2 y=-x2+ (2)解：抛物线 可由抛物线'=- 向上平移4个单位可得到. 故答案为：上，4 =-x2+4 (3)解：抛物解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 0,4) ∴离对称轴越远，函数值越小， 2-0=2>0-（1)=1 ∴当-1≤x≤2，且x=2时，函数有最小值，最小值为-22+4=0， 10/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0,4) 又顶点坐标为 ,即当x=0时，数有最大值，最大值为4， .当-1≤x≤2时，0≤y≤4 37.【详解】山解：抛物线'=2(x-旷的顶点为4， 点0) 当x=0时，y=2(0-1)=2 (0,2) 点 (2)设点P的坐标为(3，>0，>0) .y=2(x- .抛物线的对称轴为直线x=1, :点C为点B关于对称轴对称的点，点 (0,2) C(2,2) .点 BC=2, 5.mc=8 号8c0,-2）=8, 即2×2×(0y。-2)=8, 解得：%10 :点P在抛物线上，将，=10代入抛物线'=2x-少得， 2(x-1)2=10 解得： x=1±v5 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在第一象限内， :t=1+v5 “点P的坐标为1+5,10) C组 思维拔高 38.D 39.2或2 40.1 41.y=-22+4x-1 (答案不唯一) 权.【详解】()解，：点P(ma)在抛物线y=a(-旷上，且在第象限， .m>0, a=a(m-可得(m-=1,解得m=2或m=0, ,m=2. (2)解：a=3, :P23),抛物线的解新式为=3(x-1少， P∥x轴， ∴.点Q的纵坐标为3， 将=3代入y=3(x-,得3=3(x-, 解得x=2或x=0, 点Q的坐标为 0,3) P9=2, 1 .S△Po0=1 ×3×2=3 2 12/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43. 【详解】解，（山将'=0代入=-025(-+06， ,得， -0.25(x-1)2+0.64=0 解得=2.6戈=-0.6 (负值舍去)， .M(2.6,0) (2)）设反弹后抛物线解析式为'=a(x-3.6)'+h, 由题意可知，反弹后的抛物线过点2.6,0），（6.2,042) 将2.6,0)(B2,0.42) 代入解析式，得， 0.42=a(3.2-3.6)2+h 0=a(2.6-3.6)2+h, a=-0.5 解得， h=0.5, :y=-0.50r-3.6}2+0.5 顶点坐标为 3.6,0.5) .h=0.5: (3)能.理由如下： 由题意可知，反弹后最高点为3.6,0.5)，球擦网点为 1.5,0.15) 设过这两点的直线解析式为y=:+b,依题意得， 3.6k+b=0.5 1.5k+b=0.15, 解得， 10 13/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 2.y 6x-10, 11 令y=0,得610=0， 解得，x=0.6, 球能落到对方台面上，落球点为0.6,0) 4.【详解】()解：y=r+bx+c,a=2.b=4c=-3 :=2x-4x-3=20-1-5 1,-5) .该抛物线顶点P的坐标为 (2)解：①如图1，过M点作MNLx轴于点N,过P点作PE⊥x轴于点E. A 图1 .2a+b=0, ∴.b=-2a, y=a-2axte ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, .MN⊥ON,PE⊥ON. .∠MNO=∠OEP=90°， ∴.∠OMN+∠MON=90°，∠MON+EOP=90° ∴.∠OMN=∠POE, 在△MON和△OPE中， 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠OMN=∠POE ∠MNO=∠OEP OM=OP △MOW≌AOPE(AAS) .MN=OE,ON=PE, M(2,m) :.MN=OE=m,ON=PE=2, P点坐标为m-2) .P为抛物线的顶点， P点坐标为P1-2) .m=1, ∴.M点坐标为 M(2,1) 将P-2）,M2l代入y=a-2ar+c,得： [a-2a+c=-2 4a-4a+c=1, a=3 解得：c=1, .c的值为1 2DC+DP=2DC+1DP ② 2 “.当DC+DP取得最小值时，2DC+DP的值最小 由①知b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=1, (3,0) ,抛物线与x轴的一个交点坐标为 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1,0) '.抛物线与x轴的另一个交点坐标为 y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a ∴抛物线的解析式为 .C点坐标为 0,-3a) 顶点P坐标为-4如) .a>0, -3a<0,-4a<0,0C=3a, 如图2，过点P作直线PG与直线x=1成30°角，与抛物线的交点为G,交y轴于点H,过点D作D0⊥PG, 垂足为O,连接CD。 图2 在RaPD0中，D0=PD-sin30°=号PD, Dc+DP=DC+D0≥Cg, 当C,D.Q三点共钱，且C01PG时，DC+号DP取得最小值，即2DC+DP取得最小值， 在Rt△CH0中，∠CHg=∠DPQ=30°， CH=2Cg=2× 1+V3 2月 1+ ,即OH-0c=1+5 过点C作CF∥PG交x轴于F, .∠0CF=30°， 在R△OCr中，tan∠0Cr=OE.即5OF 00,即3=3a, oF=v5a,即P点坐标为V5a,0) 16/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线CF的解析式为y=cr-3a, ,0=V3ak-3a :k=5 :直线c 的解析式为y=V5x-3a .PG∥CF, ·设直线P 的解析式为y=V5+m 把P-4a代入得： -4a=V5+m 解得： m=-4a-V5 直线PC的解析式为)=v5x-4a-V5 OH=4a+ :.CH=0H-0C=4a+5-3a=a+V5 :1+3=a+V5 .a=1 2-3 y= 45.【详解】(1)解：由4 可知：自变量为全体实数： 故答案为全体实数： 旷-号. m= (2)解：①当x=-1时，则有 99 故答案为4,4： 17/22 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②所描点 -1,m)(1,n) 如图所示： ③所作函数图象如图所示： 10 9 P 6 4人 3 1 -4-3-2-101234 -2 (3)解：由(2)中函数图象可知：当y随x的增大而增大时，x的取值范围为2≤x≤0或x≥2： 故答案为-2≤x≤0或x≥2： 4)解：：点1(eP),8(U,q)均在该函数图象上，且fKK2, ∴根据(2)中函数图象可知：点A、B在-2<x<2之间的函数图象上， 由图象可知在-2<x<2之间的函数图象开口向下，对称轴为直线x=0, ∴根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大， 当0fek2时，p与q的大小关系是p<g: 故答案为P<9」 46. 【详解】(1)解：由思意得y=(+)+2 列表 -3 -2 0 1 y 6 3 2 3 6 描点、连线，函数图像如图所示： 18/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 观察图像得：图像关于直线x=-1对称. ②处的空格为直线x=-1； (2)解：=(+1旷+2图像是任意两点G）,（G), :八=G++2.5=(3+1+2 为-y=(+少°-（年+=(G++2s-x) .5<5<-1 :->0+x<-2 5-片<0 y2<y ,即 当<为< 时，y随x的增大而减小： (3)证明：任取一个点的横坐标x=-1+(,对应点的坐标为 (-1+t,y) y=[1+)+1]+2=+2 而x=-1-1时，y=[(-1-)+了+2=(-}+2=2+2 点(1+列1-6)关于直线=1+21-1对称 2 :y=(x+1)}'+2 的图像关于直线x=-1对称. 47. 19/22 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：抛物线C:y=- c+2+19顶点是点p -2,1) ∴点P的坐标为 2 :抛物线C:y=-+2+1的共生抛物线C,的项点是Q, -13 六Q(2,):且抛物线。的二次项系数为？2， C, 3 抛物线c的解斩式为x-2-1, 0, (②解：抛物线C的解折武为y=号(x+2+1,且 ∴.抛物线 的开口向下，对称轴为直线=-2】 当之-2 C 的函数值随着x的增大而减小： 3 3 :抛物线c,的解析式为y=x-2-1,且>0， ∴.抛物线C2的开口向上，对称轴为直线x=2, ∴.当x≤2，C2的函数值随着x的增大而减小： 综上所述，当2≤x≤2时，抛物线9与S的西数值都随产的帽大而减小： (3)解：①如图所示， 当直线y=m恰好经过点P时，则m=1, 当直线y=m恰好经过点Q时，则m=-1, 20/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由函数图象可知，当1<m<时，直线 y=m C C2 与抛物线 分别有两个不同的交点： ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作RT∥y轴，过点K作KR⊥TR,过点O作QT⊥TR, R. .∠PRK=∠QTP=90°. 由题意得，PK=PQ,∠KPQ=90° .∠RPK+∠TPQ=90°=∠RPK+∠RKP ∠TPQ=∠RKP △TPQ≌△RKP(AAS) .RK=PT,RP=OT, P(-2,1)0(2-1) ,RK=PT=1-（-1)=2,RP=QT=2-(-2)=4 :(05) 在y-6x-2-1中，当x=0时，y=20-2-1=5, “点K0,5)在抛物线=x-2-1上，此时符合题意 21/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 K(4,3) 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得 在y-2-1中，当x-4时，y〔4-2-1=5， :点K43)不在抛物线y多x-2-1上，此时不符合腿查： 0,5) 综上所述，点K的坐标为 拓展 链接中考 48.A 49.B 50.26 22/22