第30讲 动量守恒定律及其应用（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“概念-条件-性质-应用”为逻辑主线，系统整合动量守恒定律及碰撞问题，通过分级训练实现从知识解构到真题突破，突出科学思维与模型建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|2知识点|动量守恒六种性质（系统性等）、碰撞三类规律（动量守恒等）|从守恒条件推导性质，碰撞分类递进（弹性→非弹性）| |基础演练|17题|x-t/v-t图像分析、弹簧/爆炸模型应用|题型对应知识点，强调矢量性与同时性| |重难创新|6题|航天/生活情境迁移、多过程综合应用|结合科学探究，拓展守恒条件适用边界| |真题实战|13题|高频考点（弹性碰撞等）突破|对接高考命题，强化科学论证与责任|

第30讲 动量守恒定律及其应用（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 动量守恒的条件及应用 1 知识点2 碰撞问题 2 模拟·基础演练 4 题型01 动量守恒的条件及应用 4 题型02 碰撞问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 动量守恒的条件及应用 1.动量守恒定律 （1）内容：如果一个系统不受外力或所受__________，无论这一系统的内部发生了何种形式的相互作用，这个系统的总动量保持不变。 （2）表达式 ①p=p'，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p'。 ②m1v1+m2v2=m1v'1__________m2v'2，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。 ③Δp1=__________，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向。 ④Δp=0，系统总动量的增量为零。 （3）适用条件 ①理想守恒：不受外力或所受外力的合力为__________。 ②近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力__________它所受到的外力。 ③某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在__________上动量守恒。 2.动量守恒的条件 （1）系统不受外力或所受外力的矢量和为0。 （2）系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力。 （3）如果系统在某一方向上所受外力的矢量和为0，则系统在该方向上动量守恒。 3.动量守恒定律的“六种”性质 系统性 研究对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统 条件性 首先判断系统是否满足守恒条件 相对性 公式中v1、v2、v'1、v'2 必须相对于同一个惯性参考系 同时性 公式中v1、v2是在相互作用前同一时刻的速度，v'1、v'2是在相互作用后同一时刻的速度 矢量性 应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反为负值 普适性 不仅适用于低速宏观系统，也适用于高速微观系统 知识点2 碰撞问题 1.碰撞 （1）定义：相对运动的物体相遇时，在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化，这个过程就可称为碰撞。 （2）特点：作用时间极短，内力（相互碰撞力）远__________外力，总动量守恒。 （3）碰撞分类 ①弹性碰撞：碰撞后系统的总动能__________。 ②非弹性碰撞：碰撞后系统的总动能__________。 ③完全非弹性碰撞：碰撞后合为一体，机械能损失__________。 2.碰撞现象满足的规律 （1）动量守恒：m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2。 （2）动能不增加：Ek1+Ek2≥E'k1+E'k2或≥。 （3）速度要合理 ①若两物体同向运动，则碰前应有v后>v前;碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v'前≥v'后。 ②若两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 3.弹性碰撞的讨论 质量为m1与质量为m2的物体分别以速度v1、v2运动并发生弹性碰撞，如图所示。 （1）碰后速度的求解 根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得 解得v'1=， v'2=。 （2）分析讨论 ①当碰撞前物体2的速度不为0时，若m1=m2，则v'1=v2，v'2=v1，两物体交换速度。 ②当碰撞前物体2的速度为0时，即v2=0，则 v'1=，v'2=。 a.当m1=m2时，v'1=0，v'2=v1，碰撞后两物体交换速度。 b.当m1>m2时，v'1>0，v'2>0，碰撞后两物体沿同方向运动。 c.当m1<m2时，v'1<0，v'2>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。 4.非弹性碰撞 碰撞结束后，动能有部分损失。 m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2 m1m2m1vm2v+ΔEk损 5.完全非弹性碰撞 碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。 m1v1+m2v2=（m1+m2）v m1m2（m1+m2）v2+ΔEk损max 模拟·基础演练 考查重点：动量守恒的条件及应用、碰撞问题…… ⏳题型01 动量守恒的条件及应用 1．（2026·北京大兴）（多选）如图1所示，两小球A、B在足够长的光滑水平面上发生正碰。小球A、B质量分别为mA和mB。取水平向右为正方向，两小球碰撞前后位移随时间变化的x-t图像如图2所示。下列说法正确的是（ ） A．碰撞过程中，小球A对B的冲量向左 B．碰撞后两球的动量大小相等、方向相反 C．两球质量关系满足 D．可判断出两球碰撞过程无机械能损失 2．（2026·北京海淀）如图甲所示，置于水平桌面上的小车，其上方固定一竖直框架，框架通过光滑转轴O与一轻杆相连，轻杆可绕O在竖直平面内自由转动，轻杆下端固定一小球。如图乙所示，将小球向左拉开，使其位置比最低点高，同时由静止释放小球和小车。忽略摩擦和空气阻力，已知重力加速度。关于此后的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小车将一直向左运动 B．小球第一次回到最低点时的速度大小为 C．小球第一次摆到右侧最高点时，仍比最低点高 D．小车、框架和小球组成系统的机械能和动量均守恒 3．（2026·北京交大附中）一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度，爆炸成甲、乙两块水平飞出，甲、乙两块的质量比为3：1，不计质量损失，重力加速度取，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·北京第二十中学）如图所示，质量分别为、的木块和，并排放在光滑水平面上，木块上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一细线，细线另一端系质量为的球。现将球拉起使细线水平伸直，并由静止释放，当球运动到最低点时，测得木块的速度大小为。已知重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．细线长为 B．C球经过最低点的速度大小可能为3v0 C．C球经过最低点的速度大小可能为 D．球相对最低点上升的最大高度为 5．（2026·北京门头沟）如图所示，光滑水平面有两个质量相等的物块A、B，水平轻弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端与A连接，物块B以速度v冲向A。下列说法正确的是（ ） A．整个运动过程中物块A、B和轻弹簧组成的系统动量守恒 B．弹簧第二次压缩到最短时，弹簧长度比第一次长 C．弹簧第一次压缩过程中，B动量的变化量等于弹簧对A的冲量 D．弹簧第一次恢复原长的过程中，A的速度随时间均匀增加 6．（2026·北京丰台·一模）两小车M、N在光滑水平面上正碰，其速度随时间变化的 v-t 图像如图所示，碰撞时间极短。下列说法正确的是（　　） A．碰撞过程中小车M受到的冲量较大 B．碰撞后小车M的动量小于小车N的动量 C．碰撞后小车M与小车N的动能可能相同 D．小车M的质量大于小车N的质量 7．（2025·人大附中朝阳学校）（多选）某同学设计了一种验证动量守恒定律的实验方案。如图所示，用两根不可伸长的等长轻绳将两个半径相同、质量不等的匀质小球悬挂于等高的O点和点，两点间距等于小球的直径。将小球1向左拉起至A点由静止释放，在最低点B与静止于C点的小球2发生正碰。碰后小球1向左反弹至最高点，小球2向右摆动至最高点D。测得小球1，2的质量分别为m和M，弦长、、，则下列说法正确的是（　　） A．球1与球2碰撞前的速度为 B．碰后球1向左摆动过程中重力的瞬时功率不断减小 C．小球1的质量m小于小球2的质量M D．若满足，则说明碰撞为弹性碰撞 8．滑板运动是由冲浪运动演变而成的一种极限运动项目。如图所示，一同学在水平地面上进行滑板练习，该同学站在滑板A前端与滑板以3m/s的共同速度做匀速直线运动，在滑板A正前方有一静止的滑板B。在滑板A接近滑板B时，该同学迅速从滑板A跳上滑板B，接着又从滑板B跳回滑板A，两滑板恰好不相撞。该同学的质量为24kg，两滑板的质量均为3kg，不计滑板与地面间的摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统动量守恒 B．该同学跳离滑板B的过程中，滑板B的速度减小 C．该同学跳回滑板A后，他和滑板A的共同速度为 D．该同学全过程对滑板B的水平方向冲量大小为 9．（2026·北京理工附中）（多选）如图所示，甲、乙两人静止在水平冰面上，甲推乙后，两人均向相反方向沿直线做减速运动直至停止。已知甲的质量小于乙的质量，两人与冰面间的动摩擦因数相同，两人之间的相互作用力远大于地面的摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．甲推乙的过程中，甲和乙的机械能守恒 B．乙停止运动前任意时刻，甲的速度总是大于乙的速度 C．整个减速过程，甲克服地面摩擦力做的功大于乙克服地面摩擦力做的功 D．整个减速过程，地面摩擦力对甲冲量的大小大于对乙冲量的大小 10．（2026·北京潞河中学）一枚在空中飞行的火箭质量为，在某时刻的速度大小为，方向水平向右，燃料即将耗尽。此时火箭突然炸裂成两块，如图所示，其中质量为的一块沿着与相反的方向飞去，速度大小为，假设炸裂过程中释放能量仅有一半转化为系统的机械能。求： (1)质量为的火箭的动量改变量； (2)另外一块火箭的速度。 (3)炸裂过程中释放的能量。 ⏳题型02 碰撞问题 11．（2026·北京丰台）质量为m1和m2的A、B两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x随时间t变化的图像如图所示。由图像可知（ ） A．A的质量大于B的质量 B．碰撞后B的动能大于A的动能 C．碰撞后A的动量大于B的动量 D．碰撞为弹性碰撞 12．（2026·北京昌平）如图所示，左端固定一轻弹簧的物块Q静止在光滑水平地面上，物块P以速度向右运动并撞上弹簧，下列说法正确的是（ ） A．弹簧被压缩至最短时，P、Q的动量一定相等 B．弹簧被压缩至最短时，Q的动量达到最大值 C．P与弹簧分离后仍向右运动时，P的质量一定大于Q的质量 D．P与弹簧分离后向左运动时，P的动量可能大于Q的动量 13．（2026·北京人大附中）（多选）如图所示，大小相同的小摆球和的质量分别为和，摆长相同，并排竖直悬挂，平衡时两球刚好接触，现将摆球向左拉开一小角度后释放，若两球的碰撞是弹性的，下列说法正确的有（　　） A．第一次碰撞后的瞬间，两球的动量方向相同 B．第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等 C．第一次碰撞后，两球的最大摆角相同 D．发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置 14．（2026·北京清华附中）（多选）如图1所示，光滑水平面左侧有一竖直墙壁，质量为m的甲球以速度与静止的质量为M的乙球发生对心碰撞，，m与M、m与墙壁之间的碰撞没有能量损失。某同学在研究该过程时发现若设定出两个新的物理量x、y，其中x与甲球的运动状态有关。y与乙球的运动状态有关，则在上述过程中两个新物理量x和y始终满足，其中r为定值，该函数的图像如图2所示。图像中的点表示两个小球组成的系统可能的状态，A、B、C三点为系统在上述过程中连续经历的三个状态。根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．从状态A到状态C过程系统动量不守恒 B．从状态B到状态C过程两个小球发生弹性碰撞 C．直线AB的斜率一定为 D．图像中圆的半径可能为 15．（2026·北京通州）如图所示，质量为的小球A系在长的细线一端，线的另一端固定在点。质量为的小球B置于光滑水平地面上，且位于点的正下方。现将小球A拉至水平位置（细线伸直）由静止释放，运动至最低点时与B球发生正碰（碰撞时间极短）。碰后小球A反弹，上摆至距水平面高处时速度减为零。两球均可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小球A在与小球B碰撞前瞬间，细线对小球拉力的大小； (2)请判定此碰撞是否为弹性碰撞，并说明理由； (3)碰撞过程中，小球B对小球A的冲量。 16．（2025·北京清华附中）在光滑水平地面上有两个体积相同的弹性小球A、B，A的质量为1kg，B的质量为3kg。现B球静止，A球以初速度向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，求： (1)碰撞分离后A、B的速度，。 (2)A球在碰撞前后的动量的变化量 17．（2026·北京大兴）如图所示，小球a系在细绳上，物块b静置于悬挂点O的正下方，将细绳拉开偏离竖直方向后由静止释放小球a，两物体发生正碰，碰撞时间极短，已知绳长，小球a质量为，物块b质量为，取重力加速度大小，两物体都可看成质点，不计物块b与水平地面间的摩擦，，。 (1)求小球a与物块b碰前瞬间的速度大小v； (2)若碰后小球a反弹的速度为，求碰后瞬间物块b的速度大小vb； (3)分析说明a与b的碰撞是否为弹性碰撞。（写出必要的计算过程） 重难·创新演练 设题创新：结合教材知识运用(T1、T2);结合航天科技(T3、T6)；结合生活实际（T4、T5） 1．▶新角度◀（2026·北京十一学校）（多选）物块A、B间夹有一被压缩的轻质弹簧，组成物块一弹簧系统，并用细线连接固定，已知A的质量是B的两倍。第一种情况：将该系统静置于光滑水平面上，如图甲所示；第二种情况：将该系统静置于光滑水平面上，并使物体A一侧紧贴墙面，如图乙所示。考虑分别在以上两种情况下，烧断细线后至弹簧恢复原长的过程中（　　） A．物块弹簧系统均满足动量守恒 B．物块弹簧系统均满足机械能守恒 C．第一种情况下弹簧对物块B的做功与第二种情况下弹簧对物块B的做功之比为1：1 D．第一种情况下弹簧对物块B的冲量与第二种情况下弹簧对物块B的冲量之比为： 2．▶新角度◀（2026·北京朝阳）质量分别为、的甲、乙两小车沿直线碰撞，碰撞前后的速度随时间的变化如图所示，碰撞时间极短。根据题中信息并结合所学的物理知识可以推断（　　） A． B．碰撞前后甲的运动方向相反 C．碰撞前后甲的动能减少量等于乙的动能增加量 D．内甲的动能减少量一定大于乙的动能增加量 3．▶新思维◀（2026·北京丰台）动量守恒定律是自然界最普适的定律之一，其研究对象从宏观物体到微观粒子再到宇观天体。 (1)在光滑的冰面上，甲同学静止，乙同学以2.5 m/s的速度向甲滑来。两人接触后，乙用力推甲，乙的速度变为0.5 m/s，方向与原来相反。已知甲的质量为75 kg，乙的质量为50 kg，求甲被推后的速度大小和方向。 (2)用初速度相同的中子分别与静止的氢核和静止的氮核发生正碰。已知中子质量mn与氢核质量mH相等，氮核质量与氢核质量的关系是mN=14mH，将中子与氢核、氮核的碰撞视为完全弹性碰撞。求碰撞后氮核与氢核的速率之比。 (3)天文观测发现，在宇宙中有一颗质量为m的小星体A，围绕某质量为M、半径为R的大星体做半径为2R的匀速圆周运动，从远处飞来一速度、质量为3m的星体B与星体A迎面发生剧烈正碰后形成一个新的星体C。假定碰撞前后星体位置未发生变化，碰撞后星体C将沿椭圆轨道继续运动。已知质量为m1的星体绕质量为m2的星体做椭圆运动时所具有的机械能E与椭圆半长轴a的关系为，两星体间的引力势能，r为两星体间距离，G为引力常量。请通过计算判断星体C是否会与大星体发生碰撞。 4．▶新情境◀（2026·北京人大附中）在某天写作业的时候，小明同学发现自动笔在桌面上的弹跳很有趣，于是将某种型号的自动笔建立理想化模型如图1甲所示，笔由弹簧、内芯和外壳三部分构成，且弹簧质量可以忽略。把笔竖直倒立于水平硬桌面上，此时弹有一定压缩量（未知），下压外壳使其下端接触桌面，此时弹簧压缩量为h0；由静止释放后，外壳竖直上升，当速度达到某一值时，弹簧恢复原长，此时外壳恰好与静止的内芯接触并碰撞（如图1乙），然后一起以共同速度继续上升（如图1丙）。且全过程不计空气阻力， 对于以上过程，小明认为可以理想化为三个阶段：第①阶段，外壳竖直上升，不过不是一直加速上升、更不是匀加速上升，但笔与地球系统仍然遵守机械能守恒定律；第②阶段，碰撞，外壳与内芯立即具有共同速度大小；由于碰撞时间极短、可忽略重力的影响；第③阶段，内芯与外壳一起竖直上抛。为计算方便，设外壳质量为2m、内芯质量为m，设弹簧的劲度系数等于。已知当劲度系数为k的弹簧的拉伸或者压缩量为x时，弹簧的弹性势能为，已知重力加速度为g，弹簧没有超出弹性限度： 请你帮他解决以下问题（求解结果可以保留根号或者分数形式，不出现k）： (1)求解弹簧恢复原长时外壳的速度。 (2)求解外壳与内芯的碰撞过程中二者总动能的损失。 (3)求解外壳离地的最大高度并在图2中定性画出外壳的动能随上升高度的变化图像。 5．▶新考法◀（2026·北京海淀教师进修学校）某兴趣小组用轨道半径为R的离心轨道演示仪做了下面实验，将铝球放在轨道最低点，大小相同的铁球在距轨道最低点竖直高度为4R处静止释放，在最低点与铝球发生正碰，并用手机录下了实验的全过程，然后用视频软件分析视频。如图甲是铝球恰好与轨道分离的一帧照片，如图乙是铁球在轨道上到达最高点的一帧照片，发现铁球的球心恰好与轨道圆心等高。两球的大小和摩擦均不计，重力加速度为g。求： (1)碰后瞬间铁球的速度大小； (2)若已知碰后瞬间铝球的速度，铁球与铝球的质量之比； (3)在（2）问的条件下铝球恰好与轨道分离时铝球球心和轨道圆心的连线与水平方向间的夹角为多少。 6．▶新考法◀（2025·北京第十一中学）万有引力定律对人类智慧影响至为深远，在天体运动中起着决定性作用。如图甲所示，将一个质点置于质量均匀分布的球形天体内，质点离球心O的距离为r。已知天体内部半径在r~R范围内的球壳部分（图甲中灰色部分所示）对该质点的万有引力为零。设想在地球内距球心h处沿一条弦挖了一条光滑绝热通道AB，如图乙所示。忽略通道AB的内径大小、空气的阻力和地球自转的影响。已知万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g0，地球视为球形且半径为R0。质量为m的质点受到F＝-kx的回复力作用，其振动周期为。 (1)从A点由静止释放一个质量为m的物体。 a.证明物体在通道中做简谐运动； b.该物体运动到通道中心O'点处的速度大小v。 (2)某同学提出，可以利用此通道发射人造地球卫星：从A、B两处同时由静止释放质量分别为m和M的物体（可视为质点），且满足m<<M，两物体在通道中发生弹性碰撞后，质量为m的物体回到A处，从A处的切点飞出（在A处有一沿地球切线的未画出的引导轨道）。试从理论上分析质量为m的物体能否成为人造地球卫星。若可以，计算h应满足的条件，若不可以，说明理由。 真题·实战演练 高频考点：动量守恒定律的应用、弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞 1．（2025·甘肃·高考）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·广东·高考）如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力和作用下，由静止开始沿同一直线相向运动在时刻发生正碰后各自反向运动。已知和始终大小相等，方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，可能正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·高考）甲、乙两运动员在光滑水平冰面上进行滑冰训练。以速度运动的甲推一下静止在其正前方的乙，刚分开时，甲、乙的运动方向与的方向相同，且甲的速度为，则刚分开时，甲、乙的动量大小之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：2 D．1：3 4．（2025·河南·高考）两小车P、Q的质量分别为和，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为，碰撞时间极短，则（　　） A． B． C． D． 5．（2026·贵州·高考）如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为和，A被拉至与竖直方向成的位置并由静止释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·高考）如图所示，半径为R = 0.45m的四分之一圆轨道AB竖直固定放置，与水平桌面在B点平滑连接。质量为m = 0.12kg的玩具小车从A点由静止释放，运动到桌面上C点时与质量为M = 0.18kg的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m至D点停止。A点至C点光滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小车运动至圆轨道B点时所受支持力FN的大小； (2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v的大小； (3)组合体与水平桌面CD间的动摩擦因数μ的值。 7．（2026·黑吉辽蒙·高考）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 8．（2026·浙江·选考）如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNQP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑(h<< r)，途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点。 (1)求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； (2)从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； (3)求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； (4)若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从NQ之间滑离，求BQ间距L的范围。 9．（2025·浙江·高考）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，,。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 10．（2025·四川·高考）如图所示，倾角为的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R的半圆挡板和长为的直挡板。a为直挡板下端点，bd为半圆挡板直径且沿水平方向，c为半圆挡板最高点，两挡板相切于b点，de与ab平行且等长。小球乙被锁定在c点。小球甲从a点以一定初速度出发，沿挡板运动到c点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞。小球甲质量为，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。 (1)求小球甲从a点沿直线运动到b点过程中的加速度大小； (2)若小球甲恰能到达c点，且碰撞后小球乙能运动到e点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件； (3)在满足（2）中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段de，求小球甲初动能应满足的条件。 11．（2026·广东·高考）如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过点的水平线上，两质量均为的摆锤，由长均为的不可伸长轻绳悬挂于轴上的点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为，，，。重力加速度取，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： (1)摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能； (2)机器人外壳上升的最大高度 ； (3)从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失。 12．（2025·课标卷·高考）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 13．（2025·浙江·高考）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R的竖直螺旋轨道、水平轨道BC和、倾角为的倾斜直轨道EF平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF段轨道粗糙外，其余各段均光滑，F点与水平高台GHI等高。游戏开始，一质量为m的滑块1从轨道AB上的高度h处静止滑下，与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3落在GH段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H点右侧，立即停止运动。已知，EF段长度，FG间距，GH间距，HI间距，EF段。滑块1、2、3均可视为质点，不计空气阻力，，。 (1)若，求碰撞后瞬间滑块3的速度大小； (2)若滑块3恰好能通过圆轨道，求高度h； (3)若滑块3最终落入I点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 动量守恒定律及其应用（专项训练） 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 答案 CD C B D C B CD D BC B 题号 12 13 14 答案 C CD ACD 10．解: （1）以向右为正方向，则质量为的火箭的动量改变量为 可知质量为的火箭的动量改变量大小为，方向向左。 （2）以向右为正方向，根据动量守恒可得 解得另外一块火箭的速度为 方向向右。 （3）系统增加的机械能 炸裂过程中释放的能量 解得 15．解: （1）小球A从静止释放到与小球B碰撞前瞬间，根据动能定理可得 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）设碰撞后小球反弹的速度大小为，则有 解得 设碰后小球B的速度大小为，取水平向右为正方向，根据动量守恒有 解得 碰撞前小球A的动能为 碰撞后小球A、B的总动能为 由于，可知此碰撞为弹性碰撞。 （3）以向右为正方向，对A由动量定理得 解得 可知碰撞过程中，小球B对小球A的冲量大小为，方向向左。 16．解: （1）两球碰撞前后，根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律 联立解得， 即碰撞分离后A的速度大小，与初速度方向相反；B的速度大小，与初速度方向相同。 （2）A球在碰撞前后的动量的变化量 即A球在碰撞前后的动量的变化量大小为，方向与初速度方向相反。 17. 解: （1）小球下摆过程只有重力做功，机械能守恒有 解得 （2）取a碰撞前速度方向为正方向，则a反弹后的速度 碰撞时间极短，系统水平方向动量守恒 解得： （3）碰撞前总动能： 碰撞后总动能： 因为，所以碰撞有机械能损失，所以不是弹性碰撞。 重难·创新演练 题号 1 2 答案 BD D 3．解：（1）冰面光滑，甲、乙组成的系统动量守恒，规定乙初始运动方向为正方向，由动量守恒定律 代入数据得 解得 正号说明运动方向与乙初始运动方向相同。 （2）设中子初速度为​，靶核质量为，由动量守恒可得 由机械能守恒可得 联立解得靶核碰撞后速率 对氢核，得 对氮核，得 速率比 (3)碰撞前A做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得 规定A速度方向为正，B迎面运动，则​​ 碰撞动量守恒 解得，即运动方向与A运动方向相反。​​ 碰撞后C总机械能（动能+引力势能） 由题给椭圆机械能公式，代入得 解得​ 椭圆中，远地点、近地点到大星体（焦点）的距离之和为，碰撞点距离大星体中心，为远地点。 则近地点距离 即近地点在大星体内部，因此会发生碰撞。 4．解：（1）从释放到弹簧恢复原长时，设外壳的速度大小为v1，外壳与弹簧系统机械能守恒，有 将代入，解得 （2）外壳与内芯碰撞共速，根据动量守恒定律有 解得 碰撞过程中的动能损失为 （3）共速后外壳和内芯一起竖直上抛，有 解得 外壳离地的最大高度，外壳动能随上升高度的变化图像如图 5. 解: （1）设铝球质量、铁球质量，如图乙是铁球在轨道上到达最高点的一帧照片，发现铁球的球心恰好与轨道圆心等高。根据能量守恒可知 解得碰后瞬间铁球的速度 （2）铁球碰前 根据动量守恒 则 （3）在铝球恰好与轨道分离时位置，设铝球球心和轨道圆心的连线与水平方向间的夹角为，有 从最低点碰后到恰好分离，有 联立解得 所以 6. 解:（1）a.质点在距离球心r处所受到的引力为 设向右为正方向，故引力在AB通道方向分力为 该力与成正比，故物体做简谐运动。 b.由引力表达式知 在地表万有引力近似等于重力知 则 从A到点，由动能定理可得 联立解得 （2）由第（1）问知，到达点的速度与质量无关，碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反．刚碰撞后，质量为M的物体的速度为，质量为m的物体的速度为，若规定速度方向由A向B为正，则有， 解得 返回过程中，由动能定理得 解得 由题意有 解得 真题·实战演练 题号 1 2 3 4 5 答案 B A C D A 6. 解：（1）设小车运动至圆轨道B点时的速度大小为，由机械能守恒定律，有 由牛顿第二定律，有 代入数据，联立解得 （2）小车与物块在C点碰撞，在水平方向由动量守恒，有 代入数据，联立解得 （3）组合体水平方向受动摩擦力作用，从C点匀减速运动至D点静止，由动能定理，有 代入数据，联立解得 7. 解: （1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 8. 解: （1）对a物块下滑过程中根据动能定理有 可得； 在B点根据牛顿第二定律有 可得，方向竖直向上； （2）如图 由于h<<r，滑块a所受回复力F，则 可知滑块受到的回复力F与x成正比，方向与x相反，因此滑块a从释放到第一次到达最低点的运动是简谐运动。 （3）滑块b在圆弧形斜面上垂直槽轴线方向的运动性质与a相同，平行槽轴线方向做匀速度直线运动。设滑块b的速度沿槽轴线和垂直槽轴线分速度为vbx、vby，如图 当vbx=0时，滑块b第一次滑到最高点，由题意可知滑块b到达的最高点高度与滑块a的开始下滑的高度相等。此时速度为vby，经历的时间t1为； 又因与滑块a最高点相同，由题意可知 即 因为滑块a、b在最高点发生碰撞，设碰后滑块b的速度为v'by。由动量守恒和机械能守恒有， 联立解得， （4）碰后滑块a在平行于槽轴线方向的速度始终为va，从MN边界射出的最基本的几种临界情况如图1、2、3、4所示。考虑周期性，则L有多种情况 由题给数据可得，， 滑块a每一次在圆弧型斜面上滑或下滑的时间为 滑块a每一次滑过水平面的时间为 又由于滑块a从任一点出发回到该点同高度位置时的时间相等，设时间为T，则T=4t1+2t2=(2π+1) s 滑块a由碰后到从MN之间飞出的时间t满足，L=0.4t 所以由图1、2可知或，…… 由图3、4可知即或者，…… 综上分析可知t应满足 则滑块a能从MN之间飞出时L的范围为，（n=0，1，2，3，4……） 9. 解: （1）滑块从P点到B点由动能定理 解得到达B点的速度 （2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功 （3）物块在传送带上加速运动的加速度为 加速到共速时用时间 在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度 （4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知， 联立解得 （另一组，因不合实际舍掉） 对滑块在最高点时由牛顿第二定律 解得F=3N 10. （1）小球甲从a点沿直线运动到b点过程中,根据牛顿第二定律有 解得甲在ab段运动的加速度大小 （2）甲恰能到c点，设到达c点时的速度为，可知 解得① 根据题意甲乙发生完全弹性碰撞，碰撞前后根据动量守恒和能量守恒， 解得碰后乙的速度为② 碰后乙能运动至点，第一种情况，碰后乙顺着挡板做圆周运动后沿着斜面到达e点，此时需满足 即③ 联立①②③可得 第二种情况，碰后乙做类平抛运动到达e点，此时可知， 解得④ 联立①②④可得 （3）在（2）问的质量比条件下，若碰后乙能越过线段，根据前面分析可知当满足第一种情况时，碰后乙做圆周运动显然不满足能越过线段，故碰后乙做类平抛运动越过线段，故碰后乙的速度必然满足 同时根据类平抛运动规律可知， 同时需保证小球不能撞击到圆弧cd上，可得当， 联立解得⑤ 联立②⑤将代入可得⑥ 对甲球从a到c过程中根据动能定理⑦ 联立⑥⑦可得 11. （1）两摆锤以初速度沿外壳向上运动，与挡板相碰前，摆锤机械能守恒。设摆锤与挡板相碰前的速度为v，根据机械能守恒定律有 解得 摆锤与挡板相碰后与机器人一起运动，根据动量守恒定律有 解得 机器人起跳时的动能 （2）根据速度位移关系 可得机器人外壳上升的最大高度 （3）机器人外壳落到地面时，机器人外壳的速度立即变为0，根据竖直上抛运动的对称性可知摆锤速度大小为，从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失 解得 12. （1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 13.解：（1）对滑块1由动能定理 解得滑块1与滑块2碰前的速度大小为 滑块1与滑块2碰撞过程中，由动量守恒定律 解得碰撞后瞬间滑块3的速度大小为 （2）在轨道D点，由牛顿第二定律 解得 滑块3从D点到C＇点，由机械能守恒定律 解得 结合， 联立解得 （3）滑块3从C＇点到F点的过程中，由动能定理 若滑块3直接落入洞中，则竖直方向 水平方向 结合， 联立解得 若经一次反弹落入洞中，则 水平方向 结合， 联立解得 由计算结果，可知滑块在斜轨道上高度为处开始下滑，是滑块能通过圆轨道最高点的最小高度，因此是滑块开始下滑到在GH经一次反弹落入洞中。因此小问3的答案是或。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 动量守恒定律及其应用（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 动量守恒的条件及应用 1 知识点2 碰撞问题 2 模拟·基础演练 3 题型01 动量守恒的条件及应用 3 题型02 碰撞问题 12 重难·创新演练 17 真题·实战演练 25 巩固·知识解构 知识点1 动量守恒的条件及应用 1.动量守恒定律 （1）内容：如果一个系统不受外力或所受合外力为零，无论这一系统的内部发生了何种形式的相互作用，这个系统的总动量保持不变。 （2）表达式 ①p=p'，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p'。 ②m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。 ③Δp1=-Δp2，相互作用的两个物体动量的变化量等大反向。 ④Δp=0，系统总动量的增量为零。 （3）适用条件 ①理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零。 ②近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力。 ③某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒。 2.动量守恒的条件 （1）系统不受外力或所受外力的矢量和为0。 （2）系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力。 （3）如果系统在某一方向上所受外力的矢量和为0，则系统在该方向上动量守恒。 3.动量守恒定律的“六种”性质 系统性 研究对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统 条件性 首先判断系统是否满足守恒条件 相对性 公式中v1、v2、v'1、v'2 必须相对于同一个惯性参考系 同时性 公式中v1、v2是在相互作用前同一时刻的速度，v'1、v'2是在相互作用后同一时刻的速度 矢量性 应先选取正方向，凡是与选取的正方向一致的动量为正值，相反为负值 普适性 不仅适用于低速宏观系统，也适用于高速微观系统 知识点2 碰撞问题 1.碰撞 （1）定义：相对运动的物体相遇时，在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化，这个过程就可称为碰撞。 （2）特点：作用时间极短，内力（相互碰撞力）远大于外力，总动量守恒。 （3）碰撞分类 ①弹性碰撞：碰撞后系统的总动能没有损失。 ②非弹性碰撞：碰撞后系统的总动能有损失。 ③完全非弹性碰撞：碰撞后合为一体，机械能损失最大。 2.碰撞现象满足的规律 （1）动量守恒：m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2。 （2）动能不增加：Ek1+Ek2≥E'k1+E'k2或≥。 （3）速度要合理 ①若两物体同向运动，则碰前应有v后>v前;碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v'前≥v'后。 ②若两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变。 3.弹性碰撞的讨论 质量为m1与质量为m2的物体分别以速度v1、v2运动并发生弹性碰撞，如图所示。 （1）碰后速度的求解 根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得 解得v'1=， v'2=。 （2）分析讨论 ①当碰撞前物体2的速度不为0时，若m1=m2，则v'1=v2，v'2=v1，两物体交换速度。 ②当碰撞前物体2的速度为0时，即v2=0，则 v'1=，v'2=。 a.当m1=m2时，v'1=0，v'2=v1，碰撞后两物体交换速度。 b.当m1>m2时，v'1>0，v'2>0，碰撞后两物体沿同方向运动。 c.当m1<m2时，v'1<0，v'2>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。 4.非弹性碰撞 碰撞结束后，动能有部分损失。 m1v1+m2v2=m1v'1+m2v'2 m1m2m1vm2v+ΔEk损 5.完全非弹性碰撞 碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。 m1v1+m2v2=（m1+m2）v m1m2（m1+m2）v2+ΔEk损max 模拟·基础演练 考查重点：动量守恒的条件及应用、碰撞问题…… ⏳题型01 动量守恒的条件及应用 1．（2026·北京大兴）（多选）如图1所示，两小球A、B在足够长的光滑水平面上发生正碰。小球A、B质量分别为mA和mB。取水平向右为正方向，两小球碰撞前后位移随时间变化的x-t图像如图2所示。下列说法正确的是（ ） A．碰撞过程中，小球A对B的冲量向左 B．碰撞后两球的动量大小相等、方向相反 C．两球质量关系满足 D．可判断出两球碰撞过程无机械能损失 【答案】CD 【解析】A．x-t图像中直线的斜率表示速度，故碰前小球B是静止的，小球A向右运动与B发生碰撞，故小球A对B的冲量向右，故A错误； BC．碰前，说明本题选向右为正方向 碰后， 由动量守恒 解得 又因，碰后小球A、B的动量方向（速度方向）相反，故碰后小球A的动量小于小球B的动量，故B错误，C正确； D．碰前动能 碰后总动能 故两球碰撞过程无机械能损失，故D正确。 故选CD。 2．（2026·北京海淀）如图甲所示，置于水平桌面上的小车，其上方固定一竖直框架，框架通过光滑转轴O与一轻杆相连，轻杆可绕O在竖直平面内自由转动，轻杆下端固定一小球。如图乙所示，将小球向左拉开，使其位置比最低点高，同时由静止释放小球和小车。忽略摩擦和空气阻力，已知重力加速度。关于此后的运动过程，下列说法正确的是（　　） A．小车将一直向左运动 B．小球第一次回到最低点时的速度大小为 C．小球第一次摆到右侧最高点时，仍比最低点高 D．小车、框架和小球组成系统的机械能和动量均守恒 【答案】C 【解析】A．整个系统在竖直方向受重力和桌面支持力，受力平衡，在水平方向不受外力，因此水平方向动量守恒。设小球质量，小车质量，初始时小球和小车均静止，总动量为零，即 释放后，小球向右摆动，小车会在杆的拉力水平分力作用下向左运动。 当小球向左摆动时，由动量守恒，小车向右运动，故A错误； B．若小车固定，小球重力势能全部转化为动能，即 解得最低点速度为 但小车会运动，小球的重力势能转化为小球和小车的动能，因此小球速度小于，故B错误； C．只有重力做功，系统机械能守恒。初始时总动能为零，当小球摆到右侧最高点时，小球速度为零，由水平动量守恒可知小车速度也为零。因此动能全部回归为零，重力势能恢复到初始值，高度仍为，故C正确； D．只有重力做功，无摩擦，因此系统机械能守恒。 系统在竖直方向受重力作用，合外力不为零，竖直方向动量不守恒；水平方向动量守恒，因此系统动量不守恒，故D错误。故选C。 3．（2026·北京交大附中）一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度，爆炸成甲、乙两块水平飞出，甲、乙两块的质量比为3：1，不计质量损失，重力加速度取，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】规定向右为正，设弹丸的质量为4m，则甲的质量为3m，乙的质量为m，炮弹到达最高点时爆炸时，爆炸的内力远大于重力（外力），遵守动量守恒定律，则有 则，两块弹片都做平抛运动，高度一样，则运动时间相等， 水平方向做匀速运动，有 则，结合图像可知，B的位移满足上述表达式，故选B。 4．（2026·北京第二十中学）如图所示，质量分别为、的木块和，并排放在光滑水平面上，木块上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一细线，细线另一端系质量为的球。现将球拉起使细线水平伸直，并由静止释放，当球运动到最低点时，测得木块的速度大小为。已知重力加速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．细线长为 B．C球经过最低点的速度大小可能为3v0 C．C球经过最低点的速度大小可能为 D．球相对最低点上升的最大高度为 【答案】D 【解析】ABC．设小球由静止释放到第一次经过最低点的过程中，小球运动到最低点时的速度大小为，A、B的速度大小为，小球由静止释放在向下摆动的过程中，对A有拉力，使得A、B之间有弹力，A、B不会分离，当C运动到最低点时，A、B间弹力为零，A、B将要分离，A、B分离时速度相等，A、B、C系统水平方向不受外力，系统水平方向动量守恒，取水平向左为正方向，由系统水平方向动量守恒得 解得 若C摆到A左边最高点后又摆下到最低点有， 解得vC′ = 4v0 由机械能守恒定律得 解得，故ABC错误； D．C球向左摆至最高点时，A、C共速，设水平向左为正方向，由水平方向动量守恒得 由机械能守恒定律得 解得，故D正确。故选D。 5．（2026·北京门头沟）如图所示，光滑水平面有两个质量相等的物块A、B，水平轻弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端与A连接，物块B以速度v冲向A。下列说法正确的是（ ） A．整个运动过程中物块A、B和轻弹簧组成的系统动量守恒 B．弹簧第二次压缩到最短时，弹簧长度比第一次长 C．弹簧第一次压缩过程中，B动量的变化量等于弹簧对A的冲量 D．弹簧第一次恢复原长的过程中，A的速度随时间均匀增加 【答案】C 【解析】A．A、B弹簧组成的系统中，弹簧左端受墙的水平弹力（外力），系统合外力不为零，因此整个运动过程动量不守恒，故A错误； B．B与A碰撞时间极短，弹簧形变可忽略，弹力冲量为0，A、B系统动量守恒、机械能守恒，因A、B质量相等，碰撞后交换速度，A的速度变为v向左，B的速度变为0，静止在水平面； 第一次压缩到最短：A以速度v向左压缩弹簧，直到速度为0，动能全部转化为弹性势能，弹簧弹力推动A向右加速，恢复原长时A的速度为v向右，A向右与静止的B碰撞，再次交换速度：A静止，B以速度v向右运动，远离A，弹簧不会被第二次压缩，故B错误； C．碰撞过程中，B的初动量为mv，末动量为0，因此B的动量变化量ΔpB＝0﹣mv＝﹣mv 弹簧第一次压缩过程中，A仅受弹簧的弹力作用，A的初动量为mv，末动量为0，因此弹簧对A的冲量I弹＝0﹣mv＝﹣mv 因此ΔpB＝I弹，即B动量的变化量等于弹簧对A的冲量，故C正确； D．弹簧第一次恢复原长的过程中，弹簧的弹力F＝kx随弹簧恢复原长，x减小，弹力F减小。根据牛顿第二定律，A的加速度因此加速度随形变量减小而减小，A做加速度减小的加速运动，速度随时间非均匀增加，故D错误。故选C。 6．（2026·北京丰台·一模）两小车M、N在光滑水平面上正碰，其速度随时间变化的 v-t 图像如图所示，碰撞时间极短。下列说法正确的是（　　） A．碰撞过程中小车M受到的冲量较大 B．碰撞后小车M的动量小于小车N的动量 C．碰撞后小车M与小车N的动能可能相同 D．小车M的质量大于小车N的质量 【答案】B 【解析】A．碰撞过程中，M、N的相互作用力是一对作用力与反作用力，大小相等、作用时间相同，根据冲量定义，两小车受到的冲量大小相等、方向相反，A错误； D．设碰撞前小车 M 的速度为，小车 N 的速度为 ；碰撞后 M 的速度为，N 的速度为 根据动量守恒定律 整理得 从图像上直观观察，碰撞前后速度变化量满足 可得​， D 错误； B．碰撞后动量，​ 由图可知，，根据前一选项的解析 可得，B正确； C．动能，又， 所以小车M的动能小于小车N的动能，C错误。故选B 。 7．（2025·人大附中朝阳学校）（多选）某同学设计了一种验证动量守恒定律的实验方案。如图所示，用两根不可伸长的等长轻绳将两个半径相同、质量不等的匀质小球悬挂于等高的O点和点，两点间距等于小球的直径。将小球1向左拉起至A点由静止释放，在最低点B与静止于C点的小球2发生正碰。碰后小球1向左反弹至最高点，小球2向右摆动至最高点D。测得小球1，2的质量分别为m和M，弦长、、，则下列说法正确的是（　　） A．球1与球2碰撞前的速度为 B．碰后球1向左摆动过程中重力的瞬时功率不断减小 C．小球1的质量m小于小球2的质量M D．若满足，则说明碰撞为弹性碰撞 【答案】CD 【解析】A．如图所示，设绳长为l，小球1与小球2碰撞前的速度为，根据几何关系可知，小球1从A点运动到B点，下降的高度为 根据几何关系及三角函数可知 解得 根据机械能守恒定律可得 解得，故A错误； B．小球1向左摆动过程中，竖直方向的速度先增大后减小，根据可知，重力的瞬时功率先增大，后减小，故B错误； C．由于碰撞后，小球1反向运动，根据动量守恒定律可知，小球1的质量m小于小球2的质量M，故C正确； D．设碰撞后小球1、2的速度分别为、，结合上述分析可知，， 根据动量守恒定律可得 整理可得 碰前系统具有的能量 碰撞后系统具有的能量 若，则上式整理可得 则碰撞后能量守恒，因此若满足，则碰撞为弹性碰撞，故D正确。 故选CD。 8．滑板运动是由冲浪运动演变而成的一种极限运动项目。如图所示，一同学在水平地面上进行滑板练习，该同学站在滑板A前端与滑板以3m/s的共同速度做匀速直线运动，在滑板A正前方有一静止的滑板B。在滑板A接近滑板B时，该同学迅速从滑板A跳上滑板B，接着又从滑板B跳回滑板A，两滑板恰好不相撞。该同学的质量为24kg，两滑板的质量均为3kg，不计滑板与地面间的摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统动量守恒 B．该同学跳离滑板B的过程中，滑板B的速度减小 C．该同学跳回滑板A后，他和滑板A的共同速度为 D．该同学全过程对滑板B的水平方向冲量大小为 【答案】D 【解析】A．上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统，在水平方向上所受合外力为0，则水平方向动量守恒，在竖直方向上所受合外力不为0，则竖直方向动量不守恒，所以该同学与滑板A和滑板B组成的系统动量不守恒，故A错误； B．该同学跳离滑板B的过程中，他对滑板B的作用力向右，滑板B向右加速，速度增大，故B错误； C．从滑板B跳回滑板A，两滑板恰好不相撞，三者共速，设速度为v，由水平方向动量守恒可得 其中，，，解得，故C错误； D．根据动量定理可知，该同学全过程对滑板B的水平方向冲量大小为，故D正确。故选D。 9．（2026·北京理工附中）（多选）如图所示，甲、乙两人静止在水平冰面上，甲推乙后，两人均向相反方向沿直线做减速运动直至停止。已知甲的质量小于乙的质量，两人与冰面间的动摩擦因数相同，两人之间的相互作用力远大于地面的摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．甲推乙的过程中，甲和乙的机械能守恒 B．乙停止运动前任意时刻，甲的速度总是大于乙的速度 C．整个减速过程，甲克服地面摩擦力做的功大于乙克服地面摩擦力做的功 D．整个减速过程，地面摩擦力对甲冲量的大小大于对乙冲量的大小 【答案】BC 【解析】A．甲、乙两人静止在水平冰面上，重力势能一定，开始动能为0，甲推乙后，两者动能增大，即甲推乙的过程中，甲和乙的机械能增大，A错误； B．甲推乙过程，由于两人之间的相互作用力远大于地面的摩擦力，则有 由于甲的质量小于乙的质量，则有 两人与冰面间的动摩擦因数相同，即减速过程的加速度大小相等，可知乙停止运动前任意时刻，甲的速度总是大于乙的速度，B正确； C．减速过程中，根据 根据上述，两人互推过程，动量大小相等，甲的速度大于乙的速度，则甲克服地面摩擦力做的功大于乙克服地面摩擦力做的功，C正确； D．根据 根据上述，两人互推过程，动量大小相等，则减速过程中，地面摩擦力对甲的冲量大小等于对乙的冲量，D错误。故选BC。 10．（2026·北京潞河中学）一枚在空中飞行的火箭质量为，在某时刻的速度大小为，方向水平向右，燃料即将耗尽。此时火箭突然炸裂成两块，如图所示，其中质量为的一块沿着与相反的方向飞去，速度大小为，假设炸裂过程中释放能量仅有一半转化为系统的机械能。求： (1)质量为的火箭的动量改变量； (2)另外一块火箭的速度。 (3)炸裂过程中释放的能量。 【答案】(1)，方向向左 (2)，方向向右 (3) 【解析】（1）以向右为正方向，则质量为的火箭的动量改变量为 可知质量为的火箭的动量改变量大小为，方向向左。 （2）以向右为正方向，根据动量守恒可得 解得另外一块火箭的速度为 方向向右。 （3）系统增加的机械能 炸裂过程中释放的能量 解得 ⏳题型02 碰撞问题 11．（2026·北京丰台）质量为m1和m2的A、B两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x随时间t变化的图像如图所示。由图像可知（ ） A．A的质量大于B的质量 B．碰撞后B的动能大于A的动能 C．碰撞后A的动量大于B的动量 D．碰撞为弹性碰撞 【答案】B 【解析】A．由图像的斜率表示速度，可知碰撞前的速度为0，的速度为 碰撞后的速度为 碰撞后的速度为 根据动量守恒可得 解得，故A错误； B．结合碰撞后A的速率为2m/s、B的速率为1m/s，且，根据，代入数据可知碰撞后B的动能大于A的动能，故B正确； C．根据，可知碰撞后的动量大小大于的动量大小，故C错误； D．碰撞过程中系统动能损失为，故D错误。故选B。 12．（2026·北京昌平）如图所示，左端固定一轻弹簧的物块Q静止在光滑水平地面上，物块P以速度向右运动并撞上弹簧，下列说法正确的是（ ） A．弹簧被压缩至最短时，P、Q的动量一定相等 B．弹簧被压缩至最短时，Q的动量达到最大值 C．P与弹簧分离后仍向右运动时，P的质量一定大于Q的质量 D．P与弹簧分离后向左运动时，P的动量可能大于Q的动量 【答案】C 【解析】AB．弹簧被压缩至最短时，两物体共速，由于不知道两物体的质量关系，无法比较动量大小，因此时弹簧对Q有向右的弹力，则Q仍要加速，此时Q的动量不是最大，AB错误； CD．弹性碰撞下有动量守恒，能量守恒，解得，若P与弹簧分离后仍向右运动时，与同向，则；反之P与弹簧分离后向左运动时，与反向，，C正确，D错误。故选C。 13．（2026·北京人大附中）（多选）如图所示，大小相同的小摆球和的质量分别为和，摆长相同，并排竖直悬挂，平衡时两球刚好接触，现将摆球向左拉开一小角度后释放，若两球的碰撞是弹性的，下列说法正确的有（　　） A．第一次碰撞后的瞬间，两球的动量方向相同 B．第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等 C．第一次碰撞后，两球的最大摆角相同 D．发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置 【答案】CD 【解析】AB．两球在碰撞前后，水平方向不受外力，故水平方向两球组成的系统动量守恒，选取向右的方向为正方向，由动量守恒定律则有mv0=mv1+3mv2 两球碰撞是弹性碰撞，机械能守恒则有 解得， 可见第一次碰撞后的瞬间，两球的速度大小相等，方向相反，而两球质量不相等，因此两球碰后的动量大小不相等，方向相反，故AB错误； C．两球碰后上摆过程，机械能守恒，故上升的最大高度相等，另摆长相等，故两球碰后的最大摆角相同，故C正确； D．由单摆的周期公式可知，两球摆动周期相同，经半个周期后，两球在平衡位置处发生第二次碰撞，故D正确。故选CD。 14．（2026·北京清华附中）（多选）如图1所示，光滑水平面左侧有一竖直墙壁，质量为m的甲球以速度与静止的质量为M的乙球发生对心碰撞，，m与M、m与墙壁之间的碰撞没有能量损失。某同学在研究该过程时发现若设定出两个新的物理量x、y，其中x与甲球的运动状态有关。y与乙球的运动状态有关，则在上述过程中两个新物理量x和y始终满足，其中r为定值，该函数的图像如图2所示。图像中的点表示两个小球组成的系统可能的状态，A、B、C三点为系统在上述过程中连续经历的三个状态。根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．从状态A到状态C过程系统动量不守恒 B．从状态B到状态C过程两个小球发生弹性碰撞 C．直线AB的斜率一定为 D．图像中圆的半径可能为 【答案】ACD 【解析】AB．质量为m的小球以速度与静止的质量为M的小球发生对心碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得， 可得， 可知碰撞后小球的速度反向；由图2可知，状态A时小球的速度为0，状态B时小球的速度方向与状态A时的速度方向相反，则从状态A到状态B过程两个小球发生弹性碰撞，系统满足动量守恒。由图2可知，从状态B到状态C，小球的速度等大反向，所以从状态B到状态C过程是小球与墙壁发生弹性碰撞。所以从状态A到状态C过程系统动量不守恒，因为与墙壁作用，整个过程系统合力不为零，故A正确B错误； C．从状态A到状态B过程两个小球发生弹性碰撞，根据题意可知图中直线AB的斜率为，故C正确； D．令，， 则有 可得 由于m与M或墙壁之间的碰撞没有能量损失，根据能量守恒可得 联立可得，故D正确。故选ACD。 15．（2026·北京通州）如图所示，质量为的小球A系在长的细线一端，线的另一端固定在点。质量为的小球B置于光滑水平地面上，且位于点的正下方。现将小球A拉至水平位置（细线伸直）由静止释放，运动至最低点时与B球发生正碰（碰撞时间极短）。碰后小球A反弹，上摆至距水平面高处时速度减为零。两球均可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度。求： (1)小球A在与小球B碰撞前瞬间，细线对小球拉力的大小； (2)请判定此碰撞是否为弹性碰撞，并说明理由； (3)碰撞过程中，小球B对小球A的冲量。 【答案】(1) (2)见解析 (3)，方向向左 【解析】（1）小球A从静止释放到与小球B碰撞前瞬间，根据动能定理可得 解得 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）设碰撞后小球反弹的速度大小为，则有 解得 设碰后小球B的速度大小为，取水平向右为正方向，根据动量守恒有 解得 碰撞前小球A的动能为 碰撞后小球A、B的总动能为 由于，可知此碰撞为弹性碰撞。 （3）以向右为正方向，对A由动量定理得 解得 可知碰撞过程中，小球B对小球A的冲量大小为，方向向左。 16．（2025·北京清华附中）在光滑水平地面上有两个体积相同的弹性小球A、B，A的质量为1kg，B的质量为3kg。现B球静止，A球以初速度向B球运动，发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，求： (1)碰撞分离后A、B的速度，。 (2)A球在碰撞前后的动量的变化量 【答案】(1)A的速度大小，与初速度方向相反；B的速度大小，与初速度方向相同 (2)，方向与初速度方向相反 【解析】（1）两球碰撞前后，根据动量守恒定律 根据机械能守恒定律 联立解得， 即碰撞分离后A的速度大小，与初速度方向相反；B的速度大小，与初速度方向相同。 （2）A球在碰撞前后的动量的变化量 即A球在碰撞前后的动量的变化量大小为，方向与初速度方向相反。 17．（2026·北京大兴）如图所示，小球a系在细绳上，物块b静置于悬挂点O的正下方，将细绳拉开偏离竖直方向后由静止释放小球a，两物体发生正碰，碰撞时间极短，已知绳长，小球a质量为，物块b质量为，取重力加速度大小，两物体都可看成质点，不计物块b与水平地面间的摩擦，，。 (1)求小球a与物块b碰前瞬间的速度大小v； (2)若碰后小球a反弹的速度为，求碰后瞬间物块b的速度大小vb； (3)分析说明a与b的碰撞是否为弹性碰撞。（写出必要的计算过程） 【答案】(1) (2) (3)碰撞前总动能： 碰撞后总动能： 因为，所以碰撞有机械能损失，所以不是弹性碰撞。 【解析】（1）小球下摆过程只有重力做功，机械能守恒有 解得 （2）取a碰撞前速度方向为正方向，则a反弹后的速度 碰撞时间极短，系统水平方向动量守恒 解得： （3）碰撞前总动能： 碰撞后总动能： 因为，所以碰撞有机械能损失，所以不是弹性碰撞。 重难·创新演练 设题创新：结合教材知识运用(T1、T2);结合航天科技(T3、T6)；结合生活实际（T4、T5） 1．▶新角度◀（2026·北京十一学校）（多选）物块A、B间夹有一被压缩的轻质弹簧，组成物块一弹簧系统，并用细线连接固定，已知A的质量是B的两倍。第一种情况：将该系统静置于光滑水平面上，如图甲所示；第二种情况：将该系统静置于光滑水平面上，并使物体A一侧紧贴墙面，如图乙所示。考虑分别在以上两种情况下，烧断细线后至弹簧恢复原长的过程中（　　） A．物块弹簧系统均满足动量守恒 B．物块弹簧系统均满足机械能守恒 C．第一种情况下弹簧对物块B的做功与第二种情况下弹簧对物块B的做功之比为1：1 D．第一种情况下弹簧对物块B的冲量与第二种情况下弹簧对物块B的冲量之比为： 【答案】BD 【解析】AB．甲图（A、B 都在光滑水平面），烧断细线后至弹簧恢复原长的过程中，系统在水平方向不受外力，满足动量守恒，且系统内只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒；乙图（A 紧贴墙面），烧断细线后至弹簧恢复原长的过程中，墙对 A 有弹力，系统合外力不为零，不满足动量守恒，但系统内只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒，故A错误，B正确； C．设B的质量为m，规定向右为正方向，初始时弹簧弹性势能为，第一种情况下，设烧断细线后至弹簧恢复原长时AB速度分别为，根据动量守恒、机械能守恒分别有 根据动能定理，可知弹簧对 B 做功 联立解得 第二种情况下，弹簧弹性势能全部转化为B的动能，即弹簧对 B 做功 综合以上可知，故B错误； D．由C选项可知 根据动量定理，可知第一种情况下弹簧对物块B的冲量与第二种情况下弹簧对物块B的冲量之比，故D正确。故选BD。 2．▶新角度◀（2026·北京朝阳）质量分别为、的甲、乙两小车沿直线碰撞，碰撞前后的速度随时间的变化如图所示，碰撞时间极短。根据题中信息并结合所学的物理知识可以推断（　　） A． B．碰撞前后甲的运动方向相反 C．碰撞前后甲的动能减少量等于乙的动能增加量 D．内甲的动能减少量一定大于乙的动能增加量 【答案】D 【解析】A．碰撞时间极短，则甲和乙两车构成的系统动量守恒，即 变形可知 由图像可知速度的变化量 则有，故A错误； B．由图像可知碰撞前后甲的速度均为正值，说明甲的运动方向始终为正方向不变，故B错误； C．由图像可知，碰撞前后的图像关于时刻不对称，则碰撞为非弹性碰撞，根据能量守恒定律可知：甲的动能减少量等于乙的动能增加量+系统损失的机械能，则碰撞前后甲的动能减少量大于乙的动能增加量，故C错误； D．是碰撞的压缩阶段，系统要储存弹性势能，则内甲的动能减少量一定大于乙的动能增加量，故D正确。故选D。 3．▶新思维◀（2026·北京丰台）动量守恒定律是自然界最普适的定律之一，其研究对象从宏观物体到微观粒子再到宇观天体。 (1)在光滑的冰面上，甲同学静止，乙同学以2.5 m/s的速度向甲滑来。两人接触后，乙用力推甲，乙的速度变为0.5 m/s，方向与原来相反。已知甲的质量为75 kg，乙的质量为50 kg，求甲被推后的速度大小和方向。 (2)用初速度相同的中子分别与静止的氢核和静止的氮核发生正碰。已知中子质量mn与氢核质量mH相等，氮核质量与氢核质量的关系是mN=14mH，将中子与氢核、氮核的碰撞视为完全弹性碰撞。求碰撞后氮核与氢核的速率之比。 (3)天文观测发现，在宇宙中有一颗质量为m的小星体A，围绕某质量为M、半径为R的大星体做半径为2R的匀速圆周运动，从远处飞来一速度、质量为3m的星体B与星体A迎面发生剧烈正碰后形成一个新的星体C。假定碰撞前后星体位置未发生变化，碰撞后星体C将沿椭圆轨道继续运动。已知质量为m1的星体绕质量为m2的星体做椭圆运动时所具有的机械能E与椭圆半长轴a的关系为，两星体间的引力势能，r为两星体间距离，G为引力常量。请通过计算判断星体C是否会与大星体发生碰撞。 【答案】(1)甲的速度大小为，方向与乙原来的运动方向相同 (2) (3)碰撞前A做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得 规定A速度方向为正，B迎面运动，则​​ 碰撞动量守恒 解得，即运动方向与A运动方向相反。​​ 碰撞后C总机械能（动能+引力势能） 由题给椭圆机械能公式，代入得 解得​ 椭圆中，远地点、近地点到大星体（焦点）的距离之和为，碰撞点距离大星体中心，为远地点。 则近地点距离 即近地点在大星体内部，因此会发生碰撞。 【解析】（1）冰面光滑，甲、乙组成的系统动量守恒，规定乙初始运动方向为正方向，由动量守恒定律 代入数据得 解得 正号说明运动方向与乙初始运动方向相同。 （2）设中子初速度为​，靶核质量为，由动量守恒可得 由机械能守恒可得 联立解得靶核碰撞后速率 对氢核，得 对氮核，得 速率比 （3）见答案。 4．▶新情境◀（2026·北京人大附中）在某天写作业的时候，小明同学发现自动笔在桌面上的弹跳很有趣，于是将某种型号的自动笔建立理想化模型如图1甲所示，笔由弹簧、内芯和外壳三部分构成，且弹簧质量可以忽略。把笔竖直倒立于水平硬桌面上，此时弹有一定压缩量（未知），下压外壳使其下端接触桌面，此时弹簧压缩量为h0；由静止释放后，外壳竖直上升，当速度达到某一值时，弹簧恢复原长，此时外壳恰好与静止的内芯接触并碰撞（如图1乙），然后一起以共同速度继续上升（如图1丙）。且全过程不计空气阻力， 对于以上过程，小明认为可以理想化为三个阶段：第①阶段，外壳竖直上升，不过不是一直加速上升、更不是匀加速上升，但笔与地球系统仍然遵守机械能守恒定律；第②阶段，碰撞，外壳与内芯立即具有共同速度大小；由于碰撞时间极短、可忽略重力的影响；第③阶段，内芯与外壳一起竖直上抛。为计算方便，设外壳质量为2m、内芯质量为m，设弹簧的劲度系数等于。已知当劲度系数为k的弹簧的拉伸或者压缩量为x时，弹簧的弹性势能为，已知重力加速度为g，弹簧没有超出弹性限度： 请你帮他解决以下问题（求解结果可以保留根号或者分数形式，不出现k）： (1)求解弹簧恢复原长时外壳的速度。 (2)求解外壳与内芯的碰撞过程中二者总动能的损失。 (3)求解外壳离地的最大高度并在图2中定性画出外壳的动能随上升高度的变化图像。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）从释放到弹簧恢复原长时，设外壳的速度大小为v1，外壳与弹簧系统机械能守恒，有 将代入，解得 （2）外壳与内芯碰撞共速，根据动量守恒定律有 解得 碰撞过程中的动能损失为 （3）共速后外壳和内芯一起竖直上抛，有 解得 外壳离地的最大高度，外壳动能随上升高度的变化图像如图 5．▶新考法◀（2026·北京海淀教师进修学校）某兴趣小组用轨道半径为R的离心轨道演示仪做了下面实验，将铝球放在轨道最低点，大小相同的铁球在距轨道最低点竖直高度为4R处静止释放，在最低点与铝球发生正碰，并用手机录下了实验的全过程，然后用视频软件分析视频。如图甲是铝球恰好与轨道分离的一帧照片，如图乙是铁球在轨道上到达最高点的一帧照片，发现铁球的球心恰好与轨道圆心等高。两球的大小和摩擦均不计，重力加速度为g。求： (1)碰后瞬间铁球的速度大小； (2)若已知碰后瞬间铝球的速度，铁球与铝球的质量之比； (3)在（2）问的条件下铝球恰好与轨道分离时铝球球心和轨道圆心的连线与水平方向间的夹角为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设铝球质量、铁球质量，如图乙是铁球在轨道上到达最高点的一帧照片，发现铁球的球心恰好与轨道圆心等高。根据能量守恒可知 解得碰后瞬间铁球的速度 （2）铁球碰前 根据动量守恒 则 （3）在铝球恰好与轨道分离时位置，设铝球球心和轨道圆心的连线与水平方向间的夹角为，有 从最低点碰后到恰好分离，有 联立解得 所以 6．▶新考法◀（2025·北京第十一中学）万有引力定律对人类智慧影响至为深远，在天体运动中起着决定性作用。如图甲所示，将一个质点置于质量均匀分布的球形天体内，质点离球心O的距离为r。已知天体内部半径在r~R范围内的球壳部分（图甲中灰色部分所示）对该质点的万有引力为零。设想在地球内距球心h处沿一条弦挖了一条光滑绝热通道AB，如图乙所示。忽略通道AB的内径大小、空气的阻力和地球自转的影响。已知万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g0，地球视为球形且半径为R0。质量为m的质点受到F＝-kx的回复力作用，其振动周期为。 (1)从A点由静止释放一个质量为m的物体。 a.证明物体在通道中做简谐运动； b.该物体运动到通道中心O'点处的速度大小v。 (2)某同学提出，可以利用此通道发射人造地球卫星：从A、B两处同时由静止释放质量分别为m和M的物体（可视为质点），且满足m<<M，两物体在通道中发生弹性碰撞后，质量为m的物体回到A处，从A处的切点飞出（在A处有一沿地球切线的未画出的引导轨道）。试从理论上分析质量为m的物体能否成为人造地球卫星。若可以，计算h应满足的条件，若不可以，说明理由。 【答案】(1)a.证明见解析；b. (2)可以， 【解析】（1）a.质点在距离球心r处所受到的引力为 设向右为正方向，故引力在AB通道方向分力为 该力与成正比，故物体做简谐运动。 b.由引力表达式知 在地表万有引力近似等于重力知 则 从A到点，由动能定理可得 联立解得 （2）由第（1）问知，到达点的速度与质量无关，碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反．刚碰撞后，质量为M的物体的速度为，质量为m的物体的速度为，若规定速度方向由A向B为正，则有， 解得 返回过程中，由动能定理得 解得 由题意有 解得 真题·实战演练 高频考点：动量守恒定律的应用、弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞 1．（2025·甘肃·高考）如图，小球A从距离地面处自由下落，末恰好被小球B从左侧水平击中，小球A落地时的水平位移为。两球质量相同，碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度g取，则碰撞前小球B的速度大小v为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，小球A和B碰撞过程中，水平方向上动量守恒，竖直方向上A球的竖直速度不变，设碰撞后A球水平速度为，B球水平速度为，则有 碰撞为完全弹性碰撞，则由能量守恒定律有 联立解得， 小球A在竖直方向上做匀加速直线运动，则有 解得 可知，碰撞后，小球A运动落地，则水平方向上有 解得 故选B。 2．（2025·广东·高考）如图所示，光滑水平面上，小球M、N分别在水平恒力和作用下，由静止开始沿同一直线相向运动在时刻发生正碰后各自反向运动。已知和始终大小相等，方向相反。从开始运动到碰撞后第1次速度减为0的过程中，两小球速度v随时间t变化的图像，可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据牛顿第二定律两物体受外力F大小相等，由图像的斜率等于加速度可知M、N的加速度大小之比为4:6=2:3，可知M、N的质量之比为6:4=3:2；设分别为3m和2m；由图像可设MN碰前的速度分别为4v和6v，则因MN系统受合外力为零，向右为正方向，则系统动量守恒，则由动量守恒定律 若系统为弹性碰撞在，则能量关系可知 解得、 因M、N的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1:1，即两物体一起停止，则BD是错误的； 若不是弹性碰撞，则 可知碰后速度大小之比为 若假设v1=2v，则v2=3v，此时满足 则假设成立，因M、N的加速度大小之比仍为2：3，则停止运动的时间之比为1:1，对M来说碰撞前后的速度之比为4v:2v=2:1 可知碰撞前后运动时间之比为2:1，可知A正确，C错误。 故选A。 3．（2025·贵州·高考）甲、乙两运动员在光滑水平冰面上进行滑冰训练。以速度运动的甲推一下静止在其正前方的乙，刚分开时，甲、乙的运动方向与的方向相同，且甲的速度为，则刚分开时，甲、乙的动量大小之比为（　　） A．3：1 B．2：1 C．1：2 D．1：3 【答案】C 【解析】根据，设甲的初始动量为，则刚分开时，甲的末动量为，甲的动量变化量大小为 根据动量守恒定律，甲、乙系统总动量守恒，乙与甲动量变化大小相等，乙的初动量为零，则刚分开时，乙的动量大小为，所以甲、乙的动量大小之比为1：2。故选C。 4．（2025·河南·高考）两小车P、Q的质量分别为和，将它们分别与小车N沿直线做碰撞实验，碰撞前后的速度v随时间t的变化分别如图1和图2所示。小车N的质量为，碰撞时间极短，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】PN碰撞时，根据碰撞前后动量守恒有 即 根据图像可知，故； 同理，QN碰撞时，根据碰撞前后动量守恒有 即 根据图像可知，故； 故 故选D。 5．（2026·贵州·高考）如图，完全相同的均质小球A、B被不可伸长的细线悬挂，静止在同一竖直平面内，相互接触无挤压，悬挂点到球心的距离分别为和，A被拉至与竖直方向成的位置并由静止释放，随后与B发生弹性正碰。忽略空气阻力，B的球心上升的最大高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设A、B小球的质量均为，忽略空气阻力，则A从静止释放至与B发生碰撞前瞬间，由动能定理可得 A球与B球碰撞过程中，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 可得 由于 所以从碰撞后至下次碰撞前，B做圆周运动，设B的球心上升的最大高度为h，则对B从碰后至上升到最大高度的过程，由动能定理可得 解得 故选A。 6．（2025·天津·高考）如图所示，半径为R = 0.45m的四分之一圆轨道AB竖直固定放置，与水平桌面在B点平滑连接。质量为m = 0.12kg的玩具小车从A点由静止释放，运动到桌面上C点时与质量为M = 0.18kg的静置物块发生碰撞并粘在一起，形成的组合体匀减速滑行x = 0.20m至D点停止。A点至C点光滑，小车和物块碰撞时间极短，小车、物块及组合体均视为质点，g取10m/s2，不计空气阻力。求： (1)小车运动至圆轨道B点时所受支持力FN的大小； (2)小车与物块碰撞后瞬间组合体速度v的大小； (3)组合体与水平桌面CD间的动摩擦因数μ的值。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设小车运动至圆轨道B点时的速度大小为，由机械能守恒定律，有 由牛顿第二定律，有 代入数据，联立解得 （2）小车与物块在C点碰撞，在水平方向由动量守恒，有 代入数据，联立解得 （3）组合体水平方向受动摩擦力作用，从C点匀减速运动至D点静止，由动能定理，有 代入数据，联立解得 7．（2026·黑吉辽蒙·高考）如图，光滑水平面上一质量的木板，其右端通过轻弹簧连接质量的物块，此时弹簧伸长量，物块和木板均静止。质量的小球（可视为质点）通过长的轻绳悬于点。小球从绳与竖直方向成处由静止释放，摆至最低点时与木板右端发生弹性碰撞，时间极短。取重力加速度。 (1)求碰撞后瞬间木板的速度大小。 (2)弹簧的压缩量第一次为时，物块速度大小为，方向向左。求木板与物块间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）C下摆过程，由机械能守恒定律有 解得 C与A碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有， 联立解得碰撞后瞬间木板的速度大小 （2）A、C碰后，当弹簧的压缩量第一次为时，以向左为正方向，由动量守恒定律有 解得 由题意可知弹簧的弹性势能不变，由能量守恒定律有 解得 8．（2026·浙江·选考）如图所示。一宽度为d的光滑长方形平板MNQP，长边MN、PQ分别平滑连接半径均为r的光滑圆弧面，形成“U”形槽，将其整体固定在水平地面上。现有质量为m的物块a，从圆弧面上相对平板竖直高度为h的A点静止下滑(h<< r)，途经圆弧面上最低点B，平板上有一质量为的物块b与MN成45°角从O点滑入圆弧面，第一次到达最高点时恰好与同时到达最高点的物块a发生弹性碰撞。两物块均为质点。 (1)求物块a第一次经过B点时速度大小v0和所受支持力大小FN； (2)从A到B的过程：物块a相对于B点位移为x，求其所受回复力F与x的关系式； (3)求物块b的初速度大小vb以及碰撞后瞬间物块a的速度大小va； (4)若h=0.032m，r=10m，d=0.4m，要使物块a从NQ之间滑离，求BQ间距L的范围。 【答案】(1)，，方向竖直向上 (2) (3)， (4)见解析 【解析】（1）对a物块下滑过程中根据动能定理有 可得； 在B点根据牛顿第二定律有 可得，方向竖直向上； （2）如图 由于h<<r，滑块a所受回复力F，则 可知滑块受到的回复力F与x成正比，方向与x相反，因此滑块a从释放到第一次到达最低点的运动是简谐运动。 （3）滑块b在圆弧形斜面上垂直槽轴线方向的运动性质与a相同，平行槽轴线方向做匀速度直线运动。设滑块b的速度沿槽轴线和垂直槽轴线分速度为vbx、vby，如图 当vbx=0时，滑块b第一次滑到最高点，由题意可知滑块b到达的最高点高度与滑块a的开始下滑的高度相等。此时速度为vby，经历的时间t1为； 又因与滑块a最高点相同，由题意可知 即 因为滑块a、b在最高点发生碰撞，设碰后滑块b的速度为v'by。由动量守恒和机械能守恒有， 联立解得， （4）碰后滑块a在平行于槽轴线方向的速度始终为va，从MN边界射出的最基本的几种临界情况如图1、2、3、4所示。考虑周期性，则L有多种情况 由题给数据可得，， 滑块a每一次在圆弧型斜面上滑或下滑的时间为 滑块a每一次滑过水平面的时间为 又由于滑块a从任一点出发回到该点同高度位置时的时间相等，设时间为T，则T=4t1+2t2=(2π+1) s 滑块a由碰后到从MN之间飞出的时间t满足，L=0.4t 所以由图1、2可知或，…… 由图3、4可知即或者，…… 综上分析可知t应满足 则滑块a能从MN之间飞出时L的范围为，（n=0，1，2，3，4……） 9．（2025·浙江·高考）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，,。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块 (1)滑到B点处的速度大小； (2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功； (3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度； (4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。 【答案】(1)4m/s (2)0.9J (3)0.2m (4)3N 【解析】（1）滑块从P点到B点由动能定理 解得到达B点的速度 （2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功 （3）物块在传送带上加速运动的加速度为 加速到共速时用时间 在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度 （4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知， 联立解得 （另一组，因不合实际舍掉） 对滑块在最高点时由牛顿第二定律 解得F=3N 10．（2025·四川·高考）如图所示，倾角为的斜面固定于水平地面，斜面上固定有半径为R的半圆挡板和长为的直挡板。a为直挡板下端点，bd为半圆挡板直径且沿水平方向，c为半圆挡板最高点，两挡板相切于b点，de与ab平行且等长。小球乙被锁定在c点。小球甲从a点以一定初速度出发，沿挡板运动到c点与小球乙发生完全弹性碰撞，碰撞前瞬间解除对小球乙的锁定，小球乙在此后的运动过程中无其他碰撞。小球甲质量为，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度大小为g。 (1)求小球甲从a点沿直线运动到b点过程中的加速度大小； (2)若小球甲恰能到达c点，且碰撞后小球乙能运动到e点，求小球乙与小球甲的质量比值应满足的条件； (3)在满足（2）中质量比值的条件下，若碰撞后小球乙能穿过线段de，求小球甲初动能应满足的条件。 【答案】(1) (2)或 (3) 【解析】（1）小球甲从a点沿直线运动到b点过程中,根据牛顿第二定律有 解得甲在ab段运动的加速度大小 （2）甲恰能到c点，设到达c点时的速度为，可知 解得① 根据题意甲乙发生完全弹性碰撞，碰撞前后根据动量守恒和能量守恒， 解得碰后乙的速度为② 碰后乙能运动至点，第一种情况，碰后乙顺着挡板做圆周运动后沿着斜面到达e点，此时需满足 即③ 联立①②③可得 第二种情况，碰后乙做类平抛运动到达e点，此时可知， 解得④ 联立①②④可得 （3）在（2）问的质量比条件下，若碰后乙能越过线段，根据前面分析可知当满足第一种情况时，碰后乙做圆周运动显然不满足能越过线段，故碰后乙做类平抛运动越过线段，故碰后乙的速度必然满足 同时根据类平抛运动规律可知， 同时需保证小球不能撞击到圆弧cd上，可得当， 联立解得⑤ 联立②⑤将代入可得⑥ 对甲球从a到c过程中根据动能定理⑦ 联立⑥⑦可得 11．（2026·广东·高考）如图是一种球形机器人跳跃原理的示意图，水平横轴过球心点与外壳固定，外壳上的两挡板位于过点的水平线上，两质量均为的摆锤，由长均为的不可伸长轻绳悬挂于轴上的点，初始时刻，两摆锤同时以水平初速度从最低点向相反方向摆动，直至与两挡板发生碰撞，碰撞时间极短，随后带动外壳以共同速度竖直向上运动，机器人到达最高点后落回地面瞬间，外壳立即静止，两摆锤速度不变，与挡板分离，继续向下运动，已知机器人（含摆锤）总质量为，，，。重力加速度取，忽略空气阻力，摆锤可视为质点，求： (1)摆锤与挡板碰撞后瞬间，机器人的动能； (2)机器人外壳上升的最大高度 ； (3)从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）两摆锤以初速度沿外壳向上运动，与挡板相碰前，摆锤机械能守恒。设摆锤与挡板相碰前的速度为v，根据机械能守恒定律有 解得 摆锤与挡板相碰后与机器人一起运动，根据动量守恒定律有 解得 机器人起跳时的动能 （2）根据速度位移关系 可得机器人外壳上升的最大高度 （3）机器人外壳落到地面时，机器人外壳的速度立即变为0，根据竖直上抛运动的对称性可知摆锤速度大小为，从摆锤开始运动到第一次外壳落地静止过程中的机械能损失 解得 12．（2025·课标卷·高考）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【解析】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 13．（2025·浙江·高考）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、半径为R的竖直螺旋轨道、水平轨道BC和、倾角为的倾斜直轨道EF平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF段轨道粗糙外，其余各段均光滑，F点与水平高台GHI等高。游戏开始，一质量为m的滑块1从轨道AB上的高度h处静止滑下，与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3落在GH段，反弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H点右侧，立即停止运动。已知，EF段长度，FG间距，GH间距，HI间距，EF段。滑块1、2、3均可视为质点，不计空气阻力，，。 (1)若，求碰撞后瞬间滑块3的速度大小； (2)若滑块3恰好能通过圆轨道，求高度h； (3)若滑块3最终落入I点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。 【答案】(1) (2)2m (3)2.5m或2m 【解析】（1）对滑块1由动能定理 解得滑块1与滑块2碰前的速度大小为 滑块1与滑块2碰撞过程中，由动量守恒定律 解得碰撞后瞬间滑块3的速度大小为 （2）在轨道D点，由牛顿第二定律 解得 滑块3从D点到C＇点，由机械能守恒定律 解得 结合， 联立解得 （3）滑块3从C＇点到F点的过程中，由动能定理 若滑块3直接落入洞中，则竖直方向 水平方向 结合， 联立解得 若经一次反弹落入洞中，则 水平方向 结合， 联立解得 由计算结果，可知滑块在斜轨道上高度为处开始下滑，是滑块能通过圆轨道最高点的最小高度，因此是滑块开始下滑到在GH经一次反弹落入洞中。因此小问3的答案是或。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $