2.3.1 乘方 第2课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数的混合运算，涵盖运算顺序、法则及应用。通过“小猴子吃蛋糕”情境导入，结合知识回顾表格对比\(a^n\)、\(-a^n\)与\((-a)^n\)的异同，构建新旧知识支架，为混合运算学习奠定基础。 其亮点在于分层设计，例题规范运算步骤培养运算能力，规律探究题（如三行数规律）发展推理意识，实际问题（金属丝伸长）体现应用意识。包含检测、拓展及真题，帮助学生巩固提升，教师可直接用于教学提高效率。

有理数的乘方 2.3.1　乘方 第 3 节 第2章 第2课时 有理数的混合运算 有理数的运算 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 利用有理数的乘方进行运算及有理数的混合运算.能利用运算律的情况下灵活运用运算律,体会简便运算和提高计算能力. 经历动手操作和自主探究的过程,进一步积累对乘方意义的理解,发展计算能力. 3 掌握有理数的混合运算顺序，能熟练地进行有理数的混合运算.应用有理数的混合运算解决规律探究和实际应用问题，体会数学的实用价值。 有理数的混合运算顺序、运算法则和运算律的应用. 重点 应用有理数的混合运算解决规律探究和实际应用问题. 难点 重 难 点 知识回顾 1. 求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方. (1)正数的任何次幂都是正数. (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. (3)零的任何正整数次幂都是零. an 底数 幂 指数 什么是乘方？如何计算乘方？ 2. 乘方运算法则： 3. an，－an 与 (－a)n 的异同点与联系： 幂 an －an (－a)n 相同点 不 同 点 意义不同 底数不同 联 系 n为奇数 n为偶数 n为正整数 指数都是 n n 个 a 相乘的积 n 个 a 相乘的积的相反数 n 个 －a 相乘的积 a a －a －an = (－a)n，它们分别与 an 互为相反数（a ≠ 0） an = (－a)n，它们分别与 －an 互为相反数（a ≠ 0） 当 a = 0 时，an = －an = (－a)n = 0 知识回顾 知识回顾 符号 计算绝对值 加法 减法 乘法 除法 乘方 同号取相同的符号 绝对值相加 异号取绝对值大的符号 绝对值相减 减去一个数等于加上这个数的相反数 同号得正 异号得负 绝对值相乘 同号得正 异号得负 绝对值相除 除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0 有理数加、减、乘、除、乘法运算法则总结 创设情境 有一块蛋糕，一只小猴子第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天又吃了剩下的一半，这样继续下去，则第五天这只小猴子吃了这块蛋糕的 (　　) A.　　 B.1－　 C.　　 D.1－ 因为小猴子第一天吃了; 第二天吃了× = = ; 第三天又吃了× = = ; …; 所以第五天这只小猴子吃了这块蛋糕的. 试一试 A 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 下面的式子含有哪几种运算?先算什么,后算什么? 30+5÷22× － 1 30 + 5 ÷ 22 × －1 有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算，按分级计算 乘方是第三级运算，首先算 乘与除是第二级运算，再次算 加与减是第一级运算，最后算 思 考 一级运算（加减运算） 二级运算（乘除运算） 三级运算（乘方运算） 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 下面的式子含有哪几种运算?先算什么,后算什么? 30+5÷22× － 1 解：原式=30+5 ÷ × －1 =30 = 30 = 思 考 规范解答 =30+5 × × －1 １．先乘方，再乘除，最后加减； ２．同级运算，从左到右进行； ３．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 例1　计算: （1）2×(－3)3－4×(－3)+ 15； （2）(－2)3+(－3)×(－42 + 2)－(－3)2÷(－2). 解：（1）原式 = 2×(－27) －4×(－3)+ 15 = －54 + 12 + 15 = －27； 乘方运算的结果 乘法运算的结果 加减运算的结果 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 例1　计算: （1）2×(－3)3－4×(－3)+ 15； （2）原式 = －8 + (－3)×(－16 + 2)－9÷(－2) （2）(－2)3+(－3)×(－42 + 2)－(－3)2÷(－2). = －8 + (－3)×(－14)－9÷(－2) = －8 + 42 + 4.5 = －38.5 先做乘方运算 有括号先做括号 再算乘除 最后算加减 例2 计算： 解：原式＝ 算式有括号先算括号里面的，再算乘方，后算乘法 方法一 按乘法的分配律简化运算 方法二 解：原式＝ 确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的就用简便方法 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 结 小 纳 归 做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行; 3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 4.如有绝对值,先算绝对值. 新知讲授 探究点1 有理数的混合运算 （1）解：原式 = 1×2+(－8)÷4 = 2 － 2 = 0 （2）原式 = (－125)－ 3× （4）(－10)4+[(－4)2－(3+32)×2]. 1. 计算： （1）(－1)10 ×2+(－2)3÷4； （2）(－5)3 －3×(－ )4； （3） ； P54练习 练一练 （3）原式 （4）原式 = 10000+[16－12×2] = 10000 － 8 = 9992 典例评析 探究点2 数字规律探究 例3:观察下面三行数: 分析： （1）观察①中各数与2存在什么关系? (1)第①行数按什么规律排列? (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和. －2，4，－8，16，－32，64，… ① 0，6，－6，18，－30，66，… ② －1，2，－4， 8，－16，32，…. ③ 观察第①行中的数， 发现各数均为２的倍数． 联系数的乘方， 从符号和绝对值两方面考虑， 可以发现排列的规律． 思 考 解：第①行中的数可以看成按如下规律排列： －2，(－2)2，(－2)3，(－2)4，… . 典例评析 探究点2 数字规律探究 例3:观察下面三行数: 分析： （2）第②行的数字与第①行相同位置的数字之间有什么关系? (1)第①行数按什么规律排列? (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和. －2，4，－8，16，－32，64，… ① 0， 6，－6， 18，－30，66，… ② －1，2，－4， 8，－16，32，…. ③ 第②行中的数是第①行中相应的数加２ 思 考 +２ 第③行中的数是第①行中相应的数的一半 （3）第③行与第①行相同位置的数字之间相比是变得还是变小？如何变化的？ × 典例评析 探究点2 数字规律探究 例3:观察下面三行数: (1)第①行数按什么规律排列? (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和. －2，4，－8，16，－32，64，… ① 0， 6，－6， 18，－30，66，… ② －1，2，－4， 8，－16，32，…. ③ 思 考 +２ × 解：（2）对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行中相应的数加 2，即 －2+2，(－2)2+2，(－2)3+2，(－2)4+2，… . 对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相应数的，即 (－2)× ，(－2)2× ，(－2)3× ，(－2)4× ，… . 典例评析 探究点2 数字规律探究 例3:观察下面三行数: (1)第①行数按什么规律排列? (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和. －2，4，－8，16，－32，64，… ① 0，6，－6，18，－30，66，… ② －1，2，－4， 8，－16，32，…. ③ 思 考 解：（3）由题意得： 第一行第10个数是： = 1024 +(1024+2)+ 1024× = 1024 +1026 + 512 = 2562 (－2)10+[(－2)10+2]+(－2)10× (－2)10 第二行第10个数是： (－2)10× (－2)10+2 第三行第10个数是： 检测反馈 1.下列各式中，计算结果等于0的是(　　) A. (－2)2－(－22) B. －22－22 C. －22＋(－2)2 D. －22－(－2)2 C 2.下列计算结果错误的是(　　) A. 24×( － )2＝ B. 5－3×(－4)2＝－43 C. ÷(－1 )＝－4 D. －(－3)2÷(　 －2)＋(－2)3＝－2 C 3.设 a 是最小的正整数， b 是最大的负整数， c 是绝对值最小的有理数， d 是倒数等于它本身的有理数，则 ad －( b ＋ c )2 024的值为 . －2或0　 4. 当温度每上升1 ℃时，一段长15 mm的某种金属丝伸长0.002 mm.若把这段金属丝从15 ℃加热到60 ℃，那么这段金属丝在60 ℃时的长度是 mm. 15.09　 检测反馈 检测反馈 5. 计算： （1）－43 ÷ ×－(1－32)×2 . （2）(－4)4 ÷3×[(－2)3 + 2] －×27 . （1）解：原式 = －64× × + 8×2 = －64 + 16 = －48 （2）原式 = 256÷3×(－6)－ ×27 = －512 －3 = －515. 检测反馈 6.计算： ÷ － . 解： (　 ＋ － ＋ )÷(　－ )－ ＝(　 ＋ － ＋ )×(　－ )－ ＝ × ＋ × － × ＋ × － ＝－ － ＋ －2－ ＝－7. 猜想: 1+2+22+23+…+263= ； 若n是正整数,那么1+2+22+…+2n= 。 检测反馈 7.观察下列各式: 1=21－1 1+2=22－1 1+2+22=23－1 264－1 2n+1－1 解：设S=1+2+22+23+…+263① ∴2S=2+22+23+24…+264② ②-①得：S= 264-1 同理可得： 1+2+22+…+2n=2n+1－1 拓展提升 1.按照如图所示的操作步骤，若输入的值为－4，则输出的值为 . 28　 2.用“※”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b ，规定 a ※ b ＝ ab ＋ b2.如1※2＝1×2＋22＝6，则(－4)※2的值为(　　) A A. －4 B. 8 C. 4 D. -8 B. 8 3.对于任意非零有理数 a ， b ，定义新运算⊕如下： a ⊕ b ＝( a －2 b )2÷(2 a － b ). (1)求(－3)⊕5的值； 解： (1)(－3)⊕5 ＝(－3－2×5)2÷[2×(－3)－5] ＝－ . 拓展提升 (2)求[2⊕(－5)]⊕3的值. 解： (2)[2⊕(－5)]⊕3 ＝{[2－2×(－5)]2÷[2×2－(－5)]}⊕3 ＝16⊕3＝(16－2×3)2÷(2×16－3) ＝ . 真题感知 1.[2024吉林期中]如图，数学活动课上，老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题，则该题的运算结果为(　　) A. －5 B. 1 C. －1 D. 5 B 2.[2024·湘潭雨湖区期末]下列说法正确的是(　　) A. －28的底数是－2 B. 25表示5个2相加 C. － 的底数是2 D. (－3)3与－33意义相同 C 3. [2024昆明阶段练习]按一定规律排列的一列数依次为： 2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，这列数中的第100个数是(　　) A. 9 999 B. 10 000 C. 10 001 D. 10 002 A 解：这列数依次为： 2＝12＋1，3＝22－1，10＝32＋1， 15＝42－1，26＝52＋1，35＝62－1，… 所以第 n 个数为 n2＋(－1) n＋1. 所以第100个数是1002－1＝9 999.. 真题感知 课堂小结 有理数混合运算解题技能总结 加法四结合 1.凑整结合法 2.同号结合法 3.两个相反数结合法 4.同分母或易通分的分数结合法 乘法四结合 1.积为整数结合 2.同号结合 3 两个倒数结合 4能约分的结合 有理数的加减乘除混合运算顺序 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 课后练习 教材P56页 3. 计算： （1）(－1)100×5 +(－2)4÷4； （2）(－3)3 － 3×(－ )4； （3） ； （4）(－10)3 +[(－4)2－(1－32)×2]； （5） ； （6）4 + (－2)3×5－(－0.28)÷4. 解：（1）原式 = 9. （2）原式 = （3）原式 = （4）原式 = –968. （5）原式 = –8. （6）原式 = –35.93. 习题 2.3 教材P57页 习题 2.3 课后练习 答：平方等于 9 的数是 3 或 –3， 立方等于–27 的数是–3． 7.平方等于9的数是几？立方等于–27的数是几？ 解：体积是 a2h，表面积是 2a2 + 4ah． 当 a = 2 cm，h = 5 cm 时， a2h = 22×5 = 20， 2a2 + 4ah = 2×22 + 4×2×5 = 8 + 40 = 48， 即它的体积是 20 cm3，表面积是 48 cm2． 8.一个长方体的长、宽都是a,高是h,它的体积和表面积怎样计算？ 当a=2 cm，h=5 cm时,它的体积和表面积是多少？ 教材P57页 习题 2.3 课后练习 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $