2.3.1 乘方 第1课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数的乘方，涵盖意义、概念、符号法则及运算。通过“折纸厚度超珠峰”情境导入，从折纸次数与纸张数量关系引出相同因数相乘的简便表示，衔接小学平方立方知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发数学眼光，通过对比(-2)^4与-2^4等辨析概念培养抽象能力，结合计算器验证、《庄子》问题等发展运算能力与模型意识。学生能提升思维与应用能力，教师可借助完整流程和分层资源优化教学。

有理数的乘方 2.3.1　乘方 第 3 节 第2章 第1课时 有理数的乘方 有理数的运算 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 理解有理数的乘方的意义,了解幂、底数、指数等相关概念. 掌握有理数乘方运算的符号法则及相关性质,熟练进行有理数的乘方运算. 经历探索有理数乘方及法则的过程，发展学生类比、观察、归纳、概括等能力，从幂的不同解释中培养学生的发散思维。 有理数的乘方的意义及其计算. 重点 有理数乘方符号法则及相关性质的理解与应用. 难点 重 难 点 创设情境 不可能吧? 珠穆朗玛峰是世界的最高峰,它的海拔高度是8 848.86米.把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸,连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰的高度.这是真的吗? 创设情境 你知道一张纸连续对折30次，相当于多少张纸？你能用算式表示吗？ 对折1次是2张， 对折2次是2×2张， 对折3次是2 ×2×2张， 对折4次是2×2 ×2×2张， 对折30次是40个2相乘 40个2相乘写起来多麻烦啊，有其他简便的表示方法吗？ 在数学和实际问题中，经常会遇到一种特殊形式的乘法 运算，其中的各个乘数都相同．下面就来学习这种乘法运算． 新知讲授 探究点1 乘方的意义 边长为 2 cm 的正方形的面积是 2×2 = 4（cm2） 棱长为 2 cm 的正方体的体积是 2×2×2 = 8（cm3） 更多个2相乘能不能类似表示？ 讨 论 还记得正方形面积公式和正方体的体积公式吗？ 2 2×2×2 记作 23 2×2 记作 22 22 读作“2 的平方”（或“2 的 2 次方”） 23 读作“2 的立方”（或“2 的 3 次方”） 2 为了简便，小学这样表示： 2×2×2× 2 记作： 读作： 2×2×2× 2×2 24 2 的 4次方 记作： 读作： 25 2 的 5次方 记作： 读作： ； 记作： 读作： ； 记作： 读作： ； 记作： 读作： ； 记作： 读作： ； （－2） × （－2） （－2）×（－2）×（－2） 它们都是乘法，并且它们各自的因数都相同. （－2）×（－2）×（－2）×（－2） （－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2） （－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2）×（－2） 新知讲授 探究点1 乘方的意义 讨 论 这几个式子有什么相同点? 像平方、立方那样简写应如何表示 （－2）2 （－2）3 （－2）4 （－2）5 （－2）10 －2的2次方 －2的3次方 －2的4次方 －2的5次方 －2的10次方 　 （－２）4与－２4相等吗？为什么？ 讨 论 新知讲授 探究点1 乘方的意义 （－２）4 =（－2）×（－2）×（－2）×（－2） = +16 －２4 = －2×2×2×2 = －16 (－2)4表示－2的4次方，是4个－2相乘 －24表示2的4次方的相反数，是4个2相乘的积的相反数 （－２）4 ≠ －２4 不相等 新知讲授 探究点1 乘方的意义 记作 ， 读作______________. 的 5 次方 类似的，分数的乘方这样简记应该如何表示？ 讨 论 记作 ， 读作______________. 的 7 次方 一般地，n个相同的乘数a相乘， 记作 ， 读作______________. an 的 n 次方 新知讲授 探究点1 乘方的意义 求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方(involution)，乘方的结果叫作幂(power). 在an中，a叫作底数，n叫作a的幂的指数，简称指数。 an 底数 指数 幂 注意： 一个数可以看作这个数本身的一次方 示例： 5就是51,指数1通常省略不写. （相同的因数） （相同因数的个数） （运算结果） 归 纳 1.乘方定义 2.乘方的结构 新知讲授 探究点1 乘方的意义 an 看作一种运算，读作“a 的 n 次方”； an 看作乘方的结果，也可读作“a 的 n 次幂”. 3.乘法的读法： 归 纳 4.乘法的写法注意要点： ①负数的乘方，在书写时一定要把整个负数(连同符号)用小括号括起来,这样便于辨认底数; ②分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来 示例： （－２）4 与结果相等吗? 新知讲授 探究点1 乘方的意义 讨论 =（）×（）×（）×（） = = = 表示 的4次方，是4个 相乘 表示的4次方与3相除，分子是4个2相乘 不相等 算式 指数 结果符号 新知讲授 探究点2 乘方运算的法则 例 1 计算： （1）(－4)3； （2）(－2)4； （3） . 解：（1）(－4)3 = (－4)×(－4)×(－4) = －64； （2）(－2)4 = (－2)×(－2)×(－2)×(－2) = 16； （3）=（－）×（）×（）= 你发现例1中结果的正负与指数有什么关系吗？ 讨论 (－4)3=－64 (－2)4 =16 = 根据乘方意义转化为乘法计算 指数偶数 结果正数 指数奇数 结果负数 指数奇数 结果负数 算式 结果 指数 结果符号 指数偶数 结果正数 指数偶数 结果正数 指数奇数 结果负数 新知讲授 探究点2 乘方运算的法则 请再举一些计算乘方的例子，结合例 1，说一说负数的幂的正负与指数的关系 讨论 (－3)4 81 (－1)2 026 (－1)2 027 02 025 (－0.3)5 1 －1 －0.00243 0 指数奇数 结果负数 0的任何次方都等于0 负数幂的正负与指数有关， 指数是奇数，结果为负，指数是偶数，结果为正 理论依据 有理数乘法法则 同号得正，异号得负 新知讲授 探究点2 乘方运算的法则 任何数的偶次幂都是非负数. 1的任何次幂都是1. －1的偶次幂是1, －1的奇次幂是－1. 乘方运算法则 归 纳 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 正数的任何正整数次幂都是正数, 0的任何正整数次幂都是0. 特别的 不计算下列各式,你能确定其结果的符号吗？ (－2)50 (－2)2 n (－2)2 n+1 － （－2）2027 (－2)51　 练一练 正 负 正 正 负 负 (－3)6 新知讲授 探究点3 用计算器进行乘方运算 例2:用计算器计算(－8)5和(－3)6. 解：用带符号键 的计算器，有 (－) ( (－) 8 ) 5 = 显示结果为 －32768 ( (－) 3 ) 6 = 显示结果为 729 所以：(－3)6 = 729. 教材P52 所以：(－8)5 = －32768 (－8)5 底数或指数较大时，乘方计算可以借助计算器进行，提高计算效率 新知讲授 探究点3 用计算器进行乘方运算 现在同学们相信老师说的是真的了吧. … 一张足够大的厚度为0.1毫米的纸,连续对折30次的厚度到底是多少呢？ 思 考 对折1次是2张 对折2次张数是2² 对折30次张数是230 由题意得：0.1×230=　　 　(mm)≈　　 　　(m).  计算器计算: 230=1 073 741 824 ≈107 374(m). 107 374 182.4 107 374 珠穆朗玛峰海拔高度是8 848.86米 8 848.86＜ 107 374 例题精讲 例3:用两种方法计算: 原式 . 解：原式 . 根据乘方定义直接计算 根据乘方意义和乘法结合律简便运算 新知巩固 1. （1）(－7)8 中，底数、指数各是什么？ （2）(－10)8 中，－10 叫作什么数？8 叫作什么数？ (－10)8 是正数还是负数？ 解：（1） (－7)8 中底数是 －7，指数是 8. （2） (－10)8 中－10 叫作底数， 8 叫作指数， (－10)8 是正数. 【教材P52】 新知巩固 2. 计算： （1）(－1)10； （2）(－1)7； （3）83； （4）(－5)3； （5）0.13； （6）(－ )4； （7）(－10)4； （8）(－10)5. （2）原式=－1 【教材P52】 （1）原式=1 （3）原式=512 （4）原式=－125 （5）原式=0.001 （6）原式= （8）原式=－100000 （7）原式=－10000 新知巩固 3. 用计算器计算： （1）(－11)6； （2）167； （3）8.43； （4）(－5.6)3. ＝ 1 771 561 ＝ 268 435 456 ＝ 592.704 ＝ －175.616 【教材P52】 检测反馈 1.在－|－3|3，－(－3)3，(－3)3，－33中，最大的数是 (　　) A.－|－3|3　　B.－(－3)3 C.(－3)3 D.－33 2.对任意实数a,下列各式一定不成立的是 (　　) A.a2=(－a)2 B.a3=(－a)3 C.|a|=|－a| D.a2≥0 3.x 是有理数，下列各式中成立的是(　　) A. (－ x )2＝－ x2 B. (－ x )3＝ x3 C. (－ x )3＝－ x3 D. x4＝－ x4 C B B 检测反馈 5.计算: (1) (－3)2×(－ ). (2) －23×(－32) (3) 64÷(－2)5 . 解：原式 解：原式 解：原式 4.填空: (1)(－3)2的底数是　　　　,指数是　　　　　,结果是　　　　.  (2)－(－3)2的底数是　　　　,指数是　　　　,结果是　　　　.  (3)－33的底数是　　　　　,指数是　　　　　,结果是　　　　. (3)－12=　　　　;－=　　　　;－=　　　　; －=　　　　.  －3 2 9 －3 2 －9 3 3 －27 －1 6.若｜ x －2｜＋(　 y ＋ )2＝0，则 yx 的值是 　 　. 解：因为｜ x －2｜≥0，( y ＋ )2≥0， 且｜ x －2｜＋ ＝0， 所以 x －2＝0， y ＋ ＝0， 解得 x ＝2， y ＝－ . 所以 yx ＝ ＝ . 　 检测反馈 拓展提升 1.《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完.第1天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半.若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 。 解：由题意可知， 第1天截取后木棍剩余长度为： ， 第2天截取后木棍剩余长度为： ， 第3天截取后木棍剩余长度为： , 第天截取后木棍剩余长度为： ， 故 第5天截取后木棍剩余的长度是： . 2.观察下列等式： ， ，，，，， ， 根据其中的规律可得 的个位数字是( ) C A. 1 B. 7 C. 9 D. 3 解：因为 ，，， 所以个位数字的规律是以1，7，9，3这4个数为一个循环周期. 因为 , 所以的个位数字与 的个位数字相同，为9. 拓展提升 真题感知 1. [2024·长沙南雅中学月考]下列对于式子(－4)2的说法，错误的是(　　) A. 指数是2 B. 底数是－4 C. 幂为－16 D. 表示2个－4相乘 C 4. [2024·重庆九龙坡区期末]在数(－3)2，(－2)3，－49，－24中， 正数有(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 3.[2024·广州天河区月考]下列各式化简后结果最大的是(　 ) A. (－3)2－(－2)3 B. (－3－2)3 C. (－3)3×(－22) D. 33＋(－2)2 C 4.[2023广东广州白云期末]下列各组数中,数值相等的是　　 (　　) A.－22和(－2)2　　　　B.－和 C.(－2)2和22　　　　　D.－和－ 真题感知 C 课堂小结 乘方的含义 类型 概念 示例 乘方 幂 底数 指数 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方 a · a · … · a = an n 个 乘方的结果叫作幂 在 an 中，a 叫作底数 在 an 中，n 叫作指数 an 底数 幂 指数 课堂小结 有理数的乘方运算的符号规律： 符号 规律 负数 正数 0 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 0 的任何正整数次幂都是 0 课后练习 1. 计算： （1）(－3)3； （2）(－5)4； （3）(－1.7)2； （4）(－ )3； （5）－(－2)3； （6）(－2)2×(－3)2. 习题 2.3 课本p56页 （2）原式=625 （1）原式=－27 （3）原式=2.89 （4）原式=－ （5）原式=8 （6）原式=4×9= 课后练习 2. 用计算器计算： （1）(－12)8； （2）1034； （3）7.123； （4）(－45.7)3. 解：（1）(－12)8 = 429 981 696； （2）1034 = 112 550 881； （3）7.123 = 360.944 128； （4）(－45.7)3 = －95 443.993. 习题 2.3 课本p56页 解：(–2)2 = 4，22 = 4，(–2)3 = –8，23 = 8． 当 a ＜ 0 时（1）（2）（4）式都成立， 只有（3）式不成立． 12.计算(－2)2，22，(－2)3，23.联系这类具体的数的乘方,你认为当a<0时下列各式是否成立? (1) a2>0； (2) a2=(－a)2； (3) a2=－a2； (4) a3=－a3. 课后练习 习题 2.3 课本p57页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $