9.2 轴对称 暑期讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版数学·七年级下册｜暑期衔接精品讲义 9.2 轴对称、轴对称性质与轴对称图形 苏科版数学七年级下册·第9章 图形的变换 —— 教材梳理 · 方法建构 · 分层训练 · 素养提升 —— 姓名 班级 日期 得分 ________________ ________________ ________________ ________________ 1 学习目标与重难点 项目 内容 项目 内容 学习目标 理解轴对称与轴对称图形，能指出对称轴、对应点和对应线段。 教学重点 轴对称的基本性质与轴对称图形的识别、作图。 能力目标 通过折叠、描点、作图发展空间观念、几何直观和审美意识。 教学难点 准确区分“两个图形成轴对称”与“一个图形是轴对称图形”。 易错警示 把连接两对应点的线段当作对称轴；遗漏对称轴；只看形状相同不看翻折重合。 突破策略 “作垂线—量等距—看重合—判对象”四步检查。 2 教材知识点盘点（先做后核） 序号 教材知识点盘点（先填写） 核对与订正 1 如果把一个图形沿某一条直线翻折，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线________。 ____________________________________ 成轴对称 2 这条直线叫作________；互相重合的点叫作________。 ____________________________________ 对称轴；对应点（对称点） 3 成轴对称的两个图形________；对应线段________；对应角________。 ____________________________________ 全等；相等；相等 4 对称轴是任意一对对应点所连线段的________。 ____________________________________ 垂直平分线 5 如果一个图形沿某条直线翻折后能与自身重合，这个图形叫作________。 ____________________________________ 轴对称图形 6 作点P关于直线l的对称点P′：过P作l的________，并在另一侧截取________。 ____________________________________ 垂线；等距线段 图1 轴对称知识结构 3 核心概念与性质探究 图2 三角形ABC与三角形A′B′C′关于直线l成轴对称 ▌两类概念的区别 比较项目 两个图形成轴对称 轴对称图形 研究对象 两个图形之间的关系 一个图形自身的特征 判定方法 沿直线翻折后两个图形重合 沿直线翻折后图形与自身重合 图3 典型轴对称图形 ▌轴对称作图“三步法” 过关键点向对称轴作垂线； 在垂线另一侧截取相等距离，确定对称点； 按原图形的连接顺序连接对称点，并检查对称轴是否垂直平分对应点连线。 4 典例精讲与变式 典例 1｜概念辨析： 题目：下列说法中正确的是：A.两个形状相同的图形一定成轴对称；B.轴对称图形一定只有一条对称轴；C.成轴对称的两个图形全等；D.对称轴一定经过图形内部。 思路点拨：轴对称强调“沿某条直线翻折后重合”；对称轴条数可能为1条、若干条或无数条。 规范解答：选C。A缺少翻折关系；B错误，如正方形有4条；D错误，对称轴可位于两个图形之间。 变式训练：分别举出只有1条、2条、3条、4条和无数条对称轴的图形。 典例 2｜性质计算： 题目：三角形ABC与三角形A′B′C′关于直线l成轴对称。已知AB=6 cm，∠B=72°，AA′=8 cm，求A′B′、∠B′及点A到直线l的距离。 思路点拨：对应线段、对应角相等；对称轴垂直平分AA′。 规范解答：A′B′=6 cm，∠B′=72°；A到l的距离为AA′的一半，即4 cm。 变式训练：若BB′=10 cm，则点B到l的距离是多少？ 典例 3｜确定对称轴： 题目：已知点A与A′关于直线l对称，怎样只用直尺和圆规确定直线l？ 思路点拨：对称轴是线段AA′的垂直平分线。 规范解答：分别以A、A′为圆心，以大于AA′一半的相同长度为半径画弧，交于M、N；作直线MN，即为l。 变式训练：若再给出一对对应点B、B′，所得两条垂直平分线应有什么关系？ 典例 4｜最短路径： 题目：点A、B在直线l同侧，要在l上找点P，使PA+PB最小。说明作法。 思路点拨：把B关于l对称到B′，则PB=PB′，PA+PB=PA+PB′；两点之间线段最短。 规范解答：连接AB′交l于P，此时PA+PB=AB′，为最小值。 变式训练：若A、B分居l两侧，最短路径如何确定？ 5 随堂练习 ▌当堂检测（10题） 1. 判断：成轴对称的两个图形一定全等。（　　） 2. 判断：全等的两个图形一定关于某条直线成轴对称。（　　） 3. 对应点A、A′关于直线l对称，则l与AA′的位置关系为________。 4. 若AA′=12 cm，则点A到对称轴的距离为________。 5. 一个等边三角形有________条对称轴；一个正方形有________条。 6. 一般的平行四边形是轴对称图形吗？________。 7. 下列字母中，可看作轴对称图形的是（　　）A.F B.H C.N D.Z 8. 角是轴对称图形，它的对称轴是________。 9. 圆的每一条________都是它的对称轴。 10. 简述作一个点关于已知直线的对称点的步骤。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 6 分知识点专项训练 ▌知识点一｜概念与识别 1. 下列图形中一定是轴对称图形的是（　　）A.任意三角形 B.等腰三角形 C.任意梯形 D.一般平行四边形 2. 正五角星通常有多少条对称轴？ 3. 线段有几条对称轴？分别是什么？ 4. 判断：“两个图形关于直线l成轴对称”与“这两个图形都是轴对称图形”含义相同。（　　） 5. 请说明为什么等腰三角形底边的垂直平分线是它的对称轴。 6. 观察生活中的汉字“中、田、木、日”，在规范印刷体下分别可能具有哪些对称性？（允许说明字体差异） ▌知识点二｜性质与计算 7. 点P、P′关于直线l对称，PP′=7.6 cm，求P到l的距离。 8. 四边形ABCD与A′B′C′D′关于l成轴对称，AB=4，BC=6，CD=5，DA=7，求A′B′C′D′的周长。 9. 若∠ABC=35°，求对应角∠A′B′C′。 10. 点A在对称轴l上，它关于l的对称点A′在哪里？ 11. 已知A、A′关于l对称，点M在l上。比较MA与MA′的大小，并说明理由。 12. 两条线段AB、A′B′关于直线l对称。若AB与l相交于点C，A′B′是否也经过C？说明条件。 ▌知识点三｜作图与综合 13. 在方格纸上画一个直角三角形，并作它关于一条竖直网格线的对称图形。 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________________________________________________________________________________ 7 核心素养与实践探究 ▌开放性解答题 1. 一面镜子竖直放置，镜前数字“2026”在普通七段数码管字体下的镜像是否仍可读为数字？选择其中一个数字分析其左右对称性。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 2. 剪纸活动中，纸张对折一次后剪去一个不在折痕上的三角形缺口。展开后两个缺口有怎样的位置和大小关系？说明理由。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 3. 河岸看作直线l，村庄A、B在同一侧。要在河岸建取水点P，使铺设到两村的管道总长最短。写出作图方案及数学依据。 ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 8 参考答案与解析 ▌随堂练习答案 1. √ 2. × 3. 垂直平分 4. 6 cm 5. 3；4 6. 不是 7. B 8. 角平分线所在直线 9. 直径所在直线 10. 过点作对称轴的垂线，在另一侧截取相等距离。 ▌典例变式参考答案 典例1：1条—等腰三角形；2条—长方形；3条—等边三角形；4条—正方形；无数条—圆。典例2：点B到l的距离为5 cm。典例3：两条垂直平分线应重合为同一条对称轴l。典例4：连接AB，交l于P，此时PA+PB=AB最小。 ▌专项训练答案与解析 1.B。2.5条。3.2条：线段所在直线及线段的垂直平分线。4.×。5.沿底边垂直平分线翻折，两腰重合、两个底角重合，图形与自身重合。6.答案依标准字体而异，应以“沿某直线翻折是否重合”为判据。 7.3.8 cm。8.周长4+6+5+7=22。9.35°。10.A′与A重合。11.MA=MA′，因为l是AA′的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端距离相等。12.若交点C在对称轴l上，则C关于l的对称点仍是C，所以对应线段A′B′也经过C。 13—14.作图略。15.将B关于l对称到B′，连接AB′交l于P。16.CD=C′D=4.5 cm。17.一般得到2个；若孔在折痕上，展开后仍为1个并关于折痕自身对称。18.答案不唯一，须标全对称轴。 实践1：需结合数码管具体字形判断，关键看竖直轴对称性。实践2.两个缺口关于折痕成轴对称，形状、大小相同，对应点连线被折痕垂直平分。实践3.作B关于l的对称点B′，连接AB′与l交于P；依据PB=PB′及两点之间线段最短。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $