专题9.2 轴对称（知识梳理+十六大考点讲练+真题演练+分层训练 共57题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

专题9.2 轴对称 （第九章 图形的变换） 【苏科版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一：生活中的轴对称现象 2 知识点二：轴对称图形 2 知识点三：镜面对称 2 知识点四：轴对称的性质 3 知识点五：作图-轴对称变换 3 知识点六：翻折变换（折叠问题） 3 知识点七：线段的垂直平分线 3 知识点八：角平分线的性质与作图 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练一 轴对称图形的识别 5 考点讲练二 成轴对称的两个图形的识别 5 考点讲练三 作已知线段的垂直平分线 6 考点讲练四 作垂线(尺规作图） 7 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行判断 8 考点讲练六 根据成轴对称图形的特征进行求解 9 考点讲练七 作角平分线(尺规作图） 10 考点讲练八 台球桌面上的轴对称问题 11 考点讲练九 轴对称中的光线反射问题 11 考点讲练十 折叠问题 13 考点讲练十一 画对称轴 14 考点讲练十二 画轴对称图形 15 考点讲练十三 求对称轴条数 16 考点讲练十四 车牌号码的镜面对称 16 考点讲练十五 钟表的镜面对称 16 考点讲练十六 电子钟示数的镜面对称 17 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 19 基础夯实 能力提升 19 创新拓展 拔尖冲刺 22 知识点一：生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点二：轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点三：镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点四：轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点五：作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点六：翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 知识点七：线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴； 2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 3.线段的垂直平分线的性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 知识点八：角平分线的性质与作图 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴　 （1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. （2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB （3）角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 考点讲练一 轴对称图形的识别 【典例分析】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号） 考点讲练二 成轴对称的两个图形的识别 【典例分析】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)线段被直线l___________； (3)在直线l上找一点P，使的长最短； 考点讲练三 作已知线段的垂直平分线 【典例分析】要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）尺规作图：已知，求作： (1)的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 (2)的中线；保留作图痕迹，不写作法 (3)的高线保留作图痕迹，不写作法 考点讲练四 作垂线(尺规作图） 【典例分析】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）已知：如图，，平分，，求证：平分． 证明：平分． （__________）， （已知）， （__________）， （__________）， ， （__________）， ， ______， 平分． (1)填空完成以上证明过程； (2)按以下要求用直尺和三角尺作图：延长线段并在延长线上任取一点M，过点M作直线交直线于点N； (3)请你观察与的位置关系，根据你的发现填空： 如果两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角，其中一个角的角平分线上的垂线______． 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【变式训练】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 考点讲练六 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 【变式训练】如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为 ． 考点讲练七 作角平分线(尺规作图） 【典例分析】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知，请你画出的高，中线，角平分线（不写画法，但要保留作图痕迹）      【变式训练】（24-25七年级下·上海·月考）根据要求画图，并写结论：如图，三角形ABC是钝角三角形． (1)在图1中作的中线；（尺规作图，不用写画法，保留作图痕迹） (2)在图2中作的角平分线；（尺规作图，不用写画法，保留作图痕迹） (3)用三角尺画边上的高． 考点讲练八 台球桌面上的轴对称问题 【典例分析】公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【变式训练】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 考点讲练九 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【变式训练】根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 考点讲练十 折叠问题 【典例分析】（25-26七年级下·全国·单元测试）按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【变式训练】（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知为边的中点，点在上，将沿着折叠，使点落在上的处．若，则的度数为 ． 考点讲练十一 画对称轴 【典例分析】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 考点讲练十二 画轴对称图形 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．请在给定的网格中按照下列要求画图，且使所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画一条不与AB重合的线段，使得与AB关于某条直线对称． (2)在图②中，画出，使其与关于某条直线对称． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D均为格点(网格线的交点)． (1)画出线段关于直线对称的线段． (2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段． 考点讲练十三 求对称轴条数 【典例分析】下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A．B． C． D． 【变式训练】（24-25六年级上·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有 条对称轴，每条对称轴都是这个圆的 所在的直线． 考点讲练十四 车牌号码的镜面对称 【典例分析】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是 ． 考点讲练十五 钟表的镜面对称 【典例分析】（25-26八年级上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 【变式训练】（23-24八年级上·广西河池·期中）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 考点讲练十六 电子钟示数的镜面对称 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【演练1】（2024·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【演练2】（2024·山东青岛·中考真题）已知：及其一边上的两点，． 求作：，使，且点在内部，． 【演练3】（2023·湖北武汉·中考真题）已知四边形为矩形．点E是边的中点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出矩形的对称轴m，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴n：使． 【演练4】（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【演练5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 基础夯实 能力提升 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形纸片的沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）下列四种图案中，是轴对称图形而且有两条对称轴的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为，，分别落在，的位置上．若，则 ． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）乐乐同学用一张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图所示，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，连接，与关于直线对称，与交于点M，与关于直线对称，已知，，求的度数． 9．（25-26七年级下·全国·周测）将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25七年级下·全国·月考）如图，将长方形沿向上折叠，使点B落在边上的F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则 ． 6．（23-24七年级下·重庆永川·期中）如图，将一片宽度相等的纸条沿折叠一下，若，则的度数为 ． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将，沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与BD上的点E重合．若，则 ． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，菜地在水渠的同侧，现要在上找一点，分别沿，铺地下水管向菜地引入水源，使得铺设水管的长度最短（即最短），请在图中找出点的位置． 9．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图2，点、分别落在、的位置 （1）若，则 度 （2）已知，则的大小为 度． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 轴对称 （第九章 图形的变换） 【苏科版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一：生活中的轴对称现象 2 知识点二：轴对称图形 2 知识点三：镜面对称 2 知识点四：轴对称的性质 3 知识点五：作图-轴对称变换 3 知识点六：翻折变换（折叠问题） 3 知识点七：线段的垂直平分线 3 知识点八：角平分线的性质与作图 4 重点难点 考点讲练 5 考点讲练一 轴对称图形的识别 5 考点讲练二 成轴对称的两个图形的识别 5 考点讲练三 作已知线段的垂直平分线 8 考点讲练四 作垂线(尺规作图） 10 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行判断 13 考点讲练六 根据成轴对称图形的特征进行求解 15 考点讲练七 作角平分线(尺规作图） 16 考点讲练八 台球桌面上的轴对称问题 18 考点讲练九 轴对称中的光线反射问题 20 考点讲练十 折叠问题 23 考点讲练十一 画对称轴 24 考点讲练十二 画轴对称图形 27 考点讲练十三 求对称轴条数 29 考点讲练十四 车牌号码的镜面对称 30 考点讲练十五 钟表的镜面对称 30 考点讲练十六 电子钟示数的镜面对称 31 中考真题 实战演练 32 难度分层 闯关训练 36 基础夯实 能力提升 36 创新拓展 拔尖冲刺 43 知识点一：生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点二：轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点三：镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 知识点四：轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点五：作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点六：翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 知识点七：线段的垂直平分线 1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴； 2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 3.线段的垂直平分线的性质： 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 知识点八：角平分线的性质与作图 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴　 （1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. （2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB （3）角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 考点讲练一 轴对称图形的识别 【典例分析】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【规范解答】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中不能看成是轴对称变换得到的是 ．（填序号） 【答案】② 【思路引导】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 依据轴对称图形的定义判断即可． 【规范解答】解：①③④都可以沿一条竖直线翻折，使左右重合，所以都可以看出轴对称变换， 而②不是轴对称变换， 故答案为：②． 考点讲练二 成轴对称的两个图形的识别 【典例分析】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)线段被直线l___________； (3)在直线l上找一点P，使的长最短； 【答案】(1)见详解 (2)垂直平分 (3)连接交直线l于点 【思路引导】(1）根据轴对称的性质即可画出图形； (2）根据轴对称的垂直可得答案； (3）连连接交直线l于点，此时最短． 【规范解答】（1）解：作法：1．先描出点的对应点 2．顺次连接， 即为所求；    （2）根据轴对称的性质得，被被直线l垂直平分， 故答案为：垂直平分； （3）解：连接交直线l于点，此时最短． 证明：连接，任意取点，连接，    根据轴对称的性质，得，， ， ， ， 故最短． 【考点剖析】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 考点讲练三 作已知线段的垂直平分线 【典例分析】要求用尺规作图，画图必须用铅笔，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)如图①，已知点M在直线l上，A，B是直线l外的两点，按照下面要求完成作图： ①过点M作直线l的垂线； ②在已作出的垂线上确定一点P，使得点P到A，B两点的距离相等． (2)如图②，已知点A是锐角内的一点，试分别在，上确定点B、点C，使的周长最小． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了复杂作图，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）①根据过直线上一点作已知直线的垂线的作法作图； ②作线段的垂直平分线即可； （2）分别过作，的对称点，再连接两个对称点与，的交点即可． 【规范解答】（1）解：如图示； （2）解：分别作点A关于，的对称点；连接，分别交，于点B、点C，则点B、点C即为所求． 如图所示；此时的周长最小． 【变式训练】（24-25七年级下·四川成都·期末）尺规作图：已知，求作： (1)的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 (2)的中线；保留作图痕迹，不写作法 (3)的高线保留作图痕迹，不写作法 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）作线段的垂直平分线，交于点E，连接即可． （3）结合三角形的高的定义作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． 考点讲练四 作垂线(尺规作图） 【典例分析】（24-25八年级上·广东汕尾·期中）如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题了作图的应用．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【规范解答】解：如图，点、点为所作． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）已知：如图，，平分，，求证：平分． 证明：平分． （__________）， （已知）， （__________）， （__________）， ， （__________）， ， ______， 平分． (1)填空完成以上证明过程； (2)按以下要求用直尺和三角尺作图：延长线段并在延长线上任取一点M，过点M作直线交直线于点N； (3)请你观察与的位置关系，根据你的发现填空： 如果两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角，其中一个角的角平分线上的垂线______． 【答案】(1)角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补；等式的性质；等量代换；； (2)见解析； (3)与另一个角的角平分线平行． 【思路引导】本题考查作图-复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合角平分线的定义、平行线的性质填空即可． （2）根据垂线的作图方法作图即可． （3）结合题意可得出结论． 【规范解答】（1）证明：平分， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式的性质）， ， （等量代换）， ， ； 平分； 故答案为：角平分线的定义；两直线平行，同旁内角互补；等式的性质；等量代换；； （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由题意得：， ∴， 由题意得，如果两条平行线被第三条直线所截，形成的一对同旁内角，其中一个角的角平分线上的垂线与另一个角的角平分线平行． 故答案为：与另一个角的角平分线平行． 考点讲练五 根据成轴对称图形的特征进行判断 【典例分析】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【思路引导】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 【变式训练】（24-25七年级上·河南安阳·期末）如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质求解即可得． 【规范解答】解：由题折叠的性质得：，，， ∴，， 所以观察四个选项可知，说法错误的是选项C， 故选：C． 考点讲练六 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，点P在内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若的周长等于20cm，求MN的长． 【答案】 【思路引导】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质可得，，然后求出的长度等于的周长，由此即可求解． 【规范解答】解：，分别是点关于，的对称点， ，， ． 的周长等于， ． 【变式训练】如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为 ． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解． 【规范解答】解：由轴对称的性质可得：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：12． 考点讲练七 作角平分线(尺规作图） 【典例分析】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知，请你画出的高，中线，角平分线（不写画法，但要保留作图痕迹）      【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握高线、中线、角平分线的作法是解题的关键． 根据三角形的高、中线、角平分线的作法作图即可． 【规范解答】解：如图，      【变式训练】（24-25七年级下·上海·月考）根据要求画图，并写结论：如图，三角形ABC是钝角三角形． (1)在图1中作的中线；（尺规作图，不用写画法，保留作图痕迹） (2)在图2中作的角平分线；（尺规作图，不用写画法，保留作图痕迹） (3)用三角尺画边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】此题主要考查了垂直平分线、角平分线以及高线和中线的作法，熟练掌握尺规作图中五种基本作图法是解答此类题目的关键． （1）先作出的垂直平分线，找出的中点，再与点C连接，即可作答； （2）先作出的平分线，交于点，即可作答； （3）先延长，再过点C作垂线，与的延长线交于点H，即可作答． 【规范解答】（1）解：的中线如图所示： ； （2）解：的角平分线如图所示： ； （3）解：边上的高如图所示： ． 考点讲练八 台球桌面上的轴对称问题 【典例分析】公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【规范解答】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【考点剖析】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【变式训练】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是 【答案】673 【思路引导】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【规范解答】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【考点剖析】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 考点讲练九 轴对称中的光线反射问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 【变式训练】根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【思路引导】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【规范解答】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 考点讲练十 折叠问题 【典例分析】（25-26七年级下·全国·单元测试）按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【答案】(1)垂直．理由见解析 (2)与互余 (3)与互为邻补角，与也互为邻补角 【思路引导】本题主要考查余角和补角及角的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等；相加得的角互为余角；相加得的角互为补角． （1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据三点共线可求得结论； （2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余； （3）由三点共线，以及图中的第四个图形中的角的关系可得出结论． 【规范解答】（1）解：垂直．理由如下： 由折叠可知，． 又， ， ． （2）解：由（1）知，， 故与互余． （3）解：与互为邻补角，与也互为邻补角． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知为边的中点，点在上，将沿着折叠，使点落在上的处．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【规范解答】解：是沿直线翻折变换而来， ． 是边的中点， ， ， ． ， ． 故答案为： 【考点剖析】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，解决本题的关键是熟知折叠的性质. 考点讲练十一 画对称轴 【典例分析】（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． （2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 【答案】(1)见解答 (2)见解答 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段AC的垂直平分线m即可． （2）先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n即可． 【规范解答】（1）解：如图，作线段的垂直平分线m， 则直线m即为所求． （2）如图，先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n， 则直线n即为所求． 考点讲练十二 画轴对称图形 【典例分析】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．请在给定的网格中按照下列要求画图，且使所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，画一条不与AB重合的线段，使得与AB关于某条直线对称． (2)在图②中，画出，使其与关于某条直线对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查轴对称图形的性质，利用轴对称的性质画出关于某条直线对称的线段和三角形，正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，找出图①中线段关于某条直线对称的线段，有多种画法，只要保证与关于某条直线对称即可； （2）根据轴对称的性质，找出图②中关于某条直线对称的三角形，同样有多种画法，需保证与关于某条直线对称即可． 【规范解答】（1）解：如图①，线段即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图②，即为所求（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D均为格点(网格线的交点)． (1)画出线段关于直线对称的线段． (2)将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了网格作图．熟练掌握轴对称作图，平移作图，是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找到A，B关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求； （2）根据平移的性质得到线段即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，为线段关于直线对称的线段， （2）如图，为线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段， 考点讲练十三 求对称轴条数 【典例分析】下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，由此找出各个选项中对称轴的条数，进而比较即可得出答案． 【规范解答】解：A、此图有无数条对称轴； B、此图有1条对称轴； C、此图有4条对称轴； D、此图有3条对称轴； 故选：A． 【考点剖析】本题考查了轴对称图形的对称轴，明确轴对称图形的定义是解题关键． 【变式训练】（24-25六年级上·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有 条对称轴，每条对称轴都是这个圆的 所在的直线． 【答案】 无数 直径 【思路引导】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义即可得． 【规范解答】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线． 故答案为：无数；直径． 考点讲练十四 车牌号码的镜面对称 【典例分析】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【规范解答】 解：若看到镜子中的一串数字为  ，则这串数字实际是， 故答案为：． 考点讲练十五 钟表的镜面对称 【典例分析】（25-26八年级上·福建福州·期中）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是 ． 【答案】15∶01 【思路引导】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【规范解答】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级上·广西河池·期中）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 考点讲练十六 电子钟示数的镜面对称 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）小红照镜子时，发现身后的钟表如图所示，此时的实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了镜面反射的原理与性质，根据在平面镜中的像与现实中得事物刚好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，分析即可求解． 【规范解答】解：根据镜面对称得性质，分析可得此时的时间应是． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车，由于去得早，小明不小心在候车室睡着了，等他醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，同学们，小明到底能不能赶上11点的火车呢？小明醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查镜面反射的原理与性质；根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：从镜子中看到的是，则真实时间应该是将此读数倒看：． 故答案为：． 【演练1】（2024·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【思路引导】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【规范解答】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【考点剖析】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 【演练2】（2024·山东青岛·中考真题）已知：及其一边上的两点，． 求作：，使，且点在内部，． 【答案】见解析 【思路引导】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点． 【规范解答】解：如图，Rt△ABC为所作． 【考点剖析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【演练3】（2023·湖北武汉·中考真题）已知四边形为矩形．点E是边的中点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出矩形的对称轴m，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴n：使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）连接AC，BD，相交于点O，过O，E作直线m即可； （2）由（1）知四边形ABFE为矩形，连接AF、BE交于点H，过O，H点作直线n即可． 【规范解答】（1）如图所示，直线m即为所求作    （2）如图所示，直线n即为所求作    【考点剖析】本题主要考查了求作矩形的对称轴，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． 【演练4】（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 【演练5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 【规范解答】∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 基础夯实 能力提升 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，将长方形纸片的沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题关键．由题意可得，再由邻补角可得，由折叠的性质可知，，即可求出的度数． 【规范解答】解：，， ， ， 由折叠的性质可知，， ． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）下列四种图案中，是轴对称图形而且有两条对称轴的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查轴对称图形的识别与对称轴数量的判断，掌握轴对称图形的定义，以及常见图案的对称轴数量是解题的关键． 逐一判断每个选项是否为轴对称图形，并数出其对称轴的数量，从而找出是轴对称图形且有两条对称轴的选项． 【规范解答】解：A：图案无对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B：图案是轴对称图形，且有水平和竖直两条对称轴，符合题意； C：图案是轴对称图形，但只有一条对称轴，不符合题意； D：图案是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形． 根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与成轴对称的格点三角形，从而得解． 【规范解答】解：如图所示，对称轴有四种位置，与成轴对称的格点三角形有4个． 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查轴对称的性质，根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分求解即可 【规范解答】解：与点关于直线l对称， 线段被直线l垂直平分， 故选：B 5．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为，，分别落在，的位置上．若，则 ． 【答案】16° 【思路引导】本题考查了长方形的性质、折叠的性质以及平行线的角度关系，掌握利用平行线和折叠性质进行角度转化的方法是解题的关键． 利用长方形对边平行的性质，结合折叠的角度相等关系，先求出的度数，再通过邻补角的性质和平行线性质得到和的度数，进而计算差值． 【规范解答】解：在长方形中，， ∴， ， ， ∵， ∴， ． 故答案为：． 6．（2026七年级下·全国·专题练习）乐乐同学用一张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图所示，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了折叠和轴对称的性质，解题关键是看懂图形，掌握轴对称的性质． 根据折叠，利用轴对称的性质得到相应角的度数，即可求解． 【规范解答】解： 由折叠可知： 对折后，得到 继续折叠后，得到： ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质；由题意易得，，则有，，然后问题可求解． 【规范解答】解：由折叠可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，连接，与关于直线对称，与交于点M，与关于直线对称，已知，，求的度数． 【答案】 【思路引导】此题考查了轴对称的性质，设，则，由对称的性质得到，，表示出，然后得到，求出，进而求解即可． 【规范解答】解：设，则， ∵与关于直线对称，与关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．（25-26七年级下·全国·周测）将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 【答案】 【思路引导】本题考查了折叠的性质与平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，结合平角的定义计算角度和是解题的关键． 利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的定义，通过角度和的关系计算的度数． 【规范解答】解：由折叠可知，，． ， ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【规范解答】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25七年级下·全国·月考）如图，将长方形沿向上折叠，使点B落在边上的F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到．由平角的定义得出，由平行线的性质推出，得到． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小，根据三角形的面积公式求出的长度，即为的最小值． 【规范解答】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小， 在中，，，，， ， ， 解得：， 的最小值是． 故选：A． 3．如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得． 【规范解答】解：如图， ，， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ． 故选：C． 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【规范解答】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在点处，折痕为．点F为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点B落在点处（折痕为）．若，则 ． 【答案】108或72 【思路引导】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 6．（23-24七年级下·重庆永川·期中）如图，将一片宽度相等的纸条沿折叠一下，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了折叠的性质和平行线的性质． 根据平行线性质得，根据折叠得到，根据即可求出，计算即可得出的值． 【规范解答】解：如图， 由题意可得， ， 根据折叠得， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将，沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与BD上的点E重合．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查翻折变换，平行线的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键． 由沿翻折，，可得，由平行线的性质得到，再由沿翻折，可得，则，即可得到的度数． 【规范解答】解：∵将沿翻折， ． ， ， ． 四边形为长方形， ， ． 将沿翻折， ， ， ， ． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，菜地在水渠的同侧，现要在上找一点，分别沿，铺地下水管向菜地引入水源，使得铺设水管的长度最短（即最短），请在图中找出点的位置． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查利用轴对称求最短路径问题，作点B关于l的对称点，则，因此与直线l的交点即为所求． 【规范解答】解：如图，作点B关于l的对称点，连接，与直线l的交点即为点P． 9．（23-24七年级下·浙江金华·期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图2，点、分别落在、的位置 （1）若，则 度 （2）已知，则的大小为 度． 【答案】 75 【思路引导】本题考查了翻折变换和平行线的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质得到相等的线段或角． （1）由折叠得，，结合平行线的性质求得，由角度的和差得到； （2）设，由翻折可得，，，所以，，根据，可得，解得x，进而可以解决问题． 【规范解答】解：（1）由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）设，由翻折可知：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴ ， 故答案为：75． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【思路引导】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【规范解答】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $