5.3实际问题与解一元一次方程（2大知识点+10大题型+分层训练）2026年小升初人教版七年级数学上册讲义

5.3实际问题与一元一次方程 学习目标导航 1、能从实际问题中找出已知量和未知量，分析数量关系，准确找出等量关系并列出方程。 2、掌握列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），养成规范解题的习惯。 3、能根据实际问题的背景检验方程解的合理性，体会“实际问题 → 数学模型 → 实际问题”的完整过程，发展数学建模和应用意识。 洞悉◆教材知识 知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤 （1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的等量关系； （2）设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）； （3）列：根据题目中的相等关系列出方程； （4）解：解所列出的方程，求出未知数的值； （5）检：检验所得结果是否符合题意； （6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 核心题型◆归纳 【题型1 实际问题与一元一次方程之古代问题】 【题型2 实际问题与一元一次方程之销售问题】 【题型3 实际问题与一元一次方程之方案问题】 【题型4 实际问题与一元一次方程之配套问题】 【题型5 实际问题与一元一次方程之工程问题】 【题型6 实际问题与一元一次方程之行程问题】 【题型7 实际问题与一元一次方程之数字问题】 【题型8 实际问题与一元一次方程之比赛问题】 【题型9 实际问题与一元一次方程之几何问题】 【题型10 实际问题与一元一次方程之电费和水费问题】 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 实际问题与一元一次方程之古代问题】 例题：我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 【答案】有39人，15辆车 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可． 【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得， 解得． 车的数量为． 答：有39人，15辆车． 【变式训练】 1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？ 【答案】39人 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设共有x人出行，根据车的辆数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设共有x人出行，根据题意得： ， 解得：， 答：共有39人出行． 【题型2 实际问题与一元一次方程之销售问题】 例题：某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 (1)求上表中m的值； (2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 【答案】(1) (2)甲种篮球打了九折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得：； （2）解：由（1）得（元/个）． 第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元）． 设甲种篮球打了x折， 则两种篮球共卖出元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种篮球打了九折． 【变式训练】 1．今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 【答案】(1)普通电影票的单价为元，电影票的单价为元 (2)元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一次方程的解法是解题的关键， （1）设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元． （2）解：由题意得： 总价， 答：该企业需要支付元． 【题型3 实际问题与一元一次方程之方案问题】 例题：王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 【答案】方案一，详见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 先设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为，由题意得：，求出一、二级质量标准的苹果质量，再分别求出两个方案的收入，比较即可． 【详解】解：设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为， 由题意得：， 解得：（吨）， 则达到一级质量标准苹果的质量为（吨）， 那么方案一：总收入：（万元）， 方案二：总收入：（万元）， ∵， ∴方案一收入更高，即按分等级出售方案比较合算． 【变式训练】 1．“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折． (1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？ (2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些． 【答案】(1)当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同； (2)选甲商场的实际花费会少些，过程见解析． 【知识点】有理数乘法的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据甲商场和乙商场的优惠方案以及设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同，列出一元一次方程，再解得，即可作答． （2）根据购买500元的商品，分别算出在甲商场和乙商场的优惠方案下的实际花费费用，再比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同． 由题意得． 解得，． 答：当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同． （2）解：在甲商场实际花费为（元）． 在乙商场实际花费为（元）． ∵， ∴选甲商场的实际花费会少些． 【题型4 实际问题与一元一次方程之配套问题】 例题：某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 【答案】该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系． 先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解． 【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子． 【变式训练】 1．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 【题型5 实际问题与一元一次方程之工程问题】 例题：渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数． 【答案】38件 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，列出方程式求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件． 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天铺设桥梁构件38件． 【变式训练】 1．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 【答案】“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，则“天河一号”原来的运算速度为，根据这项任务的总量不变列出方程求解即可． 【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟． ， 解得． 答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间． 【题型6 实际问题与一元一次方程之行程问题】 例题：带着小狗的小明和小兵同时从相距米的两地相向而行，小明每分行米，小兵每分行米，小狗每分跑米．小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑，当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【答案】米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【详解】本题考查了一元一次方程的应用，设小明、小兵分相遇，根据速度和相遇时间全长，求出他们的相遇时间，再根据速度时间路程，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案，理解题意是解题的关键． 解：设小明和小兵分相遇， ， ， 解得：， 米， 答：小狗一共跑了米． 【变式训练】 1．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚． (1)求汽车的速度； (2)求A、B两地之间的路程； (3)在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求之间的路程． 【答案】(1)44千米/小时 (2)40千米 (3)100千米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程． （1 ）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间=路程和，速度差×追及时间=路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为，然后解出方程即可求出汽车的速度． （2 ）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程． （3 ）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个之间的距离加上2个之间的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去之间的距离，即可求出2个之间的距离，最后除以2，即可求出之间的距离． 【详解】（1）解：（分钟） 100分钟小时 （分钟） 120分钟小时 设汽车的速度是x千米/小时． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车的速度是44千米/小时． （2）解： （千米） 答：A、B两地之间相距40千米． （3）解： （千米） 答：之间的路程为100千米． 【题型7 实际问题与一元一次方程之数字问题】 例题：一个两位数，个位与十位上的数字的和是．如果这个两位数减去，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换．求原来的数？ 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查位值原则以及一元一次方程的应用，设这个两位数的十位数为，则个位数为，然后根据“如果这个两位数减去，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换”列出方程，求出的值，进而求出这个两位数即可．弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数为，则个位数为，得： ， 这个两位数就是， 答：原来的数是． 【变式训练】 1．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是，原来的两位数是多少？ 【答案】84 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】解决本题先设出数据，分别表示出两位数的个位和十位上的数字，再分别表示出原来两位数和对调后的两位数，然后找出等量关系列出方程求解．设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字就是，这个两位数可以表示，当个位和十位数字对调，这时两位数可以表示为，再根据两个两位数的和是，列出方程求解． 【详解】解：设原来个位上的数字为，那么十位上的数字为， ， ， ， ， ， ， 答：原来的两位数是． 【题型8 实际问题与一元一次方程之比赛问题】 例题：某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？ 【答案】九（1）班胜了7场 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，得 ， 解得． 答：九（1）班胜了7场． 【变式训练】 1．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 【题型9 实际问题与一元一次方程之几何问题】 例题：如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长． 【答案】正方形纸片的边长为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用. 设原正方形纸片的边长为，根据题意列方程计算即可. 【详解】解：设原正方形纸片的边长为，则根据题意，得 ， 解得， ∴原正方形纸片的边长为． 【变式训练】 1．如图，在一个正方形中先剪去一个宽为的长方形，再从剩下部分剪去一个宽为的长方形，若剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积． 【答案】原正方形的面积为． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，注意：第一次剪完后，剩下的这边为，难度一般，正确列出方程是解题关键．设原正方形的边长为，根据两次剪下的长方形面积正好相等，可得出方程，解出边长即可． 【详解】解：设原正方形的边长为， 根据题意得：， 解得：， ∴原正方形的面积为． 【题型10 实际问题与一元一次方程之电费和水费问题】 例题：为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ ：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元 【答案】峰电140千瓦时，谷电60千瓦时 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可逐步求解． 根据“付电费元，经测算，比不使用峰谷电节约元”，求不用“峰谷”电表的钱数：（元），所以用电量为：（千瓦时）．设用“峰电”x千瓦时，则“谷电”千瓦时，根据电费列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：（千瓦时）， 设用峰电x千瓦时，则谷电千瓦时， ， ， ， ， （千瓦时）， 答：该家庭当月使用峰电140千瓦时，使用谷电60千瓦时． 【变式训练】 1．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ 【答案】(1) (2)设该用户2月份用水 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据该用户1月份应该缴纳水费为，计算求解即可； （2）设该用户2月份用水，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元）， 故答案为：； （2）解：设该用户2月份用水， 依题意得，， 解得，， ∴该用户2月份用水． ABC分层训练 1．某车间名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓个或螺母个．现有名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，为求列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】题目中存在等量关系：生产螺栓的数量生产螺母的数量，据此可得到答案． 【详解】设现有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母． 根据生产螺栓的数量生产螺母的数量，得 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元一次方程，能根据题目中的等量关系得到方程是解题的关键． 2．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列方程、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】根据一折为，利润率，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，正确理解打折意义，利润率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 3．某比赛的计分方法为胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队共进行了14场比赛，负了5场，得14分，设该队共平了场，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：平场得分+胜场得分分，根据此列方程即可． 【详解】解：设该队共平x场，则该队胜了场，胜场得分是分，平场得分是x分． 根据等量关系列方程得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到题中的等量关系是解题的关键． 4．水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用立方米的水，下列方程正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据所交水费的金额=1.5×20+2.5×超过20立方米的数量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：1.5×20+2.5（x-20）=40． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5．太原某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】一张桌子配4把椅子，则椅子的数量为桌子的4倍，即可列出方程式． 【详解】安排x名木工加工桌子，则名木工加工椅子 所以一天能加工张桌子，把椅子 要使一天加工的桌子能与椅子配套，则椅子的数量为桌子的4倍 所以列方程为： ． 故答案选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． 6．甲、乙两个足球队连续进行对抗赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜（    ） A．5场 B．6场 C．7场 D．8场 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】共比赛场，场次结果分胜、负、平，因为各自的分值不同，故设不同的未知数将等量关系表达出来，即设甲队胜场，则平了场，由此即可求出答案． 【详解】解：根据题意，设甲队胜场，平场， ∴，解方程组得，， ∴甲队胜场，可得分， 故选：． 【点睛】本题主要考查方程在实际中的运用，理清题干要表达的意思，设未知数将等量关系表示出来，再根据实际情况取值，符合题意得即可求出正确答案，理解题意，掌握方程思想是解题的关键． 7．人住房，若每间住6个人，余8个人；若每间住7个人，则有一间房空3个床位，则可列方程为__． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据房间数相等可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 8．一件商品标价为元，以九折出售仍可获利元，这件商品的成本价为______元． 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“利润＝标价×折扣﹣成本价”，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．设这件商品的成本价为元，根据“利润＝标价×折扣﹣进价”即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设这件商品的成本价为元， 根据题意得：， 解得． 答：这件商品的进价为元． 故答案为：． 9．甲、乙两个足球队连续打对抗赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，共赛场，甲队保持不败，得分，甲队胜____场． 【答案】6 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 设甲队胜了场，则平局为，由此列式计算即可． 【详解】解：甲队保持不败，得分， ∴设甲队胜了场，则平局为， ∴， 解得，， ∴甲队胜了场， 故答案为： ． 10．全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，计划租用________条船． 【答案】5 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】设计划租用x条船，根据两种租船方式的人数相同列出方程求解即可． 【详解】解：设计划租用x条船， 由题意得， ∴， 解得， ∴计划租用5条船， 故答案为；5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 11．两个工程队合作修建一条长900米的公路，他们各从公路的一端同时相向施工．甲队每天修建35米，乙队每天修建25米，两队修建几天可以完成任务？（用方程解） 【答案】15天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程成为解题的关键． 设两队修建x天可以完成，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设两队修建x天可以完成，得： ， ， ， ． 答：两队修建15天可以完成任务． 12．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），准确理解题意，列出方程并求解是解题的关键． 设至少生产个产品，则营业额为元，成本就是元，利润为元，然后根据关系式：营业额成本利润，列方程求解即可． 【详解】解：设至少生产个产品，由题意可得： ， 即：， 解得：， 答：至少要生产个产品． 13．明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 【答案】B 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程——配套问题，理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 根据“个笔管与个笔套是一套”，若满足制成的笔管数量与笔套数量正好配套，即“笔管数量等于笔套数量”；若设用于制作笔管的短竹数为根，用于制作笔套的短竹数为根，结合题意，列出方程；若设用于制作笔套的短竹数为y根，用于制作笔管的短竹数为根，结合题意，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：若设用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔管，用于制作笔套的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：； 若设用于制作笔套的短竹数为y根，则能制成个笔套，用于制作笔管的短竹数为根，则能制成个笔套， 可列方程为：． 故选：B． 14．公司以元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，统计后发现损坏率大约在左右，再大约确定每千克柑橘的售价，从而计算大约每千克柑橘的实际售价为（   ）元时（精确到0.1），可获得12000元利润． A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】先算出完好柑橘的质量，再根据成本、利润的关系列出方程求解售价．本题主要考查一元一次方程在利润问题中的应用，熟练掌握利润 = 售价×销售量 - 成本，根据等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设每千克柑橘的售价为元．由题意得， 化简得 移项得 解得 故选： ． 15．足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一方程的实际应用，设该队胜了x场，根据题中的等量关系：平场得分胜场得分分，列出方程，即可解题 【详解】解：设该队胜了x场，则该队平了场， 胜场得分是分，平场得分是分． 根据等量关系列方程得：． 故选：B． 16．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 17．某个工厂有12名技术工人，平均每人每天可加工甲种零件24个或乙种零件15个，2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套．设安排名技术工人生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则列出下列方程：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排x个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件，根据2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套，即可得出关于x的一元一次方程，变形后即可得出结论． 【详解】解：设安排x个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件， 依题意，得： ∴， ∴方程①②③正确． 故选：A． 18．某服装店现有一款热卖的连衣裙，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率注：利润率不低于的情况下，打x折，则下列说法正确的是（ ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款连衣裙可以打折 D．该款连衣裙最多打折 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】设打x折销售，根据标价打折进价利润，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设打x折销售， 根据题意得：， 解得：， 即该款连衣裙最多打折， 故选： 19．油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图所示，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套? 设生产圆形铁片的工人有人，则生产长方形铁片的工人有________人，依题意可列方程为_______． 【答案】 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为（42-x）人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为（42-x）人， 根据题意，得2×80（42-x）=120x， 故答案为：，2×80（42-x）=120x． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 20．完成下面的填空： 一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件仍获利元，这种服装每件的成本是多少元？ 我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为_________元；每件服装的实际售价为___________元； 每件服装的利润为____________元. 由此，列出方程_________________. 解这个方程，得______________. 因此每件服装的成本价是___________元. 【答案】 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可得每件衣服的标价、售价、利润关于x的代数式，根据售价-标价=利润列出方程求解即可． 【详解】每件服装的标价为：(1+40%)x， 每件服装的实际售价为：(1+40%)x×80%， 每件服装的利润为：(1+40%)x×80%−x， 列出方程：(1+40%)x×80%−x=15， 解方程得：x=125， 因此每件服装的成本价是125元. 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找出等量关系. 21．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 22．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 23．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)胜2场，负9场 (3)不可能实现，理由见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）观察C队和D队积分，即可解答； （2）设E队胜场，利用E队的积分是13分，得到等量关系，再列出方程求出的值，即可解答； （3）由题意得，D队还有7场比赛，假设D队剩下7场全胜，算出最终积分，再与32分比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：观察C队和D队积分可知，球队胜一场积分， 负一场积分， 球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2；1． （2）解：设E队胜场，则负场， 由题意得，， 解得：， ， 答：E队已经进行了11场比赛中胜2场，负9场． （3）解：不可能实现，理由如下： 每个球队各有18场比赛，D队已经进行了11场比赛， D队还有场比赛， 假设D队剩下7场全胜，则最终积分， 又， D队不可能实现最终积分达到32分． 24．国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买16人的团体票，再买4张学生票 【知识点】有理数乘法的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购16张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得： 解得： 学生人数为人，成人人数为8人． 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用： 元 所以，购团体票更省钱． （3）若成人和学生分开买票，费用：（元）， 若购买团体票，费用：（元） 最省的购票方案为：买16人的团体票，再买4张学生票． 25．（经济问题）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 【答案】(1)方案一：304000元，方案二：302400元 (2)2 (3) 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式的应用，一元一次方程的应用． （1）先计算出面积，根据优惠方式分别计算总金额即可； （2）用含x的式子表示出两个方案的金额，进而列出方程，解方程即可； （3）先计算出平均每月应还的贷款本金数额，再计算出月利息，相加即可． 【详解】（1）解：方案一：厨房收费面积：， 总面积：， 收费：（元）； 方案二：总面积： 收费：（元）； （2）解：卫生间宽为x时， 方案一： 面积为：， 收费：； 方案二： 面积为：， 收费： 令， 解得， 即时两种优惠方案的总金额一样多； （3）解：（元）， 时， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3实际问题与一元一次方程 学习目标导航 1、能从实际问题中找出已知量和未知量，分析数量关系，准确找出等量关系并列出方程。 2、掌握列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），养成规范解题的习惯。 3、能根据实际问题的背景检验方程解的合理性，体会“实际问题 → 数学模型 → 实际问题”的完整过程，发展数学建模和应用意识。 洞悉◆教材知识 知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤 （1）审：审清题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的等量关系； （2）设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）； （3）列：根据题目中的相等关系列出方程； （4）解：解所列出的方程，求出未知数的值； （5）检：检验所得结果是否符合题意； （6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 核心题型◆归纳 【题型1 实际问题与一元一次方程之古代问题】 【题型2 实际问题与一元一次方程之销售问题】 【题型3 实际问题与一元一次方程之方案问题】 【题型4 实际问题与一元一次方程之配套问题】 【题型5 实际问题与一元一次方程之工程问题】 【题型6 实际问题与一元一次方程之行程问题】 【题型7 实际问题与一元一次方程之数字问题】 【题型8 实际问题与一元一次方程之比赛问题】 【题型9 实际问题与一元一次方程之几何问题】 【题型10 实际问题与一元一次方程之电费和水费问题】 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 实际问题与一元一次方程之古代问题】 例题：我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量． 【变式训练】 1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？ 【题型2 实际问题与一元一次方程之销售问题】 例题：某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 (1)求上表中m的值； (2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 【变式训练】 1．今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票． (1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？ (2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？ 【题型3 实际问题与一元一次方程之方案问题】 例题：王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的． 方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元． 方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元． 请你算一算，按哪种方案出售比较合算． 【变式训练】 1．“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折． (1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？ (2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些． 【题型4 实际问题与一元一次方程之配套问题】 例题：某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 【变式训练】 1．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【题型5 实际问题与一元一次方程之工程问题】 例题：渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数． 【变式训练】 1．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 【题型6 实际问题与一元一次方程之行程问题】 例题：带着小狗的小明和小兵同时从相距米的两地相向而行，小明每分行米，小兵每分行米，小狗每分跑米．小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑，当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【变式训练】 1．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚． (1)求汽车的速度； (2)求A、B两地之间的路程； (3)在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求之间的路程． 【题型7 实际问题与一元一次方程之数字问题】 例题：一个两位数，个位与十位上的数字的和是．如果这个两位数减去，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换．求原来的数？ 【变式训练】 1．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是，原来的两位数是多少？ 【题型8 实际问题与一元一次方程之比赛问题】 例题：某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？ 【变式训练】 1．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【题型9 实际问题与一元一次方程之几何问题】 例题：如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长． 【变式训练】 1．如图，在一个正方形中先剪去一个宽为的长方形，再从剩下部分剪去一个宽为的长方形，若剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积． 【题型10 实际问题与一元一次方程之电费和水费问题】 例题：为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ ：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元 【变式训练】 1．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准： 用水量/月 单价（元/） 不超过 超过的部分 (1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元． (2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？ ABC分层训练 1．某车间名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓个或螺母个．现有名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按配套，为求列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（   ） A． B． C． D． 3．某比赛的计分方法为胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队共进行了14场比赛，负了5场，得14分，设该队共平了场，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用立方米的水，下列方程正确的是（　　　） A． B． C． D． 5．太原某家具加工厂有21名木工加工桌子和椅子，一张桌子配4把椅子，已知每名木工一天能加工5张桌子或者8把椅子，若安排x名木工加工桌子，则恰好一天加工的桌子能与椅子配套，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两个足球队连续进行对抗赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜（    ） A．5场 B．6场 C．7场 D．8场 7．人住房，若每间住6个人，余8个人；若每间住7个人，则有一间房空3个床位，则可列方程为__． 8．一件商品标价为元，以九折出售仍可获利元，这件商品的成本价为______元． 9．甲、乙两个足球队连续打对抗赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，共赛场，甲队保持不败，得分，甲队胜____场． 10．全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，计划租用________条船． 11．两个工程队合作修建一条长900米的公路，他们各从公路的一端同时相向施工．甲队每天修建35米，乙队每天修建25米，两队修建几天可以完成任务？（用方程解） 12．小明的爸爸在工业区办了一个工厂，投产后核算，产品的成本分两部分，一部分是直接生产成本，每个需元，另一部分是管理、宣传、营销等与产品数量无关的费用，全部需元．如果此产品的定价为元，那么要使利润达到营业额的，至少要生产多少个产品？ 13．明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成?”也就是说：有根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管个或笔套个，怎样安排制作笔管或笔套的短竹数量，使制成的笔管数量与笔套数量正好配套?下列说法正确的是（   ） A．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 B．设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为 C．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 D．设用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为 14．公司以元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，统计后发现损坏率大约在左右，再大约确定每千克柑橘的售价，从而计算大约每千克柑橘的实际售价为（   ）元时（精确到0.1），可获得12000元利润． A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8 15．足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 16．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．某个工厂有12名技术工人，平均每人每天可加工甲种零件24个或乙种零件15个，2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套．设安排名技术工人生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则列出下列方程：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 18．某服装店现有一款热卖的连衣裙，进价为280元/件，售价为400元/件．现准备打折销售，在保证利润率注：利润率不低于的情况下，打x折，则下列说法正确的是（ ） A．依据题意得 B．依据题意得 C．该款连衣裙可以打折 D．该款连衣裙最多打折 19．油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图所示，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套? 设生产圆形铁片的工人有人，则生产长方形铁片的工人有________人，依题意可列方程为_______． 20．完成下面的填空： 一家商店将某种服装按成本价提高后标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件仍获利元，这种服装每件的成本是多少元？ 我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差，如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为_________元；每件服装的实际售价为___________元； 每件服装的利润为____________元. 由此，列出方程_________________. 解这个方程，得______________. 因此每件服装的成本价是___________元. 21．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 22．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 23．下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积 分，负一场积 分； (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 24．国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 25．（经济问题）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是8000元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为x米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是8000元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)若时，分别求出两种方案的总金额是多少？ (2)求x取何值时，两种优惠方案的总金额一样多？ (3)张先生因现金不够，于2023年1月在某银行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是，每月还款数额平均每月应还的贷款本金数额月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率．假设贷款月利率不变，若张先生在借款后第n（，n是正整数）个月的还款数额为P，请写出P与n之间的关系式． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $