第3讲 数轴讲义（2大知识点+7大题型共45题）2026-2027人教版七年级数学上册同步讲义系列

本讲义聚焦初中数学“数轴”核心知识点，系统梳理数轴的概念（规定原点、正方向、单位长度的直线）、画法（一画直线、二取原点、三定方向、四标单位长度），以及用数轴上的点表示有理数（正有理数在原点右、负有理数在原点左、0在原点），并延伸至距离、整点覆盖、点的移动等应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料以知识点分块讲解为基础，设计7类典型题型（含典例与变式练习），结合综合检测与中考真题。通过判断数轴正误、在数轴上标原点等实例，培养学生抽象能力与几何直观，规律探究题型（如正六边形翻转）提升推理意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

第3讲 数轴 学习目标 1、理解数轴的概念，会画数轴。 2、能用数轴上的点表示有理数. 核心素养：抽象能力、几何直观 知识结构 知识点一 数轴 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 2、相关概念：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 3、数轴的画法 步骤 画法 图示 一画 先画一条直线（一般画成水平的直线） 二取 在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数0（在原点下边标上0） 三定 规定正方向（一般规定从原点向右为正方向），画上箭头 四标 在数轴上，选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1，2，3，…;从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上−1, −2, −3,… 提醒：(1)画数轴时，原点的位置、正方向的选择、单位长度的大小，都是根据需要独自 “规定”的，但一经选定后就不能随意改变； (2)同一数轴上的单位长度必须是统一的； (3)数轴是一条向两方无限延伸的直线，因此，所画数轴的两端不要描点. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐项判断即可． 【详解】解：图（1）有单位长度和正方向，有原点，故正确； 图（2）有原点和单位长度，但没有正方向，故不正确； 图（3）有原点和正方向，但所画负半轴上的数字排列顺序不对，故不正确； 图（4）有原点和正方向，但单位长度不一致，故不正确； 综上，四个选项中，只有（1）正确． 故选：B． 【基础练习1-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题考查数轴，明确数轴的概念和三要素是关键．根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A、规定直线上向右为正方向，故本选项错误，不符合题意； B、同一数轴上的单位长度一定相等，故本选项错误，不符合题意； C、数轴上的原点两边的点不可以表示同一个数，故本选项错误，不符合题意； D、数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 知识点二 用数轴上的点表示有理数 知识点一 1、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 2、表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0用原点表示. 提醒：(1)一个有理数只能用数轴上的一个点表示; (2)在数轴上，一部分点表示有理数，另一部分点表示无理数（后面会学到无理数）. 【基础练习2-1】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】 (1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】 (1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 题型1 数轴的三要素及其画法 【典例】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图中缺少原点和正方向，故A错误； B、具备原点、正方向和单位长度，且数字排列顺序正确，故B正确； C、原点左侧负数排列顺序错误，应在的右侧，故C错误； D、到0的距离与0到1的距离不相等，即单位长度不统一，故D错误． 【变式练习1-1】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段检测）如图所画数轴正确的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：①单位长度不统一，故本选项错误； ②不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ③不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； ④符合数轴的特点，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答此题的关键． 【变式练习1-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法不正确的是（    ） A．数轴上的单位长度必须相等 B．规定直线上向左的方向为正方向 C．数轴上的原点可以任意选取 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 【答案】B 【分析】根据数轴的概念和三要素逐一分析即可． 【详解】解：A．同一数轴单位长度必须相等，正确； B．规定直线上向右为正方向，错误； C．可以在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点，正确； D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴的定义，规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫数轴． 判断数轴是否正确的两个“标准” (1)是否具备三要素；(2)数字排列顺序是否正确. 画数轴时常见的五种错误 (1)漏画原点；(2)没有标出正方向；(3)没有标出单位长度或单位长度不统一;(4)标数时顺序错误；(5)画成射线. 题型2 用数轴上的点表示有理数 【典例】（2026·湖北孝感·三模）如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P 【答案】A 【详解】解：由图可知，数轴上表示的点是M． 【变式练习2-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图中，数轴上的点A，B，C，D分别表示什么数？ （2）请画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点： 1，，，2.5，0． 【答案】（1）A表示3，B表示：，C表示：，D表示：0；（2）数轴见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数，掌握数轴的概念是解题的关键； （1）观察数轴上点的位置，根据原点、单位长度和正方向，直接读取对应点的数值． （2）绘制数轴三要素：原点、正方向（右）、单位长度，根据各数的正负在数轴对应位置标注点． 【详解】解：（1）点A表示的数：3； B表示的数：； 点C表示的数：； 点D表示的数：0； （2）解：如图所示： 数轴的两个最基本的应用： 1、知点读数：(1)确定点在正半轴上或负半轴上（决定数的正负）；(2)确定点到原点的距离. 2、知数画点：在数轴上找对应点，表示正数的点画在正半轴上，表示负数的点画在负半轴上. 题型3 数轴上两点之间的距离 【典例】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 【变式练习3-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，先求出，进而得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是2026， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数是， 故选：B． 易错警示:到某个点的距离为某个正数的点有两个，分别在这个点的两侧.遇到类似问题，不要凭空想象，要结合数轴求解. 题型4 数轴上的整点覆盖问题 【典例】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念以及整数的范围确定．确定遮挡的整数范围是解题的关键． 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 遮挡的区间是到，数出该区间的整数即可解答． 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 题型5 数轴上点的移动 【典例】（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 【变式练习5-1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 【变式练习5-2】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）将数轴上与0之间的一个点向右平移2个单位长度，所得到的点表示的数一定在（   ） A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的平移问题，在数轴上向右平移2个单位长度，即增加2，据此即可得出答案． 【详解】解：，， ∴将数轴上与0之间的一个点向右平移2个单位长度，所得到的点表示的数一定在1与2之间． 故选：B． 易错警示:数轴上点在移动时，时刻注意点移动的方向 题型6 与数轴相关的规律探究 【典例】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 【变式练习6-1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式练习6-2】（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 题型7 新定义问题 【典例】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 【变式练习7-1】（2024·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 【变式练习7-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】 (1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 综合检测 一．选择题 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特点，根据数轴包括原点，正方向，单位长度，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方向不对，不符合题意； B、原点，正方向，单位长度均符合数轴特点，符合题意； C、没有正方向，单位长度也不对，不符合题意； D、单位长度不一致，不符合题意； 故选：B ． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【详解】解：数轴上点M表示的数可能是1.5． 3．（24-25七年级上·广西防城港·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置关系，通过点A表示的数以及A、B两点间的距离来确定点B表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴从数轴上可以看出点A到点B的距离是4个单位长度， ∵点B在点A右侧， ∴点B表示的数比点A表示的数大4，即． 4．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点间距离的计算，用右侧点表示的数减去左侧点表示的数即可求解 【详解】解：∵在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是． 故选：A 5．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 6．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 8．（24-25七年级上·浙江·阶段检测）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为，， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 二．填空题 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在下图中，点A表示的数是_______． 【答案】 / 【详解】解：由数轴可知点A表示的数是. 10．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． 11．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）在数轴上，若点到点的距离刚好是5，则点叫做点的“和谐点”．如图，点表示的数为，则点的“和谐点”所表示的数应该是______． 【答案】或3 【分析】本题考查了绝对值，新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用． 分两种情况讨论，点在点的左边和点在点的右边，即可求解． 【详解】解：若点在点的左边，则点表示的数是往左边数5个单位长度，即； 若点在点的右边，则点表示的数是往右边数5个单位长度，即3． 综上所述，点的“和协点”所表示的数应该是或3． 故答案为：或3 三．解答题 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 16．（25-26七年级上·全国·周测）如下图，点A表示，点B表示4． (1)在数轴上标出原点． (2)有一点C到原点与到点B的距离相等，写出点C表示的数，并在数轴上表示出来． 【答案】 (1)见解析 (2) 点表示的数为，见解析 【分析】本题考查了数轴的相关知识，包括确定原点位置以及根据点与点之间的距离关系确定点所表示的数并在数轴上表示． （1）已知点表示，点表示，根据原点是数轴上表示的点即可解答； （2）根据点到原点与到点的距离相等，点表示，可得点表示的数为，即可解答． 【详解】（1）解：点表示，点表示． 原点位于点右边个单位长度处． 如图所示， （2）解：点到原点与到点的距离相等，点表示． 点到原点的距离为即点表示的数为． 在数轴上标出点如图， 17．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)标出原点的位置； (2)已知点在表示数1、2的两个点的正中间，那么点表示的数是：______； (3)已知点表示，点表示，在图中标出点、点的位置； 【答案】 (1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据数轴上的有理数1、2即可得原点的位置； （2）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （3）由题意在数轴上标出点、点的位置即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求的原点的位置； （2）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是，故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求的点、点的位置． 18．（25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】 (1) (2)点表示的数为，点表示的数为， (3)或． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点到点，点的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 中考真题 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上数的表示及有理数的大小比较，解题的关键是根据点在数轴上的位置确定其表示的数的取值范围，再与选项对比．明确数轴上数的分布特点：原点左侧为负数，右侧为正数，且离原点越近数值的绝对值越小；由题意知点A在0与之间，因此点A表示的数是大于且小于0的负数；分析各选项，找出符合该取值范围的数． 【详解】解：∵点A在数轴上0与中间， 结合四个选项可得：数轴上点表示的数可能是 故选：B． 2．（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 3．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键． 观察数轴得到表示的点即可． 【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 数轴 学习目标 1、理解数轴的概念，会画数轴。 2、能用数轴上的点表示有理数. 核心素养：抽象能力、几何直观 知识结构 知识点一 数轴 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 2、相关概念：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 3、数轴的画法 步骤 画法 图示 一画 先画一条直线（一般画成水平的直线） 二取 在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数0（在原点下边标上0） 三定 规定正方向（一般规定从原点向右为正方向），画上箭头 四标 在数轴上，选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1，2，3，…;从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上−1, −2, −3,… 提醒：(1)画数轴时，原点的位置、正方向的选择、单位长度的大小，都是根据需要独自 “规定”的，但一经选定后就不能随意改变； (2)同一数轴上的单位长度必须是统一的； (3)数轴是一条向两方无限延伸的直线，因此，所画数轴的两端不要描点. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【基础练习1-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法正确的是（    ） A．规定直线上向左的方向为正方向 B．所有数轴上的单位长度一定相等 C．数轴上的原点两边的点可以表示同一个数 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 知识点二 用数轴上的点表示有理数 知识点一 1、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 2、表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0用原点表示. 提醒：(1)一个有理数只能用数轴上的一个点表示; (2)在数轴上，一部分点表示有理数，另一部分点表示无理数（后面会学到无理数）. 【基础练习2-1】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【基础练习2-2】（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 题型1 数轴的三要素及其画法 【典例】（24-25七年级上·江苏扬州·周测）如图所示的是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1-1】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段检测）如图所画数轴正确的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式练习1-2】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列关于数轴的说法不正确的是（    ） A．数轴上的单位长度必须相等 B．规定直线上向左的方向为正方向 C．数轴上的原点可以任意选取 D．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 判断数轴是否正确的两个“标准” (1)是否具备三要素；(2)数字排列顺序是否正确. 画数轴时常见的五种错误 (1)漏画原点；(2)没有标出正方向；(3)没有标出单位长度或单位长度不统一;(4)标数时顺序错误；(5)画成射线. 题型2 用数轴上的点表示有理数 【典例】（2026·湖北孝感·三模）如图，数轴上表示的点是（     ） A．M B．N C．O D．P 【变式练习2-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【变式练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图中，数轴上的点A，B，C，D分别表示什么数？ （2）请画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点： 1，，，2.5，0． 数轴的两个最基本的应用： 1、知点读数：(1)确定点在正半轴上或负半轴上（决定数的正负）；(2)确定点到原点的距离. 2、知数画点：在数轴上找对应点，表示正数的点画在正半轴上，表示负数的点画在负半轴上. 题型3 数轴上两点之间的距离 【典例】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【变式练习3-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A表示的数是2026，，则点表示的数是（   ） A．2026 B． C． D． 易错警示:到某个点的距离为某个正数的点有两个，分别在这个点的两侧.遇到类似问题，不要凭空想象，要结合数轴求解. 题型4 数轴上的整点覆盖问题 【典例】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【变式练习4-1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【变式练习4-2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____． 题型5 数轴上点的移动 【典例】（2026·河南焦作·二模）如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式练习5-1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式练习5-2】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）将数轴上与0之间的一个点向右平移2个单位长度，所得到的点表示的数一定在（   ） A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间 易错警示:数轴上点在移动时，时刻注意点移动的方向 题型6 与数轴相关的规律探究 【典例】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【变式练习6-1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【变式练习6-2】（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 题型7 新定义问题 【典例】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【变式练习7-1】（2024·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式练习7-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 综合检测 一．选择题 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B．0.5 C．1.5 D．2 3．（24-25七年级上·广西防城港·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，那么点B表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是（   ） A．5 B． C．1 D． 5．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 6．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（24-25七年级上·浙江·阶段检测）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（   ） A． B． C． D． 二．填空题 9．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在下图中，点A表示的数是_______． 10．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第______（填序号）段上有三个整数． 11．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 12．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 13．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 14．（24-25七年级上·全国·单元测试）在数轴上，若点到点的距离刚好是5，则点叫做点的“和谐点”．如图，点表示的数为，则点的“和谐点”所表示的数应该是______． 三．解答题 15．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 16．（25-26七年级上·全国·周测）如下图，点A表示，点B表示4． (1)在数轴上标出原点． (2)有一点C到原点与到点B的距离相等，写出点C表示的数，并在数轴上表示出来． 17．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)标出原点的位置； (2)已知点在表示数1、2的两个点的正中间，那么点表示的数是：______； (3)已知点表示，点表示，在图中标出点、点的位置； 18．（25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 中考真题 1．（2025·宁夏·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（   ） A．M B．N C．P D．Q 学科网（北京）股份有限公司 $