15.3.2 等边三角形 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习通过选择、填空、解答题的梯度设计，覆盖等边三角形性质与判定的基础应用到综合探究，强化数学眼光、思维与语言的核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等边三角形的性质与判定|选择题1直接考查判定，填空题7结合平行线性质，夯实概念理解| |中档层|性质与其他知识综合应用|填空题12动点问题，解答题13证明定理，培养推理能力与几何直观| |提升层|探究性与拓展应用|解答题18操作探究线段关系，体现创新意识与数学表达能力|

15.3.2 等边三角形 同步练习 一、选择题： 1.已知，，是三角形的三边长，且满足，那么这个三角形一定是  (    ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 2.如图，在四边形中， ，是的平分线，且，那么的度数是  (    ) A. B. C. D. 3.如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在等边三角形中，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.有下列三角形：有两个角等于的三角形有一个角等于的等腰三角形三个外角每个顶点处各取一个外角都相等的三角形一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的个数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在等边中，已知，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么            8.将一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角，则          ． 9.如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为若，则的边长为          ． 10.如图，在中，，为中点，且，则的度数为          ． 11.如图，是等边三角形的中线，，则          ． 12.如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为        ． 3、 解答题： 13.同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请选择一种进行证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，． 求证：． 方法一 方法二 证明：延长至点，使，连接． 证明：在上截取， 连接． 选择方法          ． 14.如图，在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，求证： 是等边三角形； ． 15.如图，和均是边长为的等边三角形，，分别是，上的两个动点，且满足。 求证：。 判断的形状，并说明理由。 16.已知：如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，． 求证：． 17.如图，已知是等边三角形，，分别是，边上的点，，连接，相交于点，于，若，，求的长． 18.某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点不与点，重合，作，的边交射线于点． 【动手操作】如图，若点在线段上，则图中与相等的角为           【问题探究】在的条件下，探究线段与的数量关系，并说明理由 【拓展延伸】当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】85 【解析】解：如图所示： A 2 E ,∵△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°， .∠1=25°， 答案和解析 第1页，共1页 ∴.∠EAC=∠BAC+∠1=85°， ,光线AE/ICF, .∴.∠2=∠EAC=85°. 故答案为：85°. 8.【答案】130° 解：如图， 由等边三角形和直角三角形可得∠1+Q=120°，∠2+B=90°， .∠1+∠2+a+B=90°+120°=210°， 且∠3=+β， .∴.a+B=80°， .∴.∠1+∠2=210°-80°=130°， 故答案为130°. 9.【答案】4 10.【答案】60 解：.∠ACB=90°，D为AB中点， ∴.AD=CD=BD, CA=CD, 第2页，共1页 ∴.△ACD是等边三角形， ∴.∠A=60°. 11.【答案】15 解：，'AD是等边三角形ABC的中线， :AD1BC,∠BAD=∠CAD=2∠BAC=×600=30, .∴.∠ADC=90 AD=AE' :∠ADE=∠AED=180°-∠CAD=750, 2 ∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15° 12【答案)2 【解析】解：设AB的中点为点F,连接DF,CE,如图， B F .∠ACB=90°，∠A=30°， .∠ABC=60°，BC=BF=AF=AB, △DBE为等边三角形， 第3页，共1页 ∴.BE=BD,∠DBE=60°=∠ABC, ∴.∠CBE=∠FBD, 在△BCE和△BFD中， BE=BD ∠CBE=∠FBD, BC=BF ∴.△BCE≌△BFD(SAS), ∴.CE=FD, 当PD1AC时，D取袋小值%DF-AF号DC-×5-多， 5 CE长的最小值为2， 故答案为：2 13.【答案】一或二) 选择方法一， 证明：延长BC至点D,使CD=BC,连接AD ,∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴.∠B=90°-∠BAC=60°，∠ACD=180°-∠ACB=90°. ∴.∠ACD=∠ACB=90°. AC=AC, 在△BCA和△DCA中， ∠ACB=∠ACD, BC=DC, .∴.△BCA≌△DCA(SAS). ∴.AD=AB ∴.△ABD是等边三角形. 第4页，共1页 ∴.AB=BD BC=CD=I BD, 2 .'BC=-AB 2 选择方法二， 证明：在AB上截取BE=BC,连接CE .∠ACB=90°，∠A=30°， .∠B=90°-∠A=60°. ∴.△BCE是等边三角形. .∴.BC=BE=EC,∠BCE=60°. .∠ECA=∠ACB-∠BCE=30°. .∠ECA=∠A=30°. .∴.EC=EA. BC=BE=EA=AB,即BC=AB, 14.【答案】【小题1】 证明：，'AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠DAC=)∠BAC. .∠BAC=120 ∠BAD=∠DAC=x120°=60. 又.'AD=AB, ·△ABD是等边三角形. 【小题2】 第5页， 共1页 证明：，△ABD是等边三角形， ∴.∠ABD=∠ADB=60'BD=AD .∠EDF=60 ∴.∠ADB=∠EDF' ∴.∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE' .∴.∠BDE=∠ADF 在△BDE和△ADF中， ∠DBE=∠DAF=60°， BD=AD, ∠BDE=∠ADF, .△BDE≌△ADF(ASA)' ∴.BE=AF 15.【答案】【小题1】 证明：，'△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴.∠BDE=∠C=60, AE+CF=2, ∴.CF=2-AE, 又.DE=AD-AE=2-AE, ∴.DE=CF, 在△BDE和△BCF中， 第6页， 共1页 DE=CF BDE=∠C=60°， BD=BC .△BDE≌△BCF(SAS). 【小题2】 △BEF为等边三角形理由如下： 由1)可知△BDE≌△BCF, ∴.BE=BF,∠DBE=∠CBF, ∴.∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC=60°， ∴△BEF是等边三角形. 16.【答案】证明：作DG/1BC交AC于G,如图所示： 则∠DGF=∠ECF,在△DFG和△EFC中， ∠DGF=∠ECF, ∠DFG=∠EFC,∴.△DFG≌△EFC(AAS),∴.GD=CE,.'△ABC是等边三角形， FD=EF, ∴.∠A=∠B=∠ACB=60°，.DG//BC,∴.∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB ∴.∠A=∠ADG=∠AGD,∴.△ADG是等边三角形，.AD=GD,∴.AD=CE 【解析】略 17.【答案】解：.'△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAE=∠C=60°. AE=CD 在△ABE和△CAD中， ∠BAE=∠C, AB=AC 第7页，共1页 ∴.△ABE2△CAD(SAS)' ∴.BE=AD'∠ABE=∠CAD' ∴.∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠ .BQ⊥AD ∴.∠BQP=90°’ ∴.∠PBQ=30 .PQ=3 ∴.BP=2PQ=6 又.PE=1, .∴.BE=BP+PE=7' ∴.AD=BE=7 18.【答案】【小题1】 ∠PAC 【小题2】 PA=PE.理由如下：如图①，延长MB至H, .△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABC=60°. .BM//AC, ∴.∠CBH=∠ACB=60°. BAP=∠BAC=60 使BH=BP,连接PH. 第8页，共1页 又.BH=BP,∴△BPH是等边三角形. .∴.PH=BP,∠H=∠BPH=60°=∠AB .∠APE=60°=∠BPH, ∴.∠APB=∠EPH ∴.△APB≌△EPH(ASA). .∴.AP=PE. B、 H ① 【小题3】 当点P在线段BC上时，BC=BP+BE;当点P在线段CB的延长线上时，BE=BP+BC.理由如下： 当点P在线段BC上时，由2)可知△APB≌△EPH, ∴.AB=EH.△ABC是等边三角形，∴.AB=BC. .'BC=EH=EB+BH=BE+BP. 如图②，当点P在线段CB的延长线上时，在BE上截取BH=BP,连接PH. .△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°. .BM/AC,∴.∠PBH=∠ACB=60°. 又.BP=BH,∴.△BPH是等边三角形 ∴.PH=BP,∠BHP=∠BPH=60°=∠ABC. .∴.∠EHP=∠ABP=120°. .'∠APE=60°=∠BPH,.∴.∠APB=∠EPH. ∴.△APB≌△EPH(ASA).∴.EH=AB. 又'AB=BC,∴.BE=BH+EH=BP+BC. 综上，当点P在线段BC上时，BC=BP+BE;当点P在线段CB的延长线上时，BE=BP+BC 第9页，共1页 E A H P B ② 第10页，共1页15.3.2等边三角形同步练习 一、选择题： 1.已知a,b,c是三角形的三边长，且满足(a-b)2+b-c=0,那么这个三角形一定是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 2.如图，在四边形ABCD中，AD/IBC,CE是∠BCD的平分线，且CE=CD,那么∠D的度数是() A.50° B.60° C.70 D.809 3.如图，直线a//b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上，若∠1=45°，则∠2的度数为() 2 B A.45° B.90° C.80° D.75° 4.如图，在等边三角形ABC中，AB=4,BD1AB,CD/AB,则CD的长为() D A月 B.2 c D.3 5.有下列三角形：①有两个角等于60的三角形；②有一个角等于60的等腰三角形，③三个外角（每个顶点 处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三角形的 个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 第1页，共5页 6.如图，在等边△ABC中，已知△ABD兰△CAE,则∠DFC的度数为() D A.60° B.45° C.40 D.30° 二、填空题： 7.如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1=25°，那么∠2= A B 8.将一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3=80°，则∠1+ L2=-· 9.如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE1AC,垂足为E若AE=1,则△ABC的边长为一 A B 10.如图，在△ABC中，LACB=90°，D为AB中点，且CA=CD,则∠A的度数为一°. D 第2页，共5页 11.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD,则LEDC=一 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5,点D是边AC上的动点，以BD为边，向下作如 图所示等边△DBE,连接CE,则CE长的最小值为一· E D 三、解答题： 13.同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面 是两种添加辅助线的证明方法，请选择一种进行证明. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， 求证：BC=3AB. 方法一 方法二 证明：在AB上截取BE=BC, 证明：延长BC至点D,使CD=BC,连接AD, 连接CE. B B C 选择方法 第3页，共5页 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC,垂足为G,且AD=AB.∠EDF=60°，其两边 分别交边AB,AC于点E,F.求证： (1)△ABD是等边三角形； (2)BE AF. G 15.如图，·ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E,F分别是AD,CD上的两个动点，且满足AE+CF=2。 (1)求证：△BDE兰aBCF。 (②)判断△BEF的形状，并说明理由。 B 16.己知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E,EF= FD. 求证：AD=CE, 第4页，共5页 17.如图，己知△ABC是等边三角形，D,E分别是BC,AC边上的点，AE=CD,连接AD,BE相交于点P,BQ1AD 于Q,若PQ=3,PE=1,求AD的长. 力 B D 18.某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究.如图，在等边三角形ABC中，过点 B作射线BMI/AC,在射线CB上取一点P(不与点B,C重合)，作LAPE=60°，∠APE的边PE交射线BM于点E. E B P (1)【动手操作】如图，若点P在线段CB上，则图中与∠EPB相等的角为； (2)【问题探究】在(1)的条件下，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由： (3)【拓展延伸】当点P在射线CB上移动时，用等式表示线段BC,BP,BE之间的数量关系，并说明理由. 第5页，共5页