专题4.4 角的比较与补（余）角（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦角的比较与补（余）角核心知识点，系统梳理角的度量法与叠合比较，角的和差运算，角平分线定义及计算，余角补角概念、性质及应用，尺规作图作等角，构建从基础比较到运算推理再到实际应用的递进学习支架。 资料以“即学即练+典例变式+题型分类”为特色，通过三角板叠放、动角旋转等情境培养几何直观与推理意识，结合方位角、光线折射等实际问题发展应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题4.4 角的比较与补（余）角 教学目标 1.掌握叠合法、度量法比较角的大小，理解角平分线定义，能用几何符号表达角平分线的数量关系，完成相关角度推理计算。 2.理解余角、补角的概念，熟记余角、补角的数量关系式，掌握 “同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等” 两条性质并灵活运用。 3.通过画图、度量、推理、分类归纳等活动，规范几何文字与符号语言，培养几何直观与简单逻辑推理能力，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）角的比较方法，角平分线定义及相关角度计算； （2）余角、补角的概念与数量关系，余角、补角的性质。 2. 难点 （1）结合角平分线、互余互补性质进行综合性角度推理计算题； （2）理解同角（等角）的余角、补角相等的几何逻辑，并结合图形完成证明说理。 知识点01 角的比较 1. 度量法，测量度数大的那个角就 ，反之，度数小的那个角就小 。 2. 叠合法：利用尺规作图把其中的一条边 ，通过观察另一条边的位置作比较。 【即学即练】 1．如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 知识点02 角的运算 1. 角的和：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作 。 2. 角的差：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作 。 3. 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减；分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 2．如果，，那么和的关系是 ______ ． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个 ，这条射线叫作这个角的平分线。 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内的一条射线，，则_______． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在直线上，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数．（用含的代数式表示） 知识点04 余角和补角 1. 补角：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补。其中一个角是另一角的补角。 2. 余角：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余。其中一个角是另一角的余角。 3. 补角的性质： 。 4. 余角的性质： 。 【即学即练】 1．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川自贡·期末）如果一个角的补角比这个角的余角2倍还多10度，这个角是多少度？ 知识点05 尺规作图——作已知角相等的角 求作：已知∠AOB，作∠DEF，使得∠DEF=∠AOB。 作法：① 作射线EG；如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； ② 在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点P，Q； ③ 以点E为圆心，线段OP长为半径作弧，交射线EG于点D； ④ 以点D为圆心，线段PQ长为半径作弧，与③中所作弧交于点F； ⑤ 作射线EF，∠DEF即为所求。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在的边上，请用尺规作图法，在射线的上方，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图所示，已知，（），求作． 题型01 角的比较 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 快速判定规律：角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短、摆放位置、旋转方向无关。 【变式1】如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（   ）． A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，变小 D．，都变小 【变式3】如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 题型02 角平分线的有关计算 【典例1】O是直线上一点，平分，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知点在同一条直线上，是的角平分线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，，求的度数． 三大等价公式：（若OC平分∠AOB）①；②。 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，是的平分线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点E，B，C在同一直线上，平分．若，则____________． 【变式3】若的二等分线为，，则_________． 【变式4】（25-26七年级上·重庆大足·期末）如图，射线、在的内部，、分别平分与． (1)若，，求的度数． (2)若，，请直接用含，的式子表示． 题型03 角等分线的有关计算 【典例1】如图，已知，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式1】，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】，射线是它的四等分线，则_________． 【变式3】如图，，平分，． (1)求的度数． (2)亲爱的同学，你还能求出哪个角的度数？直接写出一个结论即可． 【变式4】如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，若平分，，，求的度数． 题型04 求一个角的补角或余角 【典例1】已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】一个角的补角比它的余角多，求这个角的度数． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期末）如图，与互余，若，则（　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知，则的补角等于_____． 【变式3】（25-26八年级上·广东河源·期末）一个角等于它的补角的5倍，则这个角是_______． 【变式4】如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 题型05 补角或余角性质的应用 【典例1】如图，如果，那么吗?为什么? 【变式1】课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【变式2】若，，则，理由是________ 【变式3】如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 题型06 尺规作图 【典例1】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）已知：如图，，求作：，使． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的一点．请用尺规作图法，作出，使，交边于点．（保留作图痕迹不写作法） 【变式2】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）已知：．请你用直尺和圆规画一个，使．（要求：要保留作图痕迹．） 【变式3】如图，已知，，求作，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【变式4】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)小麓在完成（1）问的作图的基础上，发现了与之间满足某种数量关系，并进行了推理说明，聪明的你请帮助小麓补全下面的推理过程． 解：， ． 即∠ ① ． 又， ② °． 又∠ ③ ， ∠ ④ ⑤ ° = ⑥ °． 题型07 三角板中角度的计算 【典例1】（25-26七年级上·天津南开·期末）如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若，求 （1）等腰直角三角板：；细长三角板：。 （2）拼接模型：两角叠加求和、错位相减求差；重叠模型：公共角+余角相等，利用同角余角性质秒解；平角模型：三角板顶点在直线上，利用平角180°拆分计算。 （3）万能方法：标注所有已知固定角，根据和差、互余、互补关系列等式求解。 【变式1】如图，将两块同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【变式3】如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，那么_______． 【变式4】如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，，，求： (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)猜想和的关系，并说明理由． 题型08 实际问题中的角度计算 【典例1】如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【变式1】“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【变式2】如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【变式3】淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）．    (1) 在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数为 ． (2)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 题型09 动角问题 【典例1】已知：是内的射线． (1)如图1．若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度． (2)也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小． 【变式1】三角板是我们常用的数学工具，如图1是由一副三角板拼成的图案，根据图中提供的信息，解答下列问题（本题中所有角均小于）： (1)图 1 中，的度数为 ； (2)能否将图 1 中的三角板绕点B逆时针旋转α度（，如图2），使旋转后的？若能，求出α的度数，若不能，请说明理由； (3)能否将图 1 中的三角板绕点B顺时针旋转α度（，如图3），使旋转后的？若能，请直接写出α的度数，若不能，请说明理由． 【变式2】在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将含有，的三角板按照图放置在直线上，，，，与直线重合． (1)求的度数． (2)将三角尺绕点逆时针以的速度转动如图，转动的时间为，当边与直线重合时停止． ①用含的代数式表示运动过程中的度数． ②在转动过程中，当恰好是的角平分线时，求的值． 【变式3】【问题情境】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点A在点B的左侧），点C和点D分别是的中点．则________； 【类比迁移】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．请求出的度数． 【归纳总结】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．用含和的代数式表示的度数为________． 【变式4】解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 6．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 7．填空，完成下列说理过程： 如图，，，平分，若，求的度数． 解：（已知） ___________． ，（已知） ___________． ． ，（已知） ．（等量代换） 平分， ______________________（___________） ___________ 8．（25-26六年级下·山东青岛·期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 9．（25-26六年级下·山东烟台·期中）按要求完成下列作图题： (1)已知：线段，．作线段使； (2)已知：，作． 10．已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大，求这个角的度数． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，平分，，求的度数． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是_______ 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）解答下列问题： (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)，设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 7．（25-26六年级下·山东东营·期末）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 8．（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 9．（25-26六年级下·山东淄博·期中）新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 10．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 11．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 角的比较与补（余）角 教学目标 1.掌握叠合法、度量法比较角的大小，理解角平分线定义，能用几何符号表达角平分线的数量关系，完成相关角度推理计算。 2.理解余角、补角的概念，熟记余角、补角的数量关系式，掌握 “同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等” 两条性质并灵活运用。 3.通过画图、度量、推理、分类归纳等活动，规范几何文字与符号语言，培养几何直观与简单逻辑推理能力，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）角的比较方法，角平分线定义及相关角度计算； （2）余角、补角的概念与数量关系，余角、补角的性质。 2. 难点 （1）结合角平分线、互余互补性质进行综合性角度推理计算题； （2）理解同角（等角）的余角、补角相等的几何逻辑，并结合图形完成证明说理。 知识点01 角的比较 1. 度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 。 2. 叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较。 【即学即练】 1．如图，下列角的大小比较中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握通过观察角的开口大小直观比较角的大小是解题的关键； 通过观察图形中角的开口大小，直观比较各个角的大小，从而判断选项的正确性． 【详解】解： A、与开口大小相近，无法得出； B、开口小于，所以； C、开口小于，所以，该选项正确； D、与开口大小不同，不相等． 故选：C． 2．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 知识点02 角的运算 1. 角的和：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC。 2. 角的差：∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC。 3. 进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减；分、秒相加时，逢60要进位；相减时，如不够减要借1作60。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东青岛·期末）已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算．首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 2．如果，，那么和的关系是 ______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查角的关系，根据已知角度关系，通过代数代入求解和的关系． 【详解】解：由， ， 代入得． 故答案为：． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线：在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。 【即学即练】 1．（25-26六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内的一条射线，，则_______． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在直线上，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算，正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键． （1）先根据角的和差求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，再根据角的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ． 知识点04 余角和补角 1. 补角：如果两个角的和等于180°（平角）,就说这两个角互为补角,简称互补。其中一个角是另一角的补角。 2. 余角：如果两个角的和等于90°（直角）,就说这两个角互为余角,简称互余。其中一个角是另一角的余角。 3. 补角的性质：同角（等角）的补角相等。 4. 余角的性质：同角（等角）的余角相等。 【即学即练】 1．如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据补角的定义求出这个角的度数，再根据余角的定义计算即可得到结果． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数为， 这个角的余角是． 2．（25-26七年级上·四川自贡·期末）如果一个角的补角比这个角的余角2倍还多10度，这个角是多少度？ 【答案】这个角是． 【分析】本题考查了补角、余角，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握补角与余角．设这个角的角度为度，依题意得方程并解方程解决． 【详解】解：设这个角的角度为度，依题意得， ， 解得：， 答：这个角是． 知识点05 尺规作图——作已知角相等的角 求作：已知∠AOB，作∠DEF，使得∠DEF=∠AOB。 作法：① 作射线EG；如图（1），以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； ② 在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点P，Q； ③ 以点E为圆心，线段OP长为半径作弧，交射线EG于点D； ④ 以点D为圆心，线段PQ长为半径作弧，与③中所作弧交于点F； ⑤ 作射线EF，∠DEF即为所求。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在的边上，请用尺规作图法，在射线的上方，求作，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作一个角等于已知角是解题的关键． 根据作一个角等于已知角的作法解答即可． 【详解】解：如图，即为所求． 2．如图所示，已知，（），求作． 【答案】见解析 【分析】根据角的作法作图即可． 【详解】解：如图，即为所求作． 题型01 角的比较 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 快速判定规律：角的大小只与开口大小有关，与角的边的长短、摆放位置、旋转方向无关。 【变式1】如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 【变式2】（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（   ）． A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，变小 D．，都变小 【答案】A 【分析】本题考查角的概念，角的大小比较，熟练掌握相关知识是关键． 结合图形和角的概念进行分析即可． 【详解】解：当点从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 【变式3】如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 题型02 角平分线的有关计算 【典例1】O是直线上一点，平分，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的计算以及角平分线的性质，解决本题的关键是作图并应用角平分线的性质． 利用平角为可求解的度数，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵ O是直线上一点，且， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【典例2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）已知点在同一条直线上，是的角平分线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系是解题的关键： （1）根据平角的定义，求出的度数，角平分线求出的度数即可； （2）先求出的度数，平角的定义求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵ 是的角平分线 ； （2）解：， ， ． 三大等价公式：（若OC平分∠AOB）①；②。 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，是的平分线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．根据角的和差求出，再根据角平分线的定义求出，进而由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，点E，B，C在同一直线上，平分．若，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，先根据平角的定义得出，再根据角平分线的定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 【变式3】若的二等分线为，，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算．由角平分线定义可知，结合已知，即可求解． 【详解】解：因为是的角平分线， 所以． 又因为， 所以． 因此． 故答案为： 【变式4】（25-26七年级上·重庆大足·期末）如图，射线、在的内部，、分别平分与． (1)若，，求的度数． (2)若，，请直接用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义，角度的和差计算，正确理清角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线得到，，而，则代入并化简得到，即，据此即可求解； （2）同（1）分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ （2）解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴ 题型03 角等分线的有关计算 【典例1】如图，已知，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算，熟练掌握角平分线的定义的应用，根据题意列出方程是正确解答此题的关键． （1）根据已知角的倍数关系求出，再根据角平分线的定义求出； （2）设为度，则为度，再根据角平分线的定义，表示，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ，且， 则．   是的角平分线， ， ． （2）解： ， 设为度，则为度， 是的角平分线， ，     ， 解得，     ． 的度数是． 【变式1】，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 【变式2】，射线是它的四等分线，则_________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，，平分，． (1)求的度数． (2)亲爱的同学，你还能求出哪个角的度数？直接写出一个结论即可． 【答案】(1)； (2)还能求出，，，． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）先根据根据角平分线的定义得，然后求出，根据可得出答案； （2）由（1）知，即可求出，，，进而求出． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，，， ∴， 答：还能求出，，，． 【变式4】如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，若平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】首先，设的度数为，则，由，平分，得，然后，由，得，解得，即可得到的度数为． 【详解】解：设的度数为，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴，解得， ∴． 答：的度数为． 题型04 求一个角的补角或余角 【典例1】已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求余角，根据余角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的余角的度数是， 故选：A． 【典例2】一个角的补角比它的余角多，求这个角的度数． 【答案】 【分析】设这个角的度数是，则它的补角为，它的余角为，根据“一个角的补角比它的余角多”列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角的度数为，补角的度数为， 依题意，得， 解得． 故这个角的度数为． 【点睛】本题主要考查了有关补角，余角的计算，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期末）如图，与互余，若，则（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， 故选A． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·期末）已知，则的补角等于_____． 【答案】 【分析】本题考查补角，解题关键是掌握补角的概念，掌握度分秒之间的换算． 根据的补角求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东河源·期末）一个角等于它的补角的5倍，则这个角是_______． 【答案】150 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与补角有关的计算，设这个角为x度，根据补角的定义和题意，列出方程求解． 【详解】解：设这个角为x度，则它的补角为度， 根据题意，得． 解得． ∴这个角是． 故答案为：150． 【变式4】如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角是的余角是 (2)125° 【分析】本题考查了补角的意义，余角的意义，角平分线的意义，角的和差，解题关键是掌握上述知识，并能熟练求解． （1）根据补角的意义、余角的意义直接求解； （2）先利用两角之差求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用两角之和求得的度数． 【详解】（1）解：∵和在直线上方， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的余角是． （2）因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 题型05 补角或余角性质的应用 【典例1】如图，如果，那么吗?为什么? 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了同角的余角相等，由，，则有，掌握同角的余角相等的性质是解题的关键． 【详解】解：，理由， ∵，， ∴． 【变式1】课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【答案】B 【分析】根据已知与互补，与互补，结合补角定义，判断与、与分别互为补角(和是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、等角的补角相等、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是“始边与终边在同一直线且方向相反的角为”，本题是通过两个角与的和为推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的补角相等是“若两个角均为同一个角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； C、等角的补角相等是“若两个角均为相等角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，属于同角，不属于等角，此选项不符合题意； D、同位角相等需满足“两直线平行被第三条直线所截”的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】若，，则，理由是________ 【答案】同角的补角相等 【分析】和都与同一个角互补，根据补角的性质即可推出结论． 【详解】解：，， （同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等 【变式3】如下图，是平角． (1)若，则的度数为________ (2)在（1）的条件下，请你求出的补角的度数． (3)若OB平分，求出的余角的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等求解即可；（2）利用补角的定义直接找出，再利用同角的余角相等求解即可；（3）直接利用角平分线的定义求解即可，再利用余角定义求解． 【详解】（1）解：， . , . （2） 是平角， ， 是的补角． ， ， 即的补角的度数为． （3） 平分， ， 的余角的度数为. 【点睛】本题考查的知识点是角的计算及余角补角，解题关键是确定角之间的关系． 题型06 尺规作图 【典例1】（25-26八年级上·河南濮阳·期中）已知：如图，，求作：，使． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键．根据作一个角等于已知角的尺规作图方法解答即可得． 【详解】解：作图步骤：①以点为圆心，以任意长度为半径画弧，交于点，交于点， ②画射线， ③以点为圆心，以为半径画弧，交于点， ④以点为圆心，以为半径画弧，与③所画的弧交于点， ⑤作射线，则即为所求，如图所示： 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上的一点．请用尺规作图法，作出，使，交边于点．（保留作图痕迹不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）已知：．请你用直尺和圆规画一个，使．（要求：要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，作两角的和，掌握作法步骤是关键；按照作一个角等于已知角的步骤进行即可． 【详解】解：如图所示，作，再在射线的左侧作， 则． 则即为所求作． 【变式3】如图，已知，，求作，使（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角，先作，再在内部作，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求的角．    【变式4】（25-26七年级上·重庆·期中）如图，已知，从的内部引出一条射线． (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)小麓在完成（1）问的作图的基础上，发现了与之间满足某种数量关系，并进行了推理说明，聪明的你请帮助小麓补全下面的推理过程． 解：， ． 即∠ ① ． 又， ② °． 又∠ ③ ， ∠ ④ ⑤ ° = ⑥ °． 【答案】(1)作图见解析 (2)①，②，③，④，⑤，⑥ 【分析】1本题尺规作图、角与角之间的运算，熟练掌握角与角之间的关系是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （2）根据证得，根据，进行角与角之间的计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：， ， 即， 又， ， 又， 故答案为：①，②，③，④，⑤，⑥． 题型07 三角板中角度的计算 【典例1】（25-26七年级上·天津南开·期末）如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，先根据，，求出，再根据，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 【典例2】如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若，求 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算问题．根据三角板含有的特殊角，由角的和差即可解得，继而可解得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． （1）等腰直角三角板：；细长三角板：。 （2）拼接模型：两角叠加求和、错位相减求差；重叠模型：公共角+余角相等，利用同角余角性质秒解；平角模型：三角板顶点在直线上，利用平角180°拆分计算。 （3）万能方法：标注所有已知固定角，根据和差、互余、互补关系列等式求解。 【变式1】如图，将两块同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差，三角板中角度的计算．根据角的和差可得结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 【变式2】如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先理解题意得，再运算出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则． 【变式3】如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，那么_______． 【答案】 【分析】根据两角互余求解即可． 【详解】解：由直角三角板可得，． 【变式4】如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，，，求： (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． (3)猜想和的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)猜想：，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，正确理清角之间的关系是解题的关键． （1）根据角之间的关系先求出，再由可得； （2）先求出，再由，可得； （3）由，可得，，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ， ∴． 题型08 实际问题中的角度计算 【典例1】如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】 为水面，入射角为， ， 故选 C． 【变式1】“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 【变式3】淇淇在商场买了一块机械手表，爱钻研的淇淇发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上）．    (1) 在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，淇淇一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数为 ． (2)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1)①；②的度数为或 (2)经过分钟或分钟后，的度数是 【分析】本题考查了钟面角，角的和差，一元一次方程的应用， 理解题意并正确进行分类讨论是解题的关键． （1）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可； （2）根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：设经过时间为分钟， 由（1）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 题型09 动角问题 【典例1】已知：是内的射线． (1)如图1．若平分平分．当射线绕点O在内旋转时，_______度． (2)也是内的射线，如图2，若平分平分，当绕点O在内旋转时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解； （2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵平分， ∴ ∴ （2）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ∴ = 【变式1】三角板是我们常用的数学工具，如图1是由一副三角板拼成的图案，根据图中提供的信息，解答下列问题（本题中所有角均小于）： (1)图 1 中，的度数为 ； (2)能否将图 1 中的三角板绕点B逆时针旋转α度（，如图2），使旋转后的？若能，求出α的度数，若不能，请说明理由； (3)能否将图 1 中的三角板绕点B顺时针旋转α度（，如图3），使旋转后的？若能，请直接写出α的度数，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能， (3)能， 【分析】（1）由三角板可得，代入计算即可； （2）结合图形得到，，再根据列方程求解即可； （3）根据、、分情况讨论，分别画出图形，结合图形表示出，再根据列方程求解即可； 【详解】（1）解：由三角板可得； （2）解：三角板绕点B逆时针旋转α度，则在内部，据题意得，， ∵， ∴ 解得， 满足，符合题意； ∴能使旋转后的，； （3）解：第一种情况： 若顺时针旋转度，此时， 根据得， 方程无解，所以不存在； 第二种情况： 若顺时针旋转度，如图 此时， 根据得， 解得； 第三种情况： 若顺时针旋转度，如图 此时， 根据得， 方程无解，所以不存在； 综上所述，． 【变式2】在一节综合实践课上，老师与同学们以“三角尺中的数学”为问题背景展开探究，某位同学将含有，的三角板按照图放置在直线上，，，，与直线重合． (1)求的度数． (2)将三角尺绕点逆时针以的速度转动如图，转动的时间为，当边与直线重合时停止． ①用含的代数式表示运动过程中的度数． ②在转动过程中，当恰好是的角平分线时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为 【分析】（1）利用三角形内角和定理，可求出，的度数，再将其代入中，即可求出结论； （2）①利用时间路程速度，可求出与重合及与重合时的时间，分及两种情况考虑，当时，利用的旋转速度旋转时间，可用含的代数式表示出；当时，利用的旋转速度旋转时间，可用含的代数式表示出； ②根据是的角平分线，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：①秒，秒 当时，； 当时，， ； ②根据题意得：， 解得： 答：的值为秒． 【变式3】【问题情境】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点A在点B的左侧），点C和点D分别是的中点．则________； 【类比迁移】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．请求出的度数． 【归纳总结】 如图2，已知，，在内部转动（射线在射线的左侧），和分别平分和．用含和的代数式表示的度数为________． 【答案】问题情境：；类比迁移：；归纳总结： 【分析】问题情境：根据线段中点的定义可得，由线段和差求出，再根据即可求解； 类比迁移：根据，，，即可求得答案； 归纳总结：同类比迁移解答即可． 【详解】解：问题情境：∵点和点分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 类比迁移：∵射线和射线分别是和的平分线， ∴，． ∴ ； 归纳总结：∵，， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 【变式4】解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)的大小不发生变化，恒为，理由见解析 (2)①；②，理由见解析；③，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； （2）解：①∵， ∴； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 1．（25-26七年级下·山西晋中·期末）一个角的度数是，则它的余角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 2．（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 3．如图，的补角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由量角器得出的度数，再用即可得出． 【详解】由图中量角器可知，， 的补角为． 4．如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角的余角相等可知，，再结合，即可求解出的度数． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得，． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·宁夏固原·期中）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 【答案】 /36度 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 7．填空，完成下列说理过程： 如图，，，平分，若，求的度数． 解：（已知） ___________． ，（已知） ___________． ． ，（已知） ．（等量代换） 平分， ______________________（___________） ___________ 【答案】；；；；角平分线定义； 【分析】本题考查直角的定义、余角的性质和角平分线的定义，解题的关键是先找准相等的余角，再利用角平分线的倍数关系逐步推导． 先利用直角的定义和余角的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后通过角的差的运算求出的度数． 【详解】解：（已知）， ， （已知）， ， ， （已知）， （等量代换）， 平分， （角平分线定义）， ． 8．（25-26六年级下·山东青岛·期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 【答案】解：所求图形，如图所示． 【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 9．（25-26六年级下·山东烟台·期中）按要求完成下列作图题： (1)已知：线段，．作线段使； (2)已知：，作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在射线上截取线段，在线段上截取线段，则线段即为所求作； （2）首先作，再以为公共边，在的内部作，据此即可得到所求作的图形． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； （2）解：如图所示：就是要作的角． 10．已知一个角的补角比这个角的余角的2倍大，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数是 【详解】解：设这个角是， 则， 解得， 答：这个角的度数是． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和与差、一元一次方程的应用，根据，可设，，根据角之间的关系可得，角平分线的定义可得：，解方程即可得到，根据即可求出结果． 【详解】解：， 设，， ， 平分， ， ， 解得：， ． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论的个数有①②④共3个． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 【答案】3 【分析】相加等于90度的两个角互余． 【详解】， ， ， 平分， ， ， ， ， 与互余的角有、、共3个． 4．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时观测到轮船B在南偏东的方向，则的大小是_______ 【答案】 【分析】根据方向角的定义，可得与的度数，利用余角的性质求出，再根据角的和差关系，可得答案． 【详解】解：如图，设正北方向为射线，正西方向为射线，正南方向为射线 由题意，得 ∴ ∴ ． 5．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得 ，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）解答下列问题： (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)，设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)①； ②证明：∵， ∴， ∴， ； ③与的和等于，理由如下： ∵，， ∴． 【分析】（1）根据尺规作图作一个角的方法作图即可； （2）①由（1）作图可知：； ②根据计算即可； ③先求出的值，再计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：①由（1）作图可知：； ②略； ③略． 7．（25-26六年级下·山东东营·期末）综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；；②；； (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、． 【分析】（1）①利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解；②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①由图可得，，； ②， ， ， ； （2）略 8．（25-26七年级下·山东烟台·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 9．（25-26六年级下·山东淄博·期中）新定义：如果两个角的和为，我们称这两个角互为“兄弟角”．已知，与互为“兄弟角”，与互余．如图，当点在的内部，且点，点在的同侧时． (1)若，则______． (2)若，射线在内部，且满足，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由“兄弟角”的定义可得，再根据角的和差可得，然后得到方程即可解答； （2）由已知可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为“兄弟角”， ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图： ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值不变， (3)5 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，，，由角平分线的定义可得 ， ，即可解答； （3）根据题意可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分，射线与射线重合，，， ∴ ， ， ∴； （2）解：的值不变，， 由题意，得， ∴，， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：由（2）知， ， ， 解得，即的值为5． 11．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为___________． (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，点落在射线上时停止旋转，当旋转到下方时，请写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先计算出，利用角平分线的性质求出，最后利用平角的性质求出即可； （2）先计算出，仿照（1）的解法，求出即可； （3）先用表示出，利用角平分线的性质表示出，再根据平角的性质表示出，从而得到和的之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由图可知，， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $