专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题06 线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）例1（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知线段，，点是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点，使得，请画出图形，并求线段的长． 例2（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． (1)若，试说明点C是的中点； (2)若，求线段的长． 例3（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 例4（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，已知三点在同一直线上，，点是的中点，点是的中点，求的长． 例5（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（25-26七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【问题探究】 在一条数轴上，为原点，点对应的数为4，点对应的数为． （1）直接写出：的中点对应的数为 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒．求当为何值时，的中点所对应的数为5.5？ 【拓展延伸】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为； 若数轴上点的对应数为，点的对应数为，点为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为． 以此类推…… （3）在（2）的条件下，若点为最靠近的五等分点，点为的中点，是否存在，使得为定值？若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 例2（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 例3（25-26七年级上·广东广州·期中）若数轴上两点所表示的数分别为和，则有①两点的中点表示的数为；②两点之间的距离． (1)若直接写出： ． (2)在（1）的条件下，点在数轴上对应的数是，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点，使成立，若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由． (3)若数轴上两点所表示的数分别为和（其中），点以每秒1个单位的速度从原点出发向右运动，同时点从点出发以每秒7个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒10个单位的速度向右运动，、分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否为定值？并说明理由． 例4（25-26七年级上·山东青岛·月考）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，． (1)______，______． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头，相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 例5（25-26七年级上·重庆·期中）材料一：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，若点P是线段的中点，则此时点P所对应的数为； 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，且a，c满足，点B是线段的中点（其中O是原点）． (1)填空：_____________，_____________，_____________； (2)点P是数轴上一动点，若点P到点A，B，C的距离之和为13，求点P对应的数是多少？ (3)点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点N从点A出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点Q是线段的中点，若点M，N运动过程中，点Q到点M的距离始终是定值，请直接写出的值． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（25-26七年级上·福建漳州·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为12，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【理解运用】 （1）A、B两点之间的距离为 ；t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）若点P从A出发运动速度和方向不变，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 例2（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有 ； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为 ，最小为 ； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为 ； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为 （用含的式子表示）． 例3（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，①__________， ②此时线段的长度________； (2)①点B沿点运动时，_________；（用含t的代数式表示的长） ②点B沿点运动时，_________．（用含t的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 例4（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点在线段上，点是线段的中点，点是线段上一点． (1)如图1，当点是线段的中点时， ①若，则______； ②点在线段上运动的过程中，线段的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，当点是线段的中点时，点在运动的过程中，是否存在和点重合的可能？如果存在，求出重合时线段的长度；如果不存在，请说明理由． 例5（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 例2（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 例3（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 例4（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为 ． 例5（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知数轴上、两点表示的数分别是、，且为最大的负整数． (1)直接写出A、B两点所表示的数； (2)动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴相向而行，点P、Q的速度分别为2个单位长度每秒和4个单位长度每秒，点为线段的中点，设运动时间为，请用含的式子表示点表示的数； (3)在（2）的条件下，点在数轴上表示的数为12，为何值时，点到点的距离与点到点O的距离之和为42． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 例2（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 例3（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义新概念：如图1，点P在线段上，图中共有3条线段和，若有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则称点P是线段的“巧点”，如图2，若，点P是的的“巧点”，则 cm． 例4（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 例5（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 3．（25-26七年级上·河南郑州·月考）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 4．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 5．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 9．（24-25七年级上·广东珠海·期中）定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（25-26七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知线段，，点是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点，使得，请画出图形，并求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是掌握中点的定义，结合图形得出线段之间的和差关系． （1）求出的长，再根据中点定义，即可得出结果； （2）根据，得到，进而求出的长，再用求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M是的中点， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∴． 例2（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，，，点C是线段的中点，点D，E分别在线段、上． (1)若，试说明点C是的中点； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）先根据，得出的长，再根据点C是线段的中点，求得的长，再根据得，再根据，得出，即可得出结论； （2）根据，得，再根据得，，最后由可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点C是的中点； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 例3（25-26七年级上·重庆·期中）如图，点C是线段上一点，且，点M和点N分别是线段和线段中点 (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6 (2)线段的长为28 【分析】本题考查了线段的和与差，线段的中点，理解题意是解题的关键． （1）根据可得，由的长度可求得的长，再由线段中点的定义可求得和的长，进而即可求解； （2）设，则，根据题意得，再根据可得，即可求出，进而可求出、的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴ ， ∵N是中点， ∴， ∵M是中点， ∴． ∴ ； （2）解：设， ∵N是中点， ∴， 根据题意得，， ∴ ， ∵， ∴ 解得， ∴， 由（1）得， ， ∵M是中点， ∴， ∴ ． 例4（25-26七年级上·宁夏固原·月考）如图，已知三点在同一直线上，，点是的中点，点是的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差和线段中点的定义，正确求出的长是关键； 先根据线段的和差求出，再根据线段中点的定义求出，进而求解． 【详解】解：因为三点在同一直线上，， 所以， 所以， 因为点是的中点，点是的中点， 所以， 所以． 例5（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点、、都是线段上的点，，，点是的中点. (1)求的长（请根据提示，将下列过程补充完整）： 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ (2)若点是的中点，则的长为______. 【答案】(1)；；；， (2) 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵点是的中点 ∴ （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（25-26七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． 【问题探究】 在一条数轴上，为原点，点对应的数为4，点对应的数为． （1）直接写出：的中点对应的数为 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒．求当为何值时，的中点所对应的数为5.5？ 【拓展延伸】 若数轴上点对应的数为，点对应的数为，点为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为； 若数轴上点的对应数为，点的对应数为，点为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为． 以此类推…… （3）在（2）的条件下，若点为最靠近的五等分点，点为的中点，是否存在，使得为定值？若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）存在，定值为 【分析】（1）利用中点公式求解； （2）用含t的式子表示出点P，Q表示的数，再根据的中点所对应的数为5.5，列方程求解； （3）根据已知条件得出五等分点公式，用含t的式子表示出点D，E表示的数，进而用绝对值表示出，根据绝对值的几何意义及两点间距离公式即可求解． 【详解】解：（1）的中点对应的数为：， 故答案为：1； （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 中点为5.5， ， 解得； （3）存在这样的，使得为定值，理由如下： 点为最靠近的五等分点， 点表示的数为， 点表示的数为， ， ， 表示数到数和之间的距离之和， 当时， 【点睛】本题考查中点公式，列代数式，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义及两点间距离公式，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 例2（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，． 动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N为CQ的中点，设运动时间为． (1)求点A、点B对应的数； (2)t为何值时，； (3)当点P在点C的左侧时，是否存在常数m使得为定值，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，涉及到线段长度、中点坐标、绝对值方程以及定值问题，熟练掌握数轴上点的运动规律和相关代数运算技巧是解题的关键． （1）根据点的数和的长度求出点的数，再根据的长度求出点的数． （2）先表示出运动秒后点、的位置，进而得出、的位置，再根据列方程求解． （3）先表示出和的长度，再代入，根据定值的条件求出的值． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为， ， 点对应的数为； （2）解：运动秒后，点对应的数为，点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， 为的中点， 点对应的数为， ，（）， ， ， 当，即时， ， （舍去）， 当，即时， ， ， ， ∴所以t为时，； （3）解：（点在点左侧，）， ， ， 为定值， ， 解得， ∴存在常数使得为定值． 例3（25-26七年级上·广东广州·期中）若数轴上两点所表示的数分别为和，则有①两点的中点表示的数为；②两点之间的距离． (1)若直接写出： ． (2)在（1）的条件下，点在数轴上对应的数是，且关于的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点，使成立，若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由． (3)若数轴上两点所表示的数分别为和（其中），点以每秒1个单位的速度从原点出发向右运动，同时点从点出发以每秒7个单位的速度向左运动，点从点出发以每秒10个单位的速度向右运动，、分别为的中点．思考：在运动过程中，的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)8 (2)存在，或 (3)是定值，2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，中点坐标公式和两点的距离． （1）根据非负数的性质和两点的距离公式即可得到结论； （2）先根据多项式的定义得出点c，设点P对应的数为y，根据题意列出方程，解绝对值方程即可得到结论； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是，根据题意求得P点和Q点对应的数，根据两点的距离可得，，的值，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：8； （2）解：∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， 设点P对应的数为p， 则，，， ∵， ∴， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴（舍去）． 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴（舍去）． ∴点P对应的数为或． 综上所述，点P对应的数为或； （3）解：在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点， ∴Q点对应的数是， ∴， ∴， ∴在运动过程中，的值不变，定值为2． 例4（25-26七年级上·山东青岛·月考）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，． (1)______，______． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头，相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)，16 (2)2秒或4秒 (3)正确，这个时间定值是0.625秒，为定值8 【分析】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，知道数轴上任意两点的距离等于右边的数减去左边的数的差，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． （1）根据非负数的性质求出，即可得到答案； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 故答案为：，16； （2）解：此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）； （秒）或（秒）， 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：正确， ， 当在之间时，是定值5， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间定值是0.625秒，为定值8． 例5（25-26七年级上·重庆·期中）材料一：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点M、N表示的数分别为m，n，若点P是线段的中点，则此时点P所对应的数为； 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是a，b，c，且a，c满足，点B是线段的中点（其中O是原点）． (1)填空：_____________，_____________，_____________； (2)点P是数轴上一动点，若点P到点A，B，C的距离之和为13，求点P对应的数是多少？ (3)点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点N从点A出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点Q是线段的中点，若点M，N运动过程中，点Q到点M的距离始终是定值，请直接写出的值． 【答案】(1)8；4；； (2)P对应的数为6或2； (3) 【分析】题目主要考查绝对值及平方的非负性，解一元一次方程，两点之间的距离，理解题意，熟练掌握两点之间的距离是解题关键． （1）根据绝对值及平方的非负性得出，再根据中点性质即可确定b表示的数； （2）设点P表示的数为x，得出，然后分情况，取绝对值求解即可； （3）设运动时间为t，根据题意得：点M表示的数为，点N表示的数为：，点Q表示的数为，然后得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点B是线段的中点， ∴， 故答案为：8；4；； （2）设点P表示的数为x， ∵点P到点A，B，C的距离之和为13， ∴，即 当时，， ∴， 解得：不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得：，符合题意 ； 当时，， ∴， 解得：，符合题意； 当时，， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； 综上可得：P对应的数为6或2； （3）设运动时间为t， 根据题意得：点M表示的数为，点N表示的数为：， ∴点C表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴， ∵点Q到点M的距离始终是定值， ∴， ∴． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（25-26七年级上·福建漳州·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为12，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． 【理解运用】 （1）A、B两点之间的距离为 ；t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． （3）若点P从A出发运动速度和方向不变，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22，，，（2）线段MN的长度不发生变化，长度为11，理由见解析，（3）存在t值为1或或7或11 【分析】本题考查了数轴上的距离与中点公式、动点问题的分析，解题的关键是用含的式子表示动点位置，结合距离、中点公式列方程或计算长度． （1）利用数轴距离公式及动点运动规律表示对应数； （2）用中点公式表示、的数，计算MN的长度判断是否变化； （3）分的运动阶段（从到、从返回），表示、的数，结合列方程求解． 【详解】（1）解：；秒后，点表示的数为； 点表示的数为． 故答案为：22；；． （2）解∵ 为的中点， ∴ 表示的数为； ∵ 为的中点， ∴ 表示的数为； ∴ 答：线段的长度不变，长为11． （3）解：点到的时间为秒，从到的时间为秒． ① 当时，表示的数为，表示的数为， 由得， 解得或； ② 当时，表示的数为，表示的数为， 由得， 解得或． 综上，存在的值，为、、、11． 例2（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有 ； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为 ，最小为 ； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为 ； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为 （用含的式子表示）． 【答案】 ，4 5 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，有理数的加减运算，解题的关键是理解题意，并掌握数学结合的思想． （1）①假设线段上的点为，则，根据定义逐项进行判断即可； ②根据题意，列出算式求最值即可； （2）①根据定义，两个最值点的距离为线段长度的3倍； ②根据题意画出图形，借助数轴求出最值即可． 【详解】解：（1）①， 假设线段上的点为，则， 若， 解得，符合题意； 若， 解得或，均不符合题意； 若， 解得，符合题意； ∴线段的“强关联点”所表示的数有，4， 故答案为：，4； ②根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数最大为； 线段的“强关联点”所表示的数最小为； 故答案为：5，； （2）①根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为， 故答案为：； ②如图所示，当点为时，既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， ∴的最大值为， 故答案为：． 例3（24-25七年级上·江西赣州·期末）如图，B是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动时间为t秒（）． (1)当时，①__________， ②此时线段的长度________； (2)①点B沿点运动时，_________；（用含t的代数式表示的长） ②点B沿点运动时，_________．（用含t的代数式表示的长） (3)在运动过程中，是否存在点B，使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①4；②3 (2)①；② (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据各线段长度间的关系，求出线段的长度；（2）根据各线段长度间的关系，用含的代数式表示出线段的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用路程速度时间，可求出当时，的长，利用，可求出的长，再结合是线段的中点，即可求出的长； （2）当点沿点运动时，利用的长点的速度点的运动时间，可用含的代数式表示出线段的长；当点沿点运动时，利用的长的长一点的速度点的运动时间，即可用含的代数式表示出线段的长； （3）分及两种情况考虑，当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，， ∴， ∵是线段的中点， ∴此时线段． 故答案为：①4 ；②3 ； （2）解：根据题意得：当点沿点运动时，； 当点沿点运动时，． 故答案为：①；②； （3）解：存在，当时，， 根据题意得：， 解得：； 当时，， 根据题意得：， 解得：． 答：在运动过程中，存在点，使得的值为或． 例4（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点在线段上，点是线段的中点，点是线段上一点． (1)如图1，当点是线段的中点时， ①若，则______； ②点在线段上运动的过程中，线段的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)如图2，当点是线段的中点时，点在运动的过程中，是否存在和点重合的可能？如果存在，求出重合时线段的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②是定值，其值为 (2)存在， 【分析】本题考查线段的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握线段的数量关系，根据题意，得到线段之间的数量关系，得到一元一次方程，进行解答，即可． （1）①根据题意，求出，根据，求出，即可得到；②根据题意，可得，，再根据，即可； （2）根据题意，，设，得到，当点和点重合时，，推出，解出，即可． 【详解】（1）解：①∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是定值，理由如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 即是一个定值，其值为． （2）解：存在，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 设， ∴， 当点和点重合时，， ∴， 解得， ∴，即当点和点重合时，的长为． 例5（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述： 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 例2（25-26七年级上·广东揭阳·月考）已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握线段的和差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 根据线段的位置分类讨论：①如图所示点在点的左边；②如图所示点在点的右边；根据线段的和差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示点在点的左边，，， ∴； ②如图所示，点在点的右边，，， ∴； ∴的长度为或． 故选：C． 例3（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据点和点的运动速度，表示出秒后点和点的坐标，利用中点公式得到点的坐标表达式，点在线段上往返运动，需根据时间分段讨论点的坐标，并建立方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点为线段的中点时，点表示的数为， 当时， 解得：， 即运动秒时，点，重合时，运动停止， ， 点在线段上往返运动， 解方程， 可得：， 即当运动秒时，点与点重合，此时点与点重合， 当时， 点表示的数为，点表示的数为， 点在上运动， 点表示的数大于， 点不能成为的中点； 当时，点从点向点运动，表示的数为， 点是线段的中点， ， 解得：(不符合题意，舍去)； 当时，点从点向点运动，表示的数为 令， 解得：， 经检验，满足，且运动未停止（点M与点N重合时）． 故答案为 ：． 例4（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为 ． 【答案】8或4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的和差关系求出的长，中点，求出的长，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵点在线段上，且， ∴或； 故答案为：8或4． 例5（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知数轴上、两点表示的数分别是、，且为最大的负整数． (1)直接写出A、B两点所表示的数； (2)动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴相向而行，点P、Q的速度分别为2个单位长度每秒和4个单位长度每秒，点为线段的中点，设运动时间为，请用含的式子表示点表示的数； (3)在（2）的条件下，点在数轴上表示的数为12，为何值时，点到点的距离与点到点O的距离之和为42． 【答案】(1)点A所表示的数为，B所表示的数为36． (2)． (3)t的值为3或17． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，线段的中点，两点之间的距离，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，则，即可解答． （2）先求出点P所表示的数为，点Q所表示的数为，再根据数轴上的中点公式求解即可； （3）先求出点P运动到点N所需时间为点Q运动到点O所需时间为，再分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：∵为最大的负整数． ∴， ∴． 答：点A所表示的数为，B所表示的数为36． （2）∵动点P从A出发，以2个单位长度每秒的速度向右运动t秒， ∴点P所表示的数为， ∵动点Q从B出发，以4个单位长度每秒的速度向左运动t秒， ∴点Q所表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴点M所表示的数为． （3）由题意，得，， ∴点P运动到点N所需时间为点Q运动到点O所需时间为 ①当时，如图 ∴，， ∵点到点的距离与点到点O的距离之和为42， ∴， 即， 解得， ②当时，如图 ∴，， ∵点到点的距离与点到点O的距离之和为42， ∴， 即， 解得，不符合题意，舍去． ③当时，如图 ∴，， ∵点到点的距离与点到点O的距离之和为42， ∴， 即， 解得． 综上所述，t的值为3或17． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何新定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算，根据题意，分别表示出，根据新定义可得或或，进而列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为， ∴，， 当时，相遇，即， 解得： 当时，， 当时，， ∴， 由新定义可知或或， 当时，则， 解得或（舍去） 当时，则， 解得； 当时，则， 解得或， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：D． 例2（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 例3（25-26七年级上·河北石家庄·期中）定义新概念：如图1，点P在线段上，图中共有3条线段和，若有一条线段的长度是另一条线段长度的3倍，则称点P是线段的“巧点”，如图2，若，点P是的的“巧点”，则 cm． 【答案】或或或 【分析】本题考查了线段的概念，把握“巧分点”的定义，分类讨论是解题的关键；根据“巧分点”的定义分类讨论即可得到答案. 【详解】解：∵点P在线段上，根据题意   当时；则；   当时；则 ； 当时；则，所以，即；     当时；则，所以； 故答案为：或或或. 例4（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）定义：若射线上一点满足或时，则点是射线的平衡点．已知点是射线上的平衡点，若，则的长可能是 ． 【答案】2或4或12 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键 分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合的位置得到的具体的数量关系，结合 从而可得答案． 【详解】解：如图，， 当时， 如图，，当时， 如图，，当时， 综上：或4或12． 故答案为：2或4或12． 例5（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：若点为直线上的一点，且满足，则称点是线段的“巧分点”．现已知，点是线段的“巧分点”，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在直线上的位置，故要分情况讨论：当在线段上时及当要线段的延长线上时，然后进行求解即可． 【详解】解：本题有两种情况： 当点在线段上时，如图， ，， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ，， ； 故答案为2或6． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 2．（25-26七年级上·广东汕头·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ，点与点之间的距离 ，点与点的中点表示的数是 ，且在图的数轴上标出点． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点，与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从到的位置（点与点位于点的两侧，且）则点称为点关于点的二次跳跃点，如图2所示． 【初步理解】 ①若点表示的数是，表示的数是，点的一次跳跃点，点表示的数是 ，关于点的二次跳跃点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，，，表示点D见解析； (2)①，，；②的值不变，为；③． 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，包括相反数、两点间距离、中点公式以及新定义问题的应用，熟练掌握数轴上数的表示、距离与中点的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数的定义确定点B表示的数，利用数轴上两点间距离公式计算距离，再根据中点公式求中点表示的数，进而表示点D． （2）①根据一次跳跃点的定义（互为相反数）求，再根据二次跳跃点的定义（是的中点），利用中点公式求，最后用距离公式求． ②先根据定义表示出，再根据中点关系求出，进而计算并判断是否为定值． ③结合前面的推导，总结出的长度． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点与点互为相反数， ∴点表示的数是． 点表示的数是，则． 点表示，点表示， ∴中点表示的数是， 表示点D如下： （2）解：①∵点表示的数是，与互为相反数， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． 线段的长度为， 故答案为：，，． ②∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则，解得． ∴，即的值不变，为． ③∵点表示的数是， ∴表示的数是． ∵表示的数是，且是的中点，设表示的数为，则， 解得． ∴． ∴线段的长度为． 3．（25-26七年级上·河南郑州·月考）阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【答案】(1)或 (2)；1 (3)或 (4)或8秒后点到点的距离是到点距离的2倍 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数x的点在表示数2的点与表示数3的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16，表示x与z在数轴上的距离为30，再分类讨论y和z在x的同侧或异侧时进行求解； （4）根据题意，设运动时间为t，则点P表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示数轴上x到2和3的距离之和， ∴当x在2和3之间时，距离和最小，最小值为， ∴x的取值范围， 故答案为：，1； （3）解：根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16， 表示x与z在数轴上的距离为30， 当y和z在x的同侧时，假设x在数轴上的某点，y和z都在x的左边（或都在右边）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的差， ∴， 当y和z在x的异侧时，假设y在x的左边，z在x的右边（或反之）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的和， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解：∵点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动， ∴设运动时间为t， ∴点P表示的数为， ∴当点P在之间时，， 解得秒； 当点P在点N右边时，， 解得秒； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 4．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知点C在线段上，若或，则称点C是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段，C是线段的“五美点”，则______； 【解决问题】 （2）如图，E在射线上，． ①若点D、F均为线段的“五美点”，且，又K为线段的中点，求线段的长度； ②点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线向右运动，同时点Q从点E出发，以每秒2个单位长度的速度也沿射线向右运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，两点同时停止运动，请问当P、E、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的“五美点”时，t的值是多少？请直接写出答案，不必写过程． 【答案】（1）5或1，（2）①；②t=或t=或t=或t= 【分析】本题主要考查了线段的和差，两点之间的距离，中点的定义， 对于（1），先根据，结合C是线段的“五美点”，可得或，然后根据的长度得出答案； 对于（2）①，先根据点D、F均为线段的“五美点”，且，可得，，即可得，再根据K为线段的中点得出，然后根据得出答案； ②先根据点P，点Q在数轴上表示的数，及点P追上点Q时，求出， 分两种情况：点E是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可；点P是线段的“五美点”，可得或，再列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）∵C在线段上， ∴． ∵C是线段的“五美点”， ∴或，即或． ∴或． 又∵， ∴或1． 故答案为：5或1； （2）①∵点D、F均为线段的“五美点”，且， ∴，， ∴， ∵K为线段的中点， ∴， ∴； ②由题意得：点P在数轴上表示的数为，点Q在数轴上表示的数为，点P追上点Q时， ， 解得：， Ⅰ、点E是线段的“五美点”，则或， ∴或， 解得：或； Ⅱ、点P是线段的“五美点”，则或， 或， 解得：或， 综上：或或或 5．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 7．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．    (1)如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则； (2)如图2，已知，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动t秒． ①当t为何值时，点C是线段的三等分点 ②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线方向运动，在运动过程中，当点C是线段的三等分点时，点E也是线段的三等分点，请直接写此时出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)①或27；②或或 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键： （1）根据，，进行计算即可； （2）①分和两种情况进行计算即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①由题意，得：，， 当时，则：， ∴ ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 综上：或； ②设点E的速度为每秒，由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 综上：点，点分别是，的三等分点，的长为或或． 8．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 9．（24-25七年级上·广东珠海·期中）定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)9 (2)①；②4 (3)、、或 【分析】（1）根据、分别是多项式的一次项系数和次数，可得到的值 ，从而得到在数轴上所对应的点，进而得到的长度； （2）①由三个点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义，即可得到答案；②由点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可求出点在数轴上对应的数的个数； （3）由点是点的位置，根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：∵、分别是多项式的一次项系数和次数， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：①∵，， ∴ ∵根据题中“倍分点”的定义可得：点是点的“倍分点”， 故答案：． ②由题可得：，则设点坐标为， 当时，，则 解得：， 当时，，则 解得：， 综上所述：点在数轴上对应的数分别是、、、，共4个． 故答案为：4． （3）解：， 当点在点的左侧时， ∵点是点、的“倍分点”， ∴，， ∴此时点表示的数为， 当点在点、之间时， ∵点是点、的“倍分点” ∴此时点表示的数为， 当点在点的右侧时，有两种情况： ①当时，， ∴此时点表示的数为， ②当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为、、或． 【点睛】本题考查了数轴的应用，熟练掌握数轴上两点间的位置关系，能够理解题中的新定义“倍分点”，两者相结合进行根据情况分类讨论是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $