专题4.3 角（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本初中数学讲义聚焦“角”这一核心知识点，构建从概念到应用的完整学习支架。先通过静态与动态定义明确角的本质及顶点、边等要素，再规范三种表示方法，接着区分锐角、直角、钝角、平角、周角，进而学习度分秒换算与角度运算，最后结合钟面角、方向角实现实际应用。 资料以“即学即练”衔接知识点与题型，通过典例解析与变式训练强化重点。钟面角问题培养几何直观与空间观念，度分秒换算训练运算能力，方向角应用体现数学与现实的联系。课中助力教师分层教学，课后学生可通过针对性练习查漏补缺，提升应用意识与推理意识。

专题4.3 角 教学目标 1.理解角的两种定义（静态定义、动态定义），掌握角的顶点、边等组成要素，熟练运用三种规范方法表示角，能区分平角、周角、直角、锐角、钝角。 2.掌握度、分、秒的换算关系，能完成角度之间的加减换算、简单角度计算，会用量角器度量、画出指定度数的角。 教学重难点 1.重点 （1）角的概念、规范表示方法，锐角、直角、钝角、平角、周角的区分； （2）度、分、秒单位换算与角度基础运算。 2. 难点 （1）复杂图形中多个角的准确表示，避免角的表示混淆； （2）度分秒六十进制的加减换算，进位、退位运算。 知识点01 角的相关概念 1. 角的静态定义：可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB形组成的图形。其中点O叫作角的顶点，射线OA，OB叫作角的边。这个角可记作∠AOB，读作：“角AOB”（没有歧义时，也可记作∠O）。 2. 用三个字母表示角时，要把表示顶点的字母写在中间。 3. 角的动态定义：∠AOB也可以看成射线OA绕着它的端点O旋转到OB的位置后形成的图形。射线OA，OB分别叫作∠AOB的始边和终边。始边旋转时经过的平面部分称为角的内部。 4. 平角：当射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫作平角。 5. 周角：射线OA绕点O旋转，当OB和OA重合时，所形成的角叫作周角。 【即学即练】 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 2．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 3．下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【答案】D 【分析】本题考查平角、周角、钝角、锐角的定义，需根据各类角的概念逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵平角是由一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，且方向相反时所构成的角，它有顶点和两条边，并非一条直线， ∴A选项错误，不符合题意． ∵周角是一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角，它有顶点和重合的两条边，并非一条射线， ∴B选项错误，不符合题意． ∵小于平角的角包括锐角、直角、钝角，并非只有钝角， ∴C选项错误，不符合题意． ∵锐角的定义是大于而小于的角， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 知识点02 角的度量单位 1. 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位。 2. 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°。 3. 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′。 4. 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″。 5. 角度制：这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制。 6. 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″。 【即学即练】 1．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了度、分、秒的换算，熟练掌握角度单位之间的换算关系是解题的关键．本题考查度、分、秒的换算，利用的换算关系，将换算为分即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：C． 2．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 3．（25-26六年级下·四川成都·期中）计算：__________，__________． 【答案】 【分析】根据度分的四则运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：， ． 题型01 角的概念 【典例1】如图，AOE是一条直线，图中的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查对角的定义的理解，数角时注意从一边数，做到不重不漏即可． 【详解】解：图中的角有，共10个， 故选：D． 【变式1】如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 【点睛】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同，解决问题的关键是掌握角的概念以及特征． 【变式2】在下列图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和表示同一个角，而以点O为顶点的角有多个，不能用表示，故本选项的图形不能用，，三种方法表示同一个角； B、和表示同一个角，而以点O为顶点的角有多个，不能用表示，故本选项的图形不能用，，三种方法表示同一个角； C、，，三种方法表示同一个角； D、本选项的图形不存在，且，不是表示同一个角，故本选项的图形不能用，，三种方法表示同一个角． 【变式3】如图，可以表示成或________，可以表示成________，可以表示成________或________． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 题型02 角的分类 【典例1】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的定义，以及周角、平角的度数，通过计算各选项的角度，结合钝角定义判断． 【详解】解：A、周角，计算得：，是直角，不符合题意； B、平角，计算得：，是钝角，符合题意； C、平角，计算得：，是直角，不符合题意； D、平角，计算得：，是锐角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了钝角的定义以及周角、平角的度数，解题关键是掌握钝角的范围，并能结合周角、平角的度数准确计算角度． 五类角度数范围（必考精准区间）：锐角：；直角：；钝角：；平角：；周角：。 【变式1】下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察各选项图形，结合直角、平角、锐角、钝角的特征进行判断． 【详解】解：A、图形为平角，不是直角，不符合题意； B、图形为锐角，不是直角，不符合题意； C、图形的角度等于，是直角，符合题意； D、图形为钝角，不是直角，不符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题考查了直角的定义，解题关键是掌握直角、平角、锐角、钝角的特征，通过图形特征判断角的类型． 【变式2】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 【变式3】如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 题型03 钟面角与方向角 【典例1】如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【分析】求出时时针和分针的位置，计算夹角即可． 【详解】解：分针每分钟转过 ， ∴从8点到8点30分分针转过， 时，分针指向数字6， 钟面被分成12个大格，每格为 ， 时针每小时走1个大格， ∴时针每分钟转动 ， 从8点到8点30分时针转过了， 时，时针位于数字8和9的正中间， 此时时针与分针的夹角为 ． 故选A． 【典例2】如图，射线表示方向是___________． 【答案】东北方向或北偏东 【分析】此题主要考查了方向角，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键． 根据方向角的知识进行作答，即可求解． 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东， 故答案为：东北方向或北偏东． （1）钟面一圈，分12大格，每大格；每大格5小格，共60小格，每小格； （2）时针转速：，分针转速：。 【变式1】如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】B 【详解】解：由题意得：点相对于点的方向为北偏东 【变式2】（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，加油站B位于小艺家A北偏东方向，另外一停车场C位于小艺家南偏东方向，则的度数为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了与方位角有关的计算，根据方位角的描述进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式3】时钟显示的时间为4时30分，则时针与分针所夹的锐角为 _______度． 【答案】45 【分析】本题考查钟面角，掌握钟面角的定义以及钟面上时针、分针在旋转过程中所成角度的变化关系是正确解答的关键．根据钟面角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，，， ∴， 即钟面上4时30分，时针与分针所夹的锐角为， 故答案为：45． 题型04 角的单位与角度制 【典例1】如图，用量角器测得的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．根据量角器的使用方法测量即可． 【详解】解：， 故选：D． 【典例2】计算________分． 【答案】15 【详解】解：根据度分秒的换算规则，可得 ， 因此． 度分秒换算技巧：大换小（度→分→秒）：乘60；小换大（秒→分→度）：除以60。 【变式1】用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角度单位之间的换算，掌握相关知识是解决问题的关键．将度的小数部分转换为分，再将分的小数部分转换为秒． 【详解】解：∵， ； ∵， ， ∴． 故选：A． 【变式2】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 【变式3】（25-26七年级上·广东梅州·期末）度分秒换算：______°． 【答案】55.4 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握、是解题的关键， 将转换为度，需要除以60，得到，再与相加即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：55.4． 题型05 角度的运算 【典例1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算， 根据角度相加时，度与度相加，分与分相加，分满60进位到度． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例2】计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （1）加减运算规则：度、分、秒分别对应运算，遵循六十进制进退位； 加法：秒满60进1分，分满60进1度； 减法：秒不够借1分（60秒），分不够借1度（60分）。 （2）乘除运算规则： 乘法：度分秒分别相乘，从低位开始逐级进位； 除法：从高位到低位依次除，余数化低位继续除，保证结果精准。 【变式1】（25-26六年级上·上海长宁·期末）计算：___________（结果用度、分表示） 【答案】 【分析】本题考查角度的加法运算，关键是掌握度、分之间的进位关系()，先分别对分和度进行相加，再处理分的进位． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）计算______． 【答案】 【分析】本题考查角度的减法运算，将转化为，再进行减法运算，解题的关键是掌握：进行角度的减法运算时，同单位相减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减，不够减的，从上一级借，再进行减法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式= =． （2）解：原式= =． 【变式4】计算： (1)； (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据度、分、秒是60进制，度与度相加，分与分相加，分大于或等于60，向度进计算即可； （2）同一单位相乘，分大于或等于60，向度进1，向借化为60分，再借化为，然后度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，进行计算即可得解． 本题考查角度的计算，掌握度、分、秒的计算方法和它们之间的进制是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型06 角的度数大小的比较 【典例1】比较大小：______（用，或连结） 【答案】 【分析】此题考查了角度的换算和比较大小，熟练掌握角度的换算是解题得关键．求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 【变式1】若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的度数大小比较，将角的表示形式统一即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式2】已知，请你比较大小：____________（填“或或”）． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】比较大小： _____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了度分秒的换算，把化为，比较即可得解． 【详解】解：， 故， 故答案为：． 【变式4】如果，那么这两个角中较大的一个是___________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法，当顶点处只有一个角时，我们可以用顶点的一个字母来表示这个角，即可解答． 【详解】解：能用，两种方法表示同一个角的是： 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的概念是解题关键．根据位置是相对的，画出图形，结合方向角的定义解答即可得． 【详解】解：如图，小淇位于小嘉的北偏东方向上， 则小嘉位于小淇的南偏西方向上， 故选：A． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，以为边的角有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查角的概念，根据角的概念即可求解． 【详解】如图，以为边的角有共3个． 故选：A． 4．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的换算．将角度的小数部分转换为分，使用进行换算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故， 故选：B． 5．（25-26七年级上·广西玉林·期末）下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查时钟与角度，解题的关键是熟知时针与分针的转动特点． 根据时针与分针的转动特点即可求解． 【详解】∵时针每小时转动度，下午2点整，时针转动60°，分针在12时的位置， ∴两点整是度． 故选：D． ，先进行度数的除法运算，再将结果中小数部分的度数转化为分即可． 【详解】解： ． 6．计算：_____________ ． 【答案】 【分析】根据度分秒的加法运算规则，从低单位到高单位依次相加，满60向高一级单位进1，逐步计算结果． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）比较大小： ______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据将转化为度分秒的形式，再与比较大小即可． 【详解】解：， ， ． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如果，则与的和是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的加法运算，解题的关键是掌握角度加法运算法则． 将两个角度的度数和分数分别相加，再将分数部分转换为度． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则____________(填“”、“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查角度的单位换算与大小比较，核心知识点是度与分的换算关系：．通过单位换算将两个角的单位统一，再比较角度的大小，这里将的小数部分转化为分，得到与相同的单位形式后，即可直接对比大小． 【详解】解：， ， 又，且， ； 故答案为：． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的四则混合运算． （1）直接计算加法即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查角度计算，注意度、分、秒进率为，满向前一个单位进1，不够相减时再向前借1当60． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； （3）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）、两个海上观测站的位置如图所示．在灯塔的北偏东方向，，则在灯塔的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．东偏南方向 D．东偏南方向 【答案】B 【分析】本题考查了方位角有关的计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意得，然后通过，从而得出在灯塔的南偏东方向． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴在灯塔的南偏东方向， 故选：． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需将三个角统一单位后比较大小，利用角度单位换算：，，把的度数换算成度分秒形式，再与、比较． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即 故选：B． 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的度分秒的换算与加减运算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键．本题考查角的度分秒的转换与加减运算，解题思路是利用，的换算关系，对每个选项逐一进行计算，判断其正确性，从而找出错误的式子． 【详解】解：∵，， ∴A选项：，，，故A项正确，不符合题意． B选项：，，故B项错误，符合题意． C选项：，故C项正确，不符合题意． D选项：，，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26七年级上·重庆合川·期末）钟表8时35分时，时针与分针所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查钟面角的计算，计算钟表角度须知：分针每分钟移动，时针每小时移动，每分钟移动，由此计算出分针、时针移动的角度，即可求解． 【详解】解：∵分针每分钟移动， ∴8时整至8时35分时，分针移动角度为：， ∵时针每小时移动，每分钟移动， ∴从0时至8时35分时，时针移动角度为：， ∴两针角度差为：， ∴时针与分针所成的锐角的度数为， 故选：D． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）________．（用度、分、秒的形式表示） 【答案】 【分析】根据度与分的换算关系 6．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 7．（25-26六年级下·山东泰安·期末）一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【答案】35 【分析】根据方向角的定义，准确找出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：由题意如图所示： 则． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 【答案】66 【分析】首先数出引出3条射线或4条或5条射线时，一共有多少个角，再找出规律，求出答案． 【详解】解：在的内部从O引出3条射线，图中共有角的个数：， 如果引出4条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出5条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出n条射线，则图中共有角的个数：， ∴如果引出10条射线，有个角． 9．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查角度计算． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：原式． 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键； 根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ， ； （4）解： ， ， ， ， ． 12．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 【答案】(1)南偏西， (2)见解析 【分析】（1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 本题考查了用方位角和距离表示位置，理解方位角是解题关键． 【详解】（1）由题可知，飞机在北偏东方向20千米处， 则每相邻两个圆之间的距离相等为10千米， 则飞机在机场的南偏西方向上，距离是千米． 故答案为：南偏西，30 （2）如图，点即为所求： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 角 教学目标 1.理解角的两种定义（静态定义、动态定义），掌握角的顶点、边等组成要素，熟练运用三种规范方法表示角，能区分平角、周角、直角、锐角、钝角。 2.掌握度、分、秒的换算关系，能完成角度之间的加减换算、简单角度计算，会用量角器度量、画出指定度数的角。 教学重难点 1.重点 （1）角的概念、规范表示方法，锐角、直角、钝角、平角、周角的区分； （2）度、分、秒单位换算与角度基础运算。 2. 难点 （1）复杂图形中多个角的准确表示，避免角的表示混淆； （2）度分秒六十进制的加减换算，进位、退位运算。 知识点01 角的相关概念 1. 角的静态定义：可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB形组成的图形。其中点O叫作角的顶点，射线OA，OB叫作角的边。这个角可记作 ，读作：“角AOB”（没有歧义时，也可记作∠O）。 2. 用三个字母表示角时，要把表示 的字母写在中间。 3. 角的动态定义：∠AOB也可以看成射线OA绕着它的端点O旋转到OB的位置后形成的图形。射线OA，OB分别叫作∠AOB的始边和终边。始边旋转时经过的平面部分称为角的内部。 4. 平角：当射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫作平角。 5. 周角：射线OA绕点O旋转，当OB和OA重合时，所形成的角叫作周角。 【即学即练】 1．如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 2．下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 知识点02 角的度量单位 1. 角的度量单位： 是常用的角的度量单位。 2. 把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记作1°。 3. 把一度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′。 4. 把一分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″。 5. 角度制：这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制。 6. 1周角＝ ，1平角＝ ，1°＝ ，1′＝ 。 【即学即练】 1．若，则用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 3．（25-26六年级下·四川成都·期中）计算：__________，__________． 题型01 角的概念 【典例1】如图，AOE是一条直线，图中的角共有（    ） A．4个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式1】如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下列图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，可以表示成或________，可以表示成________，可以表示成________或________． 题型02 角的分类 【典例1】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 五类角度数范围（必考精准区间）：锐角：；直角：；钝角：；平角：；周角：。 【变式1】下列四个角中，是直角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【变式3】如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 题型03 钟面角与方向角 【典例1】如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【典例2】如图，射线表示方向是___________． （1）钟面一圈，分12大格，每大格；每大格5小格，共60小格，每小格； （2）时针转速：，分针转速：。 【变式1】如图，点相对于点的方向为（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【变式2】（25-26七年级上·甘肃白银·期末）如图，加油站B位于小艺家A北偏东方向，另外一停车场C位于小艺家南偏东方向，则的度数为_________． 【变式3】时钟显示的时间为4时30分，则时针与分针所夹的锐角为 _______度． 题型04 角的单位与角度制 【典例1】如图，用量角器测得的度数是（　　） A． B． C． D． 【典例2】计算________分． 度分秒换算技巧：大换小（度→分→秒）：乘60；小换大（秒→分→度）：除以60。 【变式1】用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【变式3】（25-26七年级上·广东梅州·期末）度分秒换算：______°． 题型05 角度的运算 【典例1】（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）______． 【典例2】计算： (1)； (2) （1）加减运算规则：度、分、秒分别对应运算，遵循六十进制进退位； 加法：秒满60进1分，分满60进1度； 减法：秒不够借1分（60秒），分不够借1度（60分）。 （2）乘除运算规则： 乘法：度分秒分别相乘，从低位开始逐级进位； 除法：从高位到低位依次除，余数化低位继续除，保证结果精准。 【变式1】（25-26六年级上·上海长宁·期末）计算：___________（结果用度、分表示） 【变式2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）计算______． 【变式3】计算： (1)； (2) 【变式4】计算： (1)； (2) 题型06 角的度数大小的比较 【典例1】比较大小：______（用，或连结） 【变式1】若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式2】已知，请你比较大小：____________（填“或或”）． 【变式3】比较大小： _____．（填“>”“<”或“=”） 【变式4】如果，那么这两个角中较大的一个是___________． 1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下列图形中，能用，两种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，小嘉站在点，小淇站在点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东方向上，则我位于你的什么方向上（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 3．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）如图，以为边的角有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 4．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·广西玉林·期末）下午2点整（如图所示），时钟的分针与时针所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．计算：_____________ ． 7．（25-26七年级上·河南周口·期末）比较大小： ______．（填“”“”或“”） 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如果，则与的和是_____． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）若，则____________(填“”、“”或“”) 10．计算： (1)； (2)． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）、两个海上观测站的位置如图所示．在灯塔的北偏东方向，，则在灯塔的（   ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．东偏南方向 D．东偏南方向 2．（25-26七年级上·河北唐山·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆合川·期末）钟表8时35分时，时针与分针所成的锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东临沂·期末）________．（用度、分、秒的形式表示） 6．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 7．（25-26六年级下·山东泰安·期末）一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 9．计算： (1)． (2)． 10．计算： (1)； (2)． 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 12．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $