4.3.2　对数的运算(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数的运算性质，通过“思考”环节引导学生从指数运算性质出发推导积、商、幂的对数运算公式，搭建指数与对数知识的联系支架，帮助学生理解性质的来龙去脉。 其亮点在于注重逻辑推理与数学运算核心素养的培养，通过详细推导过程、反例辨析（如“明辨是非”）及分层练习（典例与即学即练），让学生在探究中掌握运算方法。教师可利用此资料提升教学效率，学生能深化对对数运算的理解与应用能力。

4.3.2　对数的运算(一) 【学习目标】 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.(逻辑推理、数学抽象) 2.会应用对数的运算性质进行求值与化简.(逻辑推理、数学运算) 对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)积的对数:loga(MN)=logaM+logaN; (2)商的对数:loga=logaM-logaN; (3)幂的对数:logaMn=nlogaM(n∈R). [思考] 1.你能推导出对数的运算性质吗? 提示:(1)设 a>0,且 a≠1,M>0,N>0. 取 α=logaM,β=logaN,则aα=M,aβ=N. 根据指数幂的运算性质,得aα+β=aα·aβ=M·N,将它改写为对数形式,有α+β=loga(M·N),所以loga(M·N) =logaM+logaN. (2)由=aα-β,得loga=α-β=logaM-logaN. (3)设b∈R,由指数幂的运算性质(aα)b=abα,得Mb=abα,所以logaMb=bα=blogaM. 2.当a>0,且a≠1,M>0,N>0时,下列等式成立吗?如果不成立,请举一个反例. (1)loga(M·N)=logaM·logaN; (2)loga; (3)loga(M+N)=logaM+logaN; (4)loga(M-N)=logaM-logaN. 提示:这几个等式都不成立.对于(1),反例: 如loga(a·a)=2,logaa·logaa=1×1=1; 对于(2),反例:如loga=1,而=2; 对于(3),反例:如loga(1+1)≠0,loga1+loga1=0; 对于(4),反例:如loga(1-1)无意义,loga1-loga1=0. 3.对数的运算性质有什么特点?显示出什么优势? 提示:对数的运算性质,把积、商、幂的对数化为对数的线性运算.恰当运用对数的运算性质,能简化对数的运算. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)loga(M·N)=logaM+logaN(a>0且a≠1,MN>0).( ) 提示:loga(M·N)=logaM+logaN的前提是M>0,N>0,所以错误. (2)loga=logax-logay(a>0,且a≠1,x>0,y>0).( ) (3)logab2=2logab.( ) 提示:logab2=2logab当且仅当a>0,且a≠1,b>0时才成立. 若b<0,logab2=2loga(-b),即logab2=2loga|b|,所以错误. × √ × 类型1 利用对数运算性质求值(数学运算) 【典例1】(教材P124例3提升)求下列各式的值. (1)log2(47×25); (2)lg; (3)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; (4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 【解析】(1)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19. (2)lg=lg lg 100=×2=. (3)lg 14-2lg +lg 7-lg 18=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(2×32) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-lg 2-2lg 3=0. (4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2=2lg 5+2lg 2+lg 5·(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+1=3. 【解题有招】 对数运算性质的简单应用主要是简单对数式的求值问题,直接利用运算性质计算即可,注意各性质使用的条件. 提醒:已知a>0,b>0且ab=m,m>0且m≠1, logma+logmb=logmab=1. 如lg 2+lg 5=1,log62+log63=1. 【即学即练】 计算下列各式的值: (1)lg; (2)log345-log35; (3)4lg 2+3lg 5-lg ; (4). 【解析】(1)原式=lg =lg 1-lg 104=-4. (2)原式=log3=log39=log332=2. (3)原式=lg =lg (24×54)=lg (2×5)4=4. (4)原式==. 类型2 化简求值(数学运算) 【典例2】用logax,logay,logaz表示: (1)loga(xy2);(2)loga(x);(3)loga. 【解析】(1)loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay. (2)loga(x)=logax+loga=logax+logay. (3)logaloga[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz). 【解题有招】 关于利用对数运算表示对数式 (1)分析对数式的结构,是商还是积,还是幂的形式,分别选择相应的运算性质; (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),从大到小、从外向里逐一拆分,实质是公式的逆用. 提醒:拆分时要保证每一个拆分出来的对数式有意义. 【即学即练】 1.已知lg 2=a,lg 3=b,则lg 120=(　　) A.1+a+b　 B.1+a+2b C.1+2a+b　 D.2+2a+b 【解析】选C.因为lg 2=a,lg 3=b, 所以lg 120=lg (10×3×4)=lg 10+lg 3+2lg 2=1+b+2a. √ 2.若a=logmx,b=logmy,c=logmz,则用a,b,c表示logm=　　　　.  【解析】原式=logm(xy2)=logmx+logmy2+logm =logmx+2logmy-logmz=a+2b-c. 答案:a+2b-c 类型3 对数运算的应用(逻辑推理) 【典例3】x1,x2是方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两个根,则x1x2=(　　) A.lg 2+lg 3　 B.lg 2lg 3 C.　 D.-6 【解析】选C.根据题意,设t=lg x,则有t2+(lg 2+lg 3)t+lg 2lg 3=0, 则有t1=-lg 2=lg ,t2=-lg 3=lg . 若x1,x2是方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两个根, 则x1=,x2=,所以x1x2=. √ 【解题有招】 利用对数运算性质解决方程相关问题的方法 (1)涉及一元二次方程根的问题,可以利用根与系数的关系列方程求解; (2)利用对数的运算性质解方程时,最后结果一定要使对数式有意义. 【即学即练】 已知lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg)2的值是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选C.因为lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个根,所以由根与系数的 关系得lg a+lg b=2,lg alg b=,故(lg)2=(lg a-lg b)2=lg2a-2lg alg b+lg2b= (lg a+lg b)2-4lg alg b=22-4×=2. √ $