4.3.2对数的运算同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础运算到创新应用，覆盖对数运算全知识点，适配新授课巩固与能力提升，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础练习|对数运算法则、换底公式直接应用|以选择、填空为主，如第1题对数加法法则运算，第10题证明换底公式推论，夯实基础| |B级拔高提升|对数方程、实际问题建模、综合运算|含应用题（第13题信号强度、第18题废气处理）及多选题（第14题），培养模型意识与逻辑推理| |C级创新练习|跨知识点综合（勾股数、指数对数互化）|探究性问题（第19题），需综合运用数学思维，发展创新意识|

4.3.2　对数的运算 A级　基础练习 1.2log510+log50.25=(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 2.下列等式恒成立的是(　　) A.(logax)2=2logax B.loga(x-y)= C.logax-logay=loga(x-y) D.log10log10x 3.若,则7a=(　　) A. B. C.5 D.7 4.已知2a=5b=,则a,b满足的关系式是(　　) A.2a+2b=ab B.2a-2b=ab C.a+b=2ab D.a-b=2ab 5.(2026江苏常州期中)已知M为3300,N为1050,则下列各数中与最接近的是(　　)(参考数据:lg 3≈0.48) A.10100 B.1093 C.1094 D.10104 6.设ax=M,y=logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示loga=　　　　　.  7.若log37×log29×log49m=log4,则m=　.  8.(log23+log53)(log35+log95)lg 2=　　　　　.  9.已知log32=a,则log3218用a表示为　　　　　.  10.设a>0,b>0,α≠0,且a≠1,b≠1,利用对数的换底公式证明: (1)lob=;(2)lobβ=logab. B级　拔高提升 11.设a=log36,b=log520,则log215=(　　) A. B. C. D. 12.方程2logx25-3log25x=1的解集是(　　) A.{5} B.⌀ C.{} D.{5} 13.在无线通信中,信号强度会随着传播距离增加而衰减,L是信号强度值(单位:分贝,dB),d(单位:米)为信号传播距离,某路由器信号在自由空间(无遮挡、无干扰)中,满足关系式L=klg d+C(k,C为常数),若距离增加一倍,则信号强度值约减少6 dB,信号传播距离从d1增加到d2时,测得信号强度值从-30变到-48,则=(　　) A.4 B.6 C.5 D.8 14.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C. D. 15.已知log2a-2loga4=3(a>1),则a=　 .  16.(2026吉林长春期中)已知(ln x)2-2ln x-3=0的两根是α,β,则logαβ+logβα=　　　　　. 17.计算下列各式的值: (1)lglg+lg; (2)lg 2·lg 5+; (3)lg 5·lg 400+; (4)+log0.25+9log5-log1; (5)+lg 5-lo2·lg 2·log23; (6)(log23+log89)(log34+log98+log32)+(lg 2)2+lg 20·lg 5. 18.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物. (1)求常数k的值; (2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h) (参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11) C级　创新练习 19.(1)若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2,求log2(1+)+log2(1+)的值. (2)(2026上海期中)已知x,y,z均为正实数,若3x=4y=6z,求log2的值. 答案： 1.C　原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2. 2.D　2logax=logax2≠,故A错误;=logyx≠loga(x-y),故B错误;logax-logay=loga≠loga(x-y),故C错误;log10=log10log10x,故D正确.故选D. 3.C　∵,∴log75=a,则7a=5.故选C. 4.C　由2a=,得a=log2log210, 所以2a=log210,所以=lg 2, 由5b=,得b=log5log510, 所以2b=log510, 所以=lg 5,所以=lg 2+lg 5=lg 10=1, 所以=1,从而a+b=2ab.故选C. 5.C　令=t⇒lg=lg t⇒lg 3300-lg 1050=lg t⇒lg t=300lg 3-50≈94⇒t≈1094.故选C. 6.3x-　∵ax=M,∴x=logaM,∴loga=logaM3-loga=3logaM-logaN=3x-. 7.　由已知=log2m,而lo2-1=-, 故log2m=-,所以m=. 8.　原式=()()lg 2=·lg 2=. 9.　因为log32=a,所以log23=, 所以log3218=log2(2×32)=(1+2log23)=(1+2×)=. 10.证明 (1)lob=,所以等式成立. (2)lobβ=logab,所以等式成立. 11.D　∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52, ∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=.故选D. 12.D　易知x>0且x≠1.2logx25-3log25x=1⇒-3log25x=1⇒3+log25x-2=0⇒(3log25x-2)(log25x+1)=0,解得log25x=或log25x=-1, 所以x=5或x=,所以方程的解集为{5}.故选D. 13.D　由距离从d到2d时,信号强度值约减少为6 dB,得klg d+C-[klg(2d)+C]=6,解得k=-,由信号传播距离从d1增加到d2时,测得信号强度值从-30变到-48, 得则-18=klg,即-18=-·lg,因此lg=3lg 2=lg 8,所以=8.故选D. 14.AD　由题意,设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k. 由ab+bc=2ac,可得=2, 因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误; =2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误; =2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确. 15.16　因为log2a-2loga4=log2a-4loga2=3,且a>1,令t=log2a>0,则loga2=,可得t-=3,整理可得t2-3t-4=0,解得t=4或t=-1(舍去),即log2a=4,所以a=16. 16.-　由题意ln α+ln β=2,ln αln β=-3,所以logαβ+logβα==-. 17.解 (1)(方法1)原式=(lg 25-lg 72)-lg +lg lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=(lg 2+lg 5)=. (方法2)原式=lg-lg 4+lg 7=lg=lg. (2)原式=lg 2·lg 5+(lg 2)2+lg 2·lg 5-(lg-1)=(lg 2)2+lg 2·lg 5-lg 2+1=lg 2(lg 2+2lg 5-2)+1=lg 2(lg 50-2)+1=1-(lg 2)2. (3)原式=lg 5·(2+2lg 2)+ =2lg 5+2lg 2·lg 5+2(lg 2)2 =2lg 5+2lg 2·(lg 5+lg 2) =2lg 5+2lg 2 =2. (4)原式=+1+9log5-0=+1+. (5)原式=2+lg 5+lg 2=2+lg 10=3. (6)原式=(log23+lo32)(log322+lo23+log32)+(lg 2)2+(lg 2+1)·lg 5 =(log23+log23)(2log32+log32+log32)+(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5 =log23·log32+lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 5=+lg 2+lg 5=. 18.解 (1)由已知得当t=0时,P=P0; 当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9(或k≈0.022). (2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,有0.3P0=P0,解得t=≈55.故污染物减少到30%至少需要55 h. 19.解 (1)log2(1+)+log2(1+)=log2()+log2()=log2=log2=1. (2)对3x=4y=6z同取对数可得log23x=2y=log26z, 所以xlog23=2y=zlog26,即x=2ylog32,z=2ylog62, =2(log62+log62log23)=2(log62+log63)=2, 故log2=log22=1. 3 学科网（北京）股份有限公司 $