第五章 一元一次方程 单元巩固测试卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册.

**基本信息** 本单元卷聚焦一元一次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合足球积分、水费分段等现实情境及九宫图文化素材，适配暑假单元复习，强化抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程定义、解的应用、表格数据分析、几何问题|结合足球联赛积分（第7题）、九宫图文化（第9题），考查模型意识| |填空题|6/18|方程变形、列方程、动点问题、分段收费|设计等边三角形动点（第14题）、阶梯水费计算（第15题），体现应用意识| |解答题|8/72|解方程、配套问题、经济销售、方案优化|以水果购进销售（第23题）、服装购买方案（第24题）为载体，综合考查运算能力与推理意识|

第五章 一元一次方程 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 4．下列各题中正确的是（     ） A．由，移项得 B．由去分母得 C．由移项、合并同类项得 D．由去括号得 5．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 7．2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（   ） A．32 B．52 C．56 D．60 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A． B．4 C． D．1 10．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程改写成用含的式子表示的形式______． 12．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设______，列方程为______． 13．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 14．如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 15．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 16．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1) (2) (3) 18．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 19．在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 20．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 21．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 22．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 23．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 24．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入原方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理，得 ， 解得 ． 3．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 4．下列各题中正确的是（     ） A．由，移项得 B．由去分母得 C．由移项、合并同类项得 D．由去括号得 【答案】C 【分析】根据移项、去分母、合并同类项以及去括号的运算规则，逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：移项时只有移动的项要变号，由移项得，故A错误； 去分母时，方程每一项都要乘分母的最小公倍数，两边同乘去分母得，故B错误； 由，移项得，合并同类项得，故C正确； 去括号时，括号前是负因数，括号内每一项都要变号，由去括号得，故D错误． 5．下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 6．的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 7．2026年江苏省城市足球联赛又将拉开帷幕、足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某队进行了15场比赛，其中负了5场，共得24分，则该队胜了几场？假设该队胜了x场，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出胜场和平场的总场次，再根据积分规则列出方程即可； 【详解】解：∵该队共进行15场比赛，负了5场， ∴胜场和平场的总场次为场， ∵设胜了场， ∴平的场次为场， 又∵胜一场得3分，平一场得1分，总得分为24分， ∴总得分等于胜场得分加平场得分，可列方程：． 8．如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（   ） A．32 B．52 C．56 D．60 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设正方形D的边长为x，则正方形的边长为，正方形B的边长为，正方形G的边长为，正方形F的边长为，正方形H的边长为，正方形E的边长为，正方形的边长为，根据长方形对边相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设正方形D的边长为x，则正方形的边长为，正方形B的边长为，正方形G的边长为，正方形F的边长为，正方形H的边长为，正方形E的边长为，正方形的边长为， ∵长方形的对边相等， ∴， 解得：， ∴正方形B的边长为， ∴正方形B的周长为． 故选：D． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A． B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上三个数字之和相等的性质，先求出幻方的和，再依次计算出、的值，最后求的值． 【详解】解：∵三阶幻方中，对角线上三个数的和为， ∴每行、每列、每条对角线上三个数字之和均为． ∵第二行的和为：第二行第一个数， ∴第二行第一个数为：． ∵第一列的和为：第一行第一个数， ∴第一行第一个数为：． ∵第一行的和为：， ∴． ∵第三列的和为：， ∴． ∴． 10．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组求解即可． 【详解】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵二次多项式和的“衍生值”都相等， ∴，即， ∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等， ∴，解得， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 12．已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设______，列方程为______． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 13．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 14．如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 【答案】30 【分析】先设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点走的路程比P点所走路程多2个等边三角形的边长，列方程求出x，再设点P、Q同时从第一次同时到达的顶点出发，经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点，根据Q点移动的路程比点P移动的路程多3个等边三角形的边长，列方程求出y，从而求出答案即可． 【详解】解：设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得； 设再经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得， ， 即经过 30秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 15．某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 16．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：利用分数的基本性质将分母化为整数，得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次方程，用、表示方程的解，根据解互为相反数得到、的关系式，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， 移项得， 解得， ， 去分母得， 展开整理得， 解得， 两个方程的解互为相反数， ，即， 去分母得， 整理得， 两边同除以得， ． 19．在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3) 正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）略 20．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 21．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】25人生产大齿轮，60人生产小齿轮 【分析】设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮，共生产个大齿轮，个小齿轮，根据“ 2 个大齿轮和 3 个小齿轮配成一套”列出方程，求解即可． 【详解】解：设安排名工人加工大齿轮，则安排名工人生产小齿轮． 根据题意，得， 解得：， ， 答：安排 25 名工人加工大齿轮，则安排 60 名工人生产小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 22．先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 23．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 24．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $