第01讲 一元二次方程的概念（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 暑期衔接讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第01讲 一元二次方程的概念（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 化成一元二次方程的一般式 典型例题三 判断是否是一元二次方程的解 典型例题四 由一元二次方程的定义求参数 典型例题五 由一元二次方程的解求参数 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2． A：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； B：中，为参数，若，则不是二次方程，不一定是一元二次方程； C：是整式方程，只含未知数x，且最高次数为2，符合一元二次方程的定义； D：中含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义； 故选：C． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是________． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程与求根公式中相对应的的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式，确定二次项系数、一次项系数与常数项，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 将方程化为标准形式后，确定各项系数即可． 【详解】解：将方程化为一般形式得： 此时，二次项系数，一次项系数，常数项． ∴对应的，，的值分别是，，． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可． 【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求； ∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求； ∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求； ∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求． 【例2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可． 【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程； ②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程； ③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程； ④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程． ∴一元二次方程有①、③、④，共个． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）当____时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·海南·阶段检测）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的方程总为一元二次方程． 2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为负整数时，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟知以下知识点是解本题的关键：一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；若分别是一元二次方程的两个根，则，． （1）根据题意可知且，再进一步求解即可； （2）先求出的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． （2）解：∵且，为负整数， ∴， ∴方程化为， ∴， ∴，， ∴． 3．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； （3）证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 【典型例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，， B．3，，5 C．3，， D．3，，4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 根据“一元二次方程的一般形式为，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”进行求解即可． 【详解】解：把变为一般式为，所以二次项系数为3，一次项系数为，常数项为； 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（    ） A． B．2 C． D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为3，一次项系数为， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·全国·期末）方程的一次项为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键． 先整理方程，再找出一次项即可． 【详解】解：， ， ， ∴一次项为． 故答案为： ． 【例4】（24-25九年级上·河南漯河·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 _____ ，一次项是________． 【答案】 3 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．先将一元二次方程化为一般形式，再识别二次项系数及一次项即可． 【详解】解：去括号，得， 移项及合并同类项，得， 二次项系数是3；一次项是． 故答案为：3；． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 【答案】方程有两个不相等的实数根，根为和． 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式及求解，解题的关键是先根据条件求出的值，再分析根的情况并解方程． 先根据“一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍”列方程求出的值，再代入方程确定其形式，通过根的判别式判断根的情况，最后解方程． 【详解】解：方程的各项系数： 二次项系数：（由一元二次方程定义，，即）， 一次项系数：， 常数项：， 根据题意可得：， 解得：， 将代入原方程，得： ， 整理得：， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ， 综上，方程有两个不相等的实数根，根为． 3．（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①，  ②， 【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键． （1）根据“对称方程”的定义即可得解； （2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”； （2）解：①由，移项可得． 由互为“对称方程”的定义可得，，， 解得，． ②将，代入，得， 解方程得，． 【典型例题三 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格可得，当或时，，据此即可求解． 【详解】解：由表格可得，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的一个根，则 ________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，运用整体代入法求值是解题的关键． 由一元二次方程的解的定义可得，然后将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】（），；（） 【分析】（）利用公式法解答即可； （）由一元二次方程根的定义可得，再化简代数式，最后把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的定义，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴， ∴，； （）∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 3．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段检测）将关于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分别（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：， 整理，得：， ∴； 故选D． 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ） A．1 B．0 C．1或2 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据常数项为0，二次项系数不为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴，， ∴， 解得（舍去）或． 故选：D． 【例3】（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由是关于x的一元二次方程，得到， 则原式． 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程定义得出且，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为： 1．（2025九年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的定义和求解方法是解题的关键． （1）依据一元二次方程未知数最高次数为2的定义，令方程中的次数等于2，从而列方程求解； （2）把求得的值代入原方程，再用合适的方法（如因式分解法）解一元二次方程． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：由（1）可知，方程为， ∴， ∴或， 解得，． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，根据方程的常数项为，可得，解方程即可求出的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的常数项为， 可得：， 由，可得：， 解方程， 分解因式可得：， 解得：，， ； （2）解：当时， 可得方程为， 分解因式得：， 解得：，． 【典型例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】将已知根 代入方程，直接求解 的值． 本题考查了一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解．根据一元二次方程解的定义，将代入方程求解m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， ∴． 故选B． 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则_______ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．利用一元二次方程根的定义将代入方程求解． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程，得，即， 解得． 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根，通过两根之积求解另一个根即可． 【详解】解：设另一根为，则根据根与系数的关系，有， 解得 故答案为：1． 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 1．（24-25九年级上·上海·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．（2025九年级下·广东潮州·学业考试）一元二次方程，其中a，b，c的值分别是（   ） A．2，， B．2，，3 C．2，3， D．2，3，7 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．5、 B．5、 C．5、1 D．5、4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为， ∴二次项系数和一次项系数分别是5、， 故选：B． 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将根代入方程求解a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴，即， ∴ ， 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）把方程化成一般形式是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将给定方程去括号，再移项，合并同类项得到结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可知未知项的最高次应是次，所以可得：，解方程求出值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 解得：． 故答案为：． 8．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·江苏无锡·二模）关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，则_____； （2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】 2 【分析】（1）将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； （2）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，方程有两个实数根时判别式大于等于，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入方程得， 整理得， 解得； （2）解：由于方程有两个实数根， 则判别式， 解得． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有________．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．当且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可． 【详解】解：当且时，方程有实数根， 解得且， 即的取值范围为且． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 13．（2026·广东揭阳·一模）解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)m的值为0或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 15．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】（1）解：， ，，， ,， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程的概念（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次方程的定义 典型例题二 化成一元二次方程的一般式 典型例题三 判断是否是一元二次方程的解 典型例题四 由一元二次方程的定义求参数 典型例题五 由一元二次方程的解求参数 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则的值是________． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程与求根公式中相对应的的值分别是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 【典型例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·贵州毕节·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【例3】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）当____时，方程是关于x的一元二次方程． 【例4】（24-25九年级上·海南·阶段检测）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为_________． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 2．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)当m为负整数时，求的值． 3．（25-26九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【典型例题 二 化成一元二次方程的一般式】 【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，， B．3，，5 C．3，， D．3，，4 【例2】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（    ） A． B．2 C． D．7 【例3】（24-25九年级上·全国·期末）方程的一次项为_________． 【例4】（24-25九年级上·河南漯河·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 _____ ，一次项是________． 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知关于的一元二次方程（为常数），若该方程的一次项系数是二次项系数与常数项和的2倍，判断这个方程根的情况，并求方程的根． 3．（25-26九年级上·江西鹰潭·阶段检测）定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”：________； (2)已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 【典型例题三 判断是否是一元二次方程的解】 【例1】（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如下表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（　　） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【例3】（24-25九年级上·湖南常德·期末）已知是方程的一个根，则 ________ 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为_________. 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）（）用适当的方法解方程：． （）若是关于的一元二次方程的根，求代数式的值． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． ．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【典型例题四 由一元二次方程的定义求参数】 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·阶段检测）将关于的一元二次方程化成一般式后，，，的值分别（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（    ） A．1 B．0 C．1或2 D．2 【例3】（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则代数式______． 【例4】（25-26九年级上·湖北·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 1．（2025九年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 2．（24-25九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)解这个方程． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为． (1)求的值； (2)求此时一元二次方程的根． 【典型例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A． B． C． D．10 【例2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则_______ 【例4】（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一根为________． 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 1．（24-25九年级上·上海·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·广东潮州·学业考试）一元二次方程，其中a，b，c的值分别是（   ） A．2，， B．2，，3 C．2，3， D．2，3，7 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）将一元二次方程化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．5、 B．5、 C．5、1 D．5、4 4．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于x的一元二次方程的一个根是2，则a的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 6．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）把方程化成一般形式是________． 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）若是关于的一元二次方程，则___________． 8．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 9．（2025·江苏无锡·二模）关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，则_____； （2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 _____． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有________．（填序号即可） 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 12．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 13．（2026·广东揭阳·一模）解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 14．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 15．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $