第3课《勾股定理的应用》课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，适用于北师大2024版八年级上册第一章勾股定理应用，聚焦立体图形最短路径难点，通过情景导入、合作探究、方法总结及变式练习，呈现圆柱、正方体、长方体、台阶等问题的展开图分析与解题过程。 资料特色鲜明，以蚂蚁爬行等生活情境为载体，引导学生将立体图形转化为平面展开图，培养几何直观与空间观念，通过多种路径对比和勾股定理推理，发展推理能力和模型意识，为教师提供具体教学案例，帮助学生掌握转化思想，提升解决实际问题能力。

null 1.3勾股定理应用学历案（第1课时） NO.I compare and contrast： ( B A )在一个圆柱石凳上，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 变式：有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3） NO2.New KnowledgeExploration 研究蚂蚁在正方体的A点沿表面爬行到B点的问题. ( A B C D E F G H )讨论：1.蚂蚁怎样沿正方体表面从A点爬行到G点？ 2.有最短路径吗？怎么确定呢？ 变式：把正方体变成长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？那种爬行路径的距离最短？是多少？ NO.3.Learning Objectives： 立体图形上两点的距离最短问题：转化成平面展开图中两点之间线段最短。 本节课主要是应用勾股定理及逆定理来解决实际问题，应注意：题目没有图的要按题意画好图并标上字母，从而建立数学模型。 NO.4. Group Teamwork 1. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？（课本P14随堂练习） 2.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线 3.如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子. 一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘的A处. 另一只爬到树顶D后直接跃到A处. 距离以直线计算.若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ 4. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？ 5.假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，如图，他们在点A登陆后先往东走8 km到达点C，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东一拐，仅走1 km就找到宝藏点B，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $立体图形上最短路径问题（难点） 北师大2024版八年级上册 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 一、情景导入 蚂蚁怎么走最近 在一个圆柱石凳上，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ B A B A A’ d A B A’ A B B A O B A 路线一 路线二 路线三 路线四 蚂蚁A→B的路线 B A A’ r O h 侧面展开图 A B A’ 解：由题意得展开图，知AB即为最短路径， AC=12, BC=9 所以，最短路径是15cm 转化 B A 在Rt △ ABC中，由勾股定理，得, B A A’ r O h 侧面展开图 A B A’ 方法总结：侧面展开图中两点之间线段最短 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好A点的正上方B点，问梯子最短需多少米? (已知：油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3） A B A' B＇ A 变式 讨论：1.蚂蚁怎样沿正方体表面从A点爬行到G点？ 2.有最短路径吗？怎么确定呢？ 二、合作探究-正方体 研究蚂蚁在正方体的A点沿表面爬行到G点的问题. A B C D E F G H 正方体爬行路径 A B F E H G 前（后） 上（下） A D H E F G 左（右） 上（下） 前（后） 右（左） B C A E F G A B C D E F G H 三种爬行路径的长度相同 正方体爬行路径 A B C D E F G H 方法总结：侧面展开图中两点之间线段最短 B C A E F G 变式 把正方体变成如左图的长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？那种爬行路径的距离最短？是多少？ A B F G E H 2 4 1 前（后） 上（下） (1) A D H G E F 2 4 1 左（右） 上（下） (2) A B C F G E 4 2 1 前（后） 右 (左) (3) 已知四棱柱的长、宽、高，把较小的两个数据的和作为一条直角边的长，最大的数据作为另一条直角边的长，这时斜边的长即为最短距离。 如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 二、台阶问题 立体图形上两点的距离最短问题：转化成平面展开图中两点之间线段最短。 本节课主要是应用勾股定理来解决实际问题，应注意：题目没有图的要按题意画好图并标上字母，从而建立数学模型。 1.甲、乙两位到沙漠进行探险，早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则: AB =2×6=12(千米), 在Rt △ ABC 中,∠A=90° ∴BC =13(负值舍去) 答：甲乙两人相距13千米. 2.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求蜘蛛所走的最短路线的长度. 解：将曲面沿AB展开，如图， 过点C作CE⊥AB于点E，连接CF. 在Rt△CEF中，∠CEF=90°， EF=18-1-1=16（cm）， CE=12×60=30（cm）， 由勾股定理，得 CF2= CE2+EF2＝302+162=342. ∴ CF=34（cm）. 答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm. 3. 如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子. 一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘的A处. 另一只爬到树顶D后直接跃到A处. 距离以直线计算.若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ 解：设树高为x m，则BD=x-10，由题意可知 BD+AD=BC+AC=10+20=30， ∴AD=30-BD=30-(x-10)=40-x. 在Rt△ACD中，∠C=90° ∴AD2=AC2+DC2， 即(40-x)2=202+x2. 解得x=15. 答：这棵树高15 m. 4. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？ 解：如图①， AB2=AC2+BC2=32+(3+8)2=130. 如图②， AB2=AC2+BC2=62+82=100. 因为130>100，所以AB=10. 答：它所行的最短路线的长是10. 5.王强按照探宝图探宝，如图，他在点A登陆后先往东走8 km到达点C，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东一拐，仅走1 km就找到宝藏点B，问登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少？ 解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可知， AD=8-3+1=6(km), BD=2+6=8(km). 在Rt△ABD中，∠ADB=90° AB2=AD2+BD2=62+82=100， ∴ AB=10(km). 答：登陆点A到宝藏点B的直线距离是10 km. $