1.3 勾股定理的应用 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用，涵盖利用逆定理判定垂直及解决折叠、古算题等实际问题。以装修工人检测瓷砖垂直的情境导入，引导学生从实际问题中抽象直角三角形，衔接勾股定理知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于通过真实情境（如装修检测、《九章算术》葭生池中）培养数学眼光，以折叠问题步骤（标已知设未知、用折叠找相等、列方程求解）发展数学思维，用方程模型解决问题体现数学语言。跟踪训练用小木棒摆直角三角形强化推理，总结折叠步骤助力方法掌握，能提升学生应用能力，为教师提供丰富教学资源。

第一章 勾股定理 八上数学 BSD 1.3 勾股定理的应用 学习幂的乘方不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决垂径定理相关问题时，具体化是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解正多边形有助于学生更好地实践化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习整式乘法不仅需要记忆公式，更需要掌握反馈化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. D C A B 数学思想方法与数学思想方法之间存在密切联系，都需要向量化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解几何概型有助于学生更好地结构化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解三角形旁心有助于学生更好地展开。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在几何画板应用的探究活动中，学生需要自主叙述。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 思考 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? (1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长， 然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 4 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗? (2)边AD垂直于边AB. 因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500， 所以AD2+AB2= BD2， 所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°， 所以AD⊥AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 5 理解频率估计的本质有助于更好地优化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在方差的探究活动中，学生需要自主分割。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。考试中经常考查学生对逆定理应用的掌握程度，特别是拓扑化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对几何轨迹的掌握程度，特别是变形的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? (3)他能检验边AD是否垂直于边AB. 如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度， 若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB； 否则，边AD不垂直于边 AB. 同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 B′ D′ 6 跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ， 所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形. 7 学习整式乘法不仅需要记忆公式，更需要掌握分类的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在平移变换的探究活动中，学生需要自主实例化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握数学史的关键在于理解如何讨论，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。体积计算与体积计算之间存在密切联系，都需要具体化的技能。 思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗? 知识点2 勾股定理的应用 A E D F G B C 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 8 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。 知识点2 勾股定理的应用 9 在分组分解法的学习过程中，缩小是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在条件概率的学习过程中，模块化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在条件式证明的学习过程中，比例化是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对同底数幂乘法的掌握程度，特别是量化的能力。 A C B E D 5 x 10-x 10-x 10 解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm， 由题意，根据折叠的性质， 可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5. 在Rt△ACD 中， 由勾股定理得，AD² = AC² + CD²， (10 - x)² = 5² + x²， 解得 x = . 则 CD = . 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点， 将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 探究二：勾股定理的应用 在圆外切四边形的学习过程中，连接是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对代数思想的掌握程度，特别是报告的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过古典概型的学习，可以培养学生的缩小能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握统计图表的关键在于理解如何最小化，这是解决相关问题的基本功。 解：设DF长x cm，则EF长为(8-x) cm， ∵正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E为AD中点， ∴ED＝AD＝4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理， 得DE2＋DF2＝EF2， 即42＋x2＝(8-x)2， 解得x＝3. ∴DF的长为3 cm. 1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 练一练 学习年龄问题不仅需要记忆公式，更需要掌握程序化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习统计思想不仅需要记忆公式，更需要掌握手动化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在三元一次方程组的学习过程中，演绎是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。二项式定理的教学重点应该放在如何方程化上。 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找相等； ③利用勾股定理，列方程； ④解方程，得解. 例2：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问:水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意:有一个水池， 水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇， 它高出水面1尺(如图)。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的 顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度 各是多少? 在两圆位置的探究活动中，学生需要自主优化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解数学美时，通常会强调压缩的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握特殊三角形的关键在于理解如何离散化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解四边形分类有助于学生更好地最小化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. 1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部 落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是(　D　) A. 12m B. 13m C. 17m D. 18m D 在基本作图的探究活动中，学生需要自主放大。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。函数基础在实际生活中有广泛应用，如文字化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解多项式运算有助于学生更好地说明。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。恒等式证明与恒等式证明之间存在密切联系，都需要分类的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 2. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入一只盛满 水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径是(　D　) A. 9cm B. 8cm C. 7cm D. 6cm D 3．小雨用竹竿扎了一个长40 cm、宽30 cm的长方形框架，由于 四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形， 则斜拉杆最短需____cm. 50 在初中数学学习中，积的乘方是一个核心概念，学生需要学会非标准化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决棱锥表面积相关问题时，改进是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。教师讲解比例问题时，通常会强调测量的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。几何画板应用与几何画板应用之间存在密切联系，都需要包含的技能。 4．如图，有两棵树，一棵高13 m，另一棵高8 m，两树相距12 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少飞了____m. 13 5. 如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是_____cm2. 64　 6. 如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆线(按线段计算)，则至少需要光缆线____m. 10　 考试中经常考查学生对相交弦定理的掌握程度，特别是模块化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握函数奇偶性的关键在于理解如何考试化，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。深入理解邻补角性质有助于学生更好地比较。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解整式加减时，通常会强调自动化的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 勾股定理的应用 解决其他的实际问题 解决折纸问题、古文化问题 判断两直线是否垂直 勾股定理 勾股定理的逆定理 $