第13讲 万有引力定律与天体运动规律（专项训练）（四川专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以“定律理解-规律应用-情境迁移”为主线，系统整合开普勒定律、万有引力定律及天体运动规律，提炼“黄金代换”“高轨低速大周期”等实用方法，构建从概念到解题的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识解构|3个核心知识点|开普勒三定律应用条件、黄金代换式GM=gR²、卫星参量规律口诀|从轨道规律到引力本质，推导天体运动参量表达式| |基础演练|4类题型（24题）|轨道参量比较法、变轨速度分析、双星系统方程法|题型对应知识点应用，由浅入深训练推理能力| |重难创新|6题（含追及/拉格朗日模型）|天体追及几何关系、拉格朗日点受力分析|结合复杂情境深化模型建构与科学论证| |真题实战|6题（近3年高考题）|高考高频考点（参量计算/轨道比较）专项突破|对接命题趋势，强化科学态度与责任素养|

第13讲 万有引力定律与天体运动（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 开普勒三大定律 2 知识点2 万有引力定律 2 知识点3 天体运动的基本规律 3 模拟·基础演练 4 题型01 开普勒行星运动定律 5 题型02 万有引力定律 11 题型03 天体运动中的各参量运算 15 题型04 变轨与多星问题 20 重难·创新演练 26 真题·实战演练 32 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 开普勒三大定律 —— —— 万有引力定律的应用 四川卷·T4，4分 四川卷·T6，4分 全国甲卷T3，6分 考情分析 题型与考向：以选择题为主，是高考中的必考内容。选择题常考查开普勒定律、万有引力定律的理解与应用、天体质量与密度的估算、卫星运行参量（v、ω、T、a）的比较等；计算题多在四川卷中以压轴题形式出现，常与航天变轨、多星系统等结合，考查综合分析与数学建模能力。2025年四川卷以“嫦娥六号”月球背面采样返回为背景，考查了万有引力定律与天体运动规律的综合应用。 情境与立意： 1.航天科技类：中国空间站建设、嫦娥探月工程、天问一号火星探测、北斗导航卫星等国家航天成就中的万有引力应用。 2.天体探索类：行星运动规律的发现（开普勒三定律）、海王星的发现（万有引力定律的验证）、引力常量的测量（卡文迪许扭秤实验）。 3实际应用类：卫星变轨、同步卫星、近地卫星、极地卫星的运行规律分析；星球表面重力加速度的测量与比较。 复习目标 1.基本定律与黄金代换：掌握开普勒三定律（轨道、面积、周期）及万有引力定律F=GMm/r²，理解重力近似等于万有引力的条件，熟记黄金代换式GM=gR²及其应用。 2.参量比较与估算：掌握卫星运行参量随轨道半径的变化规律（高轨低速大周期），能比较不同轨道卫星的v、ω、T、a大小；会用两种基本方法估算天体质量（M=gR²/G或M=4π²r³/GT²）和密度。 3.卫星运行与变轨：掌握近地卫星与同步卫星的特点及第一宇宙速度的含义（v1=7.9 km/s，最小发射速度、最大环绕速度）；理解卫星变轨原理（低轨到高轨需加速，高轨到低轨需减速）及变轨前后参量变化（高轨机械能大、周期长、速度小）。 4.双星与多星系统：理解双星系统周期相同、角速度相同、向心力由彼此引力提供的特点，会列向心力方程求解相关问题。 巩固·知识解构 知识点1 开普勒三大定律 一、第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 二、第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （1）行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。 （2）同一行星，轨道半径越大（距太阳越远），线速度越小。 三、第三定律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等。 公式：（k为常数，只与中心天体有关） （1）若轨道近似为圆，则 （2）k只由中心天体的质量决定，与行星（或卫星）的质量无关。 （3）同一中心天体，k相同；不同中心天体，k不同。 知识点2 万有引力定律 一、内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1、m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 公式： G 为引力常量， r 为两质点间的距离（或质量分布均匀的球体球心间的距离） 二、公式的适用条件 （1）适用于质点间的相互作用。 （2）两个质量分布均匀的球体间，r为两球心间的距离。 （3）一个均匀球体与球外一个质点间，r 为质点到球心间的距离。 三、万有引力的三个性质 （1）普遍性：任何两个有质量的物体间都存在万有引力。 （2）相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，等大、反向、共线。 （3）宏观性：通常只有质量巨大的天体间万有引力才显著，一般物体间可忽略。 四、万有引力与重力的关系 （1）在地球表面附近，重力近似等于万有引力： ，得 GM=gR2（黄金代换）。 （2）重力是万有引力的一个分力（另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力）。 （3）在赤道上：，重力最小。 （4）在两极：，重力最大。 （5）随纬度升高，重力加速度增大；随高度升高，重力加速度减小。 知识点3 天体运动的基本规律 一、核心思路——万有引力提供向心力 二、卫星运动的三个基本量 物理量 表达式 随r增大 规律口诀 线速度 减小 越高越慢 角速度 减小 越高越慢 周期 增大 越高越长 向心加速度 减小 越高越小 三、三种宇宙速度 （1）第一宇宙速度（环绕速度） ： 是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度、最小发射速度。 推导： （2）第二宇宙速度（脱离速度） ： 物体克服地球引力，脱离地球束缚的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度（逃逸速度） ： 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 四、同步卫星（通信卫星） （1）五个“一定” ： 轨道平面一定：赤道平面。 周期一定：T=24h（与地球自转周期相同）。 角速度一定：与地球自转角速度相同。 高度一定：h≈3.6×10 4km。 线速度一定：v≈3.1km/s。 （2）所有同步卫星的轨道半径、高度、线速度、角速度、周期均相同。 （3）同步卫星轨道只有一条，位于赤道正上方。 五、卫星变轨问题 （1）加速升轨：卫星在轨道上某点加速（v 增大，所需向心力增大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，进入更高轨道）。 （2）减速降轨：卫星在轨道上某点减速（v 减小，所需向心力减小，万有引力大于所需向心力，卫星做向心运动，进入更低轨道）。 （3）三个轨道上的速度比较（以椭圆轨道与圆轨道对比）： 卫星在椭圆轨道近地点速度大于圆轨道速度。 卫星在椭圆轨道远地点速度小于圆轨道速度。 模拟·基础演练 考查重点：天体运动、宇宙速度、同步卫星、变轨问题 ⏳题型01 开普勒行星运动定律 1．（2026·四川成都·模拟预测）为了给探月四期工程提供公共中继星平台，2024年3月20日长征八号遥三运载火箭将鹊桥二号中继星送入半长轴为、周期为的地月转移轨道，再通过近月制动，使其速度低于月球逃逸速度，进入月球捕获轨道，最终进入半长轴为、周期为的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为，任何星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。下列说法正确的是（　　） A． B．近月制动后鹊桥二号的速度大于 C．为了确保鹊桥二号与月球南极附近区域之间有较长时间的稳定通信，冻结轨道的远月点位于月球南极区域上方 D．鹊桥二号分别在捕获轨道与冻结轨道运行时，在相同时间内与月球的连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．由开普勒第三定律中取决于中心天体的质量。地月转移轨道（阶段1）的中心天体是地球，环月冻结轨道（阶段2）的中心天体是月球。地球质量远大于月球质量，两者的值不同，故该等式不成立，故A错误； B．近月制动后卫星进入月球捕获轨道，其速度应小于月球的逃逸速度。 第一宇宙速度公式，已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，月球的第一宇宙速度可由地球的第一宇宙速度按比例求出。 则， 两式相比 故 逃逸速度为，故B错误； C．椭圆轨道上，卫星在远月点附近运行速度最慢，停留时间最长。将远月点设在月球南极上空，可以显著延长卫星与南极区域的通信窗口，符合中继星的通信需求。故C正确； D．开普勒第二定律指出，同一颗行星（或卫星）在同一椭圆轨道上运动时，与中心天体的连线在相等时间内扫过相等的面积。捕获轨道和冻结轨道是两个完全不同的轨道，面积速率（掠面速度）不同，该结论不适用，故D错误。 故选C。 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图甲所示，地球卫星仅在地球万有引力作用下沿椭圆轨道绕地球运动，在任意位置，将卫星与地心的距离记为r，卫星的加速度a在轨迹切线方向上的分量记为切向加速度。卫星Ⅰ和卫星Ⅱ从近地点到远地点过程中的大小随r的变化规律如图乙所示。以下说法正确的是（　　） A．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的万有引力最小值之比为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道周期之比为 D．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的速度最小值之比为 【答案】C 【详解】B．根据牛顿第二定律可得 解得 可知卫星在近地点的加速度最大，此时，卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为，故B错误； A．根据牛顿第二定律可得，由于两卫星的质量关系未知，所以无法得出卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的万有引力最小值之比，故A错误； C．由图乙可知卫星I和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为 故由开普勒第三定律可知周期之比为1：1，故C正确； D．根据开普勒第二定律，分别在近地点和远地点选很小的一段时间，则 即 根据机械能守恒可得 联立，解得 卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的速度最小值之比为，故D错误。 故选C。 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为，若地球的公转轨道可视为半径为的圆轨道，地球的公转周期为。根据以上信息可以得到哈雷彗星（    ） A．质量 B．公转周期 C．在近日点与远日点的速度大小之比为 D．在近日点与远日点的加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．由万有引力定律可以计算中心天体的质量，依题意哈雷彗星是环绕天体，其质量无法由万有引力提供向心力模型计算，故A错误； B．由开普勒第三定律可得，其中年 解得年，故B错误； C．根据开普勒第二定律，取时间微元，根据扇形面积公式 可得 解得，故C错误； D．在近日点时，由牛顿第二定律可得 在远日点时，由牛顿第二定律可得 联立解得，故D正确。 故选D。 4．（2025·四川·一模）如图所示，某人造卫星仅在万有引力作用下绕地球沿椭圆轨道运行，近地点b与远地点e到地心的距离之比为，卫星从a运行到c、从d运行到f的过程中，卫星与地心连线扫过的面积分别为和，且。下列说法正确的是（　　） A．从a运行到c的过程中，卫星的机械能先增大后减小 B．卫星从a运行到c的时间小于从d运行到f的时间 C．卫星在b、e两点的线速度之比为 D．卫星在b、e两点的加速度之比为 【答案】B 【详解】A．卫星在椭圆轨道上运行时，只受万有引力，因此机械能守恒，故A错误； B．卫星从a运行到c过程中，卫星与地心连线扫过的面积小于从d运行到f扫过的面积，根据开普勒第二定律可知，卫星从a运行到c的时间小于从d运行到f的时间，故B正确； C．在极短时间内，根据开普勒第二定律，卫星在b、e两点附近与地心连线扫过的面积相等，因此有 可知卫星在b、e两点的线速度之比为，故C错误； D．根据万有引力定律可得， 可知卫星在b、e两点的加速度之比为，故D错误。 故选B。 5．（2026·四川攀枝花·二模）（多选）二十四节气是我国农耕文明的智慧结晶，其确立源于地球绕太阳的公转运动。如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行，轨道上春分、秋分两点位于椭圆短轴的两端附近，夏至、冬至两点位于椭圆长轴的两端附近，且冬至点接近近日点，夏至点接近远日点。已知地球在冬至（近日点）时与太阳中心的距离为，公转速率为，所受万有引力为，在夏至（远日点）时与太阳中心的距离为，公转速率为，所受万有引力为。下列说法中正确的有（　　） A．地球在冬至时绕太阳公转的线速度最大 B．一年内冬至到春分的时间与春分到夏至的时间相等 C． D． 【答案】AC 【详解】A．根据开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积，近日点距离太阳最近，线速度最大。题干说明冬至点接近近日点，因此地球冬至时公转线速度最大，A正确。 B．太阳在椭圆轨道的一个焦点上，位置偏近冬至点。从冬至到春分，地球平均公转速率更大，且扫过的面积更小；春分到夏至地球平均速率更小，扫过的面积更大。根据开普勒第二定律，冬至到春分的时间小于春分到夏至的时间，B错误。 C．根据万有引力公式 ，可得 ，，因此比值： 即 ，C正确。 D．根据开普勒第二定律，极短时间内可认为扫过三角形面积相等：，得 ，因此 ，即 ，D错误。 故选AC 。 6．（2026·四川内江·一模）（多选）某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径与运动周期的关系如图所示。行星的半径为，引力常量为，图中、为已知量。下列说法正确的是（　　） A．绕该行星表面运行卫星的周期为 B．该行星的质量为 C．该行星的密度为 D．该行星表面的重力加速度为 【答案】BC 【详解】A．根据开普勒第三定律有 由图可知 绕该行星表面运行卫星的轨道半径 解得，故A错误； B．由万有引力提供向心力得，得 由题图斜率 联立解得，故B正确； C．由，且 得，故C正确； D．由得，故D错误。 故选BC。 ⏳题型02 万有引力定律 7．（2026·四川广安·模拟预测）2026年，中国将发射嫦娥七号探测器。它计划在月球南极着陆，开展月表环境勘察与水冰探测等关键科研任务。当嫦娥七号环绕月球表面附近运动时，视为匀速圆周运动，已知嫦娥七号运行周期和万有引力常量，则可求出的是（     ） A．嫦娥七号的质量 B．月球的质量 C．月球的平均密度 D．月球的球体半径 【答案】C 【详解】嫦娥七号环绕月球表面附近运动时，根据万有引力提供向心力 解得月球的质量 根据 解得 可知只能求出月球的平均密度。 故选C。 8．（2026·四川广元·三模）因为用长度单位去描述遥远星体的大小没有太大意义，所以我们通常描述天体的大小是以从地球上看到天体的角度大小来描述，即“角直径”（如图中，，为星体半径，为公转半径）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍。设想地球也可以绕该恒星公转，同时将地球绕太阳和绕该恒星的运动均视为匀速圆周运动，通过计算地球绕该恒星的公转周期与地球绕太阳的公转周期之比为，且该恒星与太阳的角直径相等，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据 可得 平均密度为 作辅助线如图 几何关系可知 联立，解得 可得该恒星与太阳的平均密度之比为 故选A。 9．（2026·四川成都·二模）中国航天将向深空探索。假设科研人员做如下实验：如图甲所示，光滑的四分之一圆弧轨道底端位于轨道圆心正下方，且装有力传感器。将该轨道分别放置在地球和深空某星球表面的竖直平面内，让质量m不同的小球分别从圆弧轨道顶端由静止释放，力传感器测得小球离开轨道时对轨道的压力大小F。在地球表面和星球表面测得F与m的关系如图乙所示。已知地球与星球半径相等，地球质量为M、忽略地球和星球自转。则星球质量为（　　） A．3M B．2M C． D． 【答案】B 【详解】小球从圆弧轨道顶端滑到底端过程，根据机械能守恒定律有 在最低点，根据牛顿第二定律有 联立解得轨道对小球的支持力 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力 忽略星球自转，在星球表面有 即 联立可得 由图乙可知，当小球质量相同时，星球表面的压力是地球表面压力的2倍，即 代入公式得 已知地球与星球半径相等，解得星球质量 故选B。 10．（2026·四川资阳·三模）2025年10月，我国“天问一号”环绕器利用高分辨率相机成功观测到星际天体—阿特拉斯（3I/ATLAS）。假设“天问一号”环绕器绕火星运行的轨道为椭圆，其轨道的半长轴为，运行的周期为，火星半径为，引力常量为，忽略火星自转及其他天体引力影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球发射“天问一号”的速度一定高于 B．若从火星表面发射卫星，其发射速度至少为 C．火星的平均密度为 D．若“天问一号”在轨道上相对自身向后喷射气体，则可以降低轨道高度 【答案】C 【详解】A．是第三宇宙速度，是航天器脱离太阳系的最小发射速度，“天问一号”仅前往火星，未脱离太阳系，发射速度介于之间，故A错误； B．是“天问一号”半长轴为的椭圆轨道的运行周期，不是火星近地卫星的周期，火星表面发射卫星的最小速度（第一宇宙速度）对应的周期远小于，最小发射速度大于，故B错误； C．设贴近火星表面的卫星的运行周期为，火星的质量为，由开普勒第三定律可得 根据万有引力定律可得 平均密度 联立可得，故C正确； D．向后喷射气体时，“天问一号”速度增大，万有引力不足以提供向心力，将做离心运动，轨道高度升高，故D错误。 故选C。 11．（2025·四川乐山·三模）（多选）“天问一号”火星探测器被设计成环绕器和着巡组合体两部分。假设环绕器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动。着巡组合体在火星表面软着陆后，在距火星表面h高度处由静止释放一个小球，小球到达火星表面时的速度大小为v，已知引力常量为G，忽略火星自转和表面稀薄气体的影响，下列说法正确的是（　　） A．环绕器运动的线速度大小为 B．火星表面的重力加速度为 C．火星的质量为 D．火星的半径为 【答案】AD 【详解】A．根据题意环绕器运动的线速度大小为 故A正确； B．根据速度位移关系 可知火星表面的重力加速度 故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得火星的质量为 故C错误； D．在火星表面，万有引力提供重力 可得 故D正确。 故选AD。 12．（2025·四川·模拟预测）（多选）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．卫星运动周期是 B．卫星运动周期是 C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍 D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍 【答案】AC 【详解】AB．从图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点，万有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为，故A正确，B错误； CD．根据万有引力定律 设地球与近地点间的距离为，与远地点再间的距离为 则在点 在点 将两式相比可得 即 所以地球与点间距离是地球与点间距离的倍，故C正确，D错误。 故选 AC。 ⏳题型03 天体运动中的各参量运算 13．（2026·四川遂宁·模拟预测）2025年7月15日，天舟九号货运飞船成功对接空间站天和核心舱，交会对接的示意图如图所示，飞船首先进入预定圆轨道Ⅰ，之后经椭圆轨道Ⅱ与在圆轨道Ⅲ运行的空间站在点完成交会对接，对接后空间站仍在圆轨道Ⅲ运行。已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为、，轨道Ⅰ、Ⅱ相切于点，轨道Ⅱ、Ⅲ相切于B点。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅰ上的周期大于轨道Ⅱ上的周期 B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能 C．飞船与空间站完成对接后，空间站的运行加速度变小 D．飞船在轨道Ⅱ上运行时，在、两点的速度之比为 【答案】B 【详解】A．椭圆轨道Ⅱ的半长轴 因，则，根据开普勒第三定律有 则飞船在轨道Ⅰ上的周期小于轨道Ⅱ上的周期，故A错误； B．飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在A点加速，动能瞬间增大，引力势能不变，则机械能增加，因此轨道Ⅰ的机械能小于轨道Ⅱ的机械能，故B正确； C．由牛顿第二定律有 得 飞船与空间站完成对接后，r不变，则空间站的运行加速度不变，故C错误； D．根据开普勒第二定律，飞船在椭圆轨道Ⅱ上近远地点时满足 得，故D错误。 故选B。 14．（2026·四川成都·三模）如图所示，a为地球静止轨道卫星，b为地球椭圆轨道卫星，c为地球赤道上的物体，卫星b轨道的长轴是卫星a轨道半径的2倍。已知卫星a、物体c的线速度大小分别为、，地球自转周期为。下列说法正确的是（     ） A． B．a的轨道半径为 C．卫星b的周期是卫星a周期的2倍 D．卫星b从远地点到近地点的运行过程中机械能逐渐减小 【答案】B 【详解】A．7.9km/s是地球的第一宇宙速度，是近地卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力有 可得 可知地球静止轨道卫星a的线速度v1小于近地卫星，又地球静止轨道卫星a和地球赤道上的物体c角速度相同，根据 可知，地球静止轨道卫星a的线速度v1大于物体c的线速度v2，故A错误； B．地球自转周期为T0，可知a的周期为T0，有 可得a的轨道半径，故B正确； C．b轨道的长轴是a轨道半径的2倍，即b轨道的半长轴等于a轨道半径，根据开普勒第三定律有 可得，b的运行周期与a相同，也为T0，故C错误； D．b卫星从远地点到近地点的运行过程中只有万有引力做功，仅存在引力势能与动能的相互转换，机械能不变，故D错误。 故选B。 15．（2026·四川成都·三模）如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为赤道上空的静止轨道卫星，c为赤道上空的椭圆轨道卫星，P为b、c卫星轨道交点。已知b卫星轨道的半径与c卫星轨道的半长轴相等。下列说法中正确的是（　　） A．a物体与c卫星的周期相等 B．b卫星与c卫星在P点的万有引力相等 C．a物体的线速度大于b卫星的线速度 D．b卫星的线速度小于c卫星在远地点的线速度 【答案】A 【详解】A．b卫星轨道的半径与c卫星轨道的半长轴相等，根据开普勒第三定律可知，a物体与c卫星的周期相等，A正确； B．b卫星与c卫星的质量关系不确定，则不能比较两卫星在P点的万有引力大小，B错误； C．a物体和b卫星的角速度相同，根据可知，a物体的线速度小于b卫星的线速度，C错误； D．若过椭圆轨道的远地点做圆轨道（设为d卫星），则c卫星在椭圆轨道远地点加速才能进入d卫星的圆轨道，可知d卫星的速度大于c卫星在椭圆轨道远地点的速度，根据可得 则d卫星的速度小于b卫星速度，可知b卫星的线速度大于c卫星在远地点的线速度，D错误。 故选A。 16．（2026·四川内江·三模）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道和椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点，不计阻力。下列说法中正确的是（    ） A．P、Q两点速度大小关系： B．三个轨道周期关系： C．P、Q两点加速度大小关系： D．飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点，动能减小、引力势能增大，机械能逐渐增大 【答案】C 【详解】A．由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道需要在P点加速，，故A错误； B．根据开普勒第三定律，半长轴越长，周期越大，所以，故B错误； C．根据牛顿第二定律 P点到圆心距离小于Q点到圆心距离，所以，故C正确； D．飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点，万有引力做负功，动能减小、引力势能增大，机械能守恒，故D错误。 故选C。 17．（2026·四川成都·二模）（多选）1610年，伽利略用他的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，它们的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径的对数与周期的对数关系如图，则（　　） A．木卫四的加速度比木卫一的大 B．四颗卫星中，木卫一的速度最大 C．图线斜率等于 D．图线纵截距仅与木星的质量有关 【答案】BD 【详解】CD． 根据题意，由万有引力提供向心力有，整理可得，两边取对数有 可知图线斜率等于，图线纵截距与木星的质量有关，故C错误，D正确； AB． 由图可知，木卫四的轨道半径最大，木卫一的轨道半径最小，由万有引力提供向心力有，，解得，可知，木卫四的加速度比木卫一的小，四颗卫星中，木卫一的速度最大，故A错误，B正确。 故选BD。 18．（2025·四川成都·一模）（多选）飞船发射并进入轨道是一个复杂的过程。如图所示，发射飞船时先将飞船发射至近地轨道，在近地轨道的点调整速度进入转移轨道，在转移轨道上的远地点调整速度后进入目标轨道。不计飞船质量的变化，已知引力常量为，地球质量为，近地圆轨道半径为，目标圆轨道半径为。下列说法正确的是（　　） A．飞船在转移轨道上运动经过点时的线速度大小为 B．飞船在近地轨道与目标轨道上运动的向心力大小之比为 C．飞船在转移轨道与目标轨道上运动的周期之比为 D．飞船在转移轨道上从点运动到点的过程中，万有引力做负功，机械能减小 【答案】BC 【详解】A．卫星在目标轨道上运动时，由牛顿第二定律得 解得卫星在目标轨道上运动时的线速度大小为 卫星在转移轨道上运动经过点时的线速度大小应小于在目标轨道上运行的线速度，即卫星在转移轨道上运动经过点时的线速度大小小于，故A错误； B．卫星在近地轨道与目标轨道上运动的向心力大小之比为，故B正确； C．根据开普勒第三定律 可得卫星在转移轨道与目标轨道上运动的周期之比为，故C正确； D．卫星在转移轨道上从点运动到点的过程中，万有引力做负功，重力势能增加，动能减小，机械能保持不变，故D错误。 故选BC。 ⏳题型04 变轨与多星问题 19．（2025·四川成都·二模）a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d均为同步卫星，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．若a、c是近地卫星，则已知其周期和引力常量，可计算地球质量 B．a的发射速度小于地球的第二宇宙速度但大于b的发射速度 C．d卫星提速可以和b卫星成功对接 D．a、b、c、d四颗卫星的角速度关系是 【答案】D 【详解】A．a、c两颗卫星公转轨道半径相同，根据 解得 则要计算地球质量除了已知其周期和引力常量还需知道两个近地卫星的环绕半径。故A错误； B．第二宇宙速度是克服地球引力并逃离地球引力场的最低速度，a卫星仍在环绕地球运动，则a的发射速度小于地球的第二宇宙速度。由于卫星轨道低于，则发射速度小于b的发射速度，故B错误； C．两颗卫星不能在同轨道提速对接，d卫星提速后将会做离心运动远离地球到外侧轨道运行，不能与b卫星对接，故C错误； D．a、c两颗卫星公转轨道半径相同，则根据 解得 可知 b、d两颗卫星公转轨道半径相同，同理可知 由图可知b、d的公转轨道半径大于a、c的公转轨道半径，根据上述分析可知，故D正确。 故选D。 20．2024年9月，我国成功试射了一枚洲际弹道导弹，射程高达12000公里，测试弹头最终落入南太平洋公海的预定海域，创下了全球洲际导弹射程的最远纪录。如图所示，若导弹从P点飞出大气层后，靠惯性绕地心O做椭圆轨道飞行（O为椭圆轨道的一个焦点），最后从Q点进入大气层。N点为远地点，，已知地球质量为M，引力常数为G，则下列说法正确的是（　　） A．导弹在N点的加速度大小为 B．导弹在P点和Q点受到的地球引力相同 C．导弹在N点的速度大小为 D．导弹从P到N过程中机械能不守恒 【答案】A 【详解】A．导弹的加速度由万有引力提供，在N点有 解得，故A正确； B．由图像，导弹在P点和Q点距地心O点距离相等，因此所受引力大小相同，但位置不同，引力方向不同，故B错误； C．若导弹在N点轨道为圆轨道，有解得 但N点实际轨道为椭圆轨道，N点为远地点。卫星在圆轨道上某点变轨时，若该点成为椭圆轨道的远地点，则需减速，因此才能使导弹在椭圆轨道运动，故C错误； D．导弹从P到N过程中仅受地球引力，无其他力做功，机械能守恒，故D错误； 故选A。 21．（2026·四川成都·二模）恒星a、b绕连线上的某点O做匀速圆周运动组成双星系统（仅考虑a、b间的万有引力作用）。若a、b质量之比为，则a、b绕O运动的线速度大小之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双星系统的核心特点是两恒星绕O点运动的角速度相同，彼此间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，且两恒星的向心力大小相等。 设恒星a质量为、轨道半径为，恒星b质量为、轨道半径为，两恒星间距为L，由题意。 对a： 对b： 两式联立得，即。 又线速度，相同，故。 故选B。 22．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统。由恒星与恒星组成的双星系统绕其连线上的点做匀速圆周运动，如图所示。已知它们之间的距离为，周期为，轨道半径之比，引力常量为，则下列判断正确的是（　　） A．的线速度大小之比为 B．的质量之比为 C．的总质量为 D．的总质量一定的情况下，越大，越小 【答案】C 【详解】A．双星绕点做周期为的匀速圆周运动，角速度相等，根据 可得线速度大小之比为，故A错误； BCD．双星绕点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，有， ，， 联立求得质量之比为， 双星系统的周期，的总质量一定的情况下，越大，越大，故C正确，B、D错误。 故选C。 23．（2024·四川·一模）（多选）地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动如图（a）所示，月球绕地球运动的周期为；也可为地月系统是一个双星系统如图（b）所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是（    ） A．图（a）月球绕地球运动的周期等于图（b）中月球绕O点运动的周期 B．图（a）中，地球密度为 C．地月双星轨道中O点到地心距离为 D．图（a）中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小 【答案】CD 【详解】AC．根据万有引力提供向心力 解得图（a）月球绕地球运动的周期为 地月系统是一个双星系统，设地月双星轨道中O点到地心距离为，地月双星轨道中O点到月球圆心距离为，则 可得 且 解得 ，， 可知图（a）月球绕地球运动的周期大于图（b）中月球绕O点运动的周期，故A错误，C正确； B．根据万有引力提供向心力 设地球的半径为，地球的体积为 图（a）中，地球密度为 故B错误； D．图（a）中，若把部分月壤运回到地球，设部分月壤质量为，则 即此时月球做圆周运动所需的向心力小于月球与地球间的万有引力，月球做向心运动，月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小，故D正确。 故选CD。 24．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）某次发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，卫星运动到轨道Ⅰ上的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ上的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上运动的角速度与在轨道Ⅲ上运动的角速度之比是8∶1 B．卫星在轨道Ⅰ上运动的周期与在轨道Ⅱ上运动的周期之比是 C．卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大小大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大小 D．卫星在轨道Ⅲ上运动的机械能小于在轨道Ⅰ上运动的机械能 【答案】AC 【详解】A．根据万有引力提供向心力，解得 轨道Ⅰ的半径为地球半径R，轨道Ⅲ的半径为4R，可得卫星在轨道Ⅰ上运动的角速度与在轨道Ⅲ上运动的角速度之比是8∶1，故A正确； B．轨道Ⅱ的长轴为5R，即半长轴为2.5R，根据开普勒第三定律 可得，故B错误； CD．在轨道Ⅱ上经过B点时，卫星要加速即卫星的动能增大，机械能增大，即卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大小大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大小，在轨道Ⅲ上运动的机械能大于在轨道Ⅰ上运动的机械能，故C正确，D错误。 故选AC。 重难·创新演练 设题创新:天体中的追及问题(T1);拉格朗日模型（T3） 1．如图所示，同步卫星a、低轨道卫星b同向运行，卫星a、b的张角分别为θ1和θ2（θ2未标出），a半径是b半径的4倍，卫星a周期为T，由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通信的盲区，求卫星b每次在盲区运行的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由开普勒第三定律得， 解得 如图，A、B是卫星盲区两个边缘位置，由几何知识可得，有 联立解得 故选D。 26．（2026·四川泸州·二模）如图所示，卫星P和Q在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，P在轨道I上的周期为T1、Q在轨道Ⅱ上的周期为T2，O为地球的球心。某时刻OP与QP的夹角∠OPQ达最大值θ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设卫星P的轨道半径为，卫星Q的轨道半径为。当PQ连线与卫星Q的轨道相切时，达到最大值，此时为直角三角形，且 由几何关系可知 根据开普勒第三定律有 整理得 将几何关系代入可得 即 故选C。 3．（2026·四川内江·二模）如图所示，、为地月系统中的两个拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，“鹊桥”中继卫星位于点上。结合以上信息，下列说法正确的是（　　） A．“鹊桥”中继卫星的发射速度 B．地球静止卫星轨道应位于月球与点之间 C．同一颗卫星位于点所在轨道时的动能大于位于点所在轨道时的动能 D．“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度为7.9km/s，第二宇宙速度为11.2km/s，“鹊桥”运行于地-月拉格朗日点L2，发射速度满足7.9km/s<v<11.2km/s，故A错误； B．月球绕地球周期为27天，静止卫星周期为1天，根据开普勒第三定律可知月球轨道半径大于静止卫星轨道半径，则静止卫星轨道应该在地球与月球之间，故B错误； C．由题意可知，当卫星位于L1、L2点所在轨道围绕地球运动时的角速度相等，则根据可知，当卫星位于L2点时的线速度要大于位于L1点时的线速度，也就是同一颗卫星位于L2点时的动能要大于位于L1点时的动能，故C错误； D．根据向心加速度表达式可知“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D正确。 故选D。 4．两颗行星S和T的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度ω与轨道半径r的关系图，图中两直线的纵截距的差值b-a=lg4，已知行星S的半径是T的2倍，忽略行星自转和其他星球的影响，结合图像中的数据，下列选项正确的是（　　） A．行星S与T的质量之比为4：1 B．行星S与T表面的重力加速度之比为1：4 C．行星S与T的平均密度之比为2：1 D．行星S的第一宇宙速度是T的2倍 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力 整理可得，图中两直线的纵截距的差值b-a=lg4，即，即，行星S与T的质量之比为16：1，故A错误； B．行星S的半径是T的2倍，根据黄金代换 行星S与T表面的重力加速度之比为4：1，故B错误； C．根据体积公式，可得体积之比为8：1，根据密度公式 可知行星S与T的平均密度之比为2：1，故C正确； D．第一宇宙速度公式，解得，可知行星S的第一宇宙速度是T的倍，故D错误。 故选C。 5．（多选）如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球和太阳中心的连线与地球和该行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。下列说法正确的是（　　） A．地球绕太阳运动的周期小于该行星绕太阳运动的周期 B．地球绕太阳运动的线速度小于该行星绕太阳运动的线速度 C．行星与太阳的连线和地球与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等 D．行星绕太阳运动的角速度与地球绕太阳运动的角速度之比为 【答案】BD 【详解】AB．根据 可知， 所以地球绕太阳运动的周期大于该行星绕太阳运动的周期，地球绕太阳运动的线速度小于该行星绕太阳运动的线速度，A错误、B正确； C．根据开普勒第二定律可知，同一行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等，C错误； D．设该行星与太阳的连线和该行星与地球的连线的夹角为，则由正弦定理得 则 当时地球对该行星的视角最大，可得行星的轨道半径 由 得，D正确。 故选BD。 6．（多选）A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示，不考虑A、B之间的万有引力，已知地球的半径为，万有引力常量为，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，则以下说法正确的是（　　） A．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球的密度为 D．卫星A的加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．人造地球卫星绕地球转动的发射速度应大于等于第一宇宙速度，又小于第二宇宙速度，故卫星A的发射速度不可能大于第二宇宙速度，A错误； B．设卫星的轨道半径为，卫星的轨道半径为，结合图像有 解得 ， 设卫星绕地球做匀速圆周的周期为，则有 解得 设卫星绕地球做匀速圆周的周期为，则有 解得 由图像可知每经过，两卫星再一次相距最近，则有 联立解得 则地球质量为 设地球的第一宇宙速度为，则有 解得 B正确； C．设地球密度为，则有 解得 C错误； D．设卫星A的加速度大小为，则有 解得 D正确； 故选BD。 真题·实战演练 高频考点：天体运动的参量计算、不同规道的物理量比较 1．（2026·山东·高考真题）海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】地球绕太阳公转：设地球公转周期为​，日地距离，太阳质量为​，则 海卫二绕海王星公转：设海卫二公转周期为​，轨道半长轴为​，海王星质量为，则 已知，且则 整理得 故 故选A。 2．（2026·江苏·高考真题）发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（     ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 【答案】D 【详解】根据万有引力公式 ，结合位置和轨道性质分析： M点分析：M点距离地球更近、距离月球更远，且地球质量远大于月球质量，因此卫星在M点受到的地球引力大于月球引力； N点分析：N点距离月球更近、距离地球更远，轨道向月球一侧弯曲，说明合力指向月球，即卫星在N点受到的月球引力大于地球引力。 故选D。 3．（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 4．（2026·贵州·高考真题）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题图可知P点距月心的距离为，地心与月心间距为，月球质量为，根据万有引力公式结合月球引潮力的定义可得点处质量为的海水所受月球引潮力大小为 故选D。 5．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 【答案】BC 【详解】根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为，设椭圆的另外一个焦点为，如图所示 设椭圆的半长轴为，焦距为，根据椭圆知识可知 根据开普勒第三定律可知如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当垂直于时，半长轴最小，如图所示 由几何关系有 解得 C．根据几何关系可得椭圆的焦距，故C正确； A．根据几何关系可得发射点离月面的高度，故A错误； B．设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为，则由重力提供向心力得 结合开普勒第三定律 联立可得物体沿椭圆运动的周期为，故B正确； D．由引力势能公式 结合万有引力公式 结合机械能守恒定律有 联立可得，故D错误。 故选BC。 6．（2025·安徽·高考真题）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 万有引力定律与天体运动基本规律（专项训练） 模拟·基础演练 ⏳题型01 开普勒行星运动定律 1 2 3 4 5 6 C C D B AC BC ⏳题型02 万有引力定律 7 8 9 10 11 12 C A B C AD AC ⏳题型03 天体运动中的各参量运算 13 14 15 16 17 18 B B A C BD BC ⏳题型04 变轨与多星问题 19 20 21 22 23 21 D A B C CD AC 重难·创新演练 1 2 3 4 5 6 D C D C BD BD 真题·实战演练 1 2 3 4 5 6 A D B D BC BC 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 万有引力定律与天体运动基本规律（专项训练） 目 录 研判·考情前瞻 1 巩固·知识解构 1 知识点1 开普勒三大定律 2 知识点2 万有引力定律 2 知识点3 天体运动的基本规律 3 模拟·基础演练 4 题型01 开普勒行星运动定律 5 题型02 万有引力定律 7 题型03 天体运动中的各参量运算 9 题型04 变轨与多星问题 12 重难·创新演练 14 真题·实战演练 16 研判·考情前瞻 核心考点 2026年 2025年 2024年 开普勒三大定律 —— —— 万有引力定律的应用 四川卷·T4，4分 四川卷·T6，4分 全国甲卷T3，6分 考情分析 题型与考向：以选择题为主，是高考中的必考内容。选择题常考查开普勒定律、万有引力定律的理解与应用、天体质量与密度的估算、卫星运行参量（v、ω、T、a）的比较等；计算题多在四川卷中以压轴题形式出现，常与航天变轨、多星系统等结合，考查综合分析与数学建模能力。2025年四川卷以“嫦娥六号”月球背面采样返回为背景，考查了万有引力定律与天体运动规律的综合应用。 情境与立意： 1.航天科技类：中国空间站建设、嫦娥探月工程、天问一号火星探测、北斗导航卫星等国家航天成就中的万有引力应用。 2.天体探索类：行星运动规律的发现（开普勒三定律）、海王星的发现（万有引力定律的验证）、引力常量的测量（卡文迪许扭秤实验）。 3实际应用类：卫星变轨、同步卫星、近地卫星、极地卫星的运行规律分析；星球表面重力加速度的测量与比较。 复习目标 1.基本定律与黄金代换：掌握开普勒三定律（轨道、面积、周期）及万有引力定律F=GMm/r²，理解重力近似等于万有引力的条件，熟记黄金代换式GM=gR²及其应用。 2.参量比较与估算：掌握卫星运行参量随轨道半径的变化规律（高轨低速大周期），能比较不同轨道卫星的v、ω、T、a大小；会用两种基本方法估算天体质量（M=gR²/G或M=4π²r³/GT²）和密度。 3.卫星运行与变轨：掌握近地卫星与同步卫星的特点及第一宇宙速度的含义（v1=7.9 km/s，最小发射速度、最大环绕速度）；理解卫星变轨原理（低轨到高轨需加速，高轨到低轨需减速）及变轨前后参量变化（高轨机械能大、周期长、速度小）。 4.双星与多星系统：理解双星系统周期相同、角速度相同、向心力由彼此引力提供的特点，会列向心力方程求解相关问题。 巩固·知识解构 知识点1 开普勒三大定律 一、第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 二、第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 （1）行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。 （2）同一行星，轨道半径越大（距太阳越远），线速度越小。 三、第三定律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等。 公式：（k为常数，只与中心天体有关） （1）若轨道近似为圆，则 （2）k只由中心天体的质量决定，与行星（或卫星）的质量无关。 （3）同一中心天体，k相同；不同中心天体，k不同。 知识点2 万有引力定律 一、内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1、m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 公式： G 为引力常量， r 为两质点间的距离（或质量分布均匀的球体球心间的距离） 二、公式的适用条件 （1）适用于质点间的相互作用。 （2）两个质量分布均匀的球体间，r为两球心间的距离。 （3）一个均匀球体与球外一个质点间，r 为质点到球心间的距离。 三、万有引力的三个性质 （1）普遍性：任何两个有质量的物体间都存在万有引力。 （2）相互性：两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，等大、反向、共线。 （3）宏观性：通常只有质量巨大的天体间万有引力才显著，一般物体间可忽略。 四、万有引力与重力的关系 （1）在地球表面附近，重力近似等于万有引力： ，得 GM=gR2（黄金代换）。 （2）重力是万有引力的一个分力（另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力）。 （3）在赤道上：，重力最小。 （4）在两极：，重力最大。 （5）随纬度升高，重力加速度增大；随高度升高，重力加速度减小。 知识点3 天体运动的基本规律 一、核心思路——万有引力提供向心力 二、卫星运动的三个基本量 物理量 表达式 随r增大 规律口诀 线速度 减小 越高越慢 角速度 减小 越高越慢 周期 增大 越高越长 向心加速度 减小 越高越小 三、三种宇宙速度 （1）第一宇宙速度（环绕速度） ： 是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度、最小发射速度。 推导： （2）第二宇宙速度（脱离速度） ： 物体克服地球引力，脱离地球束缚的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度（逃逸速度） ： 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 四、同步卫星（通信卫星） （1）五个“一定” ： 轨道平面一定：赤道平面。 周期一定：T=24h（与地球自转周期相同）。 角速度一定：与地球自转角速度相同。 高度一定：h≈3.6×10 4km。 线速度一定：v≈3.1km/s。 （2）所有同步卫星的轨道半径、高度、线速度、角速度、周期均相同。 （3）同步卫星轨道只有一条，位于赤道正上方。 五、卫星变轨问题 （1）加速升轨：卫星在轨道上某点加速（v 增大，所需向心力增大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，进入更高轨道）。 （2）减速降轨：卫星在轨道上某点减速（v 减小，所需向心力减小，万有引力大于所需向心力，卫星做向心运动，进入更低轨道）。 （3）三个轨道上的速度比较（以椭圆轨道与圆轨道对比）： 卫星在椭圆轨道近地点速度大于圆轨道速度。 卫星在椭圆轨道远地点速度小于圆轨道速度。 模拟·基础演练 考查重点：天体运动、宇宙速度、同步卫星、变轨问题 ⏳题型01 开普勒行星运动定律 1．（2026·四川成都·模拟预测）为了给探月四期工程提供公共中继星平台，2024年3月20日长征八号遥三运载火箭将鹊桥二号中继星送入半长轴为、周期为的地月转移轨道，再通过近月制动，使其速度低于月球逃逸速度，进入月球捕获轨道，最终进入半长轴为、周期为的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，地球的第一宇宙速度为，任何星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍。下列说法正确的是（　　） A． B．近月制动后鹊桥二号的速度大于 C．为了确保鹊桥二号与月球南极附近区域之间有较长时间的稳定通信，冻结轨道的远月点位于月球南极区域上方 D．鹊桥二号分别在捕获轨道与冻结轨道运行时，在相同时间内与月球的连线扫过的面积相等 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）如图甲所示，地球卫星仅在地球万有引力作用下沿椭圆轨道绕地球运动，在任意位置，将卫星与地心的距离记为r，卫星的加速度a在轨迹切线方向上的分量记为切向加速度。卫星Ⅰ和卫星Ⅱ从近地点到远地点过程中的大小随r的变化规律如图乙所示。以下说法正确的是（　　） A．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的万有引力最小值之比为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为 C．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道周期之比为 D．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的速度最小值之比为 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为，若地球的公转轨道可视为半径为的圆轨道，地球的公转周期为。根据以上信息可以得到哈雷彗星（    ） A．质量 B．公转周期 C．在近日点与远日点的速度大小之比为 D．在近日点与远日点的加速度大小之比为 4．（2025·四川·一模）如图所示，某人造卫星仅在万有引力作用下绕地球沿椭圆轨道运行，近地点b与远地点e到地心的距离之比为，卫星从a运行到c、从d运行到f的过程中，卫星与地心连线扫过的面积分别为和，且。下列说法正确的是（　　） A．从a运行到c的过程中，卫星的机械能先增大后减小 B．卫星从a运行到c的时间小于从d运行到f的时间 C．卫星在b、e两点的线速度之比为 D．卫星在b、e两点的加速度之比为 5．（2026·四川攀枝花·二模）（多选）二十四节气是我国农耕文明的智慧结晶，其确立源于地球绕太阳的公转运动。如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运行，轨道上春分、秋分两点位于椭圆短轴的两端附近，夏至、冬至两点位于椭圆长轴的两端附近，且冬至点接近近日点，夏至点接近远日点。已知地球在冬至（近日点）时与太阳中心的距离为，公转速率为，所受万有引力为，在夏至（远日点）时与太阳中心的距离为，公转速率为，所受万有引力为。下列说法中正确的有（　　） A．地球在冬至时绕太阳公转的线速度最大 B．一年内冬至到春分的时间与春分到夏至的时间相等 C． D． 6．（2026·四川内江·一模）（多选）某行星周围的卫星绕其做圆周运动的轨道半径与运动周期的关系如图所示。行星的半径为，引力常量为，图中、为已知量。下列说法正确的是（　　） A．绕该行星表面运行卫星的周期为 B．该行星的质量为 C．该行星的密度为 D．该行星表面的重力加速度为 ⏳题型02 万有引力定律 7．（2026·四川广安·模拟预测）2026年，中国将发射嫦娥七号探测器。它计划在月球南极着陆，开展月表环境勘察与水冰探测等关键科研任务。当嫦娥七号环绕月球表面附近运动时，视为匀速圆周运动，已知嫦娥七号运行周期和万有引力常量，则可求出的是（     ） A．嫦娥七号的质量 B．月球的质量 C．月球的平均密度 D．月球的球体半径 8．（2026·四川广元·三模）因为用长度单位去描述遥远星体的大小没有太大意义，所以我们通常描述天体的大小是以从地球上看到天体的角度大小来描述，即“角直径”（如图中，，为星体半径，为公转半径）。宇宙中某恒星质量是太阳质量的倍。设想地球也可以绕该恒星公转，同时将地球绕太阳和绕该恒星的运动均视为匀速圆周运动，通过计算地球绕该恒星的公转周期与地球绕太阳的公转周期之比为，且该恒星与太阳的角直径相等，则该恒星与太阳的平均密度之比为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·四川成都·二模）中国航天将向深空探索。假设科研人员做如下实验：如图甲所示，光滑的四分之一圆弧轨道底端位于轨道圆心正下方，且装有力传感器。将该轨道分别放置在地球和深空某星球表面的竖直平面内，让质量m不同的小球分别从圆弧轨道顶端由静止释放，力传感器测得小球离开轨道时对轨道的压力大小F。在地球表面和星球表面测得F与m的关系如图乙所示。已知地球与星球半径相等，地球质量为M、忽略地球和星球自转。则星球质量为（　　） A．3M B．2M C． D． 10．（2026·四川资阳·三模）2025年10月，我国“天问一号”环绕器利用高分辨率相机成功观测到星际天体—阿特拉斯（3I/ATLAS）。假设“天问一号”环绕器绕火星运行的轨道为椭圆，其轨道的半长轴为，运行的周期为，火星半径为，引力常量为，忽略火星自转及其他天体引力影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球发射“天问一号”的速度一定高于 B．若从火星表面发射卫星，其发射速度至少为 C．火星的平均密度为 D．若“天问一号”在轨道上相对自身向后喷射气体，则可以降低轨道高度 11．（2025·四川乐山·三模）（多选）“天问一号”火星探测器被设计成环绕器和着巡组合体两部分。假设环绕器绕火星做半径为R、周期为T的匀速圆周运动。着巡组合体在火星表面软着陆后，在距火星表面h高度处由静止释放一个小球，小球到达火星表面时的速度大小为v，已知引力常量为G，忽略火星自转和表面稀薄气体的影响，下列说法正确的是（　　） A．环绕器运动的线速度大小为 B．火星表面的重力加速度为 C．火星的质量为 D．火星的半径为 12．（2025·四川·模拟预测）（多选）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（　　） A．卫星运动周期是 B．卫星运动周期是 C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍 D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍 ⏳题型03 天体运动中的各参量运算 13．（2026·四川遂宁·模拟预测）2025年7月15日，天舟九号货运飞船成功对接空间站天和核心舱，交会对接的示意图如图所示，飞船首先进入预定圆轨道Ⅰ，之后经椭圆轨道Ⅱ与在圆轨道Ⅲ运行的空间站在点完成交会对接，对接后空间站仍在圆轨道Ⅲ运行。已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为、，轨道Ⅰ、Ⅱ相切于点，轨道Ⅱ、Ⅲ相切于B点。下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅰ上的周期大于轨道Ⅱ上的周期 B．飞船在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能 C．飞船与空间站完成对接后，空间站的运行加速度变小 D．飞船在轨道Ⅱ上运行时，在、两点的速度之比为 14．（2026·四川成都·三模）如图所示，a为地球静止轨道卫星，b为地球椭圆轨道卫星，c为地球赤道上的物体，卫星b轨道的长轴是卫星a轨道半径的2倍。已知卫星a、物体c的线速度大小分别为、，地球自转周期为。下列说法正确的是（     ） A． B．a的轨道半径为 C．卫星b的周期是卫星a周期的2倍 D．卫星b从远地点到近地点的运行过程中机械能逐渐减小 15．（2026·四川成都·三模）如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为赤道上空的静止轨道卫星，c为赤道上空的椭圆轨道卫星，P为b、c卫星轨道交点。已知b卫星轨道的半径与c卫星轨道的半长轴相等。下列说法中正确的是（　　） A．a物体与c卫星的周期相等 B．b卫星与c卫星在P点的万有引力相等 C．a物体的线速度大于b卫星的线速度 D．b卫星的线速度小于c卫星在远地点的线速度 16．（2026·四川内江·三模）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道和椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点，不计阻力。下列说法中正确的是（    ） A．P、Q两点速度大小关系： B．三个轨道周期关系： C．P、Q两点加速度大小关系： D．飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点，动能减小、引力势能增大，机械能逐渐增大 17．（2026·四川成都·二模）（多选）1610年，伽利略用他的望远镜发现了围绕木星的四颗卫星，它们的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径的对数与周期的对数关系如图，则（　　） A．木卫四的加速度比木卫一的大 B．四颗卫星中，木卫一的速度最大 C．图线斜率等于 D．图线纵截距仅与木星的质量有关 18．（2025·四川成都·一模）（多选）飞船发射并进入轨道是一个复杂的过程。如图所示，发射飞船时先将飞船发射至近地轨道，在近地轨道的点调整速度进入转移轨道，在转移轨道上的远地点调整速度后进入目标轨道。不计飞船质量的变化，已知引力常量为，地球质量为，近地圆轨道半径为，目标圆轨道半径为。下列说法正确的是（　　） A．飞船在转移轨道上运动经过点时的线速度大小为 B．飞船在近地轨道与目标轨道上运动的向心力大小之比为 C．飞船在转移轨道与目标轨道上运动的周期之比为 D．飞船在转移轨道上从点运动到点的过程中，万有引力做负功，机械能减小 ⏳题型04 变轨与多星问题 19．（2025·四川成都·二模）a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于P，b、d均为同步卫星，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向以及位置如图所示，下列说法中正确的是（　　） A．若a、c是近地卫星，则已知其周期和引力常量，可计算地球质量 B．a的发射速度小于地球的第二宇宙速度但大于b的发射速度 C．d卫星提速可以和b卫星成功对接 D．a、b、c、d四颗卫星的角速度关系是 20．2024年9月，我国成功试射了一枚洲际弹道导弹，射程高达12000公里，测试弹头最终落入南太平洋公海的预定海域，创下了全球洲际导弹射程的最远纪录。如图所示，若导弹从P点飞出大气层后，靠惯性绕地心O做椭圆轨道飞行（O为椭圆轨道的一个焦点），最后从Q点进入大气层。N点为远地点，，已知地球质量为M，引力常数为G，则下列说法正确的是（　　） A．导弹在N点的加速度大小为 B．导弹在P点和Q点受到的地球引力相同 C．导弹在N点的速度大小为 D．导弹从P到N过程中机械能不守恒 21．（2026·四川成都·二模）恒星a、b绕连线上的某点O做匀速圆周运动组成双星系统（仅考虑a、b间的万有引力作用）。若a、b质量之比为，则a、b绕O运动的线速度大小之比为（    ） A． B． C． D． 22．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统。由恒星与恒星组成的双星系统绕其连线上的点做匀速圆周运动，如图所示。已知它们之间的距离为，周期为，轨道半径之比，引力常量为，则下列判断正确的是（　　） A．的线速度大小之比为 B．的质量之比为 C．的总质量为 D．的总质量一定的情况下，越大，越小 23．（2024·四川·一模）（多选）地月系统可认为是月球绕地球做匀速圆周运动如图（a）所示，月球绕地球运动的周期为；也可为地月系统是一个双星系统如图（b）所示，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动，月球绕O点运动的周期为。若地球、月球质量分别为M、m，两球心相距为r，万有引力常量为G，下列说法正确的是（    ） A．图（a）月球绕地球运动的周期等于图（b）中月球绕O点运动的周期 B．图（a）中，地球密度为 C．地月双星轨道中O点到地心距离为 D．图（a）中，若把部分月壤运回到地球，最终月球绕地球做圆周运动轨道半径将变小 24．（2025·四川广安·模拟预测）（多选）某次发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，卫星运动到轨道Ⅰ上的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ上的远地点B时，再次实施变轨进入轨道半径为4R（R为地球半径）的圆形轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ上运动的角速度与在轨道Ⅲ上运动的角速度之比是8∶1 B．卫星在轨道Ⅰ上运动的周期与在轨道Ⅱ上运动的周期之比是 C．卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大小大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大小 D．卫星在轨道Ⅲ上运动的机械能小于在轨道Ⅰ上运动的机械能 重难·创新演练 设题创新:天体中的追及问题(T1);拉格朗日模型（T3） 1．如图所示，同步卫星a、低轨道卫星b同向运行，卫星a、b的张角分别为θ1和θ2（θ2未标出），a半径是b半径的4倍，卫星a周期为T，由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通信的盲区，求卫星b每次在盲区运行的时间为（　　） A． B． C． D． 26．（2026·四川泸州·二模）如图所示，卫星P和Q在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，P在轨道I上的周期为T1、Q在轨道Ⅱ上的周期为T2，O为地球的球心。某时刻OP与QP的夹角∠OPQ达最大值θ，则（　　） A． B． C． D． 3．（2026·四川内江·二模）如图所示，、为地月系统中的两个拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动，“鹊桥”中继卫星位于点上。结合以上信息，下列说法正确的是（　　） A．“鹊桥”中继卫星的发射速度 B．地球静止卫星轨道应位于月球与点之间 C．同一颗卫星位于点所在轨道时的动能大于位于点所在轨道时的动能 D．“鹊桥”中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度 4．两颗行星S和T的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度ω与轨道半径r的关系图，图中两直线的纵截距的差值b-a=lg4，已知行星S的半径是T的2倍，忽略行星自转和其他星球的影响，结合图像中的数据，下列选项正确的是（　　） A．行星S与T的质量之比为4：1 B．行星S与T表面的重力加速度之比为1：4 C．行星S与T的平均密度之比为2：1 D．行星S的第一宇宙速度是T的2倍 5．（多选）如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球和太阳中心的连线与地球和该行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期。下列说法正确的是（　　） A．地球绕太阳运动的周期小于该行星绕太阳运动的周期 B．地球绕太阳运动的线速度小于该行星绕太阳运动的线速度 C．行星与太阳的连线和地球与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等 D．行星绕太阳运动的角速度与地球绕太阳运动的角速度之比为 6．（多选）A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示，不考虑A、B之间的万有引力，已知地球的半径为，万有引力常量为，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，则以下说法正确的是（　　） A．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球的密度为 D．卫星A的加速度大小为 真题·实战演练 高频考点：天体运动的参量计算、不同规道的物理量比较 1．（2026·山东·高考真题）海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·高考真题）发射一颗探月卫星，其先后在两个轨道上分别经过M、N两点，如图所示，关于卫星在M、N两点的情况，下列说法正确的是（     ） A．在点所受地球引力比月球引力大 B．在点所受地球引力和月球引力相等 C．在点所受月球引力比地球引力大 D．在点所受地球引力比月球引力大 3．（2026·四川·高考真题）离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 4．（2026·贵州·高考真题）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 6．（2025·安徽·高考真题）（多选）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $