专题4.2 线段的长短（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦“线段的长短”核心知识点，构建从线段比较（叠合法、度量法）到尺规作图（作线段等于已知线段、和差作图），再到线段中点定义及计算、两点间距离与“两点之间线段最短”应用的完整学习支架，层层递进夯实基础。 资料以“即学即练”结合“题型分类”为特色，通过尺规操作培养几何直观与空间观念（数学眼光），借助中点综合计算和动点问题提升推理能力（数学思维），规范作图步骤与符号语言描述强化模型意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，深化理解。

专题4.2 线段的长短 教学目标 1.掌握比较两条线段长短的两种常用方法：叠合法、度量法，能规范使用两种方法比较线段大小，正确使用不等号表示线段长短关系。 2.理解线段中点的定义，能用几何符号语言描述中点性质，熟练利用中点进行线段长度的计算与推理。 3.会使用尺规作图作一条线段等于已知线段，能完成线段的和、差作图，规范书写作图步骤。 4.理解 “两点之间，线段最短” 的基本事实，掌握两点间距离的概念，能运用该结论解释生活实际问题。 5.通过动手测量、尺规操作、几何推理计算，培养规范几何作图能力与简单逻辑推理能力，建立数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）叠合法、度量法比较线段长短； （2）线段中点的概念及相关线段长度计算； （3）尺规作线段的和、差； （4）两点之间线段最短及其简单应用。 2. 难点 （1）结合线段中点、线段和差进行分段线段的综合计算； （2）尺规作图规范语言表达，准确完成线段和差作图； （3）区分 “两点间的线段” 与 “两点间的距离（线段长度）” 两个概念； （4）利用线段数量关系解决含动点、多分段的几何计算题。 知识点01 线段的比较 1. 线段AB与线段CD相等，记作；线段AB大于线段CD，记作；线段AB小于线段CD，记作。 2. 线段的比较： ①方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 ②方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较 【即学即练】 1．如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．本题利用线段的和差将比较线段与线段转换为比较线段与线段即可． 【详解】解：因为，，， 所以， 故选：B． 2．下面是某教材中“用尺规作一条线段等于已知线段”的部分过程图，则下列与长短比较正确的是（    ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较线段的长度，由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断． 【详解】解：如图用圆规比较两条线段的长短，， 故选：C． 知识点02 尺规作图——作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图：可以只用没有刻度的直尺和圆规来画，这种只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图。 2. 作一条线段等于已知线段： 例：如图已知线段，求作线段AB，使AB=。B A C 作法：①作射线AC； ②以点A为圆心，线段的长度为半径画弧交AC于点B； ③线段AB即为所求。 【即学即练】 1．如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)如图所示，直线，射线即为所求； (2)如图所示，线段，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它的长等于． 【答案】如图，为所作． 【分析】分三步进行作图：①作射线，②在射线上顺次截取，，③线段即为所求作的线段． 【详解】略 知识点03 线段的中点 1. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点。 2. 两点间的距离：两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离。 3. 两点之间的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 【即学即练】 1．三点在同一条直线上，如果线段，，那么两点的距离为（   ） A． B． C．或 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】已知三点共线，未明确点C的位置，需要分点C在线段上、点C在的延长线上两种情况讨论，分别计算的长度即可． 【详解】解：①当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴； ②当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴； 综上，A、C两点的距离为或． 2．在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为__________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，理解并掌握最短线段的含义是解题的关键，根据实际问题中的修路可知运用的是两点之间线段最短的原理，由此即可求解. 【详解】解：减少弯路是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短. 3．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查线段中点的定义与线段和差的计算，利用线段和差先求出的长度，再根据中点定义求出的长度，最后计算得到的长度． 【详解】解 已知， ，   ∴ ， ∵ N是线段的中点， ∴ ∴ ． 题型01 线段之间比较大小 【典例1】为了比较线段与的长度，小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了线段大小的比较方法，熟练掌握“叠合法”判断两条线段的长短关系是解题的关键． 根据题干信息判断即可得出答案． 【详解】解：∵小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上， ∴线段的长度大于线段的长度． 故选：B ． 【变式1】如图，使用圆规比较线段和线段的长短，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段的长短，根据图形，即可解答． 【详解】解：如图，使用圆规比较线段和线段的长短，， 故选：B． 【变式2】用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 【答案】在线段延长线上 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 题型02 尺规作图——作一条线段等于已知线段 【典例1】如图，已知线段和线段，用尺规作线段．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】在射线上截取，，则即为所作． 【详解】解：如图，线段为所作． 作图工具限制：无刻度直尺+圆规，直尺仅用于画直线、线段，禁止测量长度；圆规用于截取固定线段长度。 【变式1】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段m，n． 求作：线段，使． 【答案】图见详解 【详解】解：如图，作射线，在射线上依次截取，在线段截取，则线段即为所求； 【变式2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，不在同一条直线上的四个点A，B，C，D，请按下列要求作图.（保留作图痕迹，不要求写作法） (1)画线段，，画射线，画直线； (2)在线段的延长线上取点E，使. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段、射线、直线的定义解题即可； （2）根据作图即可． 【详解】（1）解：如图， （2）如图， 【变式3】如图所示，在同一个平面内有四个点A，B，C，D，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹）： (1)作射线． (2)作直线与直线相交于点． (3)在射线上作线段，使线段与线段相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了射线、直线的作法以及利用圆规截取等长线段，熟练掌握作图方法是关键． （1）用直尺将点A，点B连接，使射线从点A出发经过点B，射线即为所求； （2）用直尺连接点A，点C作直线，再用直尺连接点B，点D作直线，两条直线的交点即为点； （3）用圆规量取线段的长度，以点A为圆心，线段的长为半径，在射线上画弧，交射线于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：如图所示： 题型03 线段的和与差 【典例1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）线段是直线上的一点，，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，解题的关键是对点的位置进行分类讨论，避免漏解． 分两种情况讨论，当点在线段的延长线上时，；当点在线段的延长线上时，，分别代入数值计算即可． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，， ②当点在线段的延长线上时，． 综上所述,的长度为或． 故选：． （1）点B在线段AC上：，，； （2）点B在线段AC延长线上：，长线减短线。 【变式1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）已知线段，是直线上一点．若，则线段的长为（   ） A．8 B．16 C．8或16 D．8或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据题意可求出线段的长，再分两种情况：点A在线段上和点A在的延长线上，根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 当点A在线段上时，则. 当点A在的延长线上时，则. 综上所述，的长为8或16， 故选：C． 【变式2】（25-26六年级上·上海虹口·期末）如图，点在线段上（在的左侧），若，，，那么的长是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，由已知可得，再根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和与差，解题关键是熟练掌握分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：①点在点的左侧，②点在点的右侧，分别画出图形，根据线段之间的和差关系，求出答案即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图所示，点在点的左侧， ∵，， ∴； ②如图所示：点在点的右侧， ∵，， ∴； ∴的长为或． 故答案为：或． 题型04 线段中点的有关计算 【典例1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，点C是线段上的一点，点D是线段的中点，若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和与差，线段中点的有关计算等知识点， 弄清线段间的关系是解题的关键． 先根据线段的和差关系可得，由线段中点可得出，再根据线段的和与差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，根据线段中点的性质得，进而求得的长，再根据点是线段的中点，得出，根据即可求解． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 中点核心定义：若点M是线段AB的中点，则满足三个等价公式：；，；。 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是线段上一点，，分别是，的中点．若要求出线段的长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，根据中点的定义得出，，再根据得出答案． 【详解】解：设， ∵M，N分别是，的中点， ∴，. ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知点在同一直线上，，，点为线段的中点，线段的长度为________． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和与差，分如图，当在线段延长线上时，如图，当在线段上时两种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当在线段延长线上时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 如图，当在线段上时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； 综上可得：线段的长度为或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知线段，，点是的中点，则______． 【答案】5 【分析】本题考查线段中点的性质与线段长度的计算，关键利用中点定义求出的长度，再结合线段的和差关系计算． 【详解】解：∵点是的中点，且， ∴， 又∵，且， ∴； 故答案为：． 【变式4】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1)9 (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点，两点之间的距离，解题的关键是正确识别图形，找出线段之间的数量关系． （1）根据题意得出，计算即可； （2）先求出，再计算即可； （3）分点在点左侧或右侧两种情况计算即可． 【详解】（1）解： ，是的中点， ， （2）解：，是的中点， ， ； （3）解：，， 当点在点左侧时， ； 当点在点右侧时， ． 题型05 两点间的距离 【典例1】已知点和点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段长度计算，当两点横坐标相等时，线段平行于轴，线段长度为两点纵坐标差的绝对值． 【详解】∵点坐标为，点坐标为，两点横坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴线段的长度为． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．直线 B．连接两点的线段叫作两点间的距离 C．直线比射线长 D．画线段 【答案】D 【分析】本题考查直线，射线和线段，根据直线，射线，线段的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直线不能度量，原说法错误，不符合题意； B、连接两点的线段的长叫作两点间的距离，原说法错误，不符合题意； C、直线和射线都不能度量，无法比较大小，原说法错误，不符合题意； D、画线段，原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 【变式3】已知：A、B、C三个点在同一直线上，若线段，，则线段_________． 【答案】12或6 【分析】根据题意画出图形，分类讨论：①点C在之间，②点C在右边进行求解即可． 【详解】解：如图，点C在之间， 则； 如图，点C在右边， 则， 故答案为：12或6． 题型06 线段等分点的有关计算 【典例1】点C、D是线段的三等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 由点C、D是线段的三等分点，分两种情况讨论，即点靠近点A或点靠近点B，然后根据线段等分点的性质即可求的长度． 【详解】解：①点靠近点A时，如图： ∵点C、D是线段的三等分点， ∴； ②点靠近点B时，如图： ∵点C、D是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长度为， 故选：A． 【典例2】如图，C，D为线段的三等分点，为线段的中点，．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据三等分点的定义可得的长，再由线段中点的定义可得的长，据此由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵C，D为线段的三等分点，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴． 【变式1】线段，把它七等分，相邻两个等分点之间的距离是_____________． 【答案】5 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 线段七等分，相邻等分点之间的距离等于总长度除以等分数． 【详解】解：线段，把它七等分，则相邻两个等分点之间的距离是 故答案为：5． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图两点把线段分成三部分，，为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， （1）先设，可得，再根据中点定义得，然后表示出，，最后根据得出答案即可； （2）由（1）可知，求出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：理由如下： ∵， ∴设， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 解得：， 则． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知，，C是线段的中点，． (1)如图，点D在线段上，求的长； (2)若点D在直线上，E是的中点．则的长为 ． 【答案】(1)4 (2)1或 【分析】本题考查线段中点的性质、线段和差关系，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键． （1）根据题意易得，进而得到，根据线段中点的性质得到，利用进行计算即可； （2）分情况讨论：当点在线段上或点在点右边时，根据题意得到的长，再根据线段中点的性质得到和，利用进行计算即可． 【详解】（1）解：、， 是线段的中点 ; （2）解：当点在线段上时， 由（1）可得，， 是线段的中点 是的中点 ； 当点在点右边时， ， ，， 是线段的中点 是的中点 ； 综上所述，的长为1或， 故答案为：1或． 【变式4】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和与差、中点的定义，解决本题的关键是根据中点的定义和线段的长度之比求出线段的长度． （1）根据点C在线段上，，，求出线段的长度，再根据中点的定义即可求出答案； （2）根据点M是的中点，求出的长度，根据，求出的长度，最后根据，即可求出结果． 【详解】（1）解：点C在线段上，，， ． 点M是的中点， ． 答：线段的长为． （2）解：点N在线段上，且， 设，， 则， ， 解得，， ． 点M是的中点，， ， ． 答：线段的长为． 题型07 线段中的动点问题 【典例1】已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 【变式1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 【变式2】如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）a= ，b= ，c= ； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距9； （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 【答案】（1）3，-8，-2；（2）或5；（3）的值是不变， 【分析】（1）根据题意可得 即可求解； （2）设经过 秒P、Q两点相距9，则 ，然后分两种情况讨论：当点P在点Q的左侧时和当点P在点Q的右侧时，即可求解； （3）设 ，则 ，再根据中点的定义，可得 ， ，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c， ∴ ； （2）设经过 秒P、Q两点相距9， 根据题意得： ， 当点P在点Q的左侧时， ， 即 ，解得： ， 当点P在点Q的右侧时，， 即 ，解得： ， 综上所述，经过或5秒P、Q两点相距9； （3）设 ， ∴ ， ∵点E为OP的中点， ∴ ， ∵A对应的数为3，C对应的数为-2，AC的中点为F， ∴点F对应的数为 ，OC=2， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴的值是不变，为2． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，中点的定义，一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型08 最短路径问题 【典例1】如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路线，掌握两点之间线段最短是解决问题的关键． 结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 【详解】解：A中从地到地路线长为； B中从地到地路线长为； C中从地到地路线长为； D中从地到地路线长为； 综上所述，四条路线中均含有线段，因此比较、、和长度即可确定最短的路线， ， ， 在中，由两点之间线段最短可知， ， 、、和中长度最短， 即从地到地有四条路线，最短， 故选：D． 核心依据：两点之间，线段最短，所有最短路径问题均围绕此公理展开。 【变式1】如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 【变式2】在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为__________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，理解并掌握最短线段的含义是解题的关键，根据实际问题中的修路可知运用的是两点之间线段最短的原理，由此即可求解. 【详解】解：减少弯路是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短. 【变式3】一条笔直的公路上有A，B，C，D四个车站，张大爷要在公路上找到一个位置摆摊，要求摊位到这四个车站距离之和最小，这样的位置可以找到__________个． 【答案】无数 【分析】根据题意，利用线段和差关系分情况讨论，确定出摆摊位置到四个车站的距离和，然后得出结论即可． 【详解】解：根据题意，在车站、之间找一点摆摊，可使摊位到这四个车站距离之和最小，设摊位为，距离和为， （1）当在间时，，当与M重合时等号成立； （2）当在间时， ，在这里和都是确定的，所以当在间任何位置时，距离的值均为； （3）当在间时，当与重合时取等号， 综上所述，在之间的任何一个位置 (包括两点)，都能使得它到四个车站的距离和最小，即摆摊位置有无数个， 故答案为：无数． 【点睛】本题考查线段的和与差，利用数形结合思想解决线段的和与差问题是解答的关键． 1．下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线，可得答案． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误； ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段架设，“两点之间，线段最短”，故③正确； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确； 故选D． 2．如图，，，三点共线，，分别是、的中点，若，，则（　　） A．7 B．8 C．7.5 D．6 【答案】A 【分析】先根据中点的定义求出线段和的长度，再利用线段和的关系计算出的长度，最后对照选项得出答案． 【详解】解：∵是的中点，， ∴． ∵是的中点，， ∴． ∵， ∴． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 【答案】B 【分析】“弯曲的公路改直缩短路程”的本质是选择两点间的最短路径，对应“两点之间线段最短”的几何性质． 【详解】解：弯曲公路的起点和终点可看作两个定点，将弯曲公路改直，是把两点间的弯曲路径替换为两点之间的线段， 根据“两点之间线段最短”的数学原理，改直后的路程会缩短， 因此对应的原理是选项B． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解，体现了思维的严密性． 分两种情况：当点A是绳子的对折点时，当点B是绳子的对折点时，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当点A是绳子的对折点时，将绳子展开如图． ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴，， 绳子的原长； 当点B是绳子的对折点时，将绳子展开如图． ∵剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴， ∴，， 绳子的原长； 综上所述，绳子的原长为或． 故答案为：或 5．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，已知线段，点是线段外一点．按要求尺规作图，并保留作图痕迹； (1)作射线，作直线； (2)延长线段至点，使得； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了射线、直线、线段的概念及尺规作图的基本方法，熟练掌握射线、直线、线段的定义及尺规作图的基本步骤是解题的关键． （1）作射线：以点为端点，经过点作一条射线，向方向无限延伸．作直线：经过点和点作一条直线，向两端无限延伸． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点． 【详解】（1）解：如图，射线、直线即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 6．（25-26七年级上·山西大同·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且．求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算． 根据可知，根据线段中点的定义计算即可． 【详解】解：， ， 又∵是的中点， ． 答：的长度为． 7．（25-26七年级上·广东清远·期末）如图，点B在线段上，，． (1)尺规作图：延长线段到D，使；（保留作图痕迹，不用写作法） (2)在（1）的条件下，若点E是中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了画线段，线段的和差关系，与线段有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，以点为圆心，以的长为半径画弧，交线段的延长线于一点，即为点，即可作答． （2）先求出的长度，再结合点E是中点，进行列式计算，得出线段的长，即可作答． 【详解】（1）解：延长线段到D，使，如图所示： （2）解：如图所示： 由（1）得， ∵． ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴， 则． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知．且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，熟知线段的相关知识是解题的关键． （1）求出的长，再由线段中点的定义可得的长； （2）求出的长，进而求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，已知线段，点为线段的中点，点在直线上，且线段，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小亮的解答过程： 解：如图2， 线段，点为线段的中点， ____________________． ， __________． 小丽说：我觉得这个题应该有两种情况，小亮只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小亮的解答过程补充完整； (2)根据小丽的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 【答案】(1)；5； (2)见解析，线段的长度为 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及分类讨论的数学思想．关键是要注意“点在直线上”这一条件，需分“点在线段上”和“点在线段的延长线上”两种情况计算，避免漏解． （1）先利用线段中点的性质，求出的长度；再根据点在线段上的位置，用“线段的差”计算长度． （2）根据“点在直线上”的条件，补全“点在线段延长线上”的图形；再根据线段的位置关系，用“线段的和”计算长度． 【详解】（1）解：∵线段，点为线段的中点， ∴． ∵， ∴； 故答案为：；5；． （2）解：如图，当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴． 1．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 2．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有、、、、、六个点，点沿直线从右往左移动，当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（    ）处 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】根据题意可知当点P为、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报，要使发出警报的位置最多，那么这两个点的中点位置要最多，即任意两个点的连线的中点不重合，则构成线段的条数即为发出警报的位置的最多数量． 【详解】解：∵当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候， ∴当点P为、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点时，就会发出警报， ∵要使发出警报的位置最多， ∴、、、、、六个点中任意两个点的连线段的中点互不重合， ∵、、、、、六个点可组成线段，，，，共15条线段， ∴直线上会发出警报的位置最多有15处． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知线段长度为12，线段长度为4，线段在线段上自由运动（点与点不重合，与点不重合），若点为的中点．则的值为___________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质． 取线段的中点，根据线段中点的性质得出线段之间的数量关系，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，取线段的中点， 则， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵线段长度为12，线段长度为4， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为16， 故答案为：16． 5．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 【答案】(1) ；2；； (2)；6 【分析】（1）根据中点的定义及线段的和差关系补充即可； （2）在点左侧作，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在点左侧作，则， ∴点即为所求， ，点为线段的中点， ， ， ． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 7．如图，已知线段，点从点出发以的速度沿的方向运动，同时点从点出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，________，当时，________； (2)若为线段上一点，当点与相遇时，设相遇的位置为点． 若，求线段的长； 若，求线段的长． 【答案】(1)； (2)；线段的长为或 【分析】（1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）由题意得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解；根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，， ， 当时，，， ，， ； （2）解：由题意得，， 当点，相遇时，， 解得， ， ， ， ； 由可得，， ， ， 当点在点左侧时，， 当点在点右侧时，， 故线段的长为或． 8．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 线段的长短 教学目标 1.掌握比较两条线段长短的两种常用方法：叠合法、度量法，能规范使用两种方法比较线段大小，正确使用不等号表示线段长短关系。 2.理解线段中点的定义，能用几何符号语言描述中点性质，熟练利用中点进行线段长度的计算与推理。 3.会使用尺规作图作一条线段等于已知线段，能完成线段的和、差作图，规范书写作图步骤。 4.理解 “两点之间，线段最短” 的基本事实，掌握两点间距离的概念，能运用该结论解释生活实际问题。 5.通过动手测量、尺规操作、几何推理计算，培养规范几何作图能力与简单逻辑推理能力，建立数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）叠合法、度量法比较线段长短； （2）线段中点的概念及相关线段长度计算； （3）尺规作线段的和、差； （4）两点之间线段最短及其简单应用。 2. 难点 （1）结合线段中点、线段和差进行分段线段的综合计算； （2）尺规作图规范语言表达，准确完成线段和差作图； （3）区分 “两点间的线段” 与 “两点间的距离（线段长度）” 两个概念； （4）利用线段数量关系解决含动点、多分段的几何计算题。 知识点01 线段的比较 1. 线段AB与线段CD相等，记作 ；线段AB大于线段CD，记作 ；线段AB小于线段CD，记作 。 2. 线段的比较： ①方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较。 ②方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较 【即学即练】 1．如图，，比较线段与线段的大小（    ） A． B． C． D．无法比较 2．下面是某教材中“用尺规作一条线段等于已知线段”的部分过程图，则下列与长短比较正确的是（    ）    A． B． C． D．无法比较 知识点02 尺规作图——作一条线段等于已知线段 1. 尺规作图：可以只用没有刻度的直尺和圆规来画，这种只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图。 2. 作一条线段等于已知线段： 例：如图已知线段，求作线段AB，使AB=。B A C 作法：①作射线AC； ②以点A为圆心，线段的长度为半径画弧交AC于点B； ③线段AB即为所求。 【即学即练】 1．如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 2．如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它的长等于． 知识点03 线段的中点 1. 线段的中点：把一条线段分成两条 的线段的点，叫作线段的中点。 2. 两点间的距离：两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离。 3. 两点之间的所有连线中，线段最短。简单说成： 。 【即学即练】 1．三点在同一条直线上，如果线段，，那么两点的距离为（   ） A． B． C．或 D．以上均不正确 2．在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为__________． 3．如图，C是线段上的一点，N是线段的中点，若，，求的长． 题型01 线段之间比较大小 【典例1】为了比较线段与的长度，小明将点与点重合，使两条线段在一条直线上，结果点在的延长线上，则（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】如图，使用圆规比较线段和线段的长短，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 题型02 尺规作图——作一条线段等于已知线段 【典例1】如图，已知线段和线段，用尺规作线段．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 作图工具限制：无刻度直尺+圆规，直尺仅用于画直线、线段，禁止测量长度；圆规用于截取固定线段长度。 【变式1】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，线段m，n． 求作：线段，使． 【变式2】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，不在同一条直线上的四个点A，B，C，D，请按下列要求作图.（保留作图痕迹，不要求写作法） (1)画线段，，画射线，画直线； (2)在线段的延长线上取点E，使. 【变式3】如图所示，在同一个平面内有四个点A，B，C，D，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹）： (1)作射线． (2)作直线与直线相交于点． (3)在射线上作线段，使线段与线段相等． 题型03 线段的和与差 【典例1】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）线段是直线上的一点，，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 （1）点B在线段AC上：，，； （2）点B在线段AC延长线上：，长线减短线。 【变式1】（25-26七年级上·山西晋中·期末）已知线段，是直线上一点．若，则线段的长为（   ） A．8 B．16 C．8或16 D．8或4 【变式2】（25-26六年级上·上海虹口·期末）如图，点在线段上（在的左侧），若，，，那么的长是______ ． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）点，，在同一条直线上，，，则的长为_____． 题型04 线段中点的有关计算 【典例1】（25-26七年级上·河南安阳·期末）如图，点C是线段上的一点，点D是线段的中点，若，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点，，．求的长． 中点核心定义：若点M是线段AB的中点，则满足三个等价公式：；，；。 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是线段上一点，，分别是，的中点．若要求出线段的长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）已知点在同一直线上，，，点为线段的中点，线段的长度为________． 【变式3】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知线段，，点是的中点，则______． 【变式4】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长； (3)若在直线上，且，求的长度． 题型05 两点间的距离 【典例1】已知点和点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．直线 B．连接两点的线段叫作两点间的距离 C．直线比射线长 D．画线段 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【变式3】已知：A、B、C三个点在同一直线上，若线段，，则线段_________． 题型06 线段等分点的有关计算 【典例1】点C、D是线段的三等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，C，D为线段的三等分点，为线段的中点，．求的长． 【变式1】线段，把它七等分，相邻两个等分点之间的距离是_____________． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图两点把线段分成三部分，，为的中点． (1)判断线段与的大小关系，说明理由； (2)若，求的长． 【变式3】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）已知，，C是线段的中点，． (1)如图，点D在线段上，求的长； (2)若点D在直线上，E是的中点．则的长为 ． 【变式4】（25-26七年级上·四川宜宾·期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 题型07 线段中的动点问题 【典例1】已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 【变式1】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【变式3】已知多项式中，多项式的项数为a，四次项的系数为b，常数项为c，且a，b，c的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从B点出发，沿数轴向右以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点A出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发． （1）a= ，b= ，c= ； （2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距9； （3）O是数轴上的原点，当点P运动在原点左侧上时，分别取OP和AC的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围；若不变，求出其值． 题型08 最短路径问题 【典例1】如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 核心依据：两点之间，线段最短，所有最短路径问题均围绕此公理展开。 【变式1】如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为__________． 【变式3】一条笔直的公路上有A，B，C，D四个车站，张大爷要在公路上找到一个位置摆摊，要求摊位到这四个车站距离之和最小，这样的位置可以找到__________个． 1．下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 2．如图，，，三点共线，，分别是、的中点，若，，则（　　） A．7 B．8 C．7.5 D．6 3．（25-26七年级上·福建漳州·期末）“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，把一根绳子对折成线段，从点处把绳子剪断后，得到．若剪断后的各段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为____________． 5．（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图所示，已知线段，点是线段外一点．按要求尺规作图，并保留作图痕迹； (1)作射线，作直线； (2)延长线段至点，使得； 6．（25-26七年级上·山西大同·期末）如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且．求线段的长度． 7．（25-26七年级上·广东清远·期末）如图，点B在线段上，，． (1)尺规作图：延长线段到D，使；（保留作图痕迹，不用写作法） (2)在（1）的条件下，若点E是中点，求线段的长． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，已知．且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，已知线段，点为线段的中点，点在直线上，且线段，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小亮的解答过程： 解：如图2， 线段，点为线段的中点， ____________________． ， __________． 小丽说：我觉得这个题应该有两种情况，小亮只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小亮的解答过程补充完整； (2)根据小丽的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度． 1．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 2．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有、、、、、六个点，点沿直线从右往左移动，当出现点与、、、、、六个点中，至少有两个点距离相等的时候，就会发出警报，则直线上会发出警报的位置最多有（    ）处 A．14 B．15 C．16 D．17 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 4．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知线段长度为12，线段长度为4，线段在线段上自由运动（点与点不重合，与点不重合），若点为的中点．则的值为___________． 5．如图，点在同一条直线上，线段，点为线段的中点，在直线上用尺规作出点，使得，并求的长度． 小乐给出了以下解答： 解：如图为所作图形，， ，点C为线段的中点， ______________________， ___________． 小欢说： 我觉得小乐的解答不完整，可能还有别的情况… (1)请将小乐的解答过程补充完整； (2)请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点，并求出的长度． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 7．如图，已知线段，点从点出发以的速度沿的方向运动，同时点从点出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，________，当时，________； (2)若为线段上一点，当点与相遇时，设相遇的位置为点． 若，求线段的长； 若，求线段的长． 8．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $