4.4 角（基础篇）讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“角”核心知识点，系统梳理角的两种定义，四种表示方法，度分秒度量单位及换算，锐角、直角等五类角的分类标准，通过思维导图构建知识脉络，形成从概念到应用的学习支架。 资料设计贴合基础薄弱学生提分需求，题型涵盖钟面角、方向角等实际情境题，借助思维导图培养几何直观，通过分类辨析与运算提升推理意识，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

4.4角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 角的定义 · 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 · 角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2. 角的表示方法 · 用三个大写字母表示：如 ，其中 O 是顶点，A、B 分别是角的两条边上的点，且顶点字母必须写在中间。 · 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可记作 。 · 用一个数字表示：如 。 · 用一个希腊字母表示：如 （阿尔法）、（贝塔）等。 3. 角的度量 · 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 · 换算关系：，。 · 测量工具：量角器。测量时，量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 4. 角的分类 · 锐角：大于 且小于 的角，即 。 · 直角：等于 的角，即 。 · 钝角：大于 且小于 的角，即 。 · 平角：等于 的角，其两边成一条直线，即 。 · 周角：等于 的角，其两边重合，即 。 型 习 练 题 角的表示方法 1．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 2．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 3．如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法，掌握角的概念是解题的关键． 根据角的概念和角的表示方法回答即可． 【详解】解：和是同一个角，①正确； 和是同一个角，②正确； 和是对顶角，但不是同一个角，③错误； 和不是同一个角，④错误， 正确的有两个，为①②． 故选：B ． 4．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 角的分类 5．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、因为在顶点处，所以不能用，，表示同一个角，故此选项不符合题意； B、因为顶点处有3个角，所以不能用，，表示同一个角，故此选项不符合题意； C、因为顶点处有4个角，所以不能用，，表示同一个角，故此选项不符合题意； D、因为顶点处只有1个角，所以能用，，表示同一个角，故此选项符合题意； 故选：D． 6．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 7．一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 8．在、、、、各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角，角的分类等知识点，熟练掌握角的相关知识是解题的关键． 首先分别求得、、、、各时刻，时针与分针所成角的度数，进而可求得锐角、直角、钝角的个数之比． 【详解】解：∵时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， 时针与分针所成角是：， ∴锐角有：、、、， 直角有：， 钝角：没有， ∴锐角、直角、钝角的个数之比为：， 故选：C． 9．下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，掌握平角、周角的定义是解决问题的前提． 根据周角、平角的意义分别进行计算即可． 【详解】解：∵1平角，1周角， ∴周角，结果是直角，因此选项A不符合题意； 周角，因此选项B不符合题意； 平角，因此选项C不符合题意； 平角，因此选项D符合题意； 故选：D． 10．下列标注的四个角中，最小的角是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据角的分类即可得． 【详解】解：A是钝角，大于小于；B是锐角，小于；C是直角，等于；D是平角，等于， ∴最小的角是锐角， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的分类和比较大小，解题的关键是掌握角的分类． 钟面角 11．一个挂钟，在 3 时整的时候，时针与分针的最小夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查钟面角，钟面分成了12个大格，每格是，只要看3点整时，分针和时针的夹角占了几个大格，就可知道夹角的度数． 【详解】解：3点整，分针和时针的夹角的度数：， 所以一个挂钟，在3时整的时候，时针与分针的最小夹角是90度； 故选：C． 12．钟面上，16点的时候分针和时针所夹的较小角是（    ）． A．直角 B．锐角 C．钝角 D．平角 【答案】C 【分析】本题考查了钟表上时针与分针的夹角的计算，以及对角的分类的理解． 先确定16点时分针和时针的位置，计算它们之间的夹角度数，再根据角的分类判断角的类型． 【详解】解：， 因为， 所以是钝角， 故选：C． 13．钟表上的时间九点整时，此时钟表上时针和分针的夹角为（    ） A．75° B．85° C．90° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了钟表上的角的度数等知识，钟表上每一大格为，据此即可求解﹒ 【详解】解：钟表上每一大格为， 钟表上的时间九点整时，此时钟表上时针和分针的夹角为﹒ 故选：C 14．如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：由题意得：钟表上的时间下午时， 此时时针位于与中间，分针指到上，中间夹格， ∴时针与分针之间所成的角是：， 故选：A． 15．钟表在分时，它的时针与分针所形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了钟面角的计算，因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． 【详解】解：8点30分，时针和分针之间相差个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴8点30分分针与时针的夹角是． 故选：A． 方向角的表示 16．如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 17．一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，解题的关键是掌握和理解方向的相对性，将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离．根据方向的相对性，南偏东对北偏西，角度和距离不变，进行选择即可． 【详解】解：根据分析可知：返回时飞机要按北偏西方向飞行， 故选：C． 18．若从甲的位置看乙，则乙位于甲的北偏西；若从乙的位置看甲，则甲位于乙的（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】A 【分析】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键． 根据题意画出图形，进而分析得出从乙的位置看甲，甲位于乙的南偏东，即可作答． 【详解】解：∵从甲的位置看乙，则乙位于甲的北偏西， ∴如图所示： ∴从乙的位置看甲，则甲位于乙的南偏东， 故选：A． 19．渔民从码头出发，驾驶渔船向北偏东方向15海里处行驶进行捕鱼，则返回时的路线是向（    ）方向行驶15海里． A．东偏北 B．北偏西 C．南偏西 D．南偏西 【答案】D 【分析】本题考查位置的相对性，方向角，先确定观测点，再根据方位角和距离解答即可． 【详解】解：渔民从码头出发，驾驶渔船向北偏东方向15海里处行驶进行捕鱼，则返回时的路线是向南偏西方向行驶15海里， 故选：D． 20．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，，则点A在点O的（   ） A．北偏西处 B．东北方向处 C．北偏东处 D．北偏东处 【答案】D 【分析】本题考查了方位角． 根据题干图作答即可． 【详解】∵， ∴点A在点O的北偏东处 故选：D 角度的四则运算 21．已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 22．已知：，，则与的数量关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的比较和运算，熟练掌握角度之间的运算是解题的关键； 利用角度之间作差求解即可 【详解】解：∵，， ． 故选：B 23．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角度的互化，根据，化简即可得到答案； 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意. 故选：D． 24．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角度的换算化简绝对值，合并同类项以及去等知识，根据相关运算法则逐一计算各选项再进行判断即可 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：A 25．若，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 角的单位与角度制 26．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，度分秒的换算，正确计算是解题的关键．将小数度转换为度分秒表示，需将小数部分依次乘以60转换为分和秒． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 27．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角度的换算，熟练掌握角度的换算是解题的关键；将角度的小数部分转换为分，使用的换算关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选B． 28．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查度、分、秒的互化，相对比较简单，注意以60为进制． 先求出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， 故把用度、分、秒表示为， 故选：B． 29．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的度、分、秒之间的换算，依据,，进行互化，逐一分析选项. 【详解】解：A、, 不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，符合题意； D、，，不符合题意. 故选：C ． 【点睛】本题考查了角度的度分秒换算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进制为，进行准确的换算. 30．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 角的定义 · 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 · 角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2. 角的表示方法 · 用三个大写字母表示：如 ，其中 O 是顶点，A、B 分别是角的两条边上的点，且顶点字母必须写在中间。 · 用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可记作 。 · 用一个数字表示：如 。 · 用一个希腊字母表示：如 （阿尔法）、（贝塔）等。 3. 角的度量 · 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。 · 换算关系：，。 · 测量工具：量角器。测量时，量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 4. 角的分类 · 锐角：大于 且小于 的角，即 。 · 直角：等于 的角，即 。 · 钝角：大于 且小于 的角，即 。 · 平角：等于 的角，其两边成一条直线，即 。 · 周角：等于 的角，其两边重合，即 。 型 习 练 题 角的表示方法 1．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 2．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 3．如图，有下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 5．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 角的分类 6．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 7．一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 8．在、、、、各时刻，时针与分针所成角中，锐角、直角、钝角的个数之比为（  ） A． B． C． D． 9．下列各角中，是锐角的是（  ） A．周角 B．周角 C．平角 D．平角 10．下列标注的四个角中，最小的角是（    ） A．   B．   C．   D．   钟面角 11．一个挂钟，在 3 时整的时候，时针与分针的最小夹角是（    ） A． B． C． D． 12．钟面上，16点的时候分针和时针所夹的较小角是（    ）． A．直角 B．锐角 C．钝角 D．平角 13．钟表上的时间九点整时，此时钟表上时针和分针的夹角为（    ） A．75° B．85° C．90° D．120° 14．如图所示，钟表上时针与分针之间所夹的锐角是（    ） A．75° B．70° C．65° D．60° 15．钟表在分时，它的时针与分针所形成的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 方向角的表示 16．如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 17．一架飞机从机场向南偏东方向飞行了，原路返回时要向（   ） A．南偏东方向飞行 B．北偏西方向飞行 C．北偏西方向飞行 D．南偏西方向飞行 18．若从甲的位置看乙，则乙位于甲的北偏西；若从乙的位置看甲，则甲位于乙的（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 19．渔民从码头出发，驾驶渔船向北偏东方向15海里处行驶进行捕鱼，则返回时的路线是向（    ）方向行驶15海里． A．东偏北 B．北偏西 C．南偏西 D．南偏西 20．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体的运动方向，如图所示，，则点A在点O的（   ） A．北偏西处 B．东北方向处 C．北偏东处 D．北偏东处 角度的四则运算 21．已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．已知：，，则与的数量关系为（  ） A． B． C． D． 23．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 24．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 25．若，，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 角的单位与角度制 26．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 27．计算：（    ） A． B． C． D． 28．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 29．下列各式中，正确的角度互化是（   ） A． B． C． D． 30．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 学科网（北京）股份有限公司 $