专题3.5 三元一次方程组及其解法（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦三元一次方程组及其解法核心知识点，衔接二元一次方程组消元思想，构建“三元→二元→一元”逐步降次的学习支架，系统梳理定义、解的概念及代入与加减消元法的完整流程。 资料通过题型分类（判断、解、求参、应用等）、典例与变式结合，强化化归思想。以三阶幻方、抽水机问题等实例，发展模型意识与应用意识，规范步骤提升运算能力。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，培养推理与符号运算核心素养。

专题3.5 三元一次方程组及其解法 教学目标 1. 理解三元一次方程、三元一次方程组、三元一次方程组的解的定义，能准确识别三元一次方程组，会检验一组数值是否为方程组的解。 2.深化消元转化思想，掌握代入消元法、加减消元法解三元一次方程组的思路，能逐步将 “三元” 转化为 “二元”，再转化为 “一元一次方程” 完成求解。 3.能根据方程组未知数系数的特点，灵活选择消元顺序与消元方法，规范处理带有括号、分数、负系数的三元一次方程组，完整书写解题步骤。 4.通过类比二元一次方程组的解法进行迁移学习，培养类比推理、符号运算能力，体会化归思想，提升复杂方程组的化简与计算能力。 教学重难点 1.重点 （1）三元一次方程组的相关概念，判断一组数是否为方程组的解； （2）利用代入消元、加减消元实现三元化二元、二元化一元的解题流程； （3）规范完成基础三元一次方程组的完整求解。 2. 难点 （1）理解多次消元的化归逻辑，合理选择优先消去的未知数简化运算； （2）加减消元时对多个方程同乘系数统一未知数，避免常数项漏乘、符号出错； （3）含分母、参数、缺项型特殊三元一次方程组的化简与求解； （4）三步消元过程中步骤繁杂易出现计算失误，养成分步验算的习惯。 知识点01 三元一次方程组 1. 三元一次方程组：由三个一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组。 2. 解三元一次方程组的一般步骤： ①利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解。 【即学即练】 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．解方程组． 3．江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水，分钟可以抽完池塘里的蓄水；如果用4台抽水机抽水，分钟可以抽完；如果要在分钟内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台？ 题型01 三元一次方程组的判断 【典例1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． （1）化简优先原则：复杂方程需先去括号、去分母、合并同类项化简，以最简形式判定，不看原始形式； （2）快速排除口诀：分式根式直接否、次数超1直接否、未知数总数不符直接否。 【变式1】下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型02 三元一次方程组的解 【典例1】方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 标准验证步骤：①依次代入每一个方程；②逐一验证左右两边相等；③全部成立才为有效解，任意一个方程不成立直接排除。 【变式1】三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【变式2】三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式3】已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 题型03 三元一次方程组中字母求参问题 【典例1】如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【典例2】已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________． （1）核心原理：已知方程组的解，说明该组解适配所有含参数的方程，可直接整体代入； （2）固定解题步骤：①将已知的值代入原含参方程组；②得到关于参数的一元/二元/三元一次方程组；③联立求解所有参数；④简单验证取值合理性。 【变式1】方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 题型04 解三元一次方程组 【典例1】解方程组： 核心思想：消元降次，三元→二元→一元，逐步简化，最终求解三个未知数。 【变式1】解方程组：． 【变式2】解方程组： 【变式3】解方程组：． 题型05 三元一次方程组的应用 【典例1】在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是________． 中 国 我 梦 0 适用场景：题目含三个未知量、三组独立等量关系，无法用二元方程组求解的实际问题。 【变式1】电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2】用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是_______． 【变式3】如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“○”的质量相等，则n的值是______________． 【变式4】小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 3．已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 4．北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只，则下列不符合题意的选项是（   ） A． B． C． D． 5．小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付________元． 6．解方程组： 7．解方程组 (1) (2) 8．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 9．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 1．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 3．（2026·浙江金华·二模）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．3 4．已知方程组，则 ___________． 5．已知，则_______ ． 6．（25-26六年级下·上海虹口·期末）解方程组：． 7．（25-26六年级下·上海·期末）解方程组：． 8．解方程组： (1) (2) 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； （甲） (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． （乙） （丙） 填空：________，________，________；________，________，________． 10．（25-26七年级下·四川乐山·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 三元一次方程组及其解法 教学目标 1. 理解三元一次方程、三元一次方程组、三元一次方程组的解的定义，能准确识别三元一次方程组，会检验一组数值是否为方程组的解。 2.深化消元转化思想，掌握代入消元法、加减消元法解三元一次方程组的思路，能逐步将 “三元” 转化为 “二元”，再转化为 “一元一次方程” 完成求解。 3.能根据方程组未知数系数的特点，灵活选择消元顺序与消元方法，规范处理带有括号、分数、负系数的三元一次方程组，完整书写解题步骤。 4.通过类比二元一次方程组的解法进行迁移学习，培养类比推理、符号运算能力，体会化归思想，提升复杂方程组的化简与计算能力。 教学重难点 1.重点 （1）三元一次方程组的相关概念，判断一组数是否为方程组的解； （2）利用代入消元、加减消元实现三元化二元、二元化一元的解题流程； （3）规范完成基础三元一次方程组的完整求解。 2. 难点 （1）理解多次消元的化归逻辑，合理选择优先消去的未知数简化运算； （2）加减消元时对多个方程同乘系数统一未知数，避免常数项漏乘、符号出错； （3）含分母、参数、缺项型特殊三元一次方程组的化简与求解； （4）三步消元过程中步骤繁杂易出现计算失误，养成分步验算的习惯。 知识点01 三元一次方程组 1. 三元一次方程组：由三个一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组。 2. 解三元一次方程组的一般步骤： ①利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解。 【即学即练】 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 2．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ∴方程组的解为． 3．江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水，分钟可以抽完池塘里的蓄水；如果用4台抽水机抽水，分钟可以抽完；如果要在分钟内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台？ 【答案】至少需要6台抽水机才能在分钟之内将水抽完 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是设出未知数，在不能具体解出所有未知数值得时候我们可以假设其中的一个未知数为常量，然后再代入计算． 设开始抽水前管道已经涌出a立方米的水，管道每分钟涌出b立方米的水，每台抽水机每分钟可以抽走c立方米的水，根据等量关系可建立方程组，解出a、b关于c的表达式，从而代入求解即可． 【详解】解：设开始抽水前管道已经涌出a立方米的水，管道每分钟涌出b立方米的水，每台抽水机每分钟可以抽走c立方米的水，则依题意得： ， 解得：， 如果要在分钟内将水抽完，则至少需要的抽水机台数为：． 答：至少需要6台抽水机才能在分钟之内将水抽完． 题型01 三元一次方程组的判断 【典例1】下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． （1）化简优先原则：复杂方程需先去括号、去分母、合并同类项化简，以最简形式判定，不看原始形式； （2）快速排除口诀：分式根式直接否、次数超1直接否、未知数总数不符直接否。 【变式1】下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 【变式2】下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 题型02 三元一次方程组的解 【典例1】方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 标准验证步骤：①依次代入每一个方程；②逐一验证左右两边相等；③全部成立才为有效解，任意一个方程不成立直接排除。 【变式1】三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过代入消元法求解三元一次方程组，首先利用第一个方程将y表示为x的代数式，代入第二个方程求出x，再回代求y，最后利用第三个方程求z，本题考查了解三元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方程组为， 将第一个方程代入第二个方程：得， 解得， 将代入，得， 将代入第三个方程， 得：， ∴， ∴， 因此，方程组的解为， 故选：B 【变式2】三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先将三个式子相加，求出，再用可得答案． 【详解】解：， 由，得， 即， 由，得． 故选：B． 【变式3】已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故选D． 题型03 三元一次方程组中字母求参问题 【典例1】如果方程组的解也是方程的解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法；把三元转换成二元利用消元法解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：， 得④， 得， 解得：， ∴， ∴将，代入， 得， 解得：， 故选：B． 【典例2】已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________． 【答案】/ 【分析】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． （1）核心原理：已知方程组的解，说明该组解适配所有含参数的方程，可直接整体代入； （2）固定解题步骤：①将已知的值代入原含参方程组；②得到关于参数的一元/二元/三元一次方程组；③联立求解所有参数；④简单验证取值合理性。 【变式1】方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式2】若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 【详解】解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 【变式3】若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 【答案】0 【分析】本题考查了三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，熟记三元一次方程的定义是解题关键．根据三元一次方程的定义可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的三元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 题型04 解三元一次方程组 【典例1】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案． 【详解】解：， 由①＋②，得：． 由③＋④，得：， 解得：， 把代入①，得：， 把代入②，得：， ∴原方程组的解集是. 核心思想：消元降次，三元→二元→一元，逐步简化，最终求解三个未知数。 【变式1】解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【变式2】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据加减消元法解方程组即可求解． 【详解】解： ①③得，④ ①②得，⑤ ④⑤得， 解得：， 将代入④得 解得： 将代入②得， 解得： ∴方程组的解为： 【变式3】解方程组：． 【答案】 【分析】将③代入①消去z，可得，再结合②根据加减消元法求出，然后将x的值代入方程求出另外两个未知数的值即可． 【详解】解：， 把③代入①，得， 整理得：， ，得，解得：， 把代入③，得， 把代入④，得， ∴原方程组的解为． 题型05 三元一次方程组的应用 【典例1】在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是________． 中 国 我 梦 0 【答案】 【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键． 令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，列出方程组求解即可得到答案． 【详解】解：令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，则 0 则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为， ， 解得 ， ， 则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是， 故答案为：． 适用场景：题目含三个未知量、三组独立等量关系，无法用二元方程组求解的实际问题。 【变式1】电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键． 设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可． 【详解】解：分别设三种票买了张． 则根据题意，得， 由②得③ 将③代入①，得：． 故选：A． 【变式2】用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是_______． 【答案】75 【分析】本题考查了方程组的应用，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 设桌子高，长方体长，宽，列方程组得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设桌子高，长方体长，宽， 根据题意得， 得， 解得：， 故答案为：． 【变式3】如图1和图2，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若1个“□”与n个“○”的质量相等，则n的值是______________． 【答案】2 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故答案为：2． 【变式4】小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 2．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 3．已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 故选：B． 4．北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡（三种鸡都要买），请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只，则下列不符合题意的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 根据总价单价数量，结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于的三元一次方程组，结合均为正整数即可得出的值，从而得出结论． 【详解】解：设公鸡有只，母鸡有只，小鸡有只， 由题意得，， 解得：， ∵均为小于 100 的正整数， ∴， ∴满足条件的的值为． 故选：D． 5．小明和小华去书店买书．小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元．试问每种书各买一本共需支付________元． 【答案】30 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用． 设小说的单价为x元，漫画的单价为y元，杂志的单价为z元，根据“小明买2本小说，3本漫画、1本杂志共需支付45元；小华买3本小说，5本漫画、1本杂志共需支付60元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，利用，即可求出结论． 【详解】解：设小说的单价为x元，漫画的单价为y元，杂志的单价为z元， 根据题意得：， 得：， ∴每种书各买一本共需支付30元． 故答案为：30． 6．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 7．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用代入消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解是． （2）解： 由③得：④ 将④代入①得：⑤， 将④代入②得：⑥， 得：， 解得：， 把代入⑥得， 解得： 所以方程组的解是． 8．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 9．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系． 设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，根据题中的等量关系列出方程组求解． 【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套， 依题意有， 解得． 答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 1．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）若三元一次方程组的解使，则的值为（     ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求解给定的三元一次方程组，得到的值，再代入即可求出的值． 【详解】解：， 得 ， ， 得， 得 得， 把代入得， 整理得， 解得． 2．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，其中为常数．已知，则：的值为（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】根据新定义可得方程组，利用加减消元法得到，，据此计算的值即可． 【详解】解： ，且，，所求为， ∴， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴． 3．（2026·浙江金华·二模）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意易得，，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意可知： ①，②， 由①可知：，由②可知：， 把代入得：， ∴． 4．已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 5．已知，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查关于非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键，根据非负数的性质列出方程组，解方程后，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 6．（25-26六年级下·上海虹口·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得：，即，④ 得：，解得：， 把代入③得：，解得：， 把，代入①得：，解得：， ∴方程组的解为． 7．（25-26六年级下·上海·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 将，得， 解得， 将，得④， 将代入④，得， 解得， 将，代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 8．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：方程组整理得 得，解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， ∴④， 得⑤， 得， 解得， 将代入④，得， 解得， 将，代入①， 得， 解得， ∴方程组的解为． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； （甲） (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． （乙） （丙） 填空：________，________，________；________，________，________． 【答案】(1)， (2)，，；，， 【分析】本题利用九宫图的定义，即各行、各列及对角线上三个数之和都相等，通过设未知数，列出方程组求解即可，第一问列二元一次方程组求，，第二问分别对图乙和图丙根据和相等的关系列方程，求解得到各未知数的值． 【详解】（1）解：依题意， 整理得 解得： （2）由图（乙）得， ∴，，； 由图（丙）得， ∴，， 10．（25-26七年级下·四川乐山·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 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