专题3.1 方程、一元一次方程及其解法（高效培优讲义）数学新教材沪科版七年级上册

本讲义聚焦方程、一元一次方程的定义及解法核心知识点，系统梳理从等式到方程、一元一次方程的概念发展脉络，以概念辨析、等式性质、完整求解步骤为学习支架，涵盖解的检验及含分数、括号的复杂方程处理。 资料通过分层题型设计，典例与变式结合口诀总结，强化符号运算与逻辑推理，培养运算能力和推理意识。实际问题抽象方程提升模型意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺。

专题3.1 方程、一元一次方程及其解法 教学目标 1.理解方程、一元一次方程的定义，能准确识别等式、方程、一元一次方程，掌握方程的解的概念，会检验一个数值是否为方程的解。 2.掌握等式的两条基本性质，能运用等式性质对等式进行合理变形，为解方程提供理论依据。 3.熟练掌握解一元一次方程的完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，规范完成各类一元一次方程的求解。 4.分清移项与等式性质变形的区别，能处理含分数、括号、负系数的复杂一元一次方程，减少符号、漏乘类计算错误。 5.经历从实际问题抽象出一元一次方程的过程，建立方程模型思想，提升符号运算、逻辑推理能力，体会转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）方程、一元一次方程、方程的解的概念辨析； （2）等式的基本性质及运用； （3）一元一次方程完整求解步骤，基础一元一次方程计算； （4）检验方程解的方法。 2. 难点 （1）利用等式性质进行变形时，理解两边同时乘除负数、含分母式子的变形规则； （2）去分母时不含分母的常数项不漏乘最小公倍数，去括号时括号前负系数的变号问题； （3）移项时准确变号，区分移项与等式两边同加减的不同逻辑； （4）综合含分母、多层括号的复杂一元一次方程的规范求解。 知识点01 方程及方程的解 1. 方程：含有 叫方程。 2. 方程的解：使方程两边相等的未知数的值。 3. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 【即学即练】 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．可以是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点02 等式的性质 1. 等式的基本事实： ①等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式，即如果，那么。 ②等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即如果，那么。 ③等式的性质3（对称性）：如果那么 。 ④等式的性质4（传递性）：如果那么 。 2. 等量代换：根据等式的性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）根据等式的性质，下列各式变形一定正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 3．（1）如果，那么_________． （2）如果，那么_________． 知识点03 一元一次方程 1. 只含有 （元），未知数的次数是 ，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 2. 一元方程的解也叫 。 【即学即练】 1．下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 2．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 知识点04 解一元一次方程 1. 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。 2. 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 【即学即练】 1．解方程： 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 题型01 方程的判断 【典例1】下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 快速判定口诀：有等号、有未知，二者兼备才是方程；缺一则不是。 【变式1】下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 题型02 方程的解的判断 【典例1】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 标准验证步骤：①将给定数值代入方程左边、右边；②分别计算结果；③左右相等即为解，不相等则不是。 【变式1】下列方程的解是的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值。则关于x的方程的解为（   ） x 0 12 8 4 0 A．0 B． C．12 D．无法计算 题型03 列方程 【典例1】一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 题型04 已知方程的解求参数 【典例1】已知关于x的方程的解是，则a的值为（     ） A． B． C．1 D．2 （1）核心原理：已知解→解满足方程，代入后方程左右相等，直接构造含参数的新方程； （2）固定解题步骤：①把方程的解代入原方程；②得到只含参数的一元一次方程；③解方程求出参数值； （3）进阶技巧：含多重参数、多个解的题型，逐个代入，分别列等式求解。 【变式1】（25-26七年级下·四川乐山·期中）若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】若关于x的方程的解为，则 _______． 【变式3】若关于x的方程的解是，则a的值是 _____． 题型05 利用等式的性质求解 【典例1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例2】将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 【变式2】小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图①所示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图②所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若○，□，△的质量分别为a，b，c，则能与图②的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）由可得，依据是________． 【变式4】已知，若变形为，则其依据是________；若变形为，则其依据是________．如果，，那么，则其依据是________． 题型06 一元一次方程的判断 【典例1】下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． （1）化简判定法：复杂式子先去括号、移项、合并同类项，化简后再判定，看最终形式是否为； （2）排除项：分母含未知数、未知数次数为2或更高、多个未知数、含绝对值未化简均不是标准一元一次方程。 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型07 一元一次方程的解的判断 【典例1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． （1）基础判定方法：代入验证法，数值代入方程，左右相等即为解； （2）快速特征判断：一元一次方程有唯一解，可快速排除多解、无解选项。 【变式1】下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是____________________． 题型08 解一元一次方程 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程：． 【变式2】解方程： 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【变式4】（25-26六年级下·山东威海·期中）解方程： (1)； (2)． 题型09 根据一元一次方程的定义求参数 【典例1】若方程是一元一次方程，则m 的值为（    ） A． B．2 C． D．0 （1）核心列式依据：满足一元一次方程定义需同时满足两点：①未知数次数=1；②未知数系数≠0； （2）解题固定步骤：①令未知数最高次数等于1，列方程求参数；②代入验证系数不为0，舍去增根； （3）多层题型：含多个参数、含隐藏平方、绝对值的次数问题，先定次数、再卡系数。 【变式1】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）若方程是关于的一元一次方程，则的值不可能是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次方程，则___________． 【变式3】若是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 题型10 由一元一次方程解的情况求参数 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是______． 【典例2】在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________． 【变式1】如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【变式2】 （25-26七年级上·广东广州·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 【变式4】如果关于的方程无解，那么的值是多少？ 题型11 绝对值方程 【典例1】若，则______________． 绝对值核心性质： 等价于 或 ； 等价于 。 【变式1】如果，那么（     ） A． B． C． D． 【变式2】解方程： 【变式3】解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期末）若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 4．（2026·河北保定·一模）如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若，则．其依据是______． 9．（2026·江苏盐城·二模）若，则的值为______． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 12．已知是方程的解．求m的值； 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 4．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 5．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 7．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 9．解下列方程． (1)； (2)． 10．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）解方程 (1)； (2)． 11．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 13．（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 方程、一元一次方程及其解法 教学目标 1.理解方程、一元一次方程的定义，能准确识别等式、方程、一元一次方程，掌握方程的解的概念，会检验一个数值是否为方程的解。 2.掌握等式的两条基本性质，能运用等式性质对等式进行合理变形，为解方程提供理论依据。 3.熟练掌握解一元一次方程的完整步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，规范完成各类一元一次方程的求解。 4.分清移项与等式性质变形的区别，能处理含分数、括号、负系数的复杂一元一次方程，减少符号、漏乘类计算错误。 5.经历从实际问题抽象出一元一次方程的过程，建立方程模型思想，提升符号运算、逻辑推理能力，体会转化思想。 教学重难点 1.重点 （1）方程、一元一次方程、方程的解的概念辨析； （2）等式的基本性质及运用； （3）一元一次方程完整求解步骤，基础一元一次方程计算； （4）检验方程解的方法。 2. 难点 （1）利用等式性质进行变形时，理解两边同时乘除负数、含分母式子的变形规则； （2）去分母时不含分母的常数项不漏乘最小公倍数，去括号时括号前负系数的变号问题； （3）移项时准确变号，区分移项与等式两边同加减的不同逻辑； （4）综合含分母、多层括号的复杂一元一次方程的规范求解。 知识点01 方程及方程的解 1. 方程：含有未知数的等式叫方程。 2. 方程的解：使方程两边相等的未知数的值。 3. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程。 【即学即练】 1．下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 2．可以是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等，即可判断是否为该方程的解． 【详解】代入选项A，左边，右边，左边右边，故不是A选项方程的解； 代入选项B，左边==0，右边，左边右边，故不是B选项方程的解； 代入选项C，左边==1，右边，左边右边，故不是C选项方程的解； 代入选项D，左边==4，右边，左边=右边，故是D选项方程的解． 3．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 知识点02 等式的性质 1. 等式的基本事实： ①等式的性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式，即如果，那么。 ②等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即如果，那么。 ③等式的性质3（对称性）：如果那么。 ④等式的性质4（传递性）：如果那么。 2. 等量代换：根据等式的性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）根据等式的性质，下列各式变形一定正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵若，当时，不一定成立，∴A变形错误； B、∵若，等式两边同时减，可得，符合等式性质1，∴B变形正确； C、∵若 ，等式两边同时乘，可得，∴C变形错误； D、∵若，移项可得，∴D变形错误． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，天平两次操作均处于平衡状态，若“”的质量为，“”的质量为，则m，n的大小关系是（    ） A． B． C． D．均有可能 【答案】C 【分析】由第一次天平得，由第二次天平得，进而代入即可求解． 【详解】解：由题意得，第一次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 第二次天平：左边是，右边是，天平平衡， ∴， 将代入上式得， 解得， ∴． 3．（1）如果，那么_________． （2）如果，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是关键． （1）（2）利用等式的基本性质逐项解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得：． （2）∵， ∴， ∴． 知识点03 一元一次方程 1. 只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 2. 一元方程的解也叫根。 【即学即练】 1．下列方程中，属于一元一次方程的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，逐一判断选项． 【详解】解：A、未知数在分母上，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有和两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未明确参数不为0，不一定是一元一次方程，不符合题意； D、，，，是一元一次方程，符合题意． 2．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 3．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 知识点04 解一元一次方程 1. 移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项。 2. 解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 【即学即练】 1．解方程： 【答案】 【分析】先移项计算常数项，再将未知数的系数化为1，即可得到方程的解． 【详解】解：移项，得， ， 计算，得 ， 两边同除以2，得 ． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 题型01 方程的判断 【典例1】下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程需同时满足“含有未知数”且“是等式”两个条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，错误； B、是等式，但不含未知数，不是方程，错误； C、既是等式，又含有未知数，是方程，正确； D、不是等式，不是方程，错误． 快速判定口诀：有等号、有未知，二者兼备才是方程；缺一则不是。 【变式1】下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义．根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，该选项不符合题意； B、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； C、是等式且含有未知数，满足方程的定义，该选项符合题意； D、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 题型02 方程的解的判断 【典例1】下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入各个方程进行检验，看能否使方程的左右两边相等． 【详解】解：分别将代入四个方程： A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 标准验证步骤：①将给定数值代入方程左边、右边；②分别计算结果；③左右相等即为解，不相等则不是。 【变式1】下列方程的解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解． 通过将代入每个方程，验证等式是否成立． 【详解】解：∵ 对于选项A∶ 当时，，∴不是方程的解． 对于选项B∶ 当时，，∴不是方程的解． 对于选项C∶ 当时，，∴是方程的解． 对于选项D∶ 当时，，∴不是方程的解． ∴ 只有选项C的解是, 故选：C． 【变式2】整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值。则关于x的方程的解为（   ） x 0 12 8 4 0 A．0 B． C．12 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的求解，可通过对所求方程变形，结合表格给出的整式对应值直接得到方程的解，思路清晰简便 【详解】解：∵ 所求方程为 ， ∴ 给等式两边同乘 ，可得 ， 观察表格可知，当整式 的值为 时，对应的 的取值为 ， ∴ 方程 的解为 题型03 列方程 【典例1】一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 【变式1】“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列方程，首先列出表示比的相反数大的数的代数式，再根据该数与的差为，列出等式即可． 【详解】解：的相反数是 ， 比的相反数大的数是 ， 该数与的差为． 故选：B． 【变式2】现有一包的果汁粉，用水冲泡成浓度为的饮料，需要加多少水（浓度溶质质量溶液质量）．设需要加克水，则可以列出方程：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据浓度定义，浓度等于溶质质量除以溶液质量，设加水质量为m克，溶质为果汁粉，溶液质量为，浓度为，由此列出方程. 【详解】解：根据题意方程为 故答案为：. 题型04 已知方程的解求参数 【典例1】已知关于x的方程的解是，则a的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴将代入方程得：， 解得. （1）核心原理：已知解→解满足方程，代入后方程左右相等，直接构造含参数的新方程； （2）固定解题步骤：①把方程的解代入原方程；②得到只含参数的一元一次方程；③解方程求出参数值； （3）进阶技巧：含多重参数、多个解的题型，逐个代入，分别列等式求解。 【变式1】（25-26七年级下·四川乐山·期中）若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得到与的关系，再将所求代数式变形后整体代入要求值的代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得 ， ∴等式两边同乘得 ，即， ∴． 【变式2】若关于x的方程的解为，则 _______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程解的定义将代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式3】若关于x的方程的解是，则a的值是 _____． 【答案】3 【详解】把代入方程计算即可求出a的值． 【分析】解：把代入方程得：， 解得：． 题型05 利用等式的性质求解 【典例1】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式性质逐一判断变形是否正确即可，等式的性质为：等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，等式仍成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立． 【详解】解： A选项： ∵，等式两边同时加，可得，变形正确，不符合题意； B选项： ∵，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C选项： ∵，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意； D选项： ∵，等式两边同时除以，得，变形错误，符合题意. 故选D． 【典例2】将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质求解． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时除以，得． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，观察题干中等式的变形过程，对应匹配变形依据即可得到答案． 【详解】解： 由变形得到，是给方程左右两边同时加上同一个整式， 该变形的依据是等式两边都加上同一个整式，等式仍成立， 对应选项C． 【变式2】小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图①所示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图②所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若○，□，△的质量分别为a，b，c，则能与图②的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】天平原来是平衡的，在天平两边都加上相同质量的砝码，天平仍然平衡． 【详解】解：根据题意可得：若，根据等式的基本性质1，则． 【变式3】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）由可得，依据是________． 【答案】等式的基本性质2 【分析】此题考查了等式的基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 根据等式的基本性质2求解即可． 【详解】解：由可得，依据是等式的基本性质2． 故答案为：等式的基本性质2． 【变式4】已知，若变形为，则其依据是________；若变形为，则其依据是________．如果，，那么，则其依据是________． 【答案】 等式的基本性质2 等式的基本性质1 等量代换 【分析】本题需要根据等式的基本性质，对每个变形情况进行分析，确定其依据的等式性质． 【详解】①对于变形为，根据等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∵变式是等式两边同时除以， ∴依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2． ②对于变形为，根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∵变式是等式两边同时减1， ∴依据是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1． ③已知，，和都与相等，根据等量代换：如果，，那么 ∵变式是等式的传递， ∴依据是等量代换． 故答案为：等量代换． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质以及等量代换的思想是解题的关键． 题型06 一元一次方程的判断 【典例1】下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程”，逐一判断各选项即可求解． 【详解】解： A选项含有两个未知数，不符合一元一次方程定义； B选项中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义； C选项只含一个未知数，未知数最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义； D选项分母中含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． （1）化简判定法：复杂式子先去括号、移项、合并同类项，化简后再判定，看最终形式是否为； （2）排除项：分母含未知数、未知数次数为2或更高、多个未知数、含绝对值未化简均不是标准一元一次方程。 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程需满足三个条件：只含1个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式，即可求解． 【详解】选项A中含有 两个未知数，不符合定义，A错误； 选项B中只含一个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，B正确； 选项C中未知数的次数为2，不符合定义，C错误； 选项D中分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义，D错误． 【变式2】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】一元一次方程需要满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义逐一判断： ∵①分母含有未知数，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； ∵②满足只含一个未知数，未知数次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； ∵③分母含有未知数，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； ∵④含有两个未知数， ∴不是一元一次方程； ∵⑤满足只含一个未知数，未知数次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； 综上，一元一次方程共有2个． 题型07 一元一次方程的解的判断 【典例1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． （1）基础判定方法：代入验证法，数值代入方程，左右相等即为解； （2）快速特征判断：一元一次方程有唯一解，可快速排除多解、无解选项。 【变式1】下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的适合方程． 将分别代入四个选项中求解判断即可． 【详解】解：A、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； B、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； C、将代入， 得， 故选项正确，符合题意； D、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可以列出一个符合要求的一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是5，则， 某个未知数的系数是，则可列方程， 故答案为：（答案不唯一）． 题型08 解一元一次方程 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 【变式1】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式2】解方程： 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，即比例中两个内项的乘积等于两个外项的乘积，将比例方程转化为一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：由比例的基本性质可得：， 整理得：， 方程两边同乘得：． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． （2）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． 【变式4】（25-26六年级下·山东威海·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 根据一元一次方程的定义求参数 【典例1】若方程是一元一次方程，则m 的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，需要满足两个条件：未知数的最高次数为1，且一次项的系数不为0，据此列式求解即可. 【详解】解：∵原方程是一元一次方程， ∴且， ∴. （1）核心列式依据：满足一元一次方程定义需同时满足两点：①未知数次数=1；②未知数系数≠0； （2）解题固定步骤：①令未知数最高次数等于1，列方程求参数；②代入验证系数不为0，舍去增根； （3）多层题型：含多个参数、含隐藏平方、绝对值的次数问题，先定次数、再卡系数。 【变式1】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）若方程是关于的一元一次方程，则的值不可能是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，一元一次方程中未知数的系数不能为0，据此即可求出m不能取的值，得到答案. 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得， ∴的值不可能是. 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知是关于x的一元一次方程，则___________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，方程中未知数的次数为， 因此可得 移项计算得． 【变式3】若是关于x的一元一次方程，则m的值为________． 【答案】2 【详解】解：是关于的一元一次方程， ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 . 题型10 由一元一次方程解的情况求参数 【典例1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中，即可求解． 【详解】解：方程， 解得：， 将代入方程，得： ， 解得：． 故答案为：9 【典例2】在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 先将小明解的错解代入方程，求出参数，再解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：小明解得到， 将代入方程得， 即， 解得， 将代入原方程， 得， 去分母得， 即， 整理得， 移项得， 即， ， 故答案为：． 【变式1】如果是关于x的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程．解方程得到，根据为正整数，确定整数的值． 【详解】解：解方程， 合并同类项，得， 显然， 解得， ∵为整数，关于的方程的解为正整数， ∴， 解得， 故答案为：0． 【变式3】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解， 通过将第二个方程变形，使其与第一个方程的结构相同，然后利用第一个方程的解来求解． 【详解】解：， 移项得，， ∴， ∵关于的一元一次方程的解是， ∴ 解得，． 故答案为：． 【变式4】如果关于的方程无解，那么的值是多少？ 【答案】． 【分析】根据一元一次方程无解的条件可得，求出答案即可． 【详解】解：关于的方程无解， ， ． 题型11 绝对值方程 【典例1】若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 绝对值核心性质： 等价于 或 ； 等价于 。 【变式1】如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 【变式2】解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 将原方程变形为，再根据绝对值的性质得到或，再解一元一次方程即可． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 【变式3】解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 【详解】∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期末）若是方程的解，则的值是（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可求出未知参数的值. 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 代入方程得 ， 移项计算得 . 因此的值为. 4．（2026·河北保定·一模）如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设乙木条的长为n，列出与的关系式，并求得n的表达式即可得解． 【详解】设乙木条的长为n， 根据题意，得， 解得． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：是等式，只含一个未知数，未知数的最高次数为，且两边为整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． 6．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 7．（25-26七年级下·新疆和田·期末）已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， 移项，得， 等式两边同乘，得． 8．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若，则．其依据是______． 【答案】等式的基本性质1 【详解】由得到，变形过程为等式两边同时减去整式，符合等式的基本性质1的内容，即等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立． 9．（2026·江苏盐城·二模）若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 即． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解方程： 【答案】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 11．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据解一元一次方程的方法及步骤即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得； （2）解：， 去分母（方程两边同乘），得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 12．已知是方程的解．求m的值； 【答案】 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 1．（25-26七年级下·河南周口·期末）下面解一元一次方程的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（     ） ．步骤1 ．步骤2 ．步骤3 ．步骤4 A．步骤， B．步骤， C．步骤， D．步骤， 【答案】C 【分析】根据等式的性质、去括号法则、合并同类项法则把方程变形，逐一判断各步骤的依据即可得到结果． 【详解】解：步骤为去括号变形，依据乘法分配律，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤是等式两边同时减去，依据等式的性质，故步骤符合题意； 步骤为合并同类项变形，依据合并同类项法则，不属于等式的性质，故步骤不符合题意； 步骤4是等式两边同时除以，依据等式的性质，故步骤符合题意； 依据“等式的性质”变形的是步骤和步骤. 2．（25-26六年级下·山东烟台·期末）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 3．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·四川内江·期末）若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 5．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ， 解得：． 7．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键． 将已知解 代入方程，解出 ■ 的值． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ． 移项得 ． 两边乘以 3 得 ． 移项得 ． 解得 ． 故答案为1． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 【答案】 【分析】将，，看作已知数，根据等式的性质对等式变形求解即可． 【详解】解：， 等式两边同乘得， 提取公因式得， 系数化为得 ． 9．解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 10．（25-26七年级下·甘肃天水·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得． 11．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 12．（25-26七年级下·河南周口·期末）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 【答案】 【分析】分别解两个方程，根据两个方程的解的关系列方程并解方程即可求出a的值． 【详解】解：的解为， 方程的解为 由题意： 解得 13．（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $